مقالات

9.0: مقدمة للهويات المثلثية والمعادلات - الرياضيات


الرياضيات موجودة في كل مكان ، حتى في الأماكن التي قد لا نتعرف عليها على الفور. يوضح الرسم البياني الجيبي في الشكل ( PageIndex {1} ) تشغيل الموسيقى على الهاتف أو الراديو أو الكمبيوتر. يتم وصف هذه الرسوم البيانية باستخدام المعادلات والدوال المثلثية. في هذا الفصل ، نناقش كيفية معالجة المعادلات المثلثية جبريًا من خلال تطبيق الصيغ المختلفة والمتطابقات المثلثية. سنبحث أيضًا في بعض الطرق التي تُستخدم بها المعادلات المثلثية لنمذجة ظواهر الحياة الواقعية.


تأمل المثال المألوف لمثلث قائم الزاوية 45-45-90 زواياه 4 5 ∘ و 45 ^ circ و 4 5 ∘ و 4 5 ∘ و 45 ^ circ و 4 5 ∘ و 9 0. 90 ^ دائري. 9 0 ∘. وفقًا لنظرية فيثاغورس ، يجب أن يكون لمثل هذا المثلث وتر طوله 2 sqrt <2> 2

مرات من كل من الساقين:

في هذه الحالة ، بالنسبة إلى إحدى الزوايا الحادة للمثلث ، يمكن للمرء أن يكتب نسبة الأضلاع على النحو التالي

الضلع المقابل الوتر = 1 2 ، الضلع المجاور الوتر = 1 2 ، الضلع المقابل الضلع المجاور = 1. frac < text> < نص> = frac <1> < sqrt <2>> ، quad frac < text> < نص> = frac <1> < sqrt <2>> ، quad frac < text> < نص> = 1. الوتر الضلع المقابل = 2

1 ، وتر المثلث الضلع المجاور = 2

1 ، الضلع المجاور المقابل = 1.

أضعاف طول الساق الأقصر بينما يبلغ طول الوتر ضعف طول الساق الأقصر:

الضلع المقابل الوتر = 1 2 ، الضلع المجاور الوتر = 3 2 ، الضلع المقابل الضلع المجاور = 1 3. فارك < نص> < نص> = frac <1> <2>، quad frac < text> < نص> = frac < sqrt <3>> <2> ، quad frac < text> < نص> = frac <1> < sqrt <3>>. وتر المثلث الضلع المقابل = 2 1 ، وتر المثلث الضلع المجاور = 2 3

، الضلع المجاور المقابل = 3

في كلتا الحالتين ، يحدد تحديد الزوايا الحادة للمثلث القائم النسب النسبية بين كل جانب. عندما تصبح إحدى الزوايا أصغر والأخرى أكبر ، يزداد الجانب المقابل للزاوية الأكبر بينما ينمو الجانب المقابل للزاوية الأصغر.

لا يوجد سبب يمنع تحديد النسب أي مثلث صحيح تعسفي. من حيث المبدأ ، بالنظر إلى إحدى الزوايا الحادة لمثلث قائم الزاوية ، فإن النسب بين كل زوج من الأضلاع ثابتة. بمعنى آخر ، يمكن النظر في النسب بين الجانبين المهام لقياس زاوية حادة. في علم المثلثات ، تشكل النسب الثلاثة أساس تعريف الوظائف المثلثية الأساسية الثلاثة ، والتي تسمى شرط, جيب التمام، و ظل.

  • ال شرط من θ theta θ مكتوب على هيئة sin ⁡ θ sin < theta> sin θ ويعرف على أنه النسبة sin ⁡ θ = الضلع المقابل وتر المثلث. sin < theta> = frac < text> < نص>. sin θ = الوتر الضلع المقابل.

  • ال جيب التمام من θ ثيتا θ يُكتب كـ cos ⁡ θ cos < theta> cos θ ويعرف على أنه النسبة cos ⁡ θ = طول وتر الضلع المجاور. cos < theta> = frac < text> < نص>. cos θ = الوتر الضلع المجاور.

  • ال ظل من θ ثيتا θ مكتوب بالصيغة tan ⁡ θ tan < theta> tan θ ويتم تعريفه على أنه النسبة tan ⁡ θ = الضلع المقابل الضلع المجاور = sin ⁡ θ cos ⁡. tan < theta> = frac < text> < نص> = فارك < الخطيئة < ثيتا >> < كوس < ثيتا >>. tan θ = الضلع المجاور المقابل = cos θ sin θ.

