مقالات

9.5: المعادلات الجذرية - الرياضيات


المعادلات الجذرية

في هذا القسم ، سنحل المعادلات التي تحتوي على تعبير جذري واحد أو أكثر. في الحالة التي يمكننا فيها عزل التعبير الجذري في جانب واحد من المعادلة ، يمكننا ببساطة رفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة تقضي على التعبير الجذري. على سبيل المثال ، إذا

( الجذر التربيعي {س − 1} = 2 ) (1)

ثم يمكننا تربيع طرفي المعادلة ، مع استبعاد الجذر.

( sqrt {x − 1} ^ 2 = (2) ^ 2 )

س − 1 = 4

الآن بعد أن تم القضاء على الراديكالي ، يمكننا اللجوء إلى تقنيات مفهومة جيدًا لحل المعادلة المتبقية. في هذه الحالة ، نحتاج فقط إلى إضافة 1 إلى كلا طرفي المعادلة للحصول عليها

س = 5.

يتم فحص هