مقالات

6.1: المعادلات في متغير واحد - الرياضيات


6.1: المعادلات في متغير واحد - الرياضيات

المعادلات الخطية في متغير واحد - الفصل الثاني

الجلسة -1

1):- 7x ، 4x + 5 ، 2xy 2 - 15x 2 y + 7y تعبيرات جبرية.

2):- هناك دائما علامة المساواة في المعادلة. توضح علامة المساواة أن قيمة التعبيرات إلى LHS للعلامة (=) تساوي قيمة التعبير الموجود على يمين العلامة.

3):- التعابير التي نستخدمها لتكوين معادلات خطية تعني أن أعلى قوة للمتغير في التعابير هي 1.

أمثلة: 3 س + 2 = 20 ، ص + 5 = 0

4):- س 2 -1 = 9 ، س 2 + 5 س -6 = 0 ليست معادلات خطية لأن درجة المعادلة ليست 1.

5):- تسمى قيمة المتغير التي تجعل طرفي المعادلة متساويين ، حل المعادلة.

لا يوجد سوى حل واحد للمعادلة الخطية في متغير واحد.

6):- لا تتغير علامة المساواة في المعادلة إذا

  • نضيف نفس العدد إلى طرفي المعادلة.
  • اطرح نفس العدد من طرفي المعادلة.
  • اضرب أو اقسم طرفي المعادلة على نفس العدد غير الصفري.
  • انقل أحد المصطلحات من أحد طرفي المعادلة إلى الجانب الآخر.

حل المعادلة بطريقتين

طريقة الموازنة طريقة التحويل (شائعة الاستخدام)


المعادلات الخطية بمتغير واحد

أبسط الأمثلة على المعادلات المتكافئة لا تحتوي على أي متغيرات. على سبيل المثال ، هذه المعادلات الثلاث معادلة لبعضها البعض:

يعتبر التعرف على هذه المعادلات متكافئة أمرًا رائعًا ، ولكنه ليس مفيدًا بشكل خاص. عادةً ما تطلب منك مشكلة معادلة مكافئة حل المتغير لمعرفة ما إذا كان هو نفسه (نفس الشيء جذر) كواحد في معادلة أخرى.

على سبيل المثال ، المعادلات التالية متكافئة:

في كلتا الحالتين ، x = 5. كيف نعرف ذلك؟ كيف تحل هذا من أجل معادلة "-2x = -10"؟ الخطوة الأولى هي معرفة قواعد المعادلات المتكافئة:

    أو طرح نفس الرقم أو التعبير لكلا طرفي المعادلة ينتج معادلة مكافئة.
  • ينتج عن ضرب أو قسمة طرفي المعادلة على نفس الرقم غير الصفري معادلة مكافئة.
  • سيؤدي رفع كلا طرفي المعادلة إلى نفس القوة الفردية أو أخذ نفس الجذر الفردي إلى معادلة مكافئة.
  • إذا كان كلا طرفي المعادلة غير سالبين ، فإن رفع كلا طرفي المعادلة إلى نفس القوة الزوجية أو أخذ نفس الجذر الزوجي سيعطي معادلة مكافئة.

أشكال Row-Echelon و Row-Echelon المخفضة

هذه هي أشكال مصفوفة مكافئة للصف. يمكن للمرء بسهولة حل نظام المعادلات الخطية عندما تكون المصفوفات في إحدى هذه الصور.

نموذج Row-Echelon

تكون المصفوفة في شكل صف سلم عند استيفاء الشروط التالية.

  1. إذا كان هناك صف من جميع الأصفار ، فسيكون في أسفل المصفوفة.
  2. العنصر الأول غير الصفري في أي صف هو واحد. يسمى هذا العنصر بالعنصر الرائد.
  3. السطر الأول من أي صف يقع على يمين السطر الأول للصف السابق.

ملاحظات

  • لا يجب أن يكون الحرف الأول في الصف إلى فوري يمين البادئة للصف السابق.
  • سيكون للمصفوفة التي تكون على شكل صف على شكل أصفار أسفل الأصفار البادئة.
  • يضع Gaussian Elimination مصفوفة في شكل صفوف متسلسلة ، ومن ثم يكون الاستبدال العكسي مطلوبًا لإنهاء إيجاد الحلول للنظام.
  • شكل مصفوفة الصفوف ليس بالضرورة فريدًا.

تم تصغير نموذج Row-Echelon

تكون المصفوفة في شكل مرتبة صف مخفضة عندما يتم استيفاء جميع شروط نموذج رتبة الصف وكل العناصر أعلاه ، وكذلك أدناه ، العناصر البادئة تساوي صفرًا.

  1. إذا كان هناك صف من جميع الأصفار ، فسيكون في أسفل المصفوفة.
  2. العنصر الأول غير الصفري في أي صف هو واحد. يسمى هذا العنصر بالعنصر الرائد.
  3. يكون السطر الأول من أي صف على يمين السطر الأول للصف السابق.
  4. جميع العناصر الموجودة أعلى وأسفل واحد بادئ هي صفر.

ملاحظات

  • لا يجب أن يكون الحرف الأول في الصف إلى فوري يمين البادئة للصف السابق.
  • ستحتوي المصفوفة في شكل الصف على أصفار فوق وتحت الأصفار البادئة.
  • يضع القضاء Gauss-Jordan مصفوفة في شكل صف سلمي مخفض.
  • لا يلزم الاستبدال الخلفي لإنهاء إيجاد الحلول للنظام.
  • شكل الصف المخفض للمصفوفة فريد من نوعه.

6.1: المعادلات في متغير واحد - الرياضيات

يعد التحضير لحل المعادلات أحد الأسباب الرئيسية لإجراء دراسة مكثفة لكثيرات الحدود ، ورموز التجميع ، والتقسيم الوجهي ، والكسور. ربما تكون المعادلة هي أهم أداة في الجبر ، وكلما زادت مهارة الطالب في التعامل مع المعادلات ، زادت سهولة حل المشكلات.

قبل تعلم حل المعادلات ، من الضروري التعرف على الكلمات المستخدمة في مناقشتها. المعادلة هي بيان أن تعبيرين متساويان في القيمة. هكذا،

هي معادلات. يُطلق على الجزء الموجود على يسار علامة المساواة اسم العضو الأيسر أو العضو الأول في المعادلة. الجزء الموجود إلى اليمين هو العضو المناسب ، أو العضو الثاني ، من المعادلة.

يُنظر أحيانًا إلى أعضاء المعادلة على أنها تتوافق مع وزنين يوازنان مقياسًا. (انظر الشكل 11-l). غالبًا ما تكون هذه المقارنة مفيدة للطلاب الذين يتعلمون حل المعادلات. من الواضح ، في

الشكل 11 ل. المعادلة مقارنة بمقياس التوازن.

في حالة المقياس ، فإن أي تغيير يتم إجراؤه في وعاء واحد يجب أن يكون مصحوبًا بتغيير متساوٍ في المقلاة الأخرى وإلا فإن المقياس لن يتوازن. تستند العمليات على المعادلات إلى نفس المبدأ. يجب الحفاظ على توازن الأعضاء أو فقدان المساواة.

تتكون التعبيرات في الجبر من ثوابت ومتغيرات. الثابت هو الكمية التي تظل قيمتها كما هي خلال مشكلة معينة. المتغير هو الكمية التي يمكن تغيير قيمتها مجانًا.

هناك نوعان من الثوابت - الثابتة والمتحركة. الأعداد مثل 7 و -3 و 1/2 و p هي أمثلة على الثوابت الثابتة. قيمهم لا تتغير أبدا. في 5x + 7 = 0 ، فإن الأرقام 0 و 5 و 7 هي ثوابت ثابتة.

يمكن تعيين قيم مختلفة للثوابت التعسفية لمشاكل مختلفة. يشار إلى الثوابت التعسفية بالحروف - غالبًا ما تكون الأحرف في بداية الأبجدية مثل أ ، ب ، ج ، د. في

يمثل الحرفان a و b ثوابت اعتباطية. تمثل الصيغة ax t b - 0 العديد من المعادلات الخطية. إذا قدمنا ​​قيمتين خاصتين أ وب ، لنقل أ - 5 وب = 7 ، فإن هذه الثوابت تصبح ثابتة ، لهذه المشكلة بالذات ، وتصبح المعادلة

قد يكون للمتغير قيمة واحدة أو قد يحتوي على العديد من القيم في dlscuseion. عادةً ما تُستخدم الأحرف في نهاية الأبجدية ، مثل x و y و z و w ، لتمثيل المتغيرات. في 5x + 7 ، الحرف x هو المتغير. إذا كانت x = 1 ، إذن

وما إلى ذلك لعدد قيم x التي نرغب في تحديدها.

إذا تم تعيين التعبير 5x + 7 مساويًا لرقم معين ، على سبيل المثال -23 ، فإن المساواة الناتجة

ينطبق على قيمة واحدة فقط من x. القيمة هي -6 ، منذ ذلك الحين

في التعبير الجبري ، تسمى المصطلحات التي تحتوي على متغير المصطلحات المتغيرة. المصطلحات التي لا تحتوي على متغير هي شروط ثابتة. يحتوي التعبير 5x + 7 على حد متغير واحد وحد ثابت واحد. الحد المتغير هو 5x ، بينما 7 هو الحد الثابت. في ax + b ، الفأس هو المصطلح المتغير و b هو المصطلح الثابت.

غالبًا ما يتم تحديد مصطلح متغير عن طريق تسمية المتغير الذي يحتوي عليه. في 5x + 7 ، 5x هو حد x. في ax + by ، الفأس هو الحد x ، بينما هو الحد y.


ملخص

المعادلة الخطية ذات المتغير الواحد تتكون من أرقام أو ثوابت ومضاعفات متغير. الشكل القياسي لمثل هذه المعادلة هو الفأس + ب = 0، أين أ و ب هي ثوابت و x متغير. غالبًا ما تكون المعادلة في شكل أكثر تعقيدًا.

يمكن إيجاد حل المعادلة من خلال العمل على المعادلة للحصول عليها بالصيغة المماثلة س = & ناقص / أ. بمعنى آخر ، أنت تريد ملف x وحده على الجانب الأيسر والعناصر الأخرى على الجانب الأيمن من المعادلة. القاعدة هي ما تفعله في الجانب الأيسر ، بينما تفعله في الجانب الأيمن.


6.1: المعادلات في متغير واحد - الرياضيات

هناك طريقتان سيتم استخدامهما في هذا الدرس لحل نظام المعادلات الخطية جبريًا. هم 1) الاستبدال، و 2) إزالة. كلاهما يهدف إلى حذف متغير واحد بحيث يمكن استخدام الوسائل الجبرية العادية لحل المتغير الآخر. بمجرد حل متغير واحد ، سيتم استخدام التعويض في كلتا الطريقتين المذكورتين أعلاه لإيجاد المتغير الثاني.

ظروف خاصة.
عند حل الأنظمة غير المتسقة جبريًا ، ستجد أن جميع المتغيرات تنخفض وأن العبارة المتبقية خاطئة. عندما تتلقى بيانًا خاطئًا لا يحتوي على متغيرات ، تحقق أولاً من الجبر. إذا قمت بذلك بشكل صحيح ، وبقيت عبارة خاطئة ، فأنت تعلم أنه ليس لديك حل ، والنظام غير متسق.

عند حل الأنظمة التابعة المتسقة جبريًا ، ستجد أن جميع المتغيرات تنخفض وأن العبارة المتبقية صحيحة. عندما تتلقى بيانًا صحيحًا لا يحتوي على متغيرات ، تحقق أولاً من الجبر. إذا قمت بذلك بشكل صحيح ، وبقيت عبارة صحيحة ، فأنت تعلم أن هناك عددًا لا حصر له من الحلول ، والنظام يعتمد بشكل ثابت.

طريقة الاستبدال.
لاستخدام طريقة الاستبدال ، يمكنك حل إحدى المعادلات لأي متغير ، ثم استبدال تعبير الجبر في نفس المتغير في المعادلة الأخرى. سيسمح لك ذلك بحل متغير واحد. ثم يمكنك استبدال هذه القيمة في أي من المعادلتين الأصليتين لإيجاد قيمة المتغير الآخر.


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع الإلكتروني أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


تطبيقات المعادلات الخطية

قد تعتقد أن موضوع الرياضيات هذا يقتصر فقط على المعرفة الكتابية والتطبيق. لكن المعرفة بهذا المفهوم يمكن تطبيقها لحل أسئلة التفكير التي تُطرح عادة في الامتحانات التنافسية. وبالمثل ، فإن هذا المفهوم له قابلية تطبيق واسعة تساعد في تحديد المشكلات غير المعروفة وحلها.

سؤال: راجو يبلغ من العمر ضعف عمر رخا. قبل 10 سنوات كان عمره ثلاث مرات من Rekha. ابحث عن عصورهم الحالية.

حل:
عمر راجو وريخا غير معروفين. افترض أن عمر رخا هو & # 8216x & # 8217 سنة ،
وفي السؤال يكون عمر الراجو ضعف عمر رخا أي & # 82162x & # 8217.
لذلك ، قبل 10 سنوات كان عمر Rekha & # 8216x-10 & # 8217 ، وسيكون عمر Raju & # 82162x-10 & # 8217.
على النحو الوارد ، قبل 10 سنوات ، كان عمر Raju & # 8217s ثلاث مرات من Rekha ، أي 2x - 10 = 3 (x - 10).
2x & # 8211 10 = 3 (x & # 8211 10)
2x & # 8211 10 = 3x & # 821130
س = 20


مشاكل كلمة واحدة متغيرة

مقاطع فيديو وأوراق عمل وحلول وأنشطة لمساعدة طلاب الجبر 1 على تعلم كيفية حل مشكلات كلمة واحدة متغيرة.

مشكلة كلمة واحدة متغيرة 1
تعرف على كيفية استخدام الجبر ومتغير واحد لتحديد أكثر من كمية غير معروفة ، وكتابة معادلة ، وحلها ، والتحقق منها.
أمثلة:
(1) حصلت جيمي على 15 نقطة في اختبارها أكثر مما حصلت عليه بول. مجموع نقاطهم يصل إلى 143. كم عدد النقاط التي حصل عليها كل طالب؟
(2) رقم واحد هو 10 أضعاف رقم آخر والفرق بينهما هو 63. أوجد الأرقام.
(3) الفرق بين عددين هو 8. إذا تم طرح الأكبر من ثلاثة أضعاف الأصغر ، يكون الفرق 100. أوجد الأرقام.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


شاهد الفيديو: حل المعادلات. 6ب. وقصة شنطتك وهدوم المدرسة (كانون الثاني 2022).