مقالات

3.8: ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة (الجزء 2) - الرياضيات


تقييم التعبيرات المتغيرة ذات الأعداد الصحيحة

يمكننا الآن إيجاد قيمة المقادير التي تتضمن الضرب والقسمة بالأعداد الصحيحة. تذكر أنه لإيجاد قيمة تعبير ، عوض بالأرقام مكان المتغيرات ، ثم بسّطها.

مثال ( PageIndex {10} ): قيم

أوجد قيمة (2x ^ 2 - 3x + 8 ) عندما (x = −4 ).

حل

استبدل ( textcolor {red} {- 4} ) بـ x. (2 ( textcolor {red} {- 4}) ^ {2} - 3 ( textcolor {red} {- 4}) + 8 )
بسّط الأسس.(2(16) - 3(-4) + 8)
تتضاعف.(32 - (-12) + 8)
طرح او خصم.(44 + 8)
يضيف.(52)

ضع في اعتبارك أنه عندما نستبدل (- 4 ) بـ (س ) ، فإننا نستخدم الأقواس لإظهار الضرب. بدون الأقواس ، سيبدو الشكل (2 • −4 ^ 2 - 3 • −4 + ​​8 ).

تمرين ( PageIndex {19} )

قيم: (3x ^ 2 - 2x + 6 ) عندما (x = −3 )

إجابه

(39)

تمرين ( PageIndex {20} )

احسب: (4x ^ 2-x-5 ) عندما (x = −2 )

إجابه

(13)

مثال ( PageIndex {11} ): قيم

أوجد (3x + 4y - 6 ) عندما (x = −1 ) و (y = 2 ).

حل

استبدل x = ( textcolor {red} {- 1} ) و y = ( textcolor {blue} {2} ). (3 ( textcolor {red} {- 1}) + 4 ( textcolor {blue} {2}) - 6 )
تتضاعف.(-3 + 8 - 6)
تبسيط.(-1)

تمرين ( PageIndex {21} )

احسب: (7x + 6y - 12 ) عندما (x = −2 ) و (y = 3 )

إجابه

(-8)

تمرين ( PageIndex {22} )

قيم: (8x - 6y + 13 ) عندما (x = −3 ) و (y = −5 )

إجابه

(19)

ترجمة جمل الكلمات إلى التعبيرات الجبرية

مرة أخرى ، جميع أعمالنا السابقة في ترجمة الكلمات إلى الجبر تنتقل إلى عبارات تتضمن كلاً من ضرب الأعداد الصحيحة وتقسيمها. تذكر أن الكلمة الأساسية لعملية الضرب هي منتج وللتقسيم حاصل القسمة.

مثال ( PageIndex {12} ): ترجم

ترجم إلى تعبير جبري وتبسيط إن أمكن: حاصل ضرب (- 2 ) و (14 ).

حل

الكلمة منتج يخبرنا أن نضرب.

يترجم.(−2)(14)
تبسيط.−28

تمرين ( PageIndex {23} )

ترجم إلى تعبير جبري وتبسيط إن أمكن: حاصل ضرب (- 5 ) و (12 )

إجابه

(-5(12)=-60)

تمرين ( PageIndex {24} )

ترجم إلى تعبير جبري وتبسيط إن أمكن: حاصل ضرب (8 ) و (- 13 )

إجابه

(8(-13)=-104)

مثال ( PageIndex {13} )

ترجم إلى تعبير جبري وتبسيط إن أمكن: حاصل قسمة (- 56 ) و (- 7 ).

حل

الكلمة حاصل القسمة يخبرنا أن نقسم.

يترجم.−56 ÷ (−7)
تبسيط.8

تمرين ( PageIndex {25} )

ترجم إلى تعبير جبري وتبسيط إن أمكن: حاصل قسمة (- 63 ) و (- 9 )

إجابه

(- 63 div -9 = 7 )

تمرين ( PageIndex {26} )

ترجم إلى تعبير جبري وتبسيط إن أمكن: حاصل قسمة (- 72 ) و (- 9 )

إجابه

(- 72 div -9 = 8 )

المفاهيم الرئيسية

  • ضرب الأعداد الموقّعة
    • لتحديد علامة منتج رقمين موقعين:
      نفس العلاماتمنتج
      اثنين من الإيجابيات
      اثنين من السلبيات
      إيجابي
      إيجابي
      علامات مختلفةمنتج
      إيجابي • سلبي
      سلبي إيجابي
      نفي
      نفي
  • تقسيم أرقام التوقيع
    • لتحديد علامة حاصل قسمة رقمين موقعين:
      نفس العلاماتحاصل القسمة
      اثنين من الإيجابيات
      اثنين من السلبيات
      إيجابي
      إيجابي
      علامات مختلفةحاصل القسمة
      إيجابي • سلبي
      سلبي إيجابي
      نفي
      نفي
  • الضرب ب (- 1 )
    • ضرب رقم في (- 1 ) يعطي نقيضه: (- 1a = -a )
  • قسمة على (- 1 )
    • ينتج عن قسمة رقم على (- 1 ) نقيضه: (a div (-1) = -a )

مع التدريب يأتي الإتقان

اضرب الأعداد الصحيحة

في التدريبات التالية ، اضرب كل زوج من الأعداد الصحيحة.

  1. −4 • 8
  2. −3 • 9
  3. −5(7)
  4. −8(6)
  5. −18(−2)
  6. −10(−6)
  7. 9(−7)
  8. 13(−5)
  9. −1 • 6
  10. −1 • 3
  11. −1(−14)
  12. −1(−19)

قسمة الأعداد الصحيحة

في التدريبات التالية ، قسّم.

  1. −24 ÷ 6
  2. −28 ÷ 7
  3. 56 ÷ (−7)
  4. 35 ÷ (−7)
  5. −52 ÷ (−4)
  6. −84 ÷ (−6)
  7. −180 ÷ 15
  8. −192 ÷ 12
  9. 49 ÷ (−1)
  10. 62 ÷ (−1)

تبسيط التعابير باستخدام الأعداد الصحيحة

في التمارين التالية ، بسّط كل تعبير.

  1. 5(−6) + 7(−2)−3
  2. 8(−4) + 5(−4)−6
  3. −8(−2)−3(−9)
  4. −7(−4)−5(−3)
  5. (−5)3
  6. (−4)3
  7. (−2)6
  8. (−3)5
  9. −42
  10. −62
  11. −3(−5)(6)
  12. −4(−6)(3)
  13. −4 • 2 • 11
  14. −5 • 3 • 10
  15. (8 − 11)(9 − 12)
  16. (6 − 11)(8 − 13)
  17. 26 − 3(2 − 7)
  18. 23 − 2(4 − 6)
  19. −10(−4) ÷ (−8)
  20. −8(−6) ÷ (−4)
  21. 65 ÷ (−5) + (−28) ÷ (−7)
  22. 52 ÷ (−4) + (−32) ÷ (−8)
  23. 9 − 2[3 − 8(−2)]
  24. 11 − 3[7 − 4(−2)]
  25. (−3)2−24 ÷ (8 − 2)
  26. (−4)2 − 32 ÷ (12 − 4)

تقييم التعبيرات المتغيرة ذات الأعداد الصحيحة

في التدريبات التالية ، قم بتقييم كل تعبير.

  1. −2x + 17 عندما (أ) س = 8 (ب) س = −8
  2. −5y + 14 عندما (أ) ص = 9 (ب) ص = −9
  3. 10-3 م عندما (أ) م = 5 (ب) م = −5
  4. 18-4n عندما (أ) ن = 3 (ب) ن = −3
  5. ص2 - 5p + 5 عندما p = −1
  6. ف2 - 2q + 9 عندما q = −2
  7. 2 واط2 - 3w + 7 عندما w = −2
  8. 3 ش2 - 4u + 5 عندما u = −3
  9. 6x - 5y + 15 عندما x = 3 و y = 1
  10. 3p - 2q + 9 عندما يكون p = 8 و q = −2
  11. 9a - 2b - 8 عندما a = 6 و b = −3
  12. 7 م - 4 ن - 2 عندما م = −4 و ن = −9

ترجمة جمل الكلمات إلى التعبيرات الجبرية

في التدريبات التالية ، قم بالترجمة إلى تعبير جبري وقم بالتبسيط إن أمكن.

  1. حاصل ضرب −3 و 15
  2. حاصل ضرب −4 و 16
  3. حاصل قسمة 60 و 20
  4. حاصل قسمة 40 و 20
  5. حاصل قسمة −6 ومجموع a و b
  6. حاصل قسمة 7 ومجموع م و ن
  7. حاصل ضرب −10 والفرق بين p و q
  8. حاصل ضرب −13 وفرق ج و د

الرياضيات اليومية

  1. سوق الأوراق المالية يمتلك خافيير 300 سهم من الأسهم في شركة واحدة. يوم الثلاثاء ، انخفض سعر السهم 12 دولارًا لكل سهم. ما هو التأثير الكلي على محفظة خافيير؟
  2. فقدان الوزن في الأسبوع الأول من برنامج النظام الغذائي ، فقدت ثماني نساء ما متوسطه 3 أرطال لكل منهما. ما هو تغيير الوزن الإجمالي للنساء الثماني؟

تمارين الكتابة

  1. بكلماتك الخاصة ، حدد قواعد ضرب عددين صحيحين.
  2. اذكر قواعد قسمة عددين صحيحين بكلماتك الخاصة.
  3. لماذا هو −24 ≠ (−2)4 ?
  4. لماذا هو −42 ≠ (−4)2 ?

الاختيار الذاتي

(أ) بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

(ب) على مقياس من 1 إلى 10 ، كيف تقيم إتقانك لهذا القسم في ضوء ردودك على قائمة التحقق؟ كيف يمكنك تحسين هذا؟


3.4 اضرب وقسم الأعداد الصحيحة

نظرًا لأن الضرب هو اختصار رياضي للإضافة المتكررة ، يمكن تطبيق نموذج العداد الخاص بنا بسهولة لإظهار مضاعفة الأعداد الصحيحة. دعونا نلقي نظرة على هذا النموذج الملموس لمعرفة الأنماط التي نلاحظها. سنستخدم نفس الأمثلة التي استخدمناها في الجمع والطرح.

نتذكر أن أ · ب أ · ب تعني جمع أ ، ب أ ، ب مرات. هنا ، نستخدم النموذج الموضح في الشكل 3.19 فقط لمساعدتنا في اكتشاف النمط.

لاحظ أنه بالنسبة لضرب رقمين في وضع إشارة ، عندما تكون الإشارات متطابقة ، يكون حاصل الضرب موجبًا ، وعندما تكون الإشارات مختلفة ، يكون المنتج سالبًا.

ضرب الأعداد الموقّعة

تعتمد علامة حاصل ضرب عددين على علاماتهما.

مثال 3.47

اضرب كل مما يلي:

حل

في كل مرة نضرب فيها عددًا في 1 ، −1 ، نحصل على عكسه.

الضرب ب −1 −1

بضرب رقم في −1 1 ، نحصل على نقيضه.

مثال 3.48

اضرب كل مما يلي:

حل

قسمة الأعداد الصحيحة

يتبع تقسيم الأرقام الموقعة نفس قواعد الضرب. عندما تكون العلامات هي نفسها ، يكون حاصل القسمة موجبًا ، وعندما تكون العلامات مختلفة ، يكون حاصل القسمة سالبًا.

تقسيم أرقام التوقيع

تعتمد علامة حاصل قسمة رقمين على علاماتهما.

تذكر أنه يمكنك دائمًا التحقق من إجابة مسألة القسمة عن طريق الضرب.

مثال 3.49

قسّم كلًا مما يلي:

حل

عندما نقسم عددًا على ، −1 1 نحصل على نقيضه.

قسمة على −1 −1

المثال 3.50

قسّم كلًا مما يلي:

حل

لاحظ أن العلامات كانت متشابهة ، لذا فإن حاصل القسمة موجب.

تبسيط التعابير باستخدام الأعداد الصحيحة

سنقوم الآن بتبسيط التعبيرات التي تستخدم جميع العمليات الأربع - الجمع والطرح والضرب والقسمة - باستخدام الأعداد الصحيحة. تذكر أن تتبع ترتيب العمليات.

المثال 3.51

حل

نستخدم ترتيب العمليات. اضرب أولاً ثم اجمع واطرح من اليسار إلى اليمين.

المثال 3.52

حل

الأس يخبرك بعدد مرات ضرب الأساس.

مثال 3.53

حل

وفقًا لترتيب العمليات ، فإننا نبسط داخل الأقواس أولاً. ثم نضرب ونطرح في النهاية.

مثال 3.54

حل

نبسط الأس أولًا ، ثم نضرب ونقسم.

مثال 3.55

حل

أولاً سنضرب ونقسم من اليسار إلى اليمين. ثم نضيف.

تقييم التعبيرات المتغيرة ذات الأعداد الصحيحة

يمكننا الآن إيجاد قيمة المقادير التي تتضمن الضرب والقسمة بالأعداد الصحيحة. تذكر أنه لإيجاد قيمة تعبير ، عوض بالأرقام مكان المتغيرات ، ثم بسّطها.

مثال 3.56

احسب 2 x 2 - 3 x + 8 عندما x = −4. احسب 2 x 2 - 3 x + 8 عندما x = −4.

حل

مثال 3.57

احسب 3 x + 4 y - 6 عندما x = −1 و y = 2. احسب 3 x + 4 y - 6 عندما x = −1 و y = 2.

