مقالات

11.3.2: العوامل والتشكيلات المركبة - الرياضيات


نتائج التعلم

  1. تقييم عاملي.
  2. استخدم الترميز المركب لتطبيقات الإحصاء.

عندما نحتاج إلى حساب الاحتمالات ، نحتاج غالبًا إلى عدة أرقام تنازلية. على سبيل المثال ، إذا كان هناك مجموعة مكونة من 52 بطاقة وأردنا اختيار خمسة منها بدون استبدال ، فهناك 52 اختيارًا للاختيار الأول ، و 51 اختيارًا للاختيار الثاني نظرًا لأنه تم بالفعل اختيار بطاقة واحدة ، و 50 خيارًا لل ثالثًا ، 49 خيارًا للرابع و 48 للخامس. إذا أردنا معرفة عدد النتائج المختلفة الموجودة ، فيمكننا استخدام ما نسميه مبدأ الضرب ومضاعفتها: (52 times51 times50 times49 times48 ). إذا أردنا اختيار جميع البطاقات الـ 52 واحدة تلو الأخرى ، فستكون هذه القائمة طويلة جدًا. بدلاً من ذلك ، هناك رمز يصف الضرب على طول الطريق وصولاً إلى 1 ، يسمى العامل. يجب أن يكون الأمر مثيرًا ، لأننا نستخدم الرمز "!" للمضروب.

مثال ( PageIndex {1} )

احسب (4! )

حل

نستخدم التعريف الذي يقول ابدأ من 4 واضرب حتى نصل إلى 1:

[4! : = : 4 times3 times2 times1 : = : 24 nonumber ]

مثال ( PageIndex {2} )

إذا اخترنا 5 بطاقات من مجموعة البطاقات المكونة من 52 بطاقة بدون استبدال ونفس المجموعتين المكونتين من 5 بطاقات ، ولكن في أوامر مختلفة ، تعتبر مختلفة ، فكم عدد المجموعات المكونة من 5 بطاقات؟

حل

من المقدمة ، عدد المجموعات هو فقط:

[52 times51 times50 times49 times48 nonumber ]

هذا ليس عامليًا تمامًا لأنه يتوقف عند 48 ؛ ومع ذلك ، يمكننا التفكير في هذا على أنه (52! ) مع إزالة (47! ) منه. بعبارة أخرى ، نحن بحاجة إلى إيجاد

[ frac {52!} {47!} nonumber ]

يمكننا فقط ضرب الأرقام من القائمة الأصلية ، ولكن من الجيد التدرب على الآلة الحاسبة أو الكمبيوتر للعثور على ذلك باستخدام! رمز. عندما تستخدم التكنولوجيا ، يجب أن تحصل على:

[ frac {52!} {47!} = 311،875،200 nonumber ]

مجموعات

أحد أهم تطبيقات العوامل هو المجموعات التي تحسب عدد الطرق لاختيار مجموعة أصغر من مجموعة أكبر عندما لا يكون الترتيب مهمًا. على سبيل المثال ، إذا كان هناك 12 شخصًا في الغرفة وتريد تحديد فريق من 4 منهم ، فإن عدد الاحتمالات يستخدم مجموعات. هنا التعريف:

التعريف: مجموعات

عدد طرق اختيار k عنصر بدون استبدال من مجموعة n من العناصر عندما لا يكون الأمر مهمًا هو:

[ binom {n} {r} : = : _ nC_r : = : frac {n!} {r! left (n-r right)!} ]

لاحظ أن هناك بعض الرموز. الأول هو أكثر من تدوين رياضي بينما الثاني هو التدوين الذي تستخدمه الآلة الحاسبة. على سبيل المثال ، في آلة حاسبة TI 84+ ، تدوين عدد المجموعات عند اختيار 4 من مجموعة 12 هو:

[12 : _ nC_r : 4 عدد غير رقمي ]

هناك العديد من مواقع الإنترنت التي ستؤدي مجموعات. على سبيل المثال ، يطلب منك موقع Math is fun أن تضعه (n ) و (r ) وأن تذكر أيضًا ما إذا كان الترتيب مهمًا وأن التكرار مسموح به. إذا قمت بالنقر فوق "لا" ، فستحصل على التوليفات.

مثال ( PageIndex {3} )

احسب

[ binom {15} {11} = _ {15} C_ {11} nonumber ]

حل

سواء كنت تستخدم آلة حاسبة يدوية أو كمبيوتر ، يجب أن تحصل على الرقم: (1365 )

مثال ( PageIndex {4} )

احتمالية الفوز في يانصيب Powerball إذا اشتريت تذكرة واحدة هي:

[P (win) = frac {1} {_ {69} C_5 times26} nonumber ]

احسب هذا الاحتمال.

حل

أولاً ، لنحسب (_ {69} C_5 ). باستخدام آلة حاسبة أو كمبيوتر ، يجب أن تحصل على 11.238.513. بعد ذلك ، اضرب في 26 لتحصل على

[11238513 مرات 26 = 292201،338 نونبر ]

وبالتالي ، هناك فرصة واحدة في 292،201،338 للفوز في يانصيب Powerball إذا قمت بشراء تذكرة. يمكننا أيضًا كتابة هذا في صورة عدد عشري بقسمة:

[P left (win right) = frac {1} {292،201،338} = 0.000000003422 nonumber ]

كما ترى ، فإن فرصك في الفوز بلعبة Powerball صغيرة جدًا.

ممارسه الرياضه

حجرة الدراسة مليئة بـ 28 طالبًا وسيكون هناك رئيس واحد للفصل وسيتم اختيار "كونغرس" من 4 آخرين. عدد الاحتمالات المختلفة لمجموعة القيادة هو:

[28 times_ {27} C_4 nonumber ]

احسب هذا الرقم لمعرفة عدد الاحتمالات المختلفة لمجموعة القيادة.


العوامل المعنوية ودالة جاما

في الرياضيات ، غالبًا ما نصادف التعبير التالي:

هذا هو & quotن عاملي & quot ، أو المنتج

العوامل المستخدمة في دراسة العد والاحتمال. على سبيل المثال ، تتطلب التباديل (التي تتضمن حساب ترتيب العناصر حيث يكون الترتيب مهمًا) والتركيبات (حيث لا يكون الترتيب مهمًا) كلاهما عاملين عندما يكون عدد العناصر كبيرًا.

أيضًا ، يتضمن العثور على احتمال الفوز بلوتو أو البطاقات عامليًا.

أمثلة على العوامل:


دعنا أولاً نتعرف على تعريف عاملي ثم سنناقش بعض الخصائص المرتبطة بالمضروب.

فيما يلي بعض الأمثلة بناءً على التعريف أعلاه:

يمكنك الآن حل المشكلات التالية بسهولة:

الآن ، دعنا نثبت أن 0! = 1. 0! = 1. 0! = 1.

أوجد أعلى قوة 125 تقسم إلى 100! 100! 1 0 0! .

الآن ، دعنا نتحدث عن ماهية العوامل المزدوجة. يتم الإشارة إلى هذا النوع من العوامل بواسطة n! ! ن!! ن ! ! . إنه نوع من العوامل المتعددة التي سيتم مناقشتها في هذا الويكي. بقدر ما يتعلق الأمر بالضرب المزدوج ، فإنه ينتهي بـ 2 2 2 لعدد زوجي ، وينتهي بـ 1 1 1 لرقم فردي. بعبارات أخرى،


التقليب والجمع

التباديل والتوافيق& # 8216 هو المنشور التالي من سلسلتي دروس الرياضيات عبر الإنترنت. انها مفيدة جدا ومثيرة للاهتمام كموضوع. & # 8217s أيضًا مفيدة جدًا في حل مشكلات الاحتمالات. لفهم التباديل والتوليفات ، نحتاج أولاً إلى فهم العوامل.