بالإضافة إلى ذلك ، نظرًا لاستخدامها بشكل متكرر ، فإن معاملات الجيب وجيب التمام والظل لها أيضًا أسماء: فهي قاطع التمام, قاطع، و ظل التمام.

  • ال قاطع التمام من θ theta θ مكتوب كـ csc ⁡ θ csc < theta> csc θ ومُعرَّف على أنه csc ⁡ θ = 1 sin ⁡ θ. csc < theta> = frac <1> < sin < theta >>. csc θ = sin θ 1.

  • ال قاطع من θ theta θ يُكتب كـ sec ⁡ θ sec < theta> sec θ ويتم تعريفه على أنه sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ. ثانية < ثيتا> = فارك <1> < كوس < ثيتا >>. ثانية θ = كوس θ 1.

  • ال ظل التمام من θ ثيتا θ مكتوب على شكل سرير نقال ⁡ c cot < theta> cot ويعرف بأنه سرير ⁡ θ = 1 تان ⁡ θ. cot < theta> = frac <1> < tan < theta >>. سرير = تان θ 1.

في حين أن قيم الدوال المثلثية لزوايا معينة يمكن حسابها لتكون عددًا جبريًا (أي يمكن التعبير عنها من حيث الكسور والجذور وحدها) ، بشكل عام ، قد يكون الجيب أو جيب التمام لزاوية تعسفية متساميًا. تم إثبات ذلك من خلال نظرية بيكر.

احسب قيمة الدوال المثلثية الست لـ θ = 3 0 ∘ theta = 30 ^ circ θ = 3 0 ∘.

مما نعرفه عن المثلث القائم 30-60-90 ، لدينا

sin ⁡ 3 0 ∘ = الضلع المقابل الوتر = 1 2، cos ⁡ 3 0 ∘ = الضلع المجاور الوتر = 3 2، tan ⁡ 3 0 ∘ = الضلع المقابل الضلع المجاور = 3 1. sin <30 ^ circ> = frac < text> < نص> = frac <1> <2>، quad cos <30 ^ circ> = frac < text> < نص> = frac < sqrt <3>> <2> ، quad tan <30 ^ circ> = frac < text> < نص> = frac <1> < sqrt <3>>. sin 3 0 ∘ = الضلع المقابل للوتر = 2 1 ، cos 3 0 ∘ = وتر المثلث الضلع المجاور = 2 3

، tan 3 0 ∘ = الضلع المجاور المقابل = 3

​ 1 ​ .

هكذا

csc ⁡ 3 0 ∘ = 1 sin ⁡ 3 0 ∘ = 2، sec ⁡ 3 0 ∘ = 1 cos ⁡ 3 0 ∘ = 2 3، cot ⁡ 3 0 ∘ = 1 tan ⁡ 3 0 ∘ = 3. □ csc <30 ^ circ> = frac <1> < sin <30 ^ circ >> = 2، quad sec <30 ^ circ> = frac <1> < cos <30 ^ Circ >> = frac <2> < sqrt <3>> ، quad cot <30 ^ circ> = frac <1> < tan <30 ^ circ >> = sqrt <3> . _ مربع csc 3 0 ∘ = sin 3 0 ∘ 1 = 2 ، ثانية 3 0 ∘ = cos 3 0 ∘ 1 = 3

2، سرير 3 0 ∘ = tan 3 0 ∘ 1 = 3

​ . □ ​

تذكر أن الزاويتين والجانب بينهما أو بين الجانبين والزاوية بينهما تحدد مثلثًا فريدًا. في النهاية ، تسمح الدوال المثلثية للفرد بتحديد جميع الجوانب والزوايا غير المعروفة لمثلث محدد بشكل فريد.


9.0: مقدمة للهويات المثلثية والمعادلات - الرياضيات

علم المثلثات تتراكم. ما هو طول هذا الجانب؟

(10.69-3.2 = 7.49 tan42 ^ o = frac<7.49> tan42 ^ o almost0.9 \ frac<7.49>=0.9 o dapprox6.74\\sin37^o=frac<6.74> sin37 ^ o almost0.602 \ frac <6.74>= 0.602 إلى البريد حوالي 11.2 11.2 + 4.3 = 15.5 sin53 ^ o = frac<15.5> sin53 ^ o حوالي 0.8 \ frac<15.5> = 0.8 to f حوالي 12.4 )

(12.4-2.2 = 10.2 g ^ 2 = 10.2 ^ 2 + 1.7 ^ 2 to g حوالي 10.34 cos21 ^ o = frac <10.34> cos21 ^ o حوالي 0.934 \ frac <10.34>= 0.934 to h = 11.07 11.07 + 1.7 = 12.77 sin71 ^ o = frac<12.77> sin71 ^ o حوالي 0.946 \ frac<12.77> = 0.946 to x حوالي 12.1 (سم) leftarrow إجابة )



يقسم هذا الدرس الدوال اللوغاريتمية الصعبة إلى مكوناتها الأساسية: القاعدة (ب) ، وقيمة الإدخال الثابتة (ص) ، ومخرجات الدالة ، س ، وبالتالي يُكتب اللوغاريتم بالشكل ب س = ص. يتناول هذا الدرس أيضًا هوية المنتج ، وهوية الحصة ، وهوية القوة ، والقواعد المتغيرة.

يشير كل من الإحداثيات القطبية والمستطيلة إلى نقطة على الرسم البياني أو الرسم البياني. في كثير من الأحيان ، يتم استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد الإحداثيات المقابلة. اقرأ هذا الدرس للحصول على نصائح تحويل سريعة!


علم المثلثات

من الرسم البياني التالي نرى أن sin (& pi - & theta) = sin & theta و cos (- & theta) = cos & theta. نستخدم هذا لإيجاد حلول بعض المعادلات المثلثية.

حالة 1: -1 & جنيهذ& le 1 ، أي قيمة ذ يقع بين -1 و 1 ، لذا يوجد حل.

مجموعة كل الحلول ل الخطيئة (x) = ذ هو

أين ك يمكن أن يكون أي عدد صحيح ، أي حلول x تتكون من الخطيئة -1 (ذ) بالإضافة إلى كل مضاعفات & بي، معا مع ناقص الخطيئة -1 (ذ) بالإضافة إلى الكل الفردية مضاعفات & بي.

الحالة 2: -1 & GT ذ أو ذ & gt 1 ، أي أن قيمة y كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا بحيث يتعذر الوصول إلى حل.

حالة 1: -1 & جنيهذ& لو 1

مجموعة كل الحلول ل كوس (x) = ذ هو

أين ك يمكن أن يكون أي عدد صحيح

الحالة 2: -1 & GT ذ أو ذ & GT 1

مجموعة كل الحلول ل تان (x) = ذ هو


اشتقاق الشكل القطبي

على الرغم من أن هوية أويلر تأتي من الشكل القطبي للأعداد المركبة ، إلا أنه من المستحيل اشتقاق الصيغة القطبية (على وجه الخصوص المظهر التلقائي للعدد ه) بدون حساب التفاضل والتكامل.

نبدأ بالصيغة المستطيلة للعدد المركب:

من الرسم التخطيطي وعلم المثلثات ، يمكننا إجراء الاستبدالات التالية:

من هنا يمكننا أن نخرج ص:

وظيفة رابطة الدول المستقلة& فاي تبين أنها تساوي ه& فاي. هذا هو الجزء الذي يستحيل إظهاره بدون حساب التفاضل والتكامل. يتم عرض اثنين من الاشتقاقات أدناه:


9.0: مقدمة للهويات المثلثية والمعادلات - الرياضيات

سؤال من عكاش طالب:

دورة الدالة f (x) = cos3x + sin4x + tan4x

فترة دالة حساب المثلثات

دورة دالة مثلثية t (x) هي المسافة في x التي يستغرقها النمط ليكرر نفسه.

يبدو التمثيل البياني لدالة الظل tan (x) كما يلي (x بالدرجات هنا):

إذن ، الفترة في هذه الحالة هي 180 درجة ، حيث يتكرر النمط كل 180 وحدة من x. إذا استبدلنا x بـ 3x + 90 & deg ، ثم رسم بياني tan (3x + 90 & deg) ، فسيبدو كما يلي:

لذا فإن فترة هذه الوظيفة هي 60 درجة. في الواقع ، هذا العامل أمام x يخبرنا بما ستكون عليه الفترة ، إذا عرفنا الفترة الطبيعية (بدون عامل معين). في حالة تان () تكون 180 درجة. تضرب الفترة العادية في مقلوب العامل أمام x. يجب أن تكون قادرًا على تحديد ما هو طبيعي بالنسبة للجيب وجيب التمام بنفسك.