حل

7 x + 6 y - 12 عندما x = 2 و y = 3 7 x + 6 y - 12 عندما x = 2 و y = 3

8 س - 6 ص + 13 عندما س = and3 وص = 5 8 س - 6 ص + 13 عندما س = −3 وص = 5

ترجمة جمل الكلمات إلى التعبيرات الجبرية

مرة أخرى ، جميع أعمالنا السابقة في ترجمة الكلمات إلى الجبر تنتقل إلى عبارات تتضمن كلاً من ضرب الأعداد الصحيحة وتقسيمها. تذكر أن الكلمة الأساسية لعملية الضرب هي منتج وللتقسيم حاصل القسمة.

المثال 3.58

ترجم إلى تعبير جبري وتبسيط إن أمكن: حاصل ضرب −2 −2 و 14. 14.

حل

الكلمة منتج يخبرنا أن نضرب.

ترجم إلى تعبير جبري وتبسيطه إن أمكن:

ترجم إلى تعبير جبري وتبسيطه إن أمكن:

المثال 3.59

قم بالترجمة إلى تعبير جبري وتبسيط إن أمكن: حاصل قسمة 56 −56 و 7. −7.

حل

الكلمة حاصل القسمة يخبرنا أن نقسم.

ترجم إلى تعبير جبري وتبسيطه إن أمكن:

ترجم إلى تعبير جبري وتبسيطه إن أمكن:

وسائط

الوصول إلى موارد إضافية عبر الإنترنت

القسم 3.4 تمارين

مع التدريب يأتي الإتقان

اضرب الأعداد الصحيحة

في التدريبات التالية ، اضرب كل زوج من الأعداد الصحيحة.

قسمة الأعداد الصحيحة

في التدريبات التالية ، قسّم.

تبسيط التعابير باستخدام الأعداد الصحيحة

في التمارين التالية ، بسّط كل تعبير.

تقييم التعبيرات المتغيرة ذات الأعداد الصحيحة

في التدريبات التالية ، قم بتقييم كل تعبير.

ترجمة جمل الكلمات إلى التعبيرات الجبرية

في التدريبات التالية ، قم بالترجمة إلى تعبير جبري وقم بالتبسيط إن أمكن.

الرياضيات اليومية

فقدان الوزن في الأسبوع الأول من برنامج النظام الغذائي ، فقدت ثماني نساء ما معدله 3 أرطال و 3 أرطال لكل منهما. ما هو تغيير الوزن الإجمالي للنساء الثماني؟

تمارين الكتابة

بكلماتك الخاصة ، حدد قواعد ضرب عددين صحيحين.

اذكر قواعد قسمة عددين صحيحين بكلماتك الخاصة.

الاختيار الذاتي

ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

ⓑ على مقياس من 1 إلى 10 ، كيف تقيم إتقانك لهذا القسم في ضوء ردودك على قائمة التحقق؟ كيف يمكنك تحسين هذا؟

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: لين ماريسيك ، ماري آن أنتوني سميث ، أندريا هانيكوت ماتيس
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Prealgebra 2e
    • تاريخ النشر: 11 مارس 2020
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/3-4-multiply-and-divide-integers

    © 21 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    حل المسائل بضرب وقسمة الكسور والأعداد الكسرية

    مثال 1: إذا استغرق الأمر 5/6 ياردات من القماش لصنع فستان ، فما هو عدد الياردات التي سيستغرقها صنع 8 فساتين؟

    التحليل: لحل هذه المشكلة ، سنحول العدد الصحيح إلى كسر غير فعلي. ثم نضرب الكسرين.

    الإجابة: سوف يستغرق الأمر 6 و 2/3 ياردات من القماش لصنع 8 فساتين.

    مثال 2: كان لدى رينيه صندوق من الكعك ، أعطته نصفه لصديقتها خوان. أعطى خوان 3/4 من حصته لصديقه إيلينا. ما الجزء الكسري من صندوق الكب كيك الأصلي الذي حصلت عليه إيلينا؟

    التحليل: لحل هذه المسألة ، سنضرب هذين الكسرين.

    الإجابة: حصلت إلينا على 3/8 من علبة الكب كيك الأصلية.

    مثال 3: يبلغ طول فصل الرياضيات في نينا 6 و 4/5 أمتار وعرضه 1 و 3/8 أمتار. ما هي مساحة الفصل؟

    التحليل: لحل هذه المشكلة ، سنضرب هذه الأعداد الكسرية. لكن علينا أولاً تحويل كل عدد كسري إلى كسر غير فعلي.

    الجواب: تبلغ مساحة الفصل 9 و 7/20 م 2.

    مثال 4: لوح شوكولاتة يبلغ طوله 3/4 بوصة. إذا كانت مقسمة إلى قطع طولها 3/8 بوصة ، فكم عدد هذه القطع؟

    التحليل: لحل هذه المشكلة ، سنقسم الكسر الأول على الثاني.

    مثال 5: كهربائي لديه قطعة سلك طولها 4 و 3/8 سنتيمترات. تقسم السلك إلى قطع طولها 1 و 2/3 سم. كم قطعة لديها؟

    التحليل: لحل هذه المشكلة ، سنقسم العدد الكسري الأول على الثاني.

    الإجابة: الكهربائي لديه 2 و 5/8 قطع من الأسلاك.

    مثال 6: مستودع به شريط من 1 و 3/10 أمتار. إذا قسموا الشريط إلى قطع طولها 5/8 أمتار ، فكم عدد القطع التي ستحتوي عليها؟

    التحليل: لحل هذه المشكلة ، سنقسم العدد الكسري الأول على الثاني. أولًا ، سنحول كل عدد كسري إلى كسر غير فعلي.

    الإجابة: سيحتوي المستودع على 2 و 2/25 قطعة من الشريط اللاصق.

    الملخص: في هذا الدرس تعلمنا كيفية حل المسائل الكلامية التي تتضمن ضرب وقسمة الكسور والأعداد الكسرية.

    تمارين

    التوجيهات: اطرح الأرقام المختلطة في كل تمرين أدناه. تأكد من تبسيط النتيجة ، إذا لزم الأمر. انقر مرة واحدة في مربع الإجابة واكتب إجابتك ثم انقر فوق "إدخال". بعد النقر فوق ENTER ، ستظهر رسالة في مربع النتائج للإشارة إلى ما إذا كانت إجابتك صحيحة أم غير صحيحة. للبدء من جديد ، انقر فوق مسح.

    ملاحظة: لكتابة العدد الكسري أربعة والثلثين ، أدخل 4 ، مسافة ، ثم 2/3 في النموذج.


    ضرب أكثر من عددين سالبين

    إذا كان هناك ملف حتى في عدد (0 ، 2 ، 4 ،.) من العوامل السالبة لضربها ، يكون المنتج هو إيجابي. إذا كان هناك ملف الفردية عدد (1 ، 3 ، 5 ،.) من العوامل السلبية ، المنتج هو نفي.

    بحث 3 (6)(2)(3)(1).

    اضرب القيم المطلقة للأرقام.

    احسب عدد العوامل السلبية. يوجد ثلاثة (−6 ، −3 ، −1).

    نظرًا لوجود عدد فردي من العوامل السلبية ، يكون المنتج سالبًا.

    غير صحيح. لقد قمت بضرب 30 و 5 ونسيت تعديل العلامة العشرية. لقد استخدمت أيضًا علامة خاطئة. لضرب 30 في 0.5 ، اضرب 30 في 5 لتحصل على 150 ، ثم ضع العلامة العشرية. نظرًا لأن 0.5 يحتوي على رقم واحد على يمين الفاصلة العشرية ، يجب وضع العلامة العشرية في المنتج مع رقم واحد على يمينها ، للحصول على 15. العاملان الأصليان كلاهما سالب. نظرًا لوجود عدد زوجي من العوامل السلبية ، يكون المنتج إيجابيًا. الإجابة الصحيحة هي 15.

    غير صحيح. لقد ضربت 30 و 0.5 بشكل صحيح لتحصل على 15 ، لكن كلا العاملين الأساسيين سالبين. نظرًا لوجود عدد زوجي من العوامل السلبية ، يكون المنتج إيجابيًا. الإجابة الصحيحة هي 15.

    صيح. أولًا ، اضرب 30 في 0.5. اضرب 30 في 5 لتحصل على 150 ، ثم ضع العلامة العشرية. نظرًا لأن 0.5 يحتوي على رقم واحد على يمين الفاصلة العشرية ، يجب وضع العلامة العشرية في المنتج مع رقم واحد على يمينها ، للحصول على 15. العاملان الأصليان كلاهما سالب. نظرًا لوجود عدد زوجي من العوامل السلبية ، يكون المنتج إيجابيًا.

    غير صحيح. أولًا ، اضرب 30 في 0.5. اضرب 30 في 5 لتحصل على 150 ، ثم ضع العلامة العشرية. نظرًا لأن 0.5 يحتوي على رقم واحد على يمين الفاصلة العشرية ، يجب وضع العلامة العشرية في المنتج مع رقم واحد على يمينها للحصول على 15. العاملان الأصليان كلاهما سالب. نظرًا لوجود عدد زوجي من العوامل السلبية ، يكون المنتج إيجابيًا. الإجابة الصحيحة هي 15.

    الهوية المضاعفة

    يوجد رقم يمكن إضافته مرارًا وتكرارًا دون تغيير المجموع. هذا الرقم ، 0 ، يسمى الهوية المضافة.

    يوجد أيضًا رقم يمكن تضمينه كملف عامل عدد المرات الذي تريده ، ولن يغير قيمة المنتج أبدًا. هذا الرقم ، 1 ، يسمى متطابقة الضرب.

    x (1) = x (1)x = x

    ال خاصية هوية 1 ينص علي x(1) = x و 1)x = x.

    يمكنك التفكير في الأمر بهذه الطريقة: الضرب في 1 يتيح للرقم الآخر الاحتفاظ به هوية.

    ما هو 1 (ذ)، متي ذ = −3?

    صيح. استبدال −3 من أجل ذ يعطي 1 (−3) ، و 1 (−3) = −3.

    غير صحيح. حاصل ضرب رقم و 1 هو الرقم الآخر ، وليس 1. استبدال −3 من أجل ذ يعطي 1 (−3) ، و 1 (−3) = −3.

    غير صحيح. تقول خاصية الهوية 1 · أي رقم = هذا الرقم. استبدال −3 من أجل ذ يعطي 1 (−3) ، و 1 (−3) = −3.

    انعكاسات مضاعفة

    قد تتذكر أن رقمين مقلوبان مضافان إذا كان مجموعهما صفرًا ، أي الرقم الإضافي.

    3 و 3 هي انعكاسات مضافة لأن 3 + (−3) = 0.

    رقمان المقلوبات المضاعفة إذا كان حاصل ضربهم 1 ، فإن المطابقة المضاعفة.

    وهي انعكاسات مضاعفة لأن.

    قد تتذكر أنه عند تقسيم الكسور ، فإنك تضرب في متبادل. متبادل هو اسم آخر للمقلوب الضربي (تمامًا مثل عكس هو اسم آخر للانعكاس الجمعي).

    طريقة سهلة لإيجاد المعكوس الضربي هي "قلب" البسط والمقام كما فعلت لإيجاد المقلوب. وهنا بعض الأمثلة:


    • منزل، بيت
    • ترتيب العمليات (1-4)
    • خصائص الأعداد (1-5)
    • ترجمة الكلمات إلى رياضيات (1-7)
    • تبسيط المقادير الجبرية (1-8)
    • المعادلات وحلولها (1-9)
    • حل المعادلات بالجمع أو الطرح (1-10)
    • حل المعادلات بالضرب والقسمة (1-1.
    • الأعداد الصحيحة (2-1)
    • جمع الأعداد الصحيحة (2-2)
    • طرح الأعداد الصحيحة (2-3)
    • ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة (2-4)
    • حل المعادلات التي تحتوي على عدد صحيح (2-5)
    • الكسور والأعداد العشرية المتكافئة (2-10)
    • مقارنة الأعداد النسبية وترتيبها (2-11)
    • جمع وطرح الكسور العشرية (3-2)
    • ضرب الكسور العشرية (3-3)
    • قسمة الكسور العشرية (3-4)
    • حل المعادلات التي تحتوي على الكسور العشرية (3-5)
    • جمع وطرح الكسور (3-7)
    • جمع وطرح الأعداد الكسرية (3-8)
    • ضرب الكسور والأعداد الكسرية (3-9)
    • قسمة الكسور والأعداد الكسرية (3-10)
    • حل المعادلات التي تحتوي على كسور (3-11)
    • معدلات (4-2)
    • معدلات (4-2) مقاطع فيديو
    • تحديد النسب وكتابتها (4-3)
    • حل النسب (4-4)
    • ارقام ونسب متشابهة (4-8)
    • استخدام الأشكال المتشابهة (4-9)
    • رسومات المقاييس ونماذج المقاييس (4-10)
    • الانحدار ومعدلات التغيير (5-6)
    • الاختلاف المباشر (5-8)
    • التقدير بالنسب المئوية (6-3)
    • النسبة المئوية من رقم (6-4)
    • حل المشكلات المئوية (6-5)
    • نسبة التغيير (6-6)
    • الفائدة البسيطة (6-7)
    • المتوسط ​​، والوسيط ، والنمط ، والمدى ، والنافذة (7-2)
    • الرسوم البيانية الشريطية والرسوم البيانية (7-3)
    • قطع الصندوق والشعر (7-5)
    • السكان والعينات (7-8)
    • تصنيف الزوايا (8-2)
    • تصنيف المثلثات (8-6)
    • تصنيف الأشكال الرباعية (8-7)
    • الزوايا في المضلعات (8-8)
    • الأرقام المتطابقة (8-9)
    • المحيط والمحيط (9-2)
    • مساحة متوازي الأضلاع (9-3)
    • مساحة المثلثات وشبه المنحرف (9-4)
    • مساحة الدوائر (9-5)
    • مساحة الأشكال غير المنتظمة (9-6)
    • المربعات والجذور التربيعية (9-7)
    • حجم المنشورات والأسطوانات (10-2)
    • مساحة سطح المنشورات والأسطوانات (10-4)
    • الاحتمال (11-1)
    • الاحتمال التجريبي (11-2)
    • مساحات العينة (11-3)
    • الاحتمال النظري (11-4)
    • التنبؤ (11-5)
    • احتمالية الأحداث المستقلة والمعتمدة (1.
    • المجموعات (11-7)
    • التباديل (11-8)
    • حل المعادلات ذات الخطوتين (12-1)
    • حل المعادلات متعددة الخطوات (12-2)
    • حل المتباينات بالجمع أو الطرح (12-.
    • حل المتباينات عن طريق الضرب أو القسمة (1.
    • حل المتباينات متعددة الخطوات (12-7)

    جمع وطرح الأعداد الكسرية (3-8)

    جمع وطرح الأعداد الكسرية

    القاسم المشترك الأصغر (LCD) - هو المضاعف المشترك الأصغر للمقام لكسرين أو أكثر.

    الأعداد المختلطة - رقم به جزء عدد صحيح وجزء كسر.

    أبسط صيغة - كسر ليس له عامل مشترك أكبر من 1 في البسط والمقام.


    14 تعليق

    تظهر الكسور في القياسات عندما لا تكون الوحدات صغيرة بما يكفي للتعبير عن الكميات بالأعداد الصحيحة. على سبيل المثال ، ستشتري لك خمسة أرباع دولارات تمامًا مثل الدولار والربع. يمثل الدولار ونصف الدولار نفس الكمية تمامًا مثل ثلاثة نصف دولار أو ستة أرباع دولارات.

    الكسور لا مفر منها وعاجلاً أم آجلاً علينا جميعًا أن نتعلم كيفية التعامل مع الكسور. الاستخدام الرياضي لكلمة الكسر له دلالة يومية واضحة جدًا كجزء من كائن أكبر. سيكون من غير المعقول في الوقت الحاضر تقديم الكسور كزوج من الأرقام وافتراض خصائصها الأساسية. ومع ذلك ، للتعبير عن الكسور ، يحتاج المرء إلى زوج من الأرقام يرتبط بهما معنى وحدس.

    عند ضرب الكسور ، يتم ضرب البسط (الأرقام العلوية) معًا وضرب المقامات (الأرقام السفلية) معًا. لقسمة الكسور ، أعد كتابة المسألة كضرب في المقلوب (معكوس الضرب) للمقسوم عليه. لإضافة كسور لها نفس المقام أو المقام المشترك ، اجمع ببساطة البسط واستخدم المقام المشترك. ومع ذلك ، لا يمكن إضافة الكسور حتى تتم كتابتها بمقام مشترك. يوضح الشكل أدناه سبب عدم صحة إضافة الكسور ذات القواسم المختلفة.

    أوافق على تعليق Mike & # 8217s. عندما قرأت المنشور ، فكرت في كيف يمكن للطلاب أيضًا الوصول إلى الاتجاه المعاكس والضرب في كسر من خلال استكشاف أنماط قسمة الأعداد الصحيحة على الكسور. يمكن للطلاب البحث عن الهيكل والاستفادة منه أثناء انتقالهم من العدد الصحيح / الكسر إلى الكسر / الكسر. إلى جانب السياق ، سيحصل الطلاب على فهم كبير لهذا المفهوم.

    نسيت أن أذكر ما يلي في تعليقي الأول!

    تعتمد فكرة إنشاء هذا الاختصار أيضًا على فهم الكسور كقسمة (كما ذكرت جولي أعلاه) وهذا هو السبب في أننا في الصف الخامس نحصر الطلاب في قسمة الأعداد الصحيحة على كسور الوحدة وكسور الوحدة على الأعداد الصحيحة. إذا تمكنا من مساعدة الطلاب على فهم أن 1/4 تعني نفس الشيء مثل القسمة على 4 ، فإن إنشاء هذا كله للمقام يكون أكثر منطقية لأنني أعرف أن أحصل على الكل ، فأنا بحاجة إلى أربعة أرباع (لذا اضرب في 4).

    منشور رائع ، جراهام. أحد الأشياء المهمة التي يجب ملاحظتها ، على ما أعتقد ، هو أن النماذج التي أنشأتها لفهم قرائك قد تم إنشاؤها بناءً على محاولتك لفهم هذا بشكل أفضل. لكي يقوم الطلاب بذلك ، يحتاجون إلى سياق & # 8211 وستحصل على هذا أكثر من مجرد أي شخص أعرفه. تدريس هذه الإجراءات دون بناء الفهم الكامن وراءها يمكن أن يكون ضارًا مثل K-C-F.

    بقعة على مايك! يجعل السياق هذه الفكرة أكثر سهولة للطلاب. سعيد لأنك قرأت هنا برعم ، صحتك!

    شكرًا على هذا التقدم المدروس & # 8211 (بالإضافة إلى الآخرين) الذي كان مفيدًا للمعلمين. أحد التعليقات التي لدي هو أنه في نموذجك تقوم بتغيير حجم الكل لإنشاء & # 8220 قواسم مشتركة & # 8221 والتي أعتقد أنها مغطاة بشكل جيد جدًا في منشور Fawn & # 8217s ، ولكن إذا لم يقم الآخرون بقراءتها فكروا عمدًا في حجم الكل الذي يبدأون به. في صورتك أنت تستخدم مستطيلاً متناسبًا مع أصولك ، لكن هذا المفهوم يأتي لاحقًا. شكرا لعملك في هذا.

    هذه نقطة عظيمة كريستين. آمل أن يعود الناس ليقرأوا منشور Fawn & # 8217 لكنك لا تعرف أبدًا. يمكنك أن تقود الحصان إلى الماء & # 8230 ..

    أنا شخصياً أحب هذا ، لكني أشعر بالريبة حيال الطريقة التي ستعمل بها مع طلاب الصف السادس. ربما يختلف هذا حسب المنطقة ، لكنني لا أعتقد أن طلابي على دراية بالكسور المعقدة مثل هذه. في الواقع ، يبدو أنهم صُدموا لأن الكسور والقسمة مرتبطة ببعضها البعض (على الرغم من أنه ، كما أشرت ، كان يجب على 5.NF.3 تغطية ذلك) ، ولا يعرفون عن المعاملة بالمثل حتى أعلمهم. ومع ذلك ، فهم يتمتعون عمومًا بفهم جيد للنماذج المرئية للكسور ومعنى الكسور كحصة من مجموع واحد أو أكثر.

    أوافق على التعليقين الأولين & # 8212 العدد الصحيح مقسومًا على جزء الوحدة هو مكان ممتاز للبدء. ثم أجعلهم يمرون بعدد صحيح مقسومًا على كسر غير وحدة (على سبيل المثال ، يجب أن يكون هناك 1/3 أكبر عدد من 3/5s في شيء مثل 1/5 ثانية ، لأن 3/5 أكبر 3 مرات). بمجرد أن نثبت المفهوم القائل بأن القسمة على كسر (أو رقم صحيح) تعادل الضرب في مقلوبه ، نقوم بعمل بعض الأمثلة البسيطة لكسر مقسومًا على كسر لإثبات تطبيق نفس الأفكار.

    شعوري الشخصي هو أننا إذا علمنا / ركزنا على مفهوم العمليات العكسية في وقت مبكر وأفضل ، فسيكون التعامل مع حسابات الكسور وفهمها أسهل مما هو عليه مع النماذج المرئية التي تؤكد عليها مناهج Core Core و / أو منطقتي & # 8217s بشدة . تعجبني النماذج المرئية إلى حد ما (بما في ذلك العدد الكامل مقسومًا على جزء الوحدة) ، لكن يحبطني أن الأطفال غالبًا ما يعلقون بها حتى بعد النقطة التي تكون فيها غير دقيقة ويصعب فهمها. إذا كان لدى أطفالي معرفة خلفية أكثر بالكسور مثل القسمة والضرب والقسمة كعكسات لبعضهم البعض ، فأنا أفضل تعليمها على طريقتك.

    شكرا جولي لمشاركة أفكارك.
    أنا شخصياً لن & # 8217t باستثناء الطلاب في الصف الخامس لفهم الكسور المعقدة ولكن أعتقد أنه يجب أن يكون توقعًا بأن الطلاب قد قضوا وقتًا طويلاً في استكشاف الكسور قبل الوصول إلى الصف السابع.
    إن الافتقار إلى الاستكشاف في الصفوف الابتدائية هو ما يقتل فهمنا الجزئي. أعتقد حقًا أن القضية الأساسية الأساسية هنا هي الاندفاع إلى التفكير الإجرائي بدلاً من التفكير في الكسور كأجزاء من الكل. أعتقد أن فكرة التدريس المعكوس في الصفوف السابقة ستكون مجردة جدًا بحيث يتعذر على العديد من الطلاب فهمها ، ناهيك عن التعامل معها ولكن يمكنني أن أكون وحدي. لم أحاول أبدًا & # 8217s ، لذا من الصعب إجراء هذه المكالمة. عجلات بلدي تدور & # 8230.شكرا.

    حاول استخدام منهج Engage NY أو أجزاء منه إذا كانت منطقتك تسمح لك باستخدام موارد أخرى أو استكمال منهجك. يقومون بعمل جيد في تقديم المفاهيم الأساسية للكسور. ومع ذلك ، سوف تحتاج إلى تعليم الفهم النظري لتقسيم الكسور.

    لا يمكنني الانتظار & # 8217t لمشاركة هذا مع أساتذتي. تعجبني بشكل خاص فكرة الضرب في الرقم الذي يجعل المقام في واحد (معكوس المقام).

    في الثلاثاء ، 2 آب (أغسطس) 2016 الساعة 2:00 ظهرًا ، كتب "سؤال عن ما وراء المعرفة":

    & gt gfletchy نشر: & # 8220 كمعلمين ابتدائيين ، نادرًا ما تتاح لنا الفرصة & gt لاستكشاف قسمة الكسر على الكسر. عندما نفعل ذلك ، فإنه & # 8217s عادةً & gt مصحوبًا بـ Keep-Change-Flip أو القول & # 8220Your ليس السبب & gt لماذا ، فقط اقلب واضرب. & # 8221 كلاهما مفهوم & # 8221 & GT

    أحب أن أسمع كيف تسير الأمور سوزان. يرجى مشاركة كل ما تستطيع بعد أن تأخذه لتجربة القيادة.

    سأبدأ بالعديد من الأمثلة على الأعداد الصحيحة مقسومة على (مهما كانت الكلمة تعني) الكسور مع 1 في البسط.

    بالضبط التعليق الذي كنت سأغادره. من المنطقي جدًا أن 3 / 1/2 تساوي 6 أو 2 / 1/4 تساوي 8. يمكنك رؤيتها!

    عندما يفهم علماء الرياضيات هذا ، فإنهم يستخدمون الفكرة العكسية كثيرًا. 2 / 1/4 يسأل كم مرة 1/4 تساوي 2؟ أيا كان 4 أضعاف 2.

    تركبكس / بينغباك

      - [& # 8230] سأوجهك إلى مدونة جراهام فليتشر ، GFletchy. في وقت سابق من هذا العام كتب عن طريقته التي كانت I & hellip - [& # 8230] هي الحصول على خطة درس تفصيلية خالية من العيوب ، لذلك وجدت وعملت من خلال Graham Fletcher & # 8217s Making Sense of & hellip

    إرسال تعليق إلغاء الرد

    يستخدم هذا الموقع Akismet لتقليل البريد العشوائي. تعرف على كيفية معالجة بيانات تعليقك.


    • منزل، بيت
    • ترتيب العمليات (1-4)
    • خصائص الأعداد (1-5)
    • ترجمة الكلمات إلى رياضيات (1-7)
    • تبسيط المقادير الجبرية (1-8)
    • المعادلات وحلولها (1-9)
    • حل المعادلات بالجمع أو الطرح (1-10)
    • حل المعادلات بالضرب والقسمة (1-1.
    • الأعداد الصحيحة (2-1)
    • جمع الأعداد الصحيحة (2-2)
    • طرح الأعداد الصحيحة (2-3)
    • ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة (2-4)
    • حل المعادلات التي تحتوي على عدد صحيح (2-5)
    • الكسور والأعداد العشرية المتكافئة (2-10)
    • مقارنة الأعداد النسبية وترتيبها (2-11)
    • جمع وطرح الكسور العشرية (3-2)
    • ضرب الكسور العشرية (3-3)
    • قسمة الكسور العشرية (3-4)
    • حل المعادلات التي تحتوي على الكسور العشرية (3-5)
    • جمع وطرح الكسور (3-7)
    • جمع وطرح الأعداد الكسرية (3-8)
    • ضرب الكسور والأعداد الكسرية (3-9)
    • قسمة الكسور والأعداد الكسرية (3-10)
    • حل المعادلات التي تحتوي على كسور (3-11)
    • معدلات (4-2)
    • معدلات (4-2) مقاطع فيديو
    • تحديد النسب وكتابتها (4-3)
    • حل النسب (4-4)
    • ارقام ونسب متشابهة (4-8)
    • استخدام الأشكال المتشابهة (4-9)
    • رسومات المقاييس ونماذج المقاييس (4-10)
    • الانحدار ومعدلات التغيير (5-6)
    • الاختلاف المباشر (5-8)
    • التقدير بالنسب المئوية (6-3)
    • النسبة المئوية من رقم (6-4)
    • حل المشكلات المئوية (6-5)
    • نسبة التغيير (6-6)
    • الفائدة البسيطة (6-7)
    • المتوسط ​​، والوسيط ، والنمط ، والمدى ، والنافذة (7-2)
    • الرسوم البيانية الشريطية والرسوم البيانية (7-3)
    • قطع الصندوق والشعر (7-5)
    • السكان والعينات (7-8)
    • تصنيف الزوايا (8-2)
    • تصنيف المثلثات (8-6)
    • تصنيف الأشكال الرباعية (8-7)
    • الزوايا في المضلعات (8-8)
    • الأرقام المتطابقة (8-9)
    • المحيط والمحيط (9-2)
    • مساحة متوازي الأضلاع (9-3)
    • مساحة المثلثات وشبه المنحرف (9-4)
    • مساحة الدوائر (9-5)
    • مساحة الأشكال غير المنتظمة (9-6)
    • المربعات والجذور التربيعية (9-7)
    • حجم المنشورات والأسطوانات (10-2)
    • مساحة سطح المنشورات والأسطوانات (10-4)
    • الاحتمال (11-1)
    • الاحتمال التجريبي (11-2)
    • مساحات العينة (11-3)
    • الاحتمال النظري (11-4)
    • التنبؤ (11-5)
    • احتمالية الأحداث المستقلة والمعتمدة (1.
    • المجموعات (11-7)
    • التباديل (11-8)
    • حل المعادلات ذات الخطوتين (12-1)
    • حل المعادلات متعددة الخطوات (12-2)
    • حل المتباينات بالجمع أو الطرح (12-.
    • حل المتباينات عن طريق الضرب أو القسمة (1.
    • حل المتباينات متعددة الخطوات (12-7)

    السكان والعينات (7-8)

    السكان - المعلومات التي يتم جمعها حول مجموعة معينة ، تسمى المجموعة السكان.

    عينة - دراسة جزء من السكان.

    عينة عشوائية - أفراد من المجتمع يتم اختيارهم للدراسة بدون سبب معين.

    عينة ملائمة - أفراد من السكان متوفرون بسهولة ويسهل الوصول إليهم.


    • منزل، بيت
    • ترتيب العمليات (1-4)
    • خصائص الأعداد (1-5)
    • ترجمة الكلمات إلى رياضيات (1-7)
    • تبسيط المقادير الجبرية (1-8)
    • المعادلات وحلولها (1-9)
    • حل المعادلات بالجمع أو الطرح (1-10)
    • حل المعادلات بالضرب والقسمة (1-1.
    • الأعداد الصحيحة (2-1)
    • جمع الأعداد الصحيحة (2-2)
    • طرح الأعداد الصحيحة (2-3)
    • ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة (2-4)
    • حل المعادلات التي تحتوي على عدد صحيح (2-5)
    • الكسور والأعداد العشرية المتكافئة (2-10)
    • مقارنة الأعداد النسبية وترتيبها (2-11)
    • جمع وطرح الكسور العشرية (3-2)
    • ضرب الكسور العشرية (3-3)
    • قسمة الكسور العشرية (3-4)
    • حل المعادلات التي تحتوي على الكسور العشرية (3-5)
    • جمع وطرح الكسور (3-7)
    • جمع وطرح الأعداد الكسرية (3-8)
    • ضرب الكسور والأعداد الكسرية (3-9)
    • قسمة الكسور والأعداد الكسرية (3-10)
    • حل المعادلات التي تحتوي على كسور (3-11)
    • معدلات (4-2)
    • معدلات (4-2) مقاطع فيديو
    • تحديد النسب وكتابتها (4-3)
    • حل النسب (4-4)
    • ارقام ونسب متشابهة (4-8)
    • استخدام الأشكال المتشابهة (4-9)
    • رسومات المقاييس ونماذج المقاييس (4-10)
    • الانحدار ومعدلات التغيير (5-6)
    • الاختلاف المباشر (5-8)
    • التقدير بالنسب المئوية (6-3)
    • النسبة المئوية من رقم (6-4)
    • حل المشكلات المئوية (6-5)
    • نسبة التغيير (6-6)
    • الفائدة البسيطة (6-7)
    • المتوسط ​​، والوسيط ، والنمط ، والمدى ، والنافذة (7-2)
    • الرسوم البيانية الشريطية والرسوم البيانية (7-3)
    • قطع الصندوق والشعر (7-5)
    • السكان والعينات (7-8)
    • تصنيف الزوايا (8-2)
    • تصنيف المثلثات (8-6)
    • تصنيف الأشكال الرباعية (8-7)
    • الزوايا في المضلعات (8-8)
    • الأرقام المتطابقة (8-9)
    • Perimeter and Circumference (9-2)
    • Area of Parallelograms (9-3)
    • Area of Triangles and Trapezoids (9-4)
    • Area of Circles (9-5)
    • Area of Irregular Figures (9-6)
    • Squares and Square Roots (9-7)
    • Volume of Prisms and Cylinders (10-2)
    • Surface Area of Prisms and Cylinders (10-4)
    • Probability (11-1)
    • Experimental Probability (11-2)
    • Sample Spaces (11-3)
    • Theoretical Probability (11-4)
    • Making Predictions (11-5)
    • Probability of Independent and Dependent Events (1.
    • Combinations (11-7)
    • Permutations (11-8)
    • Solving Two-Step Equations (12-1)
    • Solving Multi-Step Equations (12-2)
    • Solving Inequalities by Adding or Subtracting (12-.
    • Solving Inequalities by Multiplying or Dividing (1.
    • Solving Multi-Step Inequalities (12-7)

    Solving Multi-Step Equations (12-2)

    Solving Multi-Step Equations

    Like Terms - terms taht have the same value and the same corresponding exponents.


    One-tenth

    Integers Are Suited To Describing Whole Numbers, But We Need To Talk About Fractions Of Things.

    Also, the integers are still arithmetically incomplete — while we can always add, subtract, or multiply two integers and get another integer, we cannot always get an integer by dividing two integers. 8 ÷ 5 makes no sense if all we have are whole numbers.