تعريف عامل-

إذا ضربنا عدد n من الأعداد الطبيعية المتتالية معًا ، فإن المنتج يسمى مضروب n. ما أظهره ن! او بواسطة

بعض خصائص العوامل

(ط) لا يمكن حساب العوامل إلا للأعداد الصحيحة الموجبة في هذا المستوى. نستخدم وظائف جاما لتحديد مضروب غير صحيح & # 8217s غير مطلوب في هذا المستوى

(2) يمكن كتابة عاملي الرقم كمنتج لهذا الرقم مع مضروب سلفه

(3) يمكنك مشاهدة هذا الفيديو للتوضيح.

(4) إذا أردنا تبسيط تعبير & # 8220permutations والتركيبات & # 8221 الذي يحتوي على عوامل في البسط وكذلك في المقام ، فإننا نجعل جميع المضروب تساوي أصغر مضروب

الأس أو الرقم الأولي p في n!

لنفترض & # 8217s أن p عدد أولي وأن n عدد صحيح موجب ، ثم أس p في n! يرمز له Eص (ن!)

لا يمكننا استخدام هذه النتيجة & # 8217t لإيجاد أس الأعداد المركبة.

المبدأ الأساسي للعد

الكل تقريبا مدرسو البكالوريا الدولية عبر الإنترنت، قم بتدريس التمرين الأول للتباديل والتوليفات التي تستند إلى المبدأ الأساسي للعد. يمكننا تعلمها في خطوتين.

مبدأ الإضافة

إذا كانت هناك طرق x مختلفة للقيام بعمل ما وطريقتان مختلفتان لعملان آخران وكان كلا العملين مستقلين عن بعضهما البعض ، فهناك (س + ص) طرق للقيام بالعمل الأول أو الثاني

مثال-

إذا تمكنا من اختيار رجل في فريق من خلال 6 طرق مختلفة وامرأة بأربع طرق مختلفة ، فيمكننا اختيار رجل أو امرأة بنسبة 6 + 4 = 10 طرق مختلفة.

مبدأ الضرب

إذا كانت هناك طرق x مختلفة للقيام بعمل ما و y طرق مختلفة للقيام بعمل آخر وكان كلا العملين مستقلين عن بعضهما البعض ، فهناك طرق (x.y) للقيام بكلا العملين الأول والثاني AN D.

مثال

إذا تمكنا من اختيار رجل في فريق من خلال 6 طرق مختلفة وامرأة بأربع طرق مختلفة ، فيمكننا اختيار رجل وامرأة بنسبة 6 * 4 = 24 طريقة مختلفة.

تعريف التقليب

تُعرف عملية إجراء ترتيبات مختلفة للأشياء والحروف والكلمات وما إلى ذلك عن طريق تغيير موضعها باسم التقليب

مثال

A و B و C عبارة عن أربعة كتب ثم يمكننا ترتيبها بـ 6 طرق مختلفة ABC و ACB BCA و BAC CAB CBA. لذلك يمكننا القول أن هناك 6 تباديل مختلفة لهذا الترتيب.

عدد التباديل لـ n كائنات مختلفة مأخوذة كلها في وقت واحد

إذا أردنا ترتيب عدد n من الكائنات في أماكن مختلفة n ، فإن العدد الإجمالي لطرق القيام بذلك أو العدد الإجمالي للتباديل =

= ن! هنا P يمثل التباديل

عدد التباديل لـ n كائنات مختلفة مأخوذة r في وقت واحد

إذا أردنا ترتيب عدد n من الكائنات في أماكن مختلفة ، فإن العدد الإجمالي لطرق القيام بذلك أو العدد الإجمالي للتباديل =

= هنا تمثل التباديل n من الكائنات المأخوذة r في وقت واحد.

