مقالات

2.10: التحليل الأولي والمضاعف المشترك الأصغر (الجزء 2) - الرياضيات


أوجد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعددين

أحد الأسباب التي تجعلنا ننظر إلى المضاعفات والأعداد الأولية هو استخدام هذه الأساليب للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لرقمين. سيكون هذا مفيدًا عندما نجمع ونطرح كسورًا ذات مقامات مختلفة.

طريقة سرد المضاعفات

المضاعف المشترك لرقمين هو عدد مضاعف لكلا الرقمين. لنفترض أننا نريد إيجاد المضاعفات المشتركة للعددين 10 و 25. يمكننا سرد أول عدة مضاعفات لكل رقم. ثم نبحث عن المضاعفات المشتركة في كلتا القائمتين — فهذه هي المضاعفات الشائعة.

[ start {split} 10 & القولون ؛ 10 ، 20 ، 30 ، 40 ، textbf {50} ، 60 ، 70 ، 80 ، 90 ، textbf {100} ، 110 ، ldots 25 & Colon ؛ 25 ، textbf {50} ، 75 ، textbf {100} ، 125 ، ldots end {split} nonumber ]

نرى أن (50 ) و (100 ) يظهران في كلا القائمتين. إنها المضاعفات الشائعة لـ (10 ​​) و (25 ). سنجد المزيد من المضاعفات الشائعة إذا تابعنا قائمة المضاعفات لكل منها.

يُطلق على أصغر عدد من مضاعفات رقمين أقل مضاعف مشترك (LCM). لذا فإن أقل المضاعف المشترك الأصغر لـ (10 ​​) و (25 ) هو (50 ).

كيفية: العثور على المضاعف المشترك الأقل (LCM) من عددين عن طريق سرد المضاعفات

الخطوة 1. اكتب أول عدة مضاعفات لكل رقم.

الخطوة 2. ابحث عن المضاعفات المشتركة في كلتا القائمتين. إذا لم يكن هناك مضاعفات مشتركة في القوائم ، اكتب مضاعفات إضافية لكل رقم.

الخطوة 3. ابحث عن أصغر رقم مشترك لكلا القائمتين.

الخطوة 4. هذا الرقم هو المضاعف المشترك الأصغر.

مثال ( PageIndex {5} ): lcm

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لـ (15 ) و (20 ) بسرد المضاعفات.

حل

اكتب أول عدة مضاعفات لـ (15 ) و (20 ). حدد المضاعف المشترك الأول.

[ البدء {الانقسام} 15 & القولون ؛ 15 ، 30 ، 45 ، textbf {60} ، 75 ، 90 ، 105 ، 120 20 & Colon ؛ 20 ، 40 ، textbf {60} ، 80 ، 100 ، 120 ، 140 ، 160 end {split} nonumber ]

أصغر رقم يظهر في كلتا القائمتين هو (60 ) ، لذلك (60 ) هو المضاعف المشترك الأصغر (15 ) و (20 ). لاحظ أن (120 ) موجود في كلا القائمتين أيضًا. إنه مضاعف مشترك ، لكنه ليس المضاعف المشترك الأصغر.

تمرين ( PageIndex {9} )

أوجد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للأرقام المحددة: (9 ) و (12 )

إجابه

(36)

تمرين ( PageIndex {10} )

أوجد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للأرقام المحددة: (18 ) و (24 )

إجابه

(72)

طريقة العوامل الأولية

هناك طريقة أخرى لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين وهي استخدام عواملها الأولية. سنستخدم هذه الطريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لـ (12 ) و (18 ).

نبدأ بإيجاد التحليل الأولي لكل عدد.

[12 = 2 cdot 2 cdot 3 qquad qquad 18 = 2 cdot 3 cdot 3 nonumber ]

ثم نكتب كل رقم كمنتج من الأعداد الأولية ، ونطابق الأعداد الأولية رأسياً عندما يكون ذلك ممكنًا.

[ start {split} 12 & = 2 cdot 2 cdot 3 18 & = 2 cdot quad ؛ 3 cdot 3 end {split} nonumber ]

الآن نكتب الأعداد الأولية في كل عمود. المضاعف المشترك الأصغر هو حاصل ضرب هذه العوامل.