    To deal with this, we add 1/10, or 0.1, to our number line. With 0.1, and the powers of 0.1 — 0.01, 0.001, 0.0001, and so on, we can now represent fractions and decimals. 8 ÷5 is now just 1.6. Dividing any two integers (except for dividing by zero) gets us a decimal number that either terminates, like 1.6, or has a repeating digit, or pattern of digits: 1 ÷ 3 = 0.3333. with the 3's going out to infinity. These types of decimals are the rational numbers, since we can form them by taking fractions, or ratios, of two integers. The rational numbers are arithmetically closed - I can take any two rationals and add, subtract, multiply, or divide them, and get back another rational number.

    The rational numbers allow us to represent quantities between integers, or fractional quantities. If three friends and I are sharing a cake and splitting it up evenly, we each get 1/4, or 0.25, or 25% of the cake. The rationals help us start filling in the spaces between the integers on the number line.


    Mathematics Part I Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 - Real Numbers

    Mathematics Part I Solutions Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 Real Numbers are provided here with simple step-by-step explanations. These solutions for Real Numbers are extremely popular among Class 9 students for Maths Real Numbers Solutions come handy for quickly completing your homework and preparing for exams. All questions and answers from the Mathematics Part I Solutions Book of Class 9 Maths Chapter 2 are provided here for you for free. You will also love the ad-free experience on Meritnation’s Mathematics Part I Solutions Solutions. All Mathematics Part I Solutions Solutions for class Class 9 Maths are prepared by experts and are 100% accurate.

    Page No 21:

    Question 1:

    Classify the decimal form of the given rational numbers into terminating and non-terminating recurring type.

    i   13 5 ii   2 11 iii   29 16 iv   17 125     v   11 6

    إجابه:

    ⇒ The denominator is in the form of 2 m × 5 n , where م و ن are non-negative integers.

    So, the decimal form of 13 5 will be terminating type.

    ⇒ The denominator is not in the form of 2 m × 5 n , where م و ن are non-negative integers.

    So, the decimal form of 2 11 will be non-terminating recurring type.

    ⇒ The denominator is in the form of 2 m × 5 n , where م و ن are non-negative integers.

    So, the decimal form of 29 16 will be terminating type.

    ⇒ The denominator is in the form of 2 m × 5 n , where م و ن are non-negative integers.

    So, the decimal form of 17 125 will be terminating type.

    ⇒ The denominator is not in the form of 2 m × 5 n , where م و ن are non-negative integers.

    So, the decimal form of 11 6 will be non-terminating recurring type.

    Page No 21:

    Question 2:

    Write the following rational numbers in decimal form.

    i   127 200     ii   25 99   iii   23 7   iv   4 5   v   17 8

    إجابه:

    i   127 200 = 127 200 × 5 5 = 635 1000 = 0 . 635

    ii   25 99 = 4 4 × 25 99 = 1 4 × 100 99 = 1 4 × 1 . 010101 . . . = 0 . 2525 . . . = 0 . 25 ¯ ​

    iii   23 7 = 3 . 2857142857 . . . = 3 . 285714 ¯ ​

    v   17 8 = 17 8 × 125 125 = 2125 1000 = 2 . 125 ​

    Page No 21:

    Question 3:

    Write the following rational numbers in p q form

    إجابه:

    i   Let   x = 0 . 6 °               . . . 1 x = 0 . 666 . . . Multiplying   both   sides   by   10 ,   we   get 10 x = 6 . 666 . . .                     . . . 2 Subtracting   1   from   2 ,   we   get 9 x = 6 ∴   x = 6 9 So ,   0 . 6 ° = 2 3

    ii   Let   x = 0 . 37 ¯               . . . 1 Multiplying   both   sides   by   100 ,   we   get 100 x = 37 . 37 ¯                     . . . 2 Subtracting   1   from   2 ,   we   get 99 x = 37 ∴   x = 37 99 So ,   0 . 37 ¯ = 37 99 ​

    iii   Let   x = 3 . 17 ¯               . . . 1 Multiplying   both   sides   by   100 ,   we   get 100 x = 317 . 17 ¯                     . . . 2 Subtracting   1   from   2 ,   we   get 99 x = 314 ∴   x = 314 99 So ,   3 . 17 ¯ = 314 99 ​

    iv   Let   x = 15 . 89 ¯               . . . 1 Multiplying   both   sides   by   100 ,   we   get 100 x = 1589 . 89 ¯                     . . . 2 Subtracting   1   from   2 ,   we   get 99 x = 1574 ∴   x = 1574 99 So ,   3 . 17 ¯ = 1574 99 ​

    v   Let   x = 2 . 514 ¯                     . . . 1 Multiplying   both   sides   by   1000 ,   we   get 1000 x = 2514 . 514 ¯                     . . . 2 Subtracting   1   from   2 ,   we   get 999 x = 2512 ∴   x = 2512 999 So ,   2 . 514 ¯ = 2512 999 ​

    Page No 25:

    Question 1:

    Show that 4 2 is an irrational number.

    إجابه:

    Let us assume that 4 2 is a rational number.

    ⇒ 4 2 = p q , where ص و q are the integers and q ≠ 0.

    Since, ص, q and 4 are integers. So, p 4 q is a rational number.

    ⇒ 2 is also a rational number.

    but this contradicts the fact that 2 is an irrational number.

    This contradiction has arisen due to the wrong assumption that 4 2 is a rational number.

    Hence, 4 2 is an irrational number.

    Page No 25:

    Question 2:

    Prove that 3 + 5 is an irrational number.

    إجابه:

    Let us assume that 3 + 5 is a rational number.

    ⇒ 3 + 5 = p q , where ص و q are the integers and q ≠ 0.

    Since, ص, q and 3 are integers. So, p - 3 q q is a rational number.

    ⇒ 5 is also a rational number.

    but this contradicts the fact that 5 is an irrational number.

    This contradiction has arisen due to the wrong assumption that 3 + 5 is a rational number.

    Hence, 3 + 5 ​ is an irrational number.

    Page No 25:

    Question 3:

    Represent the numbers 5 and 10 on a number line .

    إجابه:

    (i) Steps of construction for 5 :

    Step 1: Draw a number line. Mark O as the zero on the number line.

    Step 2: At point A, draw AB ⊥ OA such that AB = 1 unit.

    Step 3: With point O as the centre and radius OB, draw an arc intersecting the number line at point P.

    Thus, P is the point for 5 on the number line.

    (ii) Steps of construction for 10 :

    Step 1: Draw a number line. Mark O as the zero on the number line.

    Step 2: At point A, draw AB ⊥ OA such that AB = 1 unit.

    Step 3: With point O as the centre and radius OB, draw an arc intersecting the number line at point C.


    شاهد الفيديو: السابع - رياضيات - حل تمارين ضرب و قسمة الأعداد الصحيحة (كانون الثاني 2022).