عدد التباديل لـ n كائنات عندما لا تكون كل الكائنات مختلفة

إذا كان لدينا عدد إجمالي من الكائنات ، منها p من نوع واحد ، و q من نوع آخر ، و r من أي نوع آخر ، والكائنات المتبقية كلها مختلفة عن بعضها البعض ، فإن العدد الإجمالي لطرق ترتيبها =

عدد التبديلات لعدد n من الكائنات المختلفة المأخوذة كلها في وقت يُسمح فيه بتكرار الكائنات

إذا أردنا ترتيب عدد n من الكائنات في n أماكن مختلفة ولدينا الحرية في تكرار الكائنات عدة مرات كما نرغب ، فإن العدد الإجمالي لطرق القيام بذلك أو العدد الإجمالي للتباديل =

عدد التباديل لـ n من الكائنات المختلفة المأخوذة r في الوقت الذي يُسمح فيه بتكرار الكائنات

إذا أردنا ترتيب n كائنات في أماكن مختلفة (مع أخذ r في كل مرة) ولدينا الحرية في تكرار الكائنات عدة مرات كما نرغب ، فإن العدد الإجمالي لطرق القيام بذلك أو العدد الإجمالي للتباديل =

التباديل الدائري- عندما نتحدث عن ترتيبات الأشياء ، فهذا يعني عادة الترتيبات الخطية. ولكن إذا أردنا ، يمكننا أيضًا ترتيب الأشياء في حلقة. مثلما يمكننا أن نطلب من ضيوفنا الجلوس حول طاولة طعام مستديرة. تسمى هذه الأنواع من الترتيبات التباديل الدائري.

إذا أردنا ترتيب n كائنات في دائرة ، فإن العدد الإجمالي للطرق / التباديل الدائري = (n-1)! تعمل هذه الحالة عندما يكون هناك بعض الاختلاف بين الأوامر على مدار الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة

إذا لم يكن هناك تمييز بين أوامر عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة ، فإن العدد الإجمالي للتبديلات = (n-1)! / 2

خذ المساعدة من مدرسو الرياضيات مجانًا في حالة وجود أي صعوبة

التبديلات المقيدة

قد تكون هناك الحالات التالية من التقليب المقيد

(أ) عدد ترتيبات العناصر "n" ، مأخوذة "r" في وقت ما ، عندما يتم دائمًا تضمين كائن معين =

(ب) عدد ترتيبات العناصر "n" ، المأخوذة "r" في وقت واحد ، عندما يتم إصلاح كائن معين: =

(ج) عدد الترتيبات الخاصة بالأجسام "n" المأخوذة "r" في كل مرة ، عندما لا يتم أخذ كائن معين مطلقًا: = n-1 Pص.

(د) عدد ترتيبات "n" الكائنات ، المأخوذة "r" في كل مرة ، عندما تأتي العناصر المحددة "m" دائمًا مع بعضها البعض =

(هـ) عدد الترتيبات الخاصة بالأشياء "n" ، المأخوذة كلها في وقت واحد ، عندما تأتي عناصر "m" دائمًا مع بعضها البعض =

في رسالتي التالية ، سأناقش بالتفصيل حول المجموعات وسأشارك ورقة عمل كبيرة بناءً على P & amp C. في غضون ذلك ، يمكنك تنزيل هذه الأسئلة وحلها.

تحقق أيضًا من المنشور الوارد أدناه حول التقليب والجمع

انقر ل الحصول على مجانا دروس الرياضيات عبر الإنترنت

Whatsapp على +919911262206 أو املأ النموذج للحصول على حصة مجانية لمدة ساعة


عاملي تدوين

بشكل عام ، n! هو حاصل ضرب جميع أرقام العد التي تبدأ بـ ن ونعد تنازليًا حتى 1. نحدد 0! ليكون 1.

يصف الرسم البياني التالي الترميز المضروب ويعطي بعض الأمثلة باستخدام العوامل. قم بالتمرير لأسفل الصفحة لمزيد من الأمثلة والحلول باستخدام العوامل.

العثور على قيمة كل تعبير:
أ) 3!
ب) 0!
ج) 5!
د) 1!
ه) 3! + 2!
F)

أ) 3! = 3 مرات 2 مرات 1 = 6
ب) 0! = 1
ج) 5! = 5 مرات 4 مرات 3 مرات 2 مرات 1 = 120
د) 1! = 1
ه) 3! + 2! = (3 مرات 2 مرات 1) + (2 مرات 1) = 8
F)

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


طريقتان لتقدير عاملي العدد

ابدأ بالرقم 5 ، ثم عد تنازليًا حتى تصل إلى 1. ثم اضرب هذه الأرقام لتحصل على الإجابة.