لاحظ أن العوامل الأولية لـ (12 ) والعوامل الأولية لـ (18 ) مضمنة في المضاعف المشترك الأصغر. من خلال مطابقة الأعداد الأولية الشائعة ، يتم استخدام كل عامل أولي مشترك مرة واحدة فقط. هذا يضمن أن (36 ) هو المضاعف المشترك الأصغر.

كيفية: العثور على LCM باستخدام طريقة العوامل الأولية

الخطوة 1. ابحث عن التحليل الأولي لكل رقم.

الخطوة 2. اكتب كل رقم على أنه حاصل ضرب الأعداد الأولية ، ومطابقة الأعداد الأولية رأسيًا عندما يكون ذلك ممكنًا.

الخطوة 3. أنزل الأعداد الأولية في كل عمود.

الخطوة 4. اضرب العوامل للحصول على المضاعف المشترك الأصغر.

مثال ( PageIndex {6} ): lcm

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لـ (15 ) و (18 ) باستخدام طريقة العوامل الأولية.

حل

اكتب كل رقم على أنه حاصل ضرب الأعداد الأولية. (15 = 3 cdot 5 qquad qquad 18 = 2 cdot 3 cdot 3 )
اكتب كل رقم كمنتج من الأعداد الأولية ، ومطابقة الأعداد الأولية رأسيًا عندما يكون ذلك ممكنًا. ( start {split} 15 & = quad ؛ 3 cdot qquad 5 18 & = 2 cdot 3 cdot 3 end {split} )
أنزل الأعداد الأولية في كل عمود.
اضرب العوامل للحصول على المضاعف المشترك الأصغر.

المضاعف المشترك الأصغر = 2 • 3 • 3 • 5

المضاعف المشترك الأصغر للعددين 15 و 18 هو 90.

تمرين ( PageIndex {11} )

أوجد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام طريقة العوامل الأولية: (15 ) و (20 )

إجابه

(60)

تمرين ( PageIndex {12} )

أوجد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام طريقة العوامل الأولية: (15 ) و (35 )

إجابه

(105)

مثال ( PageIndex {7} ): lcm

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لـ (50 ) و (100 ) باستخدام طريقة العوامل الأولية.

حل

اكتب العوامل الأولية لكل عدد. (50 = 2 cdot 5 cdot 5 qquad 100 = 2 cdot 2 cdot 5 cdot 5 )
اكتب كل رقم كمنتج من الأعداد الأولية ، ومطابقة الأعداد الأولية رأسيًا عندما يكون ذلك ممكنًا. ( start {split} 50 & = quad ؛ 2 cdot 5 cdot 5 100 & = 2 cdot 2 cdot 5 cdot 5 end {split} )
أنزل الأعداد الأولية في كل عمود.
اضرب العوامل للحصول على المضاعف المشترك الأصغر.

المضاعف المشترك الأصغر = 2 • 2 • 5 • 5

المضاعف المشترك الأصغر للعددين 50 و 100 هو 100.

تمرين ( PageIndex {13} )

أوجد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام طريقة العوامل الأولية: (55، 88 )

إجابه

(440)

تمرين ( PageIndex {14} )

أوجد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام طريقة العوامل الأولية: (60، 72 )

إجابه

(360)

