مقالات

تمارين: حساب التفاضل والتكامل (OpenStax) - الرياضيات


هذه هي تمارين الواجبات المنزلية لمرافقة "حساب التفاضل والتكامل" Textmap لـ OpenStax.

الصورة المصغرة: اللولب اللوغاريتمي لقشرة نوتيلوس هو صورة كلاسيكية تُستخدم لتصوير النمو والتغيير المرتبطين بحساب التفاضل والتكامل. (رخصة جنو للوثائق الحرة ، الإصدار 1.3 و CC- SA-BY 3.0 ؛ ويكيبيديا).


تمارين: حساب التفاضل والتكامل (OpenStax) - الرياضيات

افتح أمثلة الكتاب المدرسي

وافق المعهد الأمريكي للرياضيات على كتب OER المدرسية
النصوص الكاملة: http://aimath.org/textbooks/approved-textbooks/

إحصائيات مقدمة مع التوزيع العشوائي والمحاكاة
النص الكامل: https://www.openintro.org/stat/textbook.php

موارد الموارد التعليمية المفتوحة الأخرى

منصة التعلم الرقمي OER - استخدم هذا كنظام إدارة التعلم
https://www.myopenmath.com/index.php و
https://www.myopenmath.com/info/classroom.php

كلية المجتمع سكوتسديل - مدونة الرياضيات
https://sccmath.wordpress.com/oer/

تعرف على تراخيص المشاع الإبداعي (CC)
https://creativecommons.org/licenses/

كلية سان برناردينو فالي
701 جنوب شارع ماونت فيرنون.
سان برناردينو ، كاليفورنيا 92410
909-384-4400

إحدى جامعات منطقة كلية مجتمع سان برناردينو
حقوق النشر والنسخ 2021 كلية سان برناردينو فالي.


تغييرات التواريخ وتحديثات السياسة لدورة AMC 2021 - 2022

شكرًا لك على المشاركة في دورة 2020 و ndash 2021 MAA AMC. خالص امتناننا لكم لمشاركتكم في مثل هذه السنة الصعبة. تتطلع MAA AMC إلى استضافتك لدورة 2021 و 2022. بناءً على تعليقاتك على مر السنين ، إليك بعض التغييرات الجديدة والمثيرة التي نتطلع إليها في دورة المنافسة التالية:

تغيير مواعيد المسابقة

ستتم إدارة AMC 10/12 في نوفمبر وستتم إدارة AMC 8 في يناير. فيما يلي قائمة بمواعيد المسابقة القادمة:

AMC 10/12 A تاريخ المسابقة: 10 نوفمبر 2021 من 8:00 صباحًا بالتوقيت الشرقي إلى 11:59 مساءً بالتوقيت الشرقي

AMC 10/12 B تاريخ المسابقة: 16 نوفمبر 2021 من 8:00 صباحًا بالتوقيت الشرقي إلى 11:59 مساءً بالتوقيت الشرقي

تاريخ مسابقة AMC 8: 18 يناير 2022 الساعة 8:00 صباحًا بالتوقيت الشرقي حتى 24 يناير 2022 الساعة 11:59 مساءً بالتوقيت الشرقي

تحديثات السياسة

يرجى مراجعة التحديثات التالية للدورة القادمة:

مسابقات شخصية: نحن نعود إلى قواعدنا القياسية (ما قبل كوفيد). يجب على جميع الطلاب أخذ المسابقة شخصيًا في مدرستهم أو مؤسستهم. يتم تقديم المسابقات الشخصية في التنسيقات المطبوعة وعبر الإنترنت. سيتلقى مديرو المسابقة المسجلين في إدارة AMC Online رسائل بريد إلكتروني لدعوات البوابة في أواخر أغسطس.

المراقبة: يسمح فقط بمراقبة مديري المنافسة. سيتم مراقبة الطلاب من قبل مدير المنافسة شخصيًا.

مساكن الطلاب (تنسيق عبر الإنترنت فقط): يجب على مديري المنافسة اتخاذ الترتيبات مع مكتب AMC للطلاب الذين يحتاجون إلى تجهيزات خاصة في الاختبار عبر الإنترنت.


استكشف الموضوعات التي يتم تناولها في هذه الدورة التدريبية مع MIT Crosslinks ، وهو موقع ويب يسلط الضوء على الروابط بين دورات STEM للطلاب الجامعيين في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ويوصي بمواد دراسية محددة من OCW وغيرها. يتعلم أكثر.

دينيس أورو. 18.02 حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات. خريف 2007. معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا: MIT OpenCourseWare ، https://ocw.mit.edu. الترخيص: المشاع الإبداعي BY-NC-SA.

لمزيد من المعلومات حول استخدام هذه المواد وترخيص المشاع الإبداعي ، راجع شروط الاستخدام الخاصة بنا.

حول MIT OpenCourseWare

MIT OpenCourseWare هو منشور عبر الإنترنت لمواد من أكثر من 2500 دورة تدريبية في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، وتبادل المعرفة بحرية مع المتعلمين والمعلمين حول العالم. اعرف المزيد & raquo

& نسخ 2001 & ndash2018
معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا

يخضع استخدامك لموقع MIT OpenCourseWare والمواد الخاصة به إلى ترخيص المشاع الإبداعي الخاص بنا وشروط الاستخدام الأخرى.


تمارين: حساب التفاضل والتكامل (OpenStax) - الرياضيات

في هذا القسم سنلقي نظرة على مشاكل التحسين. في مشاكل التحسين ، نبحث عن أكبر قيمة أو أصغر قيمة يمكن أن تأخذها الوظيفة. لقد رأينا كيفية حل نوع واحد من مشاكل التحسين في قسم Absolute Extrema حيث وجدنا أكبر وأصغر قيمة يمكن أن تأخذها الدالة في فترة.

في هذا القسم سنلقي نظرة على نوع آخر من مشاكل التحسين. سنبحث هنا عن أكبر أو أصغر قيمة لدالة تخضع لنوع من القيود. سيكون القيد شرطًا ما (يمكن وصفه عادةً بواسطة معادلة ما) يجب أن يكون صحيحًا بشكل إيجابي بغض النظر عن حلنا. في بعض الأحيان ، لن يتم وصف القيد بسهولة بواسطة المعادلة ، ولكن في هذه المشاكل سيكون من السهل التعامل معها كما سنرى.

يعد هذا القسم عمومًا من أكثر الأقسام صعوبة بالنسبة للطلاب الذين يأخذون دورة في حساب التفاضل والتكامل. أحد الأسباب الرئيسية لذلك هو أن التغيير الدقيق في الصياغة يمكن أن يغير المشكلة تمامًا. هناك أيضًا مشكلة تحديد الكمية التي سنعمل على تحسينها والكمية التي تمثل القيد وتدوين المعادلات لكل منهما.

يجب أن تكون الخطوة الأولى في كل هذه المشاكل هي قراءة المشكلة بعناية فائقة. بمجرد الانتهاء من ذلك ، فإن الخطوة التالية هي تحديد الكمية المطلوب تحسينها والقيود.

في تحديد القيد تذكر أن القيد هو الكمية التي يجب أن تكون صحيحة بغض النظر عن الحل. في كل مشكلة تقريبًا من المشكلات التي سننظر فيها هنا ، سيتم الإشارة بوضوح إلى كمية واحدة على أنها ذات قيمة ثابتة ، وبالتالي يجب أن تكون القيد. بمجرد تحديد الكمية المراد تحسينها ، يجب أن يكون الحصول عليها أمرًا بسيطًا إلى حد ما. ومع ذلك ، فمن السهل الخلط بين الاثنين إذا قمت بتخطي المشكلة للتو ، لذا تأكد من قراءة المشكلة بعناية أولاً!

لنبدأ القسم بمشكلة بسيطة لتوضيح أنواع المشكلات التي سنتعامل معها هنا.

في كل هذه المشاكل سيكون لدينا وظيفتان. الأول هو الوظيفة التي نحاول بالفعل تحسينها والثاني سيكون القيد. غالبًا ما يساعدنا رسم الموقف في الوصول إلى هذه المعادلات ، لذلك دعونا نفعل ذلك.

في هذه المشكلة نريد تعظيم مساحة الحقل ونعلم أنه سيستخدم 500 قدم من مواد السياج. لذا ، ستكون المنطقة هي الوظيفة التي نحاول تحسينها ومقدار السياج هو القيد. المعادلتان لهما ،

حسنًا ، نحن نعرف كيفية إيجاد أكبر أو أصغر قيمة للدالة بشرط أن تحتوي على متغير واحد فقط. تحتوي دالة المنطقة (بالإضافة إلى القيد) على متغيرين بداخلها ، وبالتالي فإن ما نعرفه عن إيجاد القيمة القصوى المطلقة لن يعمل. ومع ذلك ، إذا حللنا القيد لأحد المتغيرين ، فيمكننا تعويض ذلك في المنطقة ، وبعد ذلك سيكون لدينا دالة لمتغير واحد.

لذا ، دعونا نحل القيد لـ (x ). لاحظ أنه كان بإمكاننا حل مشكلة (y ) بنفس السهولة ، لكن هذا كان سيؤدي إلى كسور ، وبالتالي ، في هذه الحالة ، سيكون الحل لـ (x ) هو الأفضل على الأرجح.

استبدال هذا في وظيفة المنطقة يعطي دالة (y ).

[A left (y right) = left (<500-2y> right) y = 500y - 2]

الآن نريد إيجاد أكبر قيمة سيكون لها هذا في الفاصل ( left [<0،250> right] ). تتوافق الحدود في هذا الفاصل الزمني مع أخذ (ص = 0 ) (بمعنى آخر. لا توجد جوانب على السياج) و (ص = 250 ) (بمعنى آخر. جانبان فقط وبدون عرض ، أيضًا إذا كان هناك جانبان ، يجب أن يكون كل جانب 250 قدمًا لاستخدام 500 قدم بالكامل)

لاحظ أن نقطتي نهاية الفاصل الزمني لن يكون لها أي معنى من وجهة نظر مادية إذا أردنا بالفعل إحاطة بعض المناطق لأن كلاهما سيعطي مساحة صفرية. ومع ذلك ، فإنها تعطينا مجموعة من الحدود على (y ) وهكذا تخبرنا نظرية القيمة القصوى أنه سيكون لدينا قيمة قصوى للمنطقة في مكان ما بين نقطتي النهاية. وجود هذه الحدود يعني أيضًا أنه يمكننا استخدام العملية التي ناقشناها في قسم البحث عن أقصى حد سابقًا في الفصل للعثور على القيمة القصوى للمنطقة.

لذا ، تذكر أن القيمة القصوى للدالة المستمرة (التي حصلنا عليها هنا) في فترة زمنية مغلقة (والتي لدينا هنا أيضًا) ستحدث عند النقاط الحرجة و / أو نقاط النهاية. كما أشرنا من قبل ، فإن النقاط النهائية في هذه الحالة ستعطي منطقة صفرية وبالتالي لا معنى لها. هذا يعني أن خيارنا الوحيد سيكون النقاط الحرجة.

لذا ، دعنا نحصل على المشتق ونوجد النقاط الحرجة.

جعل هذا يساوي الصفر والحل يعطي نقطة حرجة وحيدة من (y = 125 ). توصيل هذا في المنطقة يعطي مساحة (A left (<125> right) = 31250 ، < mbox> << mbox> ^ 2> ). لذلك وفقًا للطريقة المأخوذة من قسم Absolute Extrema ، يجب أن تكون هذه أكبر مساحة ممكنة ، لأن المنطقة في أي من نقطتي النهاية تساوي صفرًا.

أخيرًا ، دعونا لا ننسى أن نحصل على قيمة (x ) ثم سنحصل على الأبعاد لأن هذا هو ما طلب بيان المشكلة. يمكننا الحصول على (x ) عن طريق إدخال (y ) في القيد.

أبعاد الحقل الذي سيعطي أكبر مساحة ، مع مراعاة حقيقة أننا استخدمنا بالضبط 500 قدم من مادة السياج ، هي 250 × 125.

لا تنس قراءة المشكلة فعليًا وإعطاء الإجابة التي تم طلبها. يمكن أن تستغرق هذه الأنواع من المشكلات قدرًا لا بأس به من الوقت / الجهد لحلها وليس من الصعب أحيانًا نسيان ما كانت تطلبه المشكلة بالفعل.

في المشكلة السابقة ، استخدمنا الطريقة من قسم Finding Absolute Extrema للعثور على الحد الأقصى لقيمة الوظيفة التي أردنا تحسينها. ومع ذلك ، كما سنرى في الأمثلة اللاحقة ، لن يكون من السهل دائمًا العثور على نقاط النهاية. أيضًا ، حتى لو تمكنا من العثور على نقاط النهاية ، فسنرى أن التعامل مع نقاط النهاية في بعض الأحيان قد لا يكون سهلاً أيضًا. ليس هذا فقط ، ولكن هذه الطريقة تتطلب أن تكون الوظيفة التي نعمل على تحسينها مستمرة على الفاصل الزمني الذي نبحث عنه ، بما في ذلك نقاط النهاية ، وقد لا يكون هذا هو الحال دائمًا.

لذا ، قبل متابعة أي أمثلة أخرى ، دعنا نقضي بعض الوقت في مناقشة بعض الطرق لتحديد ما إذا كان حلنا هو في الواقع الحد الأدنى / الحد الأقصى للقيمة التي نبحث عنها. في بعض الأمثلة ، ستعمل كل هذه الأشياء بينما في حالات أخرى لن يكون واحدًا أو أكثر مفيدًا. ومع ذلك ، سنحتاج دائمًا إلى استخدام طريقة ما للتأكد من أن إجابتنا هي في الواقع تلك القيمة المثلى التي نسعى وراءها.

طريقة 1 : استخدم الطريقة المستخدمة في البحث عن المطلق المتطرف.

هذه هي الطريقة المستخدمة في المثال الأول أعلاه. تذكر أنه من أجل استخدام هذه الطريقة ، يجب أن يكون للفاصل الزمني للقيم المحتملة للمتغير المستقل في الوظيفة التي نقوم بتحسينها ، دعنا نسميها (I ) ، يجب أن يكون لها نقاط نهاية محدودة. أيضًا ، يجب أن تكون الوظيفة التي نعمل على تحسينها (بمجرد وصولها إلى متغير واحد) متصلة على (I ) ، بما في ذلك نقاط النهاية. إذا تم استيفاء هذه الشروط ، فإننا نعلم أن القيمة المثلى ، سواء كانت الحد الأقصى أو الحد الأدنى اعتمادًا على المشكلة ، ستحدث إما في نقاط نهاية النطاق أو في نقطة حرجة تقع داخل نطاق الحلول الممكنة.

هناك مشكلتان رئيسيتان تمنعان غالبًا استخدام هذه الطريقة. أولاً ، لن يكون لكل مشكلة في الواقع مجموعة من الحلول الممكنة التي لها نقاط نهاية محدودة في كلا الطرفين. سنرى مثالًا واحدًا على الأقل لهذا أثناء عملنا من خلال الأمثلة المتبقية. كما أن العديد من الوظائف التي سنعمل على تحسينها لن تكون مستمرة بمجرد تقليلها إلى متغير واحد وهذا سيمنعنا من استخدام هذه الطريقة.

الطريقة الثانية : استخدم متغيرًا من اختبار المشتق الأول.

في هذه الطريقة ، سنحتاج أيضًا إلى فاصل زمني للقيم المحتملة للمتغير المستقل في الوظيفة التي نقوم بتحسينها ، (I ). ومع ذلك ، في هذه الحالة ، على عكس الطريقة السابقة ، لا يلزم أن تكون نقاط النهاية محدودة. أيضًا ، سنحتاج إلى أن تكون الوظيفة متصلة في الجزء الداخلي من الفترة (I ) وسنحتاج فقط إلى أن تكون الوظيفة متصلة عند نقاط النهاية إذا كانت نقطة النهاية محدودة والوظيفة موجودة بالفعل عند نقطة النهاية . سنرى العديد من المشكلات حيث لا تكون الوظيفة التي نقوم بتحسينها موجودة بالفعل في إحدى نقاط النهاية. هذا لن يمنع استخدام هذه الطريقة.

لنفترض أن (x = c ) نقطة مهمة في الوظيفة التي نحاول تحسينها ، (f left (x right) ). نعلم بالفعل من الاختبار المشتق الأول أنه إذا (f ' left (x right) & gt 0 ) مباشرة على يسار (x = c ) (بمعنى آخر. تتزايد الوظيفة على الفور إلى اليسار) وإذا (f ' left (x right) & lt 0 ) على الفور إلى يمين (x = c ) (بمعنى آخر. تتناقص الوظيفة على الفور إلى اليمين) ثم (x = c ) سيكون الحد الأقصى النسبي لـ (f left (x right) ).

الآن ، هذا لا يعني أن الحد الأقصى المطلق (f left (x right) ) سيحدث عند (x = c ). ومع ذلك ، افترض أننا عرفنا القليل من المعلومات. افترض أننا في الواقع عرفنا أن (f ' left (x right) & gt 0 ) لجميع (x ) في (I ) مثل (x & lt c ). بالمثل ، افترض أننا عرفنا أن (f ' left (x right) & lt 0 ) لجميع (x ) في (I ) مثل (x & gt c ). في هذه الحالة ، نعلم أنه على يسار (x = c ) ، بشرط أن نبقى في (I ) بالطبع ، تتزايد الوظيفة دائمًا وعلى يمين (x = c ) ، مرة أخرى في (أنا ) ، نحن نتناقص دائمًا. في هذه الحالة يمكننا القول أن الحد الأقصى المطلق لـ (f left (x right) ) في (I ) سيحدث عند (x = c ).

وبالمثل ، إذا علمنا أنه على يسار (x = c ) تتناقص الوظيفة دائمًا وعلى يمين (x = c ) تتزايد الدالة دائمًا ، فإن الحد الأدنى المطلق لـ (f left ( x right) ) in (I ) سيحدث في (x = c ).

قبل أن نقدم ملخصًا لهذه الطريقة ، دعنا نناقش متطلبات الاستمرارية قليلاً. لم يظهر في أي مكان في المناقشة أعلاه دور الاستمرارية على ما يبدو. نطلب أن تكون الوظيفة التي نعمل على تحسينها مستمرة في (I ) لمنع الموقف التالي.

في هذه الحالة ، من الواضح أن الحد الأقصى النسبي للوظيفة يحدث عند (x = c ). أيضًا ، تتناقص الوظيفة دائمًا إلى اليمين وتتزايد دائمًا إلى اليسار. ومع ذلك ، بسبب الانقطاع عند (x = d ) ، يمكننا أن نرى بوضوح أن (f left (d right) & gt f left (c right) ) وبالتالي فإن الحد الأقصى المطلق للدالة يفعل لا تحدث في (س = ج ). لو لم يكن الانقطاع عند (س = د ) موجودًا ، لما حدث هذا ولان الحد الأقصى المطلق سيحدث عند (س = ج ).

هنا ملخص لهذه الطريقة.

أول اختبار مشتق لـ Absolute Extrema

لنكن (I ) هو الفاصل الزمني لجميع القيم الممكنة لـ (x ) في (f left (x right) ) ، الوظيفة التي نريد تحسينها ، وافترض أيضًا أن (f left ( x right) ) مستمر على (I ) ، باستثناء ربما عند نقاط النهاية. افترض أخيرًا أن (x = c ) نقطة حرجة في (f left (x right) ) وأن (c ) يقع في الفاصل (I ). إذا قصرنا (x ) على قيم من (I ) (بمعنى آخر. نحن نعتبر فقط القيم المثلى الممكنة للوظيفة) ثم ،

    إذا (f ' left (x right) & gt 0 ) للجميع (x & lt c ) وإذا (f' left (x right) & lt 0 ) للجميع (x & gt c ) ) ثم (f left (c right) ) ستكون القيمة القصوى المطلقة (f left (x right) ) على الفاصل (I ).

الطريقة الثالثة : استخدم المشتق الثاني.

هناك طريقتان في الواقع لاستخدام المشتق الثاني لمساعدتنا في تحديد القيمة المثلى للدالة وكلاهما يستخدم اختبار المشتق الثاني بشكل أو بآخر.

لا تساعدنا الطريقة الأولى لاستخدام المشتق الثاني في تحديد القيمة المثلى. ما يفعله هو السماح لنا باستبعاد القيم المحتملة ومعرفة أن هذا يمكن أن يبسط عملنا إلى حد ما وبالتالي ليس بالأمر السيئ القيام به.

لنفترض أننا نبحث عن الحد الأقصى المطلق للدالة وبعد إيجاد النقاط الحرجة وجدنا أن لدينا عدة نقاط حرجة. لنفترض أيضًا أننا نجريها جميعًا من خلال اختبار المشتق الثاني ونقرر أن بعضها يمثل في الواقع حدًا أدنى نسبيًا للوظيفة. نظرًا لأننا نتبع الحد الأقصى المطلق ، فإننا نعلم أن الحد الأقصى (من أي نوع) لا يمكن أن يحدث عند الحد الأدنى النسبي ، ولذا فإننا نعلم على الفور أنه يمكننا استبعاد هذه النقاط من مزيد من الدراسة. يمكننا إجراء فحص مماثل إذا كنا نبحث عن الحد الأدنى المطلق. قد لا يبدو القيام بهذا الشيء الرائع الذي يجب القيام به ، ولكنه قد يؤدي ، في بعض الأحيان ، إلى تقليل حجم العمل الذي يتعين علينا القيام به في خطوات لاحقة.

الطريقة الثانية لاستخدام المشتق الثاني لتحديد القيمة المثلى للدالة هي في الواقع مشابهة جدًا للطريقة الثانية أعلاه. في الواقع ، سيكون لدينا نفس متطلبات هذه الطريقة كما فعلنا بهذه الطريقة. نحتاج إلى فاصل زمني للقيم المحتملة للمتغير المستقل في الوظيفة التي نقوم بتحسينها ، نسميها (I ) كما كان من قبل ، وقد تكون نقطة (نقاط) النهاية محدودة وقد لا تكون كذلك. سنحتاج أيضًا إلى أن تكون الوظيفة ، (f left (x right) ) متصلة في كل مكان في (I ) باستثناء ربما عند نقاط النهاية كما هو مذكور أعلاه.

الآن ، افترض أن (x = c ) نقطة حرجة وأن (f '' left (c right) & gt 0 ). يخبرنا اختبار المشتق الثاني أن (x = c ) يجب أن يكون حدًا أدنى نسبيًا للدالة. افترض مع ذلك أننا عرفنا أيضًا أن (f '' left (x right) & gt 0 ) لجميع (x ) في (I ). في هذه الحالة ، سنعرف أن الوظيفة كانت مقعرة في جميع (I ) وهذا بدوره يعني أن الحد الأدنى المطلق لـ (f left (x right) ) في (I ) في الواقع يجب أن تكون في (x = c ).

وبالمثل ، إذا كانت (x = c ) نقطة حرجة و (f '' left (x right) & lt 0 ) لجميع (x ) في (I ) ، فسنعرف أن كانت الوظيفة مقعرة لأسفل في (I ) وأن الحد الأقصى المطلق لـ (f left (x right) ) في (I ) يجب أن يكون عند (x = c ).

هنا ملخص لهذه الطريقة.

اختبار المشتق الثاني لـ Extrema المطلقة

لنفترض أن (I ) هو الفاصل الزمني لجميع القيم الممكنة لـ (x ) في (f left (x right) ) ، الوظيفة التي نريد تحسينها ، وافترض أن (f left (x) right) ) مستمر على (I ) ، باستثناء ربما عند نقاط النهاية. افترض أخيرًا أن (x = c ) نقطة حرجة في (f left (x right) ) وأن (c ) يقع في الفاصل (I ). ثم،

    إذا (f '' left (x right) & gt 0 ) للجميع (x ) في (I ) فإن (f left (c right) ) ستكون القيمة الدنيا المطلقة لـ (f left (x right) ) على الفاصل (I ).

أثناء عملنا على أمثلة في القسمين التاليين ، سنستخدم كل من هذه الطرق حسب الحاجة في الأمثلة. في بعض الحالات ، ستكون الطريقة التي نستخدمها هي الطريقة الوحيدة التي يمكننا استخدامها ، وفي حالات أخرى ستكون الطريقة الأسهل للاستخدام وفي حالات أخرى ستكون الطريقة التي اخترنا استخدامها لهذا المثال. من المهم أن ندرك أننا لن نكون قادرين على استخدام كل طريقة لكل مثال. مع بعض الأمثلة ، ستكون إحدى الطرق أسهل في الاستخدام أو قد تكون الطريقة الوحيدة التي يمكن استخدامها ، ومع ذلك ، سيتم استخدام كل طريقة من الطرق الموضحة أعلاه مرتين على الأقل من خلال جميع الأمثلة.