أو يمكنك القيام بذلك في الاتجاه المعاكس. ابدأ بالعد من 1 حتى تصل إلى الرقم المستهدف وهو في هذه الحالة 5. اضرب هذه العوامل للحصول على الإجابة.

إذن هنا & # 8217s الصيغة العامة للمضروب التي أعتقد أنك بحاجة إلى تذكرها. & # 8217t لا يهم أي واحد تستخدمه لحل مشكلة ، فإن الإجابة ستظهر كما هي. ومع ذلك ، فإن الطريقة الأولى هي & # 8220preferred & # 8221 ، لذا اسأل معلمك إذا كنت & # 8217re غير متأكد.


& bull توسيع عاملي

ن! أو & angn = 1 مرات 2 مرات 3 مرات 4 مرات. & مرات n.
(أو) = 1 مرات 2 مرات 3 مرات 4 مرات. & مرات (ن & ناقص 2) × (س & ناقص 1) & مرات n.
(أو) = n & times (n & minus 1) & times (n & minus 2) & times (n & minus 3) & times. & مرات 3 & مرات 2 & مرات 1.
(أو) = ن & مرات (ن & ناقص 1)! [منذ 1 x 2 x 3 x. س (ن - 1) = (ن - 1)!]
(أو) = n & times (n & minus 1) & times (n & minus 2)! [منذ 1 x 2 x 3 x. س (ن - 2) = (ن - 2)!]
(أو) = n & times (n & minus 1) & times (n & minus 2) & times (n & minus 3)! [منذ 1 × 2 × 3 ×. س (ن - 3) = (ن - 3)!]

سيكون هذا مفيدًا للغاية في تبسيط المشكلات التي تتضمن رموز العوامل.

العوامل والعمليات الحسابية


Factorials في Excel

نظرًا لأن علامة التعجب هي رمز عاملي ، فقد تتوقع أن يتم التعرف عليه بواسطة Excel ، ولكن ستصلك رسالة خطأ إذا حاولت إدخال صيغة مثل =5!.

لحساب العوامل في التفوق ، يجب عليك استخدام حقيقة وظيفة.

= حقيقة (5) سيحسب مضروب 5 في Excel.

إذا كنت & # 8217 غير معتاد على صيغ ووظائف Excel ، يمكنك الاستفادة بشكل كبير من كتاب المهارات الأساسية الإلكتروني المجاني تمامًا.

يتم شرح العديد من الوظائف المتقدمة بشكل متعمق في كتب مهارات الخبراء والكتب الإلكترونية الخاصة بنا.


التباديل والتوافيق

ما هو عدد الطرق التي يمكن ترتيب الأشخاص فيها: آنا وبابس وكولين وديف؟

سنبدأ مع آنا أولاً:

ا ب ت ث ABDC ACBD ACDB ADBC بنك أبوظبي التجاري

نظرًا لوجود 6 ترتيبات مع Anna أولاً ، يجب أيضًا أن يكون هناك 6 ترتيبات مع Babs أولاً. وبالمثل ، سيكون هناك 6 ترتيبات لكولن وديف أولاً.

ومن ثم هناك 24 ترتيبًا إجمالًا. تسمى هذه الترتيبات الـ 24 المختلفة التباديل.