المفاهيم الرئيسية

  • أوجد التحليل الأولي لعدد مركب باستخدام طريقة الشجرة.
    • ابحث عن أي زوج عامل للرقم المحدد ، واستخدم هذه الأرقام لإنشاء فرعين.
    • إذا كان العامل أوليًا ، يكون هذا الفرع كاملاً. ضع دائرة حول البرايم.
    • إذا لم يكن العامل أوليًا ، فاكتبه على أنه حاصل ضرب زوج العوامل واستمر في العملية.
    • اكتب الرقم المركب على أنه حاصل ضرب كل الأعداد الأولية المحاطة بدائرة.
  • أوجد التحليل الأولي لعدد مركب باستخدام طريقة السلم.
    • اقسم الرقم على أصغر عدد أولي.
    • استمر في القسمة على هذا العدد الأولي حتى لا ينقسم بالتساوي.
    • اقسم على العدد الأولي التالي حتى لا ينقسم بالتساوي.
    • استمر حتى يصبح حاصل القسمة عددًا أوليًا.
    • اكتب الرقم المركب على أنه حاصل ضرب كل الأعداد الأولية على جانبي السلم وأعلى.
  • أوجد المضاعف المشترك الأصغر بسرد المضاعفات.
    • اكتب أول عدة مضاعفات لكل رقم.
    • ابحث عن المضاعفات المشتركة في كلتا القائمتين. إذا لم يكن هناك مضاعفات مشتركة في القوائم ، اكتب مضاعفات إضافية لكل رقم.
    • ابحث عن أصغر رقم مشترك بين كلتا القائمتين.
    • هذا الرقم هو المضاعف المشترك الأصغر.
  • أوجد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام طريقة العوامل الأولية.
    • أوجد التحليل الأولي لكل رقم.
    • اكتب كل رقم كمنتج من الأعداد الأولية ، ومطابقة الأعداد الأولية رأسيًا عندما يكون ذلك ممكنًا.
    • أنزل الأعداد الأولية في كل عمود.
    • اضرب العوامل للحصول على المضاعف المشترك الأصغر.

قائمة المصطلحات

أقل مضاعف مشترك

يُطلق على أصغر عدد من مضاعفات رقمين المضاعف المشترك الأصغر (LCM).

التحليل الأولي

التحليل الأولي للرقم هو حاصل ضرب الأعداد الأولية التي تساوي العدد.

مع التدريب يأتي الإتقان

أوجد العامل الأولي لرقم مركب

في التدريبات التالية ، ابحث عن التحليل الأولي لكل رقم باستخدام طريقة شجرة العوامل.

  1. 86
  2. 78
  3. 132
  4. 455
  5. 693
  6. 420
  7. 115
  8. 225
  9. 2475
  10. 1560

ابحث في التمارين التالية عن التحليل الأولي لكل رقم باستخدام طريقة السلم.

  1. 56
  2. 72
  3. 168
  4. 252
  5. 391
  6. 400
  7. 432
  8. 627
  9. 2160
  10. 2520

ابحث في التمارين التالية عن التحليل الأولي لكل رقم باستخدام أي طريقة.

  1. 150
  2. 180
  3. 525
  4. 444
  5. 36
  6. 50
  7. 350
  8. 144

أوجد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعددين

في التمارين التالية ، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر (LCM) من خلال سرد المضاعفات.

  1. 8, 12
  2. 4, 3
  3. 6, 15
  4. 12, 16
  5. 30, 40
  6. 20, 30
  7. 60, 75
  8. 44, 55

في التمارين التالية ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام طريقة العوامل الأولية.

  1. 8, 12
  2. 12, 16
  3. 24, 30
  4. 28, 40
  5. 70, 84
  6. 84, 90

في التمارين التالية ، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر (LCM) باستخدام أي طريقة.

  1. 6, 21
  2. 9, 15
  3. 24, 30
  4. 32, 40

الرياضيات اليومية

  1. تسوق البقاله تباع الهوت دوج في عبوات من عشرة ، لكن كعكات الهوت دوج تأتي في عبوات من ثمانية. ما هو أقل عدد من الهوت دوج والكعك يمكن شراؤه إذا كنت ترغب في الحصول على نفس عدد الهوت دوج والكعك؟ (تلميح: إنه LCM!)
  2. تسوق البقاله تباع الأطباق الورقية في عبوات من 12 وأكواب الحفلات تأتي في عبوات من 8. ما هو أصغر عدد من الأطباق والأكواب يمكنك شراؤها إذا كنت ترغب في الحصول على نفس العدد من كل منها؟ (تلميح: إنه LCM!)

تمارين الكتابة

  1. هل تفضل إيجاد التحليل الأولي لرقم مركب باستخدام طريقة شجرة العوامل أو طريقة السلم؟ لماذا ا؟
  2. هل تفضل إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بسرد المضاعفات أم باستخدام طريقة العوامل الأولية؟ لماذا ا؟

الاختيار الذاتي

(أ) بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

(ب) بشكل عام ، بعد الاطلاع على قائمة المراجعة ، هل تعتقد أنك مستعد جيدًا للفصل التالي؟ لما و لما لا؟


شاهد الفيديو: رياضياتاعدادالقاسم والمضاعف المشترك 104#ألفايوسyös (كانون الثاني 2022).