مقالات

6.3: جذور الأعداد المركبة - الرياضيات


أهداف التعلم

  • افهم نظرية ديموافر وكن قادرًا على استخدامها لإيجاد جذور العدد المركب.

الهوية الأساسية هي صيغة De Moivre التي نبدأ بها هذا القسم.

Theorem ( PageIndex {1} ): De Moivre’s Theorem

لأي عدد صحيح موجب (n ) لدينا

[ left (e ^ {i theta} right) ^ n = e ^ {i n theta} ]

وبالتالي لأي رقم حقيقي (r> 0 ) وأي عدد صحيح موجب (n ) ، لدينا:

[ left (r left ( cos theta + i sin theta right) right) ^ {n} = r ^ {n} left ( cos n theta + i sin n theta حق)]

دليل

الإثبات عن طريق الاستقراء على (n ). من الواضح أن الصيغة صحيحة إذا (n = 1. ) افترض أنها صحيحة لـ (n. ) ثم ، ضع في اعتبارك (n + 1 ).

[ left (r left ( cos theta + i sin theta right) right) ^ {n + 1} = left (r left ( cos theta + i sin theta يمين) يمين) ^ {n} يسار (r left ( cos theta + i sin theta right) right) nonumber ]

الذي يساوي عن طريق الاستقراء

[ start {align} & = & r ^ {n + 1} left ( cos n theta + i sin n theta right) left ( cos theta + i sin theta right) & = & r ^ {n + 1} left ( left ( cos n theta cos theta- sin n theta sin theta right) + i left ( sin n theta cos theta + cos n theta sin theta right) right) & = & r ^ {n + 1} left ( cos left (n + 1 right) theta + i sin يسار (n + 1 يمين) ثيتا يمين) نهاية {محاذاة} ]

بواسطة صيغ جيب التمام وجيب مجموع الزاويتين.

تسمى العملية المستخدمة في الإثبات السابق الاستنتاج الرياضي قوي جدًا في الرياضيات وعلوم الكمبيوتر واستكشفه بمزيد من التفصيل في الملحق.

الآن ، ضع في اعتبارك نتيجة طبيعية للنظرية [thm: demoivretheorem].

النتيجة الطبيعية ( PageIndex {1} ): جذور الأعداد المركبة

لنفترض أن (z ) عددًا مركبًا غير صفري. ثم هناك دائمًا (k ) العديد من (k ^ {th} ) جذور (z ) في ( mathbb {C} ).

دليل

دع (z = a + bi ) واجعل (z = left vert z right vert left ( cos theta + i sin theta right) ) يكون الشكل القطبي للمجمع عدد. حسب نظرية ديموافر ، العدد المركب

[w = r e ^ {i alpha} = r left ( cos alpha + i sin alpha right) nonumber ]

هو (k ^ {th} ) جذر (z ) إذا وفقط إذا

[w ^ k = (re ^ {i alpha}) ^ k = r ^ ke ^ {ik alpha} = r ^ {k} left ( cos k alpha + i sin k alpha right ) = left vert z right vert left ( cos theta + i sin theta right) nonumber ]

يتطلب هذا (r ^ {k} = left vert z right vert ) وهكذا (r = left vert z right vert ^ {1 / k} ). أيضًا ، كلاهما ( cos left (k alpha right) = cos theta ) و ( sin left (k alpha right) = sin theta. ) يمكن أن يحدث هذا فقط إذا

[k alpha = theta + 2 ell pi ] من أجل ( ell ) عدد صحيح. هكذا

[ alpha = frac { theta + 2 ell pi} {k}، ؛ ell = 0، 1، 2، cdots، k-1 nonumber ]

وهكذا فإن جذور (k ^ {th} ) (z ) من الشكل

[ left vert z right vert ^ {1 / k} left ( cos left ( frac { theta + 2 ell pi} {k} right) + i sin left ( frac { theta + 2 ell pi} {k} right) right) ، ؛ ell = 0، 1، 2، cdots، k-1 nonumber ]

نظرًا لأن جيب التمام والجيب دوريان من فترة (2 pi ، ) ، فهناك بالضبط (ك ) أرقام مميزة ناتجة عن هذه الصيغة.