هناك طريقة أخرى للتفكير في هذا وهي القول بأنه يمكننا الاختيار

  • أول شخص في 4 طرق (حيث يوجد 4 أشخاص للاختيار من بينها)
  • الشخص الثاني بثلاث طرق (حيث يوجد الآن 3 أشخاص فقط للاختيار من بينهم)
  • الشخص الثالث بطريقتين (حيث يوجد الآن شخصان فقط للاختيار من بينهما)
  • آخر شخص بطريقة واحدة (حيث يوجد الآن شخص واحد فقط للاختيار من بينها)

لذا فإن عدد الترتيبات = 4 مرات 3 مرات 2 مرات 1 = 24 طريقة

هناك طريقة أخرى لإظهار ذلك وهي: 4 مرات 3 مرات 2 مرات 1 = 4! (اتصل 4 عاملي )

بشكل عام ، عدد طرق ترتيب n كائنات مختلفة (مختلفة) هو:

ن! (مضروب ن)

على سبيل المثال:

عدد طرق ترتيب وقوف 7 أشخاص في طابور هو:

ستحتوي الآلة الحاسبة على زر يحسب العوامل نيابة عنك. جربه مع العوامل التالية:

التبديلات عندما لا تكون كل الأشياء مميزة

ماذا يحدث إذا لم تكن كل الأشياء متمايزة؟

عدد طرق ترتيب n من الكائنات التي تكون r هي نفسها

بالإضافة إلى ذلك ، فإن عدد طرق ترتيب n كائنات من p من نوع واحد متشابهة ، q من النوع الثاني متشابهة ، r من النوع الثالث متشابهة ، إلخ.

يتم إعطاء هذا من قبل:

على سبيل المثال:

ما هو عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب أحرف إحصائيات الكلمات؟

يوجد 10 أحرف في "الإحصائيات" و: يحدث S 3 مرات
T يحدث 3 مرات
أنا أتحدث مرتين

. لا يزال عددًا كبيرًا جدًا من الطرق.

تباديل أخرى

افترض أنه كان هناك 8 سباحين في سباق 50 متر فراشة.

ما هو عدد الطرق المختلفة التي يمكن ملء المراكز الثلاثة الأولى بها؟

    يمكننا اختيار السباح الأول بـ 8 طرق (حيث يوجد 8 سباحين للاختيار من بينهم)
  • السباح الثاني بـ 7 طرق (حيث يوجد الآن 7 سباحين فقط للاختيار من بينهم)
  • السباح الثالث بـ 6 طرق (حيث يوجد الآن 6 سباحين فقط للاختيار من بينهم)

لذا فإن عدد التباديل = 8 مرات 7 مرات 6 = 336

ستعطينا إعادة كتابة هذه النتيجة باستخدام طريقة العوامل معادلة مفيدة لجميع الأسئلة من هذا النوع:

ملحوظة: 8 & ناقص 3 = 5 ، وهو عدد السباحين مطروحًا من عدد الأماكن المراد ملؤها.

نأمل من هذا أن نرى القاعدة العامة التالية:

يتم كتابة عدد التباديل للكائنات r من n كـ n pص

تلميح مفيد:
تتضمن جميع أسئلة التقليب تقريبًا ترتيب الأشياء من سطر حيث يكون الترتيب مهمًا. على سبيل المثال ABC هو تبديل مختلف لـ ACB.

مجموعات

افترض أننا نرغب في الاختيار ص كائنات من ن، لكن الترتيب الذي يتم ترتيب العناصر به لا يهم. يسمى هذا الاختيار أ مزيج.

ستكون ABC هي نفس تركيبة ACB لأنها تتضمن جميع الأحرف نفسها.

يمكن كتابة عدد مجموعات كائنات r من n ، كائنات مميزة بطريقتين:

مرة أخرى ، لنأخذ 8 سباحين أولمبيين. ومع ذلك ، نريد هذه المرة اختيار فريق مكون من 3 أفراد.

ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

يمكننا أن نرى بوضوح هذه المرة ، الترتيب الذي يتم فيه اختيار السباحين لا يهم.

على سبيل المثال ، اختيار السباحين 1 و 4 و 7 سيمنحنا نفس الفريق (والمجموعة) تمامًا مثل اختيار السباحين 4 و 7 و 1. هذا يعني أن لدينا مشكلة في التوليفات.

نحن نختار 3 من 8 لذلك:

ملحوظة: أن يضيف المقام ليمنحك البسط. هذا ليس من قبيل الصدفة والإرادة دائما يحدث. استخدم هذا للتحقق من أعمالك.