من المهم أيضًا أن تدرك أن بعض المشكلات لا تسمح باستخدام أي من الطرق التي تمت مناقشتها أعلاه تمامًا كما هو موضح أعلاه. قد نحتاج إلى تعديل واحد منهم أو استخدام مزيج منهم لحل المشكلة بشكل كامل. يوجد مثال في القسم التالي حيث لا تعمل أي من الطرق المذكورة أعلاه بسهولة ، على الرغم من أننا نقدم أيضًا طريقة حل بديلة يمكننا من خلالها استخدام واحدة على الأقل من الطرق التي تمت مناقشتها أعلاه.

بعد ذلك ، فإن الغالبية العظمى من الأمثلة التي تم العمل عليها على مدار القسم التالي سيكون لها نقطة حرجة واحدة فقط. غالبًا ما يصعب معرفة المشكلات التي تحتوي على أكثر من نقطة حرجة واحدة (النقاط) الحرجة التي تعطي القيمة المثلى. يوجد مثالان في القسمين التاليين مع أكثر من نقطة حرجة واحدة بما في ذلك واحدة في القسم التالي المذكور أعلاه حيث لا تعمل أي من الطرق التي تمت مناقشتها أعلاه بسهولة. في هذا المثال ، يمكنك رؤية بعض الأفكار التي قد تحتاج إلى القيام بها للعثور على القيمة المثلى.

أخيرًا ، في جميع الطرق المذكورة أعلاه ، أشرنا إلى الفاصل (I ). تم القيام بذلك لجعل المناقشة أسهل قليلاً. ومع ذلك ، في جميع الأمثلة في القسمين التاليين ، لن نقول صراحة "هذا هو الفاصل (I )". فقط تذكر أن الفاصل (I ) هو مجرد أكبر فاصل زمني للقيم الممكنة للمتغير المستقل في الوظيفة التي نقوم بتحسينها.

حسنًا ، فلنعمل على بعض الأمثلة الأخرى.

أولاً ، رقم سريع (ربما ليس بمقياس ...).

نريد تقليل تكلفة المواد الخاضعة لقيود أن يكون الحجم 50 قدمًا 3. لاحظ أيضًا أن تكلفة كل جانب هي فقط مساحة ذلك الجانب مضروبة في التكلفة المناسبة.

الوظيفتان اللتان سنعمل بهما هنا هذه المرة هما ،

كما في المثال الأول ، سنحل القيد الخاص بأحد المتغيرات ونعوض به في التكلفة. سيكون بالتأكيد من الأسهل حل قيود (h ) لذلك دعونا نفعل ذلك.

توصيل هذا في التكلفة يعطي ،

الآن ، دعنا نحصل على المشتقات الأولى والثانية (سنحتاج ذلك لاحقًا ...) ،

[C ' يسار (w يمين) = 120 واط - 800> = فارك << 120- 800>><<>> hspace <0.25in> hspace <0.25in> C '' left (w right) = 120 + 1600>]

نحتاج الآن إلى النقطة (النقاط) الحرجة لوظيفة التكلفة. أولاً ، لاحظ أن (w = 0 ) ليس نقطة حرجة. من الواضح أن المشتق غير موجود عند (w = 0 ) ولكن لا توجد الوظيفة أيضًا ، وتذكر أن قيم (w ) ستكون نقاطًا حرجة فقط إذا كانت الوظيفة موجودة أيضًا في تلك المرحلة. لاحظ أن هناك أيضًا سببًا ماديًا لتجنب (w = 0 ). نحن نبني صندوقًا ولن يكون من المنطقي أن يكون عرض الصندوق صفراً.

لذا يبدو أن النقطة الحرجة الوحيدة ستأتي من تحديد مكان البسط صفر.

لذلك ، لدينا نقطة حرجة واحدة وعلينا الآن التحقق من أن هذه هي في الواقع القيمة التي ستعطي الحد الأدنى المطلق للتكلفة.

في هذه الحالة لا يمكننا استخدام الطريقة الأولى من الأعلى. أولاً ، الوظيفة ليست متصلة عند إحدى نقاط النهاية ، (w = 0 ) ، من الفاصل الزمني للقيم الممكنة ، بمعنى آخر. (w & gt 0 ). ثانيًا ، لا يوجد حد أعلى نظريًا للعرض والذي سيعطي صندوقًا بحجم 50 قدمًا 3. إذا كان (w ) كبيرًا جدًا ، فسنحتاج فقط إلى جعل (h ) صغيرًا جدًا.

الطريقة الثانية المذكورة أعلاه ستعمل هنا ، ولكن هذا سيتضمن بعض الحسابات ، وليس الحسابات الصعبة ، ولكن مع ذلك يتطلب المزيد من العمل.

الطريقة الثالثة ستعمل هنا بسرعة وببساطة. أولاً ، نعلم أنه مهما كانت قيمة (w ) التي نحصل عليها ، يجب أن تكون موجبة ويمكننا أن نرى المشتق الثاني أعلاه المقدم (w & gt 0 ) سيكون لدينا (C '' left ( w right) & gt 0 ) وهكذا في الفاصل الزمني للقيم المثلى الممكنة ، ستكون دالة التكلفة دائمًا مقعرة ولذا يجب أن تعطي (w = 1.8821 ) الحد الأدنى المطلق للتكلفة.

كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد الأبعاد المتبقية.

أيضًا ، على الرغم من عدم طلبها ، فإن الحد الأدنى للتكلفة هو: (C left (<1.8821> right) = $ 637.60 ).

هذا المثال هو من نواح كثيرة عكس المثال السابق تمامًا. في هذه الحالة ، نريد تحسين الحجم والقيود هذه المرة هو كمية المواد المستخدمة. ليس لدينا تكلفة هنا ، ولكن إذا فكرت في الأمر ، فإن التكلفة ليست أكثر من كمية المواد المستخدمة مضروبة في التكلفة ، وبالتالي فإن مقدار المواد والتكلفة مرتبطان إلى حد كبير ببعضهما البعض. إذا كنت تستطيع أن تفعل واحدة يمكنك أن تفعل الأخرى أيضا. لاحظ أيضًا أن كمية المواد المستخدمة هي في الحقيقة مساحة سطح الصندوق فقط.

كالعادة ، لنبدأ برسم تخطيطي سريع للمربع.

الآن ، كما هو مذكور أعلاه ، نريد تعظيم الحجم وكمية المادة هي القيد ، لذا إليك المعادلات التي سنحتاجها.

سنحل قيد (h ) ونعوض به في معادلة الحجم.

فيما يلي المشتقات الأولى والثانية لوظيفة الحجم.

لاحظ أيضًا هنا أنه تم توفير (w & gt 0 ) ، والذي من وجهة نظر مادية نعلم أنه يجب أن يكون صحيحًا بالنسبة لعرض الصندوق ، فإن وظيفة الصوت ستكون مقعرة لأسفل ، وبالتالي إذا حصلنا على نقطة حرجة واحدة ، فإننا اعلم أنه يجب أن تكون القيمة التي تعطي الحد الأقصى المطلق.

تساوي المشتقة الأولى بصفر والحل ، نحصل على النقطتين الحرجتين ،

في هذه الحالة يمكننا استبعاد النقطة الحرجة السلبية لأننا نتعامل مع طول مربع ونعلم أنه يجب أن تكون موجبة. ومع ذلك ، لا تتعود على استبعاد أي نقطة حرجة سلبية. هناك مشاكل حيث النقاط الحرجة السلبية هي الحلول الممكنة الصالحة تمامًا.

الآن ، كما هو مذكور أعلاه ، حصلنا على نقطة حرجة واحدة ، 1.2910 ، وبالتالي يجب أن تكون هذه هي القيمة التي تعطي الحجم الأقصى ، وبما أن الحجم الأقصى هو كل ما طُلب في بيان المشكلة ، فإن الإجابة هي: [V يسار (<1.2910> right) = 2.1517 ، << mbox>^3>].

لاحظ أنه يمكن أن نلاحظ هنا أيضًا أنه إذا (0 & lt w & lt 1.2910 ) ثم (V ' left (w right) & gt 0 ) (باستخدام نقطة اختبار لدينا (V' left (1) right) = 1 & gt 0 )) وبالمثل إذا (w & gt 1.2910 ) ثم (V ' left (w right) & lt 0 ) (باستخدام نقطة اختبار لدينا (V' left ( 2 right) = - < frac<7> <2>> & lt 0 )) وهكذا إذا كنا على يسار النقطة الحرجة ، فإن الحجم يتزايد دائمًا وإذا كنا على يمين النقطة الحرجة يتناقص الحجم دائمًا وبالتالي يمكننا أيضًا من خلال الطريقة 2 أعلاه أن نرى أن النقطة الحرجة الفردية يجب أن تعطي الحد الأقصى المطلق للحجم.