إضافة وظائف حساب المثلثات

عندما تضيف وظائف حساب المثلثات معًا ، يتكرر النمط العام عندما يكون هناك عدد صحيح لجميع الفترات الفردية. لنفترض أن لديك فترات من أربع وظائف مثلثية: 60 درجة ، 360 درجة ، 16 درجة ، 9 0 درجة. يمكنك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لهذه الأرقام لإيجاد فترة الدالة الكلية:

قم بحل مشكلتك بنفس الطريقة: أولاً ، ابحث عن فترة كل دالة حساب المثلثات ، ثم ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر وستحصل على الفترة الإجمالية لمجموع دوال حساب المثلثات.


9.0: مقدمة للهويات المثلثية والمعادلات - الرياضيات

    • الهندسة والبحث والتطوير
    • المالية والإحصاء وتحليل الأعمال
    • تعليم
    • البرمجيات والويب
      • التعلم
      • تحتاج مساعدة؟
      • دعم متميز
        • حول
        • اعمل معنا
        • المبادرات

        • الناشر: John Wiley & Sons، Inc.
        • السنة: 2008
        • رقم ال ISBN: 9780471614432 (غلاف عادي)
        • 540 ص
        • بناءً على: الإصدار 6

        الوصف مصمم ليقرأه الطلاب ، هذا الكتاب - مكتوب باستخدام Mathematica 6 - يركز على الموضوعات اللازمة للنجاح في حساب التفاضل والتكامل ، ويجهز الطلاب لحساب التفاضل والتكامل. يشتمل على مقدمة للمدرسين وحلول خطوة بخطوة للتمارين ذات الأرقام الفردية حتى يتمكن الطلاب من صياغة تطبيقاتهم الخاصة لما تعلموه. بالإضافة إلى ذلك ، تسلط افتتاحية الفصل وملخصات نهاية الفصل الضوء على المادة المراد دراستها.

        المؤلف ، شيلدون أكسلر ، حاصل على جائزة الرابطة الرياضية الأمريكية في الكتابة التوضيحية. المحتويات الأعداد الحقيقية | الوظائف والرسوم البيانية الخاصة بهم | الدوال الخطية والتربيعية ومتعددة الحدود والعقلانية | الأس واللوغاريتمات | منطقة، ه، واللوغاريتم الطبيعي | الدوال المثلثية | تطبيقات علم المثلثات | المتتاليات والمتسلسلات والحدود الموضوعات ذات الصلة الجبر وحساب التفاضل والتكامل والتحليل والهندسة


        السؤال 4

        حل السؤال 4
        دع المجهول "ما النسبة" يُرمز إليه بـ y٪ ، لأننا نبحث عن نسبة مئوية. يتم تمثيل "هو" بالتساوي و "من" بالضرب. ومن هنا يمكن ترجمة السؤال أعلاه إلى معادلة رياضية على النحو التالي:
        4 = ص٪ * 32
        نحل الآن من أجل المجهول y٪
        ص٪ = 4/32 = 0.125
        لقد وجدنا الصيغة العشرية إلى y٪ والتي يمكن تغييرها إلى صيغة النسبة المئوية بضربها وقسمتها على 100. ومن ثم
        ص٪ = 0.125 = 12.5 / 100 = 12.5٪
        كتمرين ، تحقق من أن 12.5٪ من 32 تعطي 4.


        قم بتحرير معادلة في محرر المعادلات

        إذا استخدمت محرر المعادلات لإدراج معادلة ، يمكنك تحرير هذه المعادلة في محرر المعادلات.

        انقر نقرًا مزدوجًا فوق كائن المعادلة الذي تريد تحريره.

        استخدم الرموز أو القوالب أو الأطر الموجودة في ملف معادلة شريط الأدوات لتحرير المعادلة.

        في Word أو Excel أو Outlook ، للعودة إلى المستند ، انقر في أي مكان في المستند.

        في PowerPoint ، للعودة إلى العرض التقديمي بتنسيق محرر المعادلات، على ال ملف القائمة ، انقر فوق الخروج والعودة إلى العرض التقديمي.

        لمعرفة كيفية استخدام المعادلات المضمنة باستخدام معادلة الزر ، راجع كتابة معادلة أو صيغة.


        شاهد الفيديو: رياضيات تاسع - الفصل الثاني - الحصة 9 المعادلات المثلثية - الحصة 1 (كانون الثاني 2022).