نن!نتيجة
011
111
22 × 1!2
33 × 2!6
44 × 3!24
55 × 4!120
66 × 5!720
77 × 6!5,04
88 × 7!40,32
99 × 8!362,88
1010 × 9!3,628,800
1111 × 10!39,916,800
1212 × 11!479,001,600
1313 × 12!6,227,020,800
1414 × 13!87,178,291,200
1515 × 14!1,307,674,368,000
1616 × 15!20,922,789,888,000
1717 × 16!355,687,428,096,000
1818 × 17!6,402,373,705,728,000
1919 × 18!121,645,100,408,832,000
2020 × 19!2,432,902,008,176,640,000
2121 × 20!51,090,942,171,709,440,000
2222 × 21!1,124,000,727,777,607,680,000
2323 × 22!25,852,016,738,884,976,640,000
2424 × 23!620,448,401,733,239,439,360,000
2525 × 24!15,511,210,043,330,985,984,000,000

استخدم العلماء الهنود العامل المضروب لحساب التباديل على الأقل في وقت مبكر من القرن الثاني عشر.

بعد ذلك ، وصف فابيان ستيدمان العوامل التي تُطبق لتغيير الرنين ، وهو فن موسيقي يتضمن رنين العديد من الأجراس المضبوطة في عام 1677. يعطي ستيدمان بيانًا للمضروب:

"الآن طبيعة هذه الأساليب هي أن التغييرات على رقم واحد تدرك [تشمل] التغييرات على جميع الأرقام الأقل & # 8230 لدرجة أنه يبدو أن مجموعة كاملة من التغييرات على رقم واحد تتشكل من خلال توحيد يندفع على جميع الأعداد الصغرى في جسد واحد كامل "

في عام 1808 ، قدم عالم الرياضيات الفرنسي كريستيان كرامب التدوين n !.


5 إجابات 5

$ sin x = frac<1!> - frac<3!> + frac<5!> - frac<7!> + frac<9!> - frac> <11!> + cdots $ $ cos x = 1- frac<2!> + frac<4!> - frac<6!> + frac<8!> - frac> <10!> + cdots $ $ e ^ x = 1 + frac<1!> + frac<2!> + frac<3!> + frac<4!> + frac<5!> + cdots $ دالتا الجيب وجيب التمام مهمتان في علم المثلثات ، والذي له تطبيقات عملية في المسح وعلم الفلك. يتم استخدام الدالة الأسية لحساب الفائدة المركبة.

  1. خلال برنامج تعليم الرياضيات ، ستواجهه عادةً في حساب التفاضل والتكامل ، على سبيل المثال نظرية تايلور $ f (x) = sum_^ infty فارك(x_0)>(س- x_0) ^ ك. $ ونظرية ذات الحدين $ (a + b) ^ n = sum_^ n binomأ ^ ك ب ^، رباعي binom= فارك$ أو التوافقية (فن العد). تظهر التباديل في الجبر. في هذا الموقع ، كان آخر استخدام لي للعوامل ووظيفة جاما هذه (من النظرة الأولى مخيفة نوعًا ما) المعادلة: ابدأ فارك <(- n) ^ جاما (n + 1)> <(1-n) _> & amp = frac <(- n) ^n!> <(1-n) (1-n + 1) (1-n + 2) cdots -2 cdot -1> & amp = prod_^ فارك <(ك + 1) n ^ 2> & amp = frac <2 n ^ 2> cdot frac <3 n ^ 2> cdot frac <4 n ^ 2> cdots فارك<4n> cdot frac<3 n> cdot frac<2 n> cdot n ^ 2 & amp = n ^ n end تاريخيا ، كانت مشاكل القمار سببًا رئيسيًا لتطوير نظرية التوافقية والاحتمالات.
  2. إنه سؤال صالح لتوسيع العامل ، وهو دالة ذات أعداد طبيعية كوسيطة ، إلى مجالات أكبر ، مثل الأعداد الحقيقية أو المركبة. ظهرت دالة جاما أيضًا عدة مرات كتكاملات معينة ، لذلك أعطاها علماء الرياضيات اسمًا وبالطبع لاحظوا العلاقة مع العوامل. انظر الرسم البياني في نهاية هذا النشر. تطبيقي المفضل لوظيفة جاما هو حجم الكرة وسطحها بأبعاد $ n $: $ V_n (r) = frac < pi ^> < جاما يسار ( frac<2> +1 right)> r ^ n quad quad S_n (r) = frac < pi ^> < جاما يسار ( frac<2> right)> r ^ $
  3. لقد طلبت هذا الاستيفاء عبر "البيزير السلس". منحنى بيزير هو دالة استيفاء. قم بإسقاط هذا الجزء أو جرب خيارات مختلفة للتخطيط ، راجع "مخطط المساعدة" داخل gnuplot. على سبيل المثال:

ارسم "عاملي" باستخدام 1: 2 مع خطوط

هنا مخطط مع دالة جاما ، أو بشكل أكثر دقة ، $ Gamma (x + 1) $:

حسنًا ، على الرغم من أن عنوان السؤال يطلب تطبيقات عملية ، فإن البروتوكول الاختياري يطالب حقًا بتطبيقات "العالم الحقيقي" (ربما يجب استبدال "العملية" بكلمة "واقعية" هنا). إذا كان الأمر كذلك ، يتبادر إلى الذهن مجال واحد: المقامرة.

في أي لعبة ورق ، إذا كنت تريد حساب (أو حتى تقدير) احتمالية النتائج الإيجابية ، فيجب أن تكون لديك معرفة عملية بالعوامل.

فكر في أي لعبة فيديو ، أو تتابع لقاء المضمار ، حيث تختار اللاعبين ليذهبوا أولاً أو ثانيًا أو ثالثًا أو رابعًا في السباق. أو في أي وقت لديك القدرة على القيام بعدد من الأنشطة بأي ترتيب ، مثل قائمة الأعمال الروتينية.

أنا أستخدم ماريو وسونيك في الألعاب الأولمبية كمثال. يمكنك وضع Sonic في المرتبة الأولى أو الثانية أو الثالثة أو الرابعة. يمكنك ترتيب Sonic وأي شخص آخر في فريقك للتوصل إلى أفضل فريق للفوز بالسباق.

يعتمد عدد الاحتمالات على العدد الإجمالي لزملائك في الفريق. في هذه الحالة ، تبدأ بأربع خانات لملء فريقك. تضرب كل رقم متبقي تحت 4 حتى تحصل على 1 ثم توقف. من خلال الضرب ، تجد العدد الإجمالي للتركيبات التي يمكنك التركيز عليها قبل أن تبدأ اللعبة. إذن في هذا المثال $ 4! $ هو 4 $ times3 times2 times1 = 24 $ ممكن.

إذا قمت بعمل قائمة روتينية من 12 عنصرًا ستجدها ، فإن 12 دولارًا! $ 12 times11 times10 times9 times8 times7 times6 times5 times4 times3 times2 times1 = 479،001،600 $ ممكن. هذا ليس مفيدًا من الناحية العملية ولكنه يظهر قوة الاحتمالات.

4 دولارات! = 24 دولارًا. حتى 24 ساعة في اليوم. الترتيب الذي تقضيه وقتك هو عامل تستخدمه كل يوم دون تفكير.

3 دولارات! = 6 دولارات. أي شيء يحتوي على 6 نكهات فريدة ، يمكنك دمجه بأي ترتيب ، أو لعبة تحتوي على 6 حركات محتملة يمكنك القيام بها بأي ترتيب هي عاملي آخر.

آمل أن يساعد هذا المثال. أنا مدرس رياضيات للصف الرابع / الخامس واستخدم هذا المثال لتحدي طلابي لتعلم المزيد من الرياضيات وتطبيقها!


شاهد الفيديو: رياضيات الثالث متوسط المتباينة المركبة. التي تتضمن و. منهج 2021. محاضرة 11 (كانون الثاني 2022).