أخيرًا ، على الرغم من عدم طلب هذه الأشياء هنا ، إلا أن أبعاد الصندوق التي تعطي الحجم الأقصى.

لذا ، يبدو أننا في هذه الحالة لدينا مكعب كامل.

في المثالين الأخيرين ، رأينا أنه يمكن حل العديد من مشكلات التحسين في كلا الاتجاهين إذا جاز التعبير. في كلا المثالين لدينا نفس المعادلتين: الحجم ومساحة السطح. ومع ذلك ، في المثال 2 ، كان الحجم هو القيد والتكلفة (التي ترتبط مباشرة بمساحة السطح) كانت الوظيفة التي كنا نحاول تحسينها. في المثال 3 ، من ناحية أخرى ، كنا نحاول تحسين الحجم وكانت مساحة السطح هي القيد.

من المهم عدم الانغلاق في طريقة واحدة لحل هذه المشاكل بحيث لا يمكننا القيام بذلك في الاتجاه المعاكس حسب الحاجة أيضًا. يعد هذا أحد الأخطاء الأكثر شيوعًا التي يرتكبها الطلاب مع هذه الأنواع من المشكلات. يرون مشكلة واحدة ثم يحاولون جعل كل مشكلة أخرى تبدو متطابقة مع هذا الحل الواحد حتى لو كانت المشكلة بحاجة إلى حل مختلف. كن متفتحًا مع هذه المشكلات وتأكد من فهمك لما يتم تحسينه وما هو القيد قبل الانتقال إلى الحل.

أيضًا ، كما رأينا في المثال الأخير ، استخدمنا طريقتين مختلفتين للتحقق من حصولنا على القيمة المثلى. لا تنغلق بشدة في طريقة واحدة لإجراء هذا التحقق بحيث تنسى الطرق الأخرى.

لنعمل مثالًا آخر لا يتضمن هذه المرة مستطيلًا أو مربعًا.

قبل البدء في الحل ، دعنا نتناول أولاً حقيقة أننا نستخدم اللترات في الحجم. نظرًا لأننا نريد قياسات الطول لنصف القطر والارتفاع ، فسنحتاج أيضًا إلى الحجم من حيث قياس الطول. يمكننا القيام بذلك بسهولة باستخدام حقيقة أن 1 لتر = 1000 سم 3 وبالتالي يمكننا تحويل 1.5 لتر إلى 1500 سم 3. وهذا بدوره يعطي نصف القطر والارتفاع بدلالة السنتيمتر.

في هذه المشكلة ، القيد هو الحجم ونريد تقليل كمية المواد المستخدمة. هذا يعني أن ما نريد تقليله هو مساحة سطح العلبة وسنحتاج إلى تضمين كل من جدران العلبة بالإضافة إلى "الأغطية" العلوية والسفلية. هنا رسم تخطيطي سريع لتبدأ.

سنحتاج إلى مساحة سطح هذه العلبة والتي ستكون مساحة سطح جدران العلبة (والتي هي في الحقيقة مجرد أسطوانة) ومنطقة الغطاء العلوي والسفلي (وهي عبارة عن أقراص فقط ، ولا ننسى أن هناك اثنين منهم).

لاحظ أنه إذا كنت تفكر في أسطوانة ارتفاع (h ) ونصف قطر (r ) على أنها مجرد مجموعة من الأقراص / دوائر نصف القطر (r ) مكدسة فوق بعضها البعض ، فإن المعادلات الخاصة بمساحة السطح و الحجم سهل التذكر. الحجم هو مجرد مساحة كل قرص مضروبة في الارتفاع. وبالمثل ، فإن مساحة سطح جدران الأسطوانة هي مجرد محيط كل دائرة مضروبًا في الارتفاع. لا يمكننا أيضًا أن ننسى إضافة منطقة الأحرف الاستهلالية ، ( pi ) إلى مساحة السطح الإجمالية.

إذن ، معادلة الحجم ومساحة سطح جدران الأسطوانة ،

[V = يسار (< pi > right) left (h right) = pi h hspace <0.25in> hspace <0.25in> hspace <0.25in> A = left (<2 pi r> right) left (h right) = 2 pi rh ]

عند إضافة مساحة سطح أغطية الأسطوانة إلى مساحة السطح ، فإن المعادلات التي سنحتاجها لهذه المشكلة هي ،

في هذه الحالة ، يبدو أن أفضل خيار لدينا هو حل قيود (h ) وتوصيل هذا بوظيفة المنطقة.

لاحظ أن هذه الصيغة لن تكون منطقية إلا من الناحية المادية إذا كان (r & gt 0 ) أمرًا جيدًا لأنه لم يتم تعريفه في (r = 0 ).

بعد ذلك ، دعنا نحصل على المشتق الأول.

من هذا يمكننا أن نرى أن لدينا نقطة حرجة واحدة: (r = sqrt [3] < frac <750> < pi >> = 6.2035 ) (حيث يكون المشتق صفراً). لاحظ أن (r = 0 ) ليست نقطة حرجة لأن وظيفة المنطقة غير موجودة هناك ، وهو أمر منطقي من وجهة نظر مادية أيضًا نظرًا لأننا نعلم أنه يجب أن يكون (r ) موجبًا من أجل الحصول فعليًا علبة.

لذلك ، ليس لدينا سوى نقطة حرجة واحدة للتعامل معها هنا ونلاحظ أن 6.2035 هي القيمة الوحيدة التي سيكون فيها المشتق صفرًا وبالتالي المكان الوحيد (مع (r & gt 0 ) بالطبع) الذي قد يتغير فيه المشتق لافتة. ليس من الصعب ، باستخدام نقاط الاختبار ، التحقق مما إذا كان (0 & lt r & lt 6.2035 ) ثم (A ' left (r right) & lt 0 ) وبالمثل إذا (r & gt 6.2035 ) ثم ( A 'يسار (r يمين) & GT 0 ). يخبرنا متغير اختبار المشتق الأول أعلاه أن القيمة الدنيا المطلقة للمنطقة (لـ (r & gt 0 )) يجب أن تحدث عند [r = 6.2035 ].

كل ما نحتاجه للقيام بذلك هو تحديد ارتفاع العلبة وسنقوم بذلك.

لذلك ، إذا صنعت الشركة المصنعة العلبة بنصف قطر 6.2035 سم وارتفاع 12.4070 سم ، فسيتم استخدام أقل كمية من المواد لصنع العلبة.

كمشكلة جانبية مثيرة للاهتمام وامتداد للمثال أعلاه ، قد ترغب في إظهار أنه بالنسبة لوحدة تخزين معينة ، (L ) ، سيتم استخدام الحد الأدنى من المواد إذا (h = 2r ) بغض النظر عن حجم العلبة.

في الأمثلة على هذه النقطة ، وضعنا قدرا كبيرا من النقاش في الحل. في المشكلات المتبقية ، لن نناقش نفس القدر من النقاش ونترك الأمر لك لملء أي تفاصيل مفقودة.

لنجعل ارتفاع الصندوق (ح ). لذا ، فإن عرض / طول الزوايا التي يتم قطعها هو أيضًا (h ) وبالتالي سيكون للجانب الرأسي ارتفاع "جديد" بمقدار (10 ​​- 2 ساعة ) وسيكون للجانب الأفقي عرض "جديد" من (14 - 2 ساعة ). هنا رسم تخطيطي مع كل هذه المعلومات الموضوعة ،

في هذا المثال ، ولأول مرة ، واجهنا مشكلة حيث لا يحتوي القيد بالفعل على معادلة. القيد هو ببساطة حجم قطعة الكرتون وقد تم أخذه في الاعتبار بالفعل في الشكل أعلاه. سيحدث هذا في بعض الأحيان ، لذا لا تكن متحمسًا له عندما يحدث. هذا يعني فقط أن لدينا معادلة واحدة أقل تقلق بشأنها. في هذه الحالة نريد تكبير الحجم. هذا هو الحجم بدلالة (h ) ومشتقه الأول.