الإجراء الخاص بإيجاد جذور (k ^ {th} ) لـ (z in mathbb {C} ) كما يلي.

الإجراء ( PageIndex {1} ): إيجاد جذور العدد المركب

لنفترض أن (w ) عددًا مركبًا. نرغب في العثور على (n ^ {th} ) جذور (w ) ، وهذا هو كل (z ) بحيث (z ^ n = w ).

هناك (n ) جذور مميزة (n ^ {th} ) ويمكن العثور عليها على النحو التالي :.

  1. عبر عن (z ) و (w ) في شكل قطبي (z = re ^ {i theta}، w = se ^ {i phi} ). ثم (z ^ n = w ) يصبح: [(re ^ {i theta}) ^ n = r ^ ne ^ {in theta} = se ^ {i phi} nonumber ] نحتاج إلى حل من أجل (r ) و ( ثيتا ).
  2. حل المعادلتين التاليتين: [ start {align} r ^ n & = & s end {align} ] [ begin {align} e ^ {in theta} & = & e ^ {i phi } label {rootseqns} end {align} ]
  3. حلول ​​(r ^ n = s ) مقدمة من قبل (r = sqrt [n] {s} ).
  4. حلول ​​(e ^ {i n theta} = e ^ {i phi} ) مقدمة من: [n theta = phi + 2 pi ell، ؛ mbox {for} ؛ ell = 0،1،2، cdots، n-1 nonumber ] أو [ theta = frac { phi} {n} + frac {2} {n} pi ell، ؛ mbox {for} ؛ ell = 0،1،2، cdots، n-1 nonumber ]
  5. باستخدام الحلول ​​(r، theta ) للمعادلات الواردة في ([rootseqns]) قم ببناء (n ^ {th} ) جذور النموذج (z = re ^ {i theta} ).

لاحظ أنه بمجرد الحصول على الجذور في الخطوة النهائية ، يمكن تحويلها إلى الشكل القياسي إذا لزم الأمر. دعونا ننظر في مثال على هذا المفهوم. لاحظ أنه وفقًا لـ Corollary [cor: rootcomplexnumbers] ، هناك بالضبط (3 ) جذور تكعيبية لعدد مركب.

مثال ( PageIndex {1} ): إيجاد الجذور التكعيبية

ابحث عن الجذور التكعيبية الثلاثة لـ (i. ) وبعبارة أخرى ، ابحث عن الكل (z ) مثل (z ^ 3 = i ).

حل

أولاً ، قم بتحويل كل رقم إلى الشكل القطبي: (z = re ^ {i theta} ) و (i = 1 e ^ {i pi / 2} ). تصبح المعادلة الآن

[(re ^ {i theta}) ^ 3 = r ^ 3 e ^ {3i theta} = 1 e ^ {i pi / 2} nonumber ]

لذلك ، المعادلتان اللتان نحتاج إلى حلهما هما (r ^ 3 = 1 ) و (3i theta = i pi / 2 ). بالنظر إلى أن (r in mathbb {R} ) و (r ^ 3 = 1 ) يتبع ذلك (r = 1 ).

حل المعادلة الثانية على النحو التالي. قسّم أولاً على (i ). بعد ذلك ، نظرًا لأن حجة (i ) ليست فريدة ، فنحن نكتب (3 theta = pi / 2 + 2 pi ell ) لـ ( ell = 0،1،2 ).

[ start {align} 3 theta & = & pi / 2 + 2 pi ell ؛ mbox {for} ؛ ell = 0،1،2 theta & = & pi / 6 + frac {2} {3} pi ell ؛ mbox {for} ؛ ell = 0،1،2 نهاية {محاذاة} ]

بالنسبة إلى ( ell = 0 ): [ theta = pi / 6 + frac {2} {3} pi (0) = pi / 6 nonumber ]

بالنسبة إلى ( ell = 1 ): [ theta = pi / 6 + frac {2} {3} pi (1) = frac {5} {6} pi nonumber ]

بالنسبة إلى ( ell = 2 ): [ theta = pi / 6 + frac {2} {3} pi (2) = frac {3} {2} pi nonumber ]

لذلك ، يتم إعطاء الجذور الثلاثة بواسطة

[1e ^ {i pi / 6} ، 1e ^ {i frac {5} {6} pi} ، 1e ^ {i frac {3} {2} pi} nonumber ]

مكتوبة في شكل قياسي ، هذه الجذور ، على التوالي ،

[ frac { sqrt {3}} {2} + i frac {1} {2} ، - frac { sqrt {3}} {2} + i frac {1} {2} ، - أنا عدد ]

يمكن أيضًا استخدام القدرة على إيجاد جذور (k ^ {th} ) لتحليل بعض كثيرات الحدود.

مثال ( PageIndex {1} ): حل معادلة متعددة الحدود

حلل كثير الحدود إلى عوامل (x ^ {3} -27. )

حل

أوجد أولًا الجذور التكعيبية للعدد 27. بالإجراء السابق ، هذه الجذور التكعيبية هي

[3،3 left ( displaystyle frac {-1} {2} + i displaystyle frac { sqrt {3}} {2} right)، nonumber ]

و

[3 left ( displaystyle frac {-1} {2} -i displaystyle frac { sqrt {3}} {2} right). لا يوجد رقم]

قد ترغب في التحقق من ذلك باستخدام الخطوات المذكورة أعلاه.

لذلك،

[x ^ {3} -27 = left (x-3 right) left (x-3 left ( frac {-1} {2} + i frac { sqrt {3}} {2 } right) right) left (x-3 left ( frac {-1} {2} -i frac { sqrt {3}} {2} right) right) nonumber ]

لاحظ ايضا

[ left (x-3 left ( frac {-1} {2} + i frac { sqrt {3}} {2} right) right) left (x-3 left ( frac {-1} {2} -i frac { sqrt {3}} {2} right) right) = x ^ {2} + 3x + 9 nonumber ]

و حينئذ

[x ^ {3} -27 = left (x-3 right) left (x ^ {2} + 3x + 9 right) nonumber ]

حيث لا يمكن تحليل كثير الحدود التربيعي (x ^ {2} + 3x + 9 ) بدون استخدام الأعداد المركبة.

لاحظ أنه على الرغم من أن كثير الحدود (x ^ {3} -27 ) تحتوي على جميع المعاملات الحقيقية ، إلا أنها تحتوي على بعض الأصفار المعقدة ، (3 left ( displaystyle frac {-1} {2} + i displaystyle frac { sqrt {3}} {2} right)، ) و (3 left ( displaystyle frac {-1} {2} -i displaystyle frac { sqrt {3}} {2 }حق)). هذه الأصفار عبارة عن اتحادات معقدة لبعضها البعض. دائمًا ما تكون الحالة أنه إذا كانت كثيرة الحدود لها معاملات حقيقية وجذر معقد ، فسيكون لها أيضًا جذر يساوي المرافق المركب.


الأعداد المركبة - أسئلة ومشكلات مع حلول

يتم عرض أسئلة ومشكلات مع حلول على الأعداد المركبة. الحلول التفصيلية للأمثلة مدرجة أيضا.

أسئلة حول الأعداد المركبة مع إجابات. تدور الأسئلة حول الجمع والضرب والقسمة المعقدة وكذلك إيجاد المرافق المركب.
أمثلة على معامل الأعداد المركبة وحججها وأسئلة مع حلول.
معامل وحجة العدد المركب - الآلة الحاسبة.
الأعداد المركبة في الصورة الأسية. أمثلة وأسئلة مع حلول مفصلة.
الأعداد المركبة في شكل قطبي. أمثلة وأسئلة مع حلول مفصلة.
قوة وجذر نظرية De Moivre. أمثلة وأسئلة مع حلول مفصلة حول استخدام نظرية ديموافر لإيجاد قوى وجذور الأعداد المركبة. .
الأعداد المركبة - العمليات الأساسية. برنامج تعليمي حول كيفية العثور على اقتران عدد مركب وجمع وطرح وضرب وقسمة الأرقام المركبة التي تدعمها الآلات الحاسبة عبر الإنترنت.
مشاكل الأعداد المعقدة مع الحلول والإجابات - الصف 12.


مكعبات معقدة

كان صبر Cardano & # 8217s على الأعداد المعقدة محدودًا ، رغم أنه مثير للإعجاب. جاءت نقطة الانهيار الخاصة به في شكل حالة غريبة بشكل خاص لحل المكعب المنخفض & # 8212 وهو نفس الحل الذي أسس عليه حله للمكعب العام. كما هو موضح في إحدى مشاركات مدونتي ، وفي Paul J. Nahin & # 8217s حكاية خيالية: قصة كان هذا الحل كالتالي:

اعطاء بعض المعادلة في الشكل:

يمكن إيجاد قيمة x بالتعبير:

هذه المعادلة ، كما يحدث ، على الرغم من أن حلها حقيقي دائمًا ، إلا أنها ذات حافة غريبة بشكل خاص حيث يبدو هذا الحل للوهلة الأولى معقدًا. تحدث هذه الحالة عندما يكون التعبير سالبًا ، مما ينتج عنه جذر تربيعي سالب.

فكر كاردانو في إحدى هذه المشكلات التي نتج عنها جذر تربيعي سالب ، وهو المكعب المنخفض:

عندما حاول كاردانو حل هذه المشكلة باستخدام الصيغة التكعيبية المنخفضة التي نشرها ، حصل على النتيجة المحيرة إلى حد ما:

في هذه المرحلة ، كان كاردانو في حيرة من أمره. على الرغم من أنه حاول تقييم الجذور التكعيبية ، كل منها يحتوي على أرقام معقدة ، إلا أن أساليبه جعلته يذهب في حلقات ، مع كل تكرار يتطلب منه تقييم جذر تكعيبي آخر للأرقام المركبة. أخيرًا ، سقط كاردانو على طريق أسلافه ، واستسلم ، وأعلن أن الشكل غير قابل للاختزال.

بالطبع ، كما هو الحال مع أسلافه ، فإن المشكلة التي تخلى عنها بالفعل لها حل. هذا واضح تمامًا لأي عالم رياضيات حديث على دراية بالأعداد المركبة & # 8212 ، فإن التعبير أعلاه هو مجرد مجموع الجذور التكعيبية لاثنين من الاتحادات المعقدة & # 8212 ، ستكون هذه الجذور ، بالطبع ، مترافقة معقدة.


نون جذور الأعداد المركبة

تذكر من معادلة De Moivre للتمثيل القطبي لقوى الأعداد المركبة أنه إذا كان $ z in mathbb$ ، $ r = mid z mid $ ، و $ theta = arg (z) $ ثم لجميع $ n in mathbb$ لدينا ذلك:

تُعرف هذه الصيغة المهمة باسم صيغة De Moivre. باستخدام هذه الصيغة ، سنثبت أنه لجميع الأعداد المركبة غير الصفرية $ z in mathbbيوجد $ n $ many $ n ^ < mathrm> $ root لكل $ n in mathbb$ .

النظرية 1: دع $ w in mathbb$، $ w neq 0 $ مع $ w = rho ( cos phi + i sin phi) $. ثم يوجد $ n $ many $ n ^ < mathrm> جذور $ w $ معطاة بالصيغة $ displaystyle يسار ((cos left ( frac < phi + 2 pi k> يمين) + i sin left ( frac < phi + 2k pi> right) right)> $ حيث كل $ k in <0، 1،. n - 1 > $ ينتج عنه $ n ^ < mathrm مميز> $ الجذر.

لذلك إذا كان $ z = r ( cos theta + i sin theta) $ فإن $ n ^ < mathrm> يتم الحصول على جذور $ z $ بواسطة $ displaystyle يسار ( cos يسار ( frac < theta + 2k pi> right) + i sin left ( frac < theta + 2k pi> right) right)> $.

  • دليل: دع $ z = r ( cos theta + i sin theta) $ ودع $ w = rho ( cos phi + i sin phi) $. ثم من خلال صيغة De Moivre للتمثيل القطبي لقوى الأعداد المركبة ، لدينا ما يلي:
  • ومن ثم $ r ^ n = rho $ و $ n theta = phi + 2k pi $ لبعض $ k in mathbb$. نحلها من أجل $ r $ و $ theta $. لدينا هذا:
  • يتم استيفاء هذا لكل $ k in <0، 1،. n - 1 > $ ، أي ، هناك $ n $ كثير $ n ^ < mathrm> جذور $ لكل عدد مركب غير صفري. $ blacksquare $

إيجاد جذور العدد المركب



أمثلة وحلول ومقاطع فيديو وأوراق عمل وألعاب وأنشطة لمساعدة طلاب PreCalculus على تعلم كيفية العثور على جذور العدد المركب.

إيجاد جذور العدد المركب
يمكننا استخدام نظرية DeMoivre لحساب جذور الأعداد المركبة. في كثير من الحالات ، يمكن أن تكون هذه الطرق لحساب جذور الأعداد المركبة مفيدة ، ولكن بالنسبة للقوى الأعلى يجب أن نعرف الدليل العام المكون من أربع خطوات لحساب جذور الأعداد المركبة. من أجل استخدام نظرية DeMoivre لإيجاد الجذور العددية المركبة ، يجب أن يكون لدينا فهم للصيغة المثلثية للأعداد المركبة.

كيف تستخدم نظرية DeMoivre لحساب الجذور التكعيبية لعدد مركب؟

المزيد من جذور الأعداد المركبة
يمكننا استخدام دليل بسيط من أربع خطوات لمساعدتنا في إيجاد الجذور المعقدة ، أو الجذور النونية للأعداد المركبة. تعمل هذه الإرشادات على تبسيط عملية استخدام نظرية DeMoivre لإيجاد الجذور المعقدة. تستخدم هذه الطريقة لإيجاد الجذور المعقدة الشكل المثلثي ولذا يجب أن نفهم كيفية التحويل من الشكل المستطيل إلى الشكل المثلثي ومن الشكل المثلثي إلى الشكل المستطيل.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


حساب الأعداد المركبة

تذكر أن كل رقم مركب هو مجموع عدد حقيقي ورقم وهمي. نقول أن هذا له جزء حقيقي وجزء خيالي. إذا تم تقديمها بواسطة:

في التدوين أعلاه ، لاحظ كم يبدو الرقم المركب مثل جذر أصم (على سبيل المثال قارن و). الفرق الوحيد هو أن الرقم الموجود أسفل علامة الجذر التربيعي سالب ، في الواقع ، عندما يتعلق الأمر بالحساب ، يمكن التعامل مع الأعداد المركبة مثل الجذور الصماء. هذا المفهوم مفيد عند تذكر كيفية جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة الأعداد المركبة. افترض أن رقمك المركب هو جذر أصم ، ونفِّذ العمليات نفسها ويجب أن ينجح كل شيء.

جمع وطرح

من أجل جمع عددين مركبين ، يجب إضافة جزأيهما الحقيقي والتخيلي بشكل منفصل. لطرح عددين مركبين ، يجب طرح جزأيهما الحقيقي والتخيلي بشكل منفصل.
ملاحظة: إضافة هو نفس الطرح وطرح هو نفس الجمع .


مثال 5: تحويل $ z = 8 $ للصيغة القطبية

هنا يكمن العدد المركب في المحور الحقيقي الإيجابي. ومن ثم $ theta = 0 $.

ومن ثم ، فإن الشكل القطبي هو $ z = 8 angle <0> = 8 left ( cos 0 + i sin 0 right) $

وبالمثل ، يمكننا كتابة العدد المركب في الصورة الأسية على النحو التالي $ z = re ^ = 8e ^ <0i> $

(يرجى ملاحظة أن جميع القيم الممكنة للوسيطة ، arg z هي $ 2 pi n + 0 = 2 pi n $ حيث $ n = 0 ، pm 1 ، pm 2 ، cdots $ وفقًا لذلك يمكننا الحصول على قيم أخرى الأشكال القطبية الممكنة والأشكال الأسية أيضًا)


كيفية قسمة الأعداد المركبة

لقسمة الأعداد المركبة. أولًا ، أوجد المرافق المركب للمقام ، واضرب البسط والمقام في هذا المرافق وبسّط.

مثال 1

دعنا نقسم العددين المركبين التاليين

أوجد مرافق المقام

مرافق $ (7 + 4i) $ هو $ (7 red - 4i) $.

اضرب البسط والمقام في المرافق.

ملاحظة: سبب استخدامنا لملف اتحاد معقد للمقام هو أن المصطلح $ i $ في المقام "يلغي" ، وهو ما حدث أعلاه مع تمييز المصطلحات i باللون الأزرق $ blue <-28i + 28i> $.

فيديو تعليمي على قسمة الأعداد المركبة

ممارسة مشاكل

مشكلة 1.1

قسّم الأعداد المركبة أدناه:

أوجد مرافق المقام

اقتران $ 2 + 6i $ هو $ (2 red - 6i) $.

اضرب البسط والمقام في المرافق.

مشكلة 1.2

ابحث عن حاصل القسمة التالي

أوجد مرافق المقام

اقتران $ 5 + 7i $ هو $ 5 red - 7i $.

اضرب البسط والمقام في المرافق.

مشكلة 1.3

ابحث عن حاصل القسمة التالي

أوجد مرافق المقام

اقتران $ 3 + 2i $ هو $ (3 red -2i) $.

اضرب البسط والمقام في المرافق.

مشكلة 1.3.1

توقع

انظر بعناية إلى المشاكل 1.5 و 1.6 أدناه.

قم بالتنبؤ: هل تعتقد أنه سيكون هناك أي شيء مميز أو مثير للاهتمام حول أي من حاصلات القسمة التالية؟

قم بالتمرير لأسفل الصفحة لرؤية الجواب (من ورقة العمل المجانية القابلة للتنزيل).


6.3: جذور الأعداد المركبة - الرياضيات

كمثال بسيط ، دعونا ، و ، أي ،

كما هو مبين في الشكل 2.1 ، هذا قطع مكافئ متمركز في (أين) ويصل إلى الأعلى إلى اللانهاية الموجبة ، ولا يذهب إلى الأسفل أبدًا. ليس لديها أصفار حقيقية. من ناحية أخرى ، تقول الصيغة التربيعية أن `` الجذور '' تُعطى رسميًا بواسطة. يمكن التعبير عن الجذر التربيعي لأي رقم سالب ، وبالتالي فإن الكائن الجبري الجديد الوحيد هو. دعنا نطلق عليها اسمًا:

ثم ، رسميًا ، جذور هي ، ويمكننا التعبير رسميًا عن كثير الحدود من حيث جذورها

يمكننا التفكير في هذه على أنها `` جذور خيالية '' بمعنى أن الجذور التربيعية للأرقام السالبة غير موجودة حقًا ، أو يمكننا توسيع مفهوم `` الجذور '' للسماح للأعداد المركبة ، أي أعداد النموذج

يمكن التحقق من أن جميع العمليات الجبرية للأعداد الحقيقية 2.2 تنطبق بشكل جيد على الأعداد المركبة. كل من الأعداد الحقيقية والأرقام المركبة هي أمثلة على مجال رياضي. 2.3 الحقول مغلقة فيما يتعلق بالضرب والجمع ، وجميع قواعد الجبر التي نستخدمها في معالجة كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية (والجذور) تنتقل دون تغيير إلى كثيرات الحدود ذات المعاملات المعقدة والجذور. في الواقع ، تصبح قواعد الجبر أبسط بالنسبة للأعداد المركبة لأنه ، كما تمت مناقشته في القسم التالي ، يمكننا دائمًا تحليل كثيرات الحدود بالكامل في مجال الأعداد المركبة بينما لا يمكننا فعل ذلك على القيم الحقيقية (كما رأينا في المثال).


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف لمعلمي Varsity.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر وموقعه الدقيق ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورس ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


شاهد الفيديو: قصة الاعداد المركبة والتخيلية والعقدية واستخداماتها (كانون الثاني 2022).