[V left (h right) = h left (<14 - 2h> right) left (<10 - 2h> right) = 140h - 48 + 4 hspace <0.25in> hspace <0.25in> V ' left (h right) = 140-96h + 12]

تعيين المشتق الأول يساوي صفرًا والحل يعطي النقطتين الحرجتين التاليتين ،

لدينا الآن مشكلة واضحة. لدينا نقطتان مهمتان وسنحتاج إلى تحديد أيهما هو القيمة التي نحتاجها. حقيقة أن لدينا نقطتين حرجتين تعني أنه لا يمكن استخدام اختبار المشتق الأول أو اختبار المشتق الثاني هنا لأن كلاهما يتطلب نقطة حرجة واحدة. This isn’t a real problem however. Go back to the figure at the start of the solution and notice that we can quite easily find limits on (h). The smallest (h) can be is (h = 0) even though this doesn’t make much sense as we won’t get a box in this case. Also, from the 10 inch side we can see that the largest (h) can be is (h = 5) although again, this doesn’t make much sense physically.

So, knowing that whatever (h) is it must be in the range (0 le h le 5) we can see that the second critical point is outside this range and so the only critical point that we need to worry about is 1.9183.

Finally, since the volume is defined and continuous on (0 le h le 5) all we need to do is plug in the critical points and endpoints into the volume to determine which gives the largest volume. Here are those function evaluations.

[Vleft( 0 ight) = 0hspace<0.25in>hspace<0.25in>Vleft( <1.9183> ight) = 120.1644hspace<0.25in>hspace<0.25in>Vleft( 5 ight) = 0]

So, if we take (h = 1.9183) we get a maximum volume.

This problem is a little different from the previous problems. Both the constraint and the function we are going to optimize are areas. The constraint is that the overall area of the poster must be 200 in 2 while we want to optimize the printed area (بمعنى آخر. the area of the poster with the margins taken out).

Let’s define the height of the poster to be (h) and the width of the poster to be (w). Here is a new sketch of the poster and we can see that once we’ve taken the margins into account the width of the printed area is (w - 2) and the height of the printer area is (h - 3.5).

Here are the equations that we’ll be working with.

Solving the constraint for (h) and plugging into the equation for the printed area gives,

[Aleft( w ight) = left( ight)left( > - 3.5> ight) = 207 - 3.5w - frac<<400>>]

The first and second derivatives are,

From the first derivative we have the following two critical points ((w = 0) is not a critical point because the area function does not exist there).

However, since we’re dealing with the dimensions of a piece of paper we know that we must have (w > 0) and so only 10.6904 will make sense.

Also notice that provided (w > 0) the second derivative will always be negative and so in the range of possible optimal values of the width the area function is always concave down and so we know that the maximum printed area will be at (w = 10.6904,,>).

The height of the paper that gives the maximum printed area is then,

We’ve worked quite a few examples to this point and we have quite a few more to work. However, this section has gotten quite lengthy so let’s continue our examples in the next section. This is being done mostly because these notes are also being presented on the web and this will help to keep the load times on the pages down somewhat.


Math 116

Before each lecture, study the corresponding sections in the text and fill in all definitions and properties left blank in the notes.

Practice exercises

They are not to be handed in. However, you need to do all the exercises (and more) listed at the end of each section to understand the material and keep up with the course. When you feel that it is easy, it will not take long to do. When you feel it is hard, you really need the practice to prepare for the tests. When you come to my office hour, I will often ask to see the practice you have done to help you understand how your current question is similar to the ones you have just practiced. Therefore, keep all your solutions clearly labelled together in a binder for easy reference.

  • Attend all classes.
  • Do all practice.
  • My office hours.
  • The Math Learning Centre. 126e. -->
  • Pre-Calculus review.
  • Past exams. Note that the number of quizzes and midterms have varied over the years. Quiz 1 Fall 2019 & answers Quiz 2 Fall 2019 & answers Quiz 3 Fall 2019 & answers Quiz 4 Fall 2019 & answers Quiz 5 Fall 2019 & answers Quiz 6 Fall 2019 & answers Quiz 7 Fall 2019 & answers Quiz 8 Fall 2019 & answers Quiz 9 Fall 2019 & answers Quiz 10 Fall 2019 & answers Quiz 11 Fall 2019 & answers Test 1 Fall 2019 & answers Summer 2019 & answers 2014 & answers 2013 & answers 2012 & answers. Test 2 Summer 2019 & answers 2014 & answers 2013 & answers 2012 & answers. Test 3 Summer 2019 & answers 2014 & answers 2013 & answers 2012 & answers.
  • Final exam review.

Grade distribution

Your grade

The out of numbers for the quizzes above may change as I design the quizzes.

This page is maintained by Lily Yen. Last revised May 5th, 2021. Validate.


Math Curriculum

Below you will find free homeschool math curriculum. If you’re looking for other subjects, click here .

C = Christian based curriculum

Comprehensive School Mathematics Program (K to 6th)

Lesson files, worksheets, blackline masters, and storybooks are available for download.

Easy Peasy All-in-One Homeschool (1st to 7th) C

Easy Peasy teaches math using a variety of methods and sources, including video lessons and games. The lower grades also include a downloadable workbook.

Easy Peasy All-in-One High School (8th to 12th) C

The material is taught using a variety of sources and methods, including video lessons and online textbooks. Courses available are Algebra 1 & 2, Geometry, Trigonometry/Pre-calculus, and Calculus.

EdX (10th to 12th)

EdX, a nonprofit created by Harvard and MIT, offers numerous math courses. The length and format vary from course to course, and availability changes periodically. The courses are free to audit, or certificates of completion are also available for a fee.

Flipped Math (8th -12th)

Concepts are taught using videos. There are also downloadable note-taking pages and assignments. Courses included are Algebra 1 & 2, Geometry, and Pre-calculus. While the curriculum content is free, if you choose to use the assessments, they must be purchased.

Free Math (K to 5th)

Free Math teaches mathematics using online text and downloadable practice worksheets.

HippoCampus (8th to 12th)

HippoCampus offers Algebra 1 and Developmental Math courses. The courses include an online textbook, video, lectures, and practice problems.

Khan Academy (K to 12th)

Khan Academy uses video-based instruction. Online practice problems, quizzes, and tests are included. Courses covered are K through 8th grade math, Pre-algebra, Algebra 1 & 2, Geometry, Trigonometry Pre-calculus, Calculus, Multivariable Calculus, Differential Equations, and Statistics. Some AP courses are also offered.

MasterMath (6th to 9th)

This is a video-based curriculum with printable worksheets and online quizzes. Courses included are 6th through 8th grade math and Algebra 1.

Match Fish Tank (3rd to 12th)

Match Fish Tank offers 3rd through 8th grade math, Algebra 1 & 2, and Geometry. The downloadable courses include lesson plans, student worksheets, tests, and answer keys.

Math is Fun (Pre-K to 12th)

This website offers Pre-K through 8th grade math, Algebra 1 & 2, Geometry, Statistics, and Calculus. Lessons include online text and practice problems. Some lessons also include videos, games, or other interactive components.

Math & YOU (9th to 12th)

Math & YOU is an online consumer math textbook that integrates mathematics with lessons about history, science, finance, pop culture, and other topics. The course’s focus is on math that is relevant to the student’s everyday life.

Mathematics Enhancement Programme (K to 9th)

MEP was created for use in UK schools but is also used by homeschoolers worldwide. Lesson plans, copy masters, practice books, and answer keys are available for download.

Miniature Masterminds (Pre-K to 2nd)

Miniature Masterminds offers downloadable full-year workbooks, which you can find here: kindergarten , 1st grade , and 2nd grade . They also offer many shorter themed workbooks for Pre-K through 2nd grade.

Modern States (10th to 12th)

Modern States courses prepare students to take College Level Examination Program (CLEP) exams. Students can earn college credit through CLEP exams while still in high school, making college more accessible and affordable. There are courses available for precalculus, calculus, college mathematics, and college algebra .

NWT Literacy Council (5th to 12th)

The Everyday Math Skills workbook series offered on this website teaches the basic math skills needed for daily life. The downloadable workbooks are Home Math, Kitchen Math, Money Math, and Simply Math. They were written for use in Canada, using the metric system, but can be used by homeschoolers in other countries .

OpenStax (9th to 12th)

OpenStax offers downloadable student textbooks, instructor guides, and other instructor resources for Pre-Algebra, Elementary Algebra, Intermediate Algebra, College Algebra, Algebra & Trigonometry, Pre-Calculus, Calculus Volumes 1 to 3, Introductory Statistics, and Introductory Business Statistics. While most of these courses are intended for college students, motivated high school students may be able to complete them.

Plain and not so Plain (2nd to 9th) C

These math courses are taught using downloadable workbooks.

Parallel Alternative Strategies for Students: Consumer Math (9th to 12th)

This course covers budgeting, banking, borrowing, housing, taxes, investing, retirement, and more using a downloadable workbook and teacher’s guide. While it’s designed for special needs students, other students may use it as well.

Ray’s Arithmetic (1st to 11th) C

These vintage textbooks, available for download, were published in the 1870s and 1880s. Included books are Ray’s New Primary Arithmetic (1st to 2nd grade), Ray’s New Intellectual Arithmetic (3rd to 4th), Ray’s New Practical Arithmetic (5th to 6th), Ray’s New Higher Arithmetic (7th to 8th), Ray’s New Geometry and Trigonometry (9th to 10th), Ray’s New Elementary Algebra (9th to 10th), and Ray’s New Higher Algebra (11th).

Saylor Academy (10th to 12th)

Saylor Academy is a nonprofit initiative offering courses at the college and professional levels. However, high school students may also take their classes. Saylor provides College Algebra, Calculus I, Introduction to Mathematical Reasoning, Introduction to Statistics, Foundations of Real World Math, Algebra, and Geometry courses.

School Yourself (8th to 12th)

School Yourself teaches math through interactive video lessons with personalized learning paths. Subjects included are Algebra 1 & 2, Geometry, Trigonometry, Calculus, and Statistics.

Siyavula Math Textbooks (7th to 12th)

These downloadable textbooks follow the South African school syllabus, but can likely be used by residents of other countries too. Only grades 10th through 12th currently have a teachers guide available.

Ukuqonda Math Textbooks (4th to 6th)

The Ukuqonda Foundation created these downloadable textbooks and teachers guides. The courses follow the South African syllabus, but they can likely be used by residents of other countries as well.

Under the Home (K to 4th)

Under the Home’s math courses are based on the classic textbooks, The Eclectic Manual of Methods and Ray’s Arithmetic. Printable workbooks are included.

Utah Middle School Math Project (6th to 8th)

A downloadable student workbook and parent edition are available for each grade. Please be aware that while the parent edition offers detailed explanations, solutions are only provided for select problems. The books were designed for use in Utah schools, but can be used by homeschoolers in other states.

Zearn Mat ح (K to 5th)

This curriculum teaches math through videos, interactive digital lessons, and practice problems. To create your free account, sign up as an adult and then add your students.

Free Math Resources (K to 12th)

This page lists additional free resources that can be used to supplement any math curriculum. There are worksheets, workbooks, online practice, videos, games, online graphing calculators, and more.


Online math practice programs

This is an annotated list of online math programs and curricula. Typically, the programs offer interactive math practice and/or animated/video lessons, track student progress, and include parent controls. Most of these are commercial programs, and the price varies according to the number of students and the subscription period. However, there are also several free websites included in the list.

All grade levels

IXL
A child-friendly math practice environment with unlimited questions on 200-300 math topics per grade. They also have coverage for language arts, science, social studies, and Spanish! IXL tracks student progress and gives children virtual medals and awards. Covers grades PreK-calculus. $9.95/month for one student each additional child $4. $79 a year. See my review.
www.ixl.com

MathScore
Online adaptive math practice environment with measurable student progress. From grade 1 to algebra. $14.95 per month for one student, 2nd student $5.
www.mathscore.com

cK-12
CK-12 is a large, free site for learning and practicing math and science. It contains text-based lessons, FlexBooks® (digital textbooks in PDF, ePub and mobi formats), videos, and quizzes for multitudes of math and science topics from K to grade 12.
www.ck12.org

CTC Math
A comprehensive online tutorial program for grades K-12. Includes video tutorials, interactive questions, diagnostic tests, reporting, and more. Price: $29.97/month, $127/6 months, $197/12 months. Family plans available.
ctcmath.com

Future School
An online learning system (curriculum) for K-12, for both math and English. Includes skill tests, video lessons, reporting, and tutoring services. $214/year for a single student or $35-$40/month for a family.
www.futureschool.com

Elementary / Middle School

IXL
A child-friendly math practice environment with unlimited questions on 200-300 math topics per grade. They also have coverage for language arts, science, social studies, and Spanish! IXL tracks student progress and gives children virtual medals and awards. Covers grades PreK-calculus. $9.95/month for one student each additional child $4. $79 a year. See my review.
www.ixl.com

Math ABC
Free interactive online math practice for all kinds of topics, grades K-6.
www.mathabc.com

IPracticeMath.com
Free interactive online math practice for elementary math topics from addition to fractions & decimals, plus algebra. More topics added every month.
www.ipracticemath.com/math-practice

DigitWhiz
DigitWhiz is an online, games-based program aligned to the Common Core that guides kids ages 8+ to master key foundational skills in five areas: multiplication · division · integer operations · like terms · solving equations
digitwhiz.com

KidsCalculate
Meant especially for K-2 children, KidsCalculate features a learning game with a treasure map, mini-games, and a student tracking system that covers the topics of counting, comparing, adding, subtracting, and multiplying. A version for computer, iPad, and Android are available. Free.
www.en.kidscalculate.com/MathBasics/FullFree/

VmathLive
For grades 2-8. Includes online math practice with scaffolded help and hints, reward badges, origami-based avatars, and math games. A 14-day free trial. Aligned to the Common Core standards (but only offers simple practice and not on all possible topics in the standards). Price: $20 per student for full school year, $15 for partial year, $10 for summer school.
www.voyagersopris.com/curriculum/technology/online/vmathlive

Smart Tutor
A fun, online elementary curriculum for K-5th grade reading and math. Includes an automated initial assessment, and an individualized curriculum consisting of animated interactive lessons and practice activities. A free 14-day trial. Price $17.99/month for one student, $189.99 a year discounts for additional students.
www.SmartTutor.com

LearnZillion
Free math videos for all topics in K-8. The videos are organized according to the Common Core Standards (CCS), but can be used even if you don't follow the CCS &mdash just follow the lesson titles by topics.
https://learnzillion.com/resources/73936-math-video-lesson-library

A+ Interactive Math
A full homeschool math curriculum available either on CDs or as an online version. Delivers multimedia Lessons, interactive quizzes after each lesson, worksheets and exams, eBooks, printable worksheets and exams. Online version $19.95 a month. CD $99.99 or $124.99 (premium version) per grade.
www.aplustutorsoft.com

Explorelearning Math Gizmos
Math and science interactive "gizmos" (online simulations) for grades 3-12 that are accompanied with an exploration guide and assessment question. Subscriptions for schools. Homeschoolers can purchase this via Homeschool Buyers Co-op. A free 30-day trial.
www.explorelearning.com

Noetic Learning: StayAhead!
An individualized online self-paced program with an assessment and daily interactive worksheets and progress reports. For grades 2-5. The company also offers LeapAhead! summer math program and Challenge Math program for gifted students. $19.95 a month.
www.noetic-learning.com

HeyMath! E-Lessons Program
A program based on the Singapore Curriculum standards for grades 3-12, consisting of online video lessons. A free trial. Subscription $99.99 a year.
www.heymath.com/main/productUS.jsp

Middle & High School

IXL
A child-friendly math practice environment with unlimited questions on 200-300 math topics per grade. They also have coverage for language arts, science, social studies, and Spanish! IXL tracks student progress and gives children virtual medals and awards. Covers grades PreK-calculus. $9.95/month for one student each additional child $4. $79 a year. See my review.
www.ixl.com

MathTV.com
Over 6,000 free, online video lessons for basic math, algebra, trigonometry, and calculus. Videos also available in Spanish. Also includes online textbooks. I've written a review of MathTV lessons when they used to be offered on CDs.
www.mathtv.com

BrightStorm Math
Over 2,000 free videos covering all high school math topics from algebra to calculus. Registration required (free).
www.brightstorm.com/math

Math Ops
Free and subscription online pre-algebra and algebra course that includes step-by-step narrated tutorials, videos, and online quizzes.
www.mathops.com/free/index.php

HSTutorials.net
Free animated and narrated math tutorials - pre-algebra, algebra 1, geometry.
www.hstutorials.net

HippoCampus
Free online interactive lessons for high school algebra, calculus, and AP calculus. Also for other subjects.
www.hippocampus.org

Virtual Nerd
Video tutorials for prealgebra, algebra 1, algebra 2, and intro physics. This will also include practice problems and quizzes sometime during 2010-2011 school year. Includes both a free and paid (premium) versions.
virtualnerd.com

Explorelearning Math Gizmos
Math and science interactive "gizmos" (online simulations) for grades 3-12 that are accompanied with an exploration guide and assessment question. Subscriptions for schools. Homeschoolers can purchase this via Homeschool Buyers Co-op. A free 30-day trial.
www.explorelearning.com

Math Foundation
Animated lessons, quizzes, and printable worksheets covering middle and high school math concepts. $39.99 a year.
www.mathfoundation.com

Tablet Class
An online curriculum and math learning system. Includes videos lessons, course materials, review notes, practice worksheets, tests and answer keys. Courses offered are prealgebra, algebra 1 & 2, intermediate and college algebra, and GED math. Prices: $49.95/mo, $74.95/6mo, $99.95/year. Free trial available.
www.tabletclass.com

HeyMath! E-Lessons Program
A program based on the Singapore Curriculum standards for grades 3-12, consisting of online video lessons. A free trial. Subscription $99.99 a year.
www.heymath.com/main/productUS.jsp

ThinkWell&mdashthe next-generation textbook
Multimedia video lectures that take the place of a traditional textbook, plus automatically graded exercises & homework. Titles offered are from grade 6 through calculus. The teacher on the videos is Edward Burger, who has a unique and intuitive approach to learning math. Online access to any one course $125 a year.
www.thinkwell.com

VideoText Online Courses
VideoText offers two products: a complete course for algebra that covers pre-algebra, algebra 1, and algebra 2, and a complete course for geometry that covers geometry, trigonometry, and precalculus. Includes video lessons, course notes, worktexts, solutions manuals, tests, and instructor's guides. Price: $299 per course.
videotext.com/videotext-online-courses

WinPossible
Online courses for algebra 1, algebra 2, geometry, and trigonometry. Includes lessons, practice questions, sefl-tests, a question bank, and a forum. Prices about $10/month per course.
www.winpossible.com

I Can Learn Online
Interactive, animated courses for fundamentals of math, prealgebra, and algebra. Subscription fee of $30/month gives you access to all three courses. A free trial available.
www.icanlearnonline.com

Educator
A collection of lectures by college professors, including algebra, trigonometry, calculus, and statistics courses (for high school/college). Subscriptions $35 a month, $300 a year they give you access to all courses.
www.educator.com

MathOnDVDs
Math videos for all levels, from kindergarten to calculus, sold on DVDs.
www.mathondvds.com

Absorb Mathematics
An interactive course written by Kadie Armstrong, a mathematician. The lessons contain interactivity, explanations, and quiz questions. The course concentrates on geometry and trigonometry but includes a few other topics as well. Most of the content is accessible by a fee only, but 469 lessons are available as free samples.
www.absorblearning.com/mathematics/about.jsp

British (UK) online curricula

While these companies provide math instruction based on the British syllabus, math concepts are the same everywhere, and so the programs are definitely useful worldwide.

IXL Maths
Online maths practice for Reception through Year 13, or KS1 through KS4. IXL has fully localized their maths content to the UK, including alignment to the Key Stages. £7.99 per month, or £59 annually.
uk.ixl.com

Whizz Education
Animated math lessons online for grades K-6 or KS1 and KS2 UK-based. Based on an initial assessment, the child will get a personalised programme of lessons, which is further adjusted depending on the child's progress. $29.99 per month, $249 a year.
www.whizz.com

GetMathsFit
GetMathsFit is an online maths teaching program with more than 3,500 maths lessons for 11-19 year olds. Lessons are animated with an accompanying teacher audio and cover the basics of arithmetic right through to A-Level calculus. Included are thousands of questions and their fully worked out answers.
www.GetMathsFit.com

Conquermaths
An online maths tutoring system with 480 full audio/visual lessons presented by a real teacher, synchronised with animated graphics and backed up by tests and progress reports. For UK key stages 3 and 4 (11-16 year olds). 16 free trial lessons. Subscriptions £15.95 a month, or £99 a year.
www.conquermaths.com

Australian online curricula

While these companies provide math instruction based on the Australian syllabus, math concepts are the same everywhere, and so the programs are definitely useful worldwide.


Math Tests - mathematics practice questions

Improve your math fluency through thousands of multiple-choice tests. This app will make math for primary and secondary school students available instantly in your device! You will receive a grade at the end of each test. It contains theory as well!

For 1st grade:
- addition and subtraction
- basic geometry figures

For 2nd grade:
- long multiplication and division
- ten based system and place value
- metric and US standard units of measurements (time, length, weight, volume, area)

For 3rd grade:
- order of operations
- rounding of numbers
- Roman numerals and the Greek alphabet

For 4th grade:
- fractions and decimals

Results and test history are tracked. You can review your mistakes and progress. It is like having dozens of math worksheets and exercises directly in your device with results and solutions immediately available. Since it works offline you learn to solve math and algebra problems whenever you want! The exercises are ideal for better math fluency and are suitable for kids and adults as well.

To cover the complete curriculum, app also includes divisibility, negative numbers, equations, inequalities, geometry, powers and exponents, set theory and functions.


Subtracting Integers

Problem: The temperature in Anchorage, Alaska was 8°F in the morning and dropped to - 5°F in the evening. What is the difference between these temperatures?

Solution: We can solve this problem using integers. Using the number line below, the distance from + 8 to 0 is 8, and the distance from 0 to - 5 is 5, for a total of 13.

+ 8 - - 5 = + 13. The difference is 13 degrees.

Problem: The highest elevation in North America is Mt. McKinley, which is 20,320 feet above sea level. The lowest elevation is Death Valley, which is 282 feet below sea level. What is the difference between these two elevations?

Solution: When solving problems with large integers, it is not always practical to rely on the number line. Using integer arithmetic this problem becomes:

We need a rule for subtracting integers in order to solve this problem.

Rule: To subtract an integer, add its opposite.

The opposite of - 282 is + 282, so we get: + 20,320 - - 282 = + 20,320 + + 282 = + 20,602

In the above problem, we added the opposite of the second integer and subtraction was transformed into addition. Let's look at some simpler examples of subtracting integers.

Step 1: The opposite of + 2 is - 2.

Step 2: Subtraction becomes addition.

Solution: + 5 - + 2 = + 5 + - 2 = + 3

Example 2: Find the difference between each pair of integers.

Subtracting Integers
Subtract Add The Opposite Result
+ 9 - + 4 = + 9 + - 4 = + 5
+ 9 - - 4 = + 9 + + 4 = + 13
- 9 - + 4 = - 9 + - 4 = - 13
- 9 - - 4 = - 9 + + 4 = - 5

Notice that in each problem above, the first integer remained unchanged. Also, do not confuse the sign of the integer with the operation being performed. Remember that:
- 9 + + 4 = - 5 is read as Negative 9 plus positive 4 equals negative 5.

Let's look at some more examples:

Example 3: Find the difference between each pair of integers.

Subtracting Integers
Subtract Add The Opposite Result
+ 7 - + 10 = + 7 + - 10 = - 3
+ 7 - - 10 = + 7 + + 10 = + 17
- 7 - + 10 = - 7 + - 10 = - 17
- 7 - - 10 = - 7 + + 10 = + 3

Example 4: Find the difference between each pair of integers. You may extend the number line below to help you salve these problems.

Subtracting Integers
Subtract Add The Opposite Result
- 8 - + 3 = - 8 + - 3 = - 11
+ 17 - - 9 = + 17 + + 9 = + 26
- 12 - + 15 = - 12 + - 15 = - 27
- 19 - - 23 = - 19 + + 23 = + 4

Summary: To subtract an integer, add its opposite. When subtracting integers, it is important to show all work, as we did in this lesson. If you skip steps, or do the work in your head, you are very likely to make a mistake--even if you are a top math student!

تمارين

Directions: Read each question below. Click once in an ANSWER BOX and type in your answer then click ENTER. After you click ENTER, a message will appear in the RESULTS BOX to indicate whether your answer is correct or incorrect. To start over, click CLEAR.


شاهد الفيديو: اليكم شرح درس العلاقة بين التفاضل والتكامل مع حل تمارين ومسائل بشكل مفصل (كانون الثاني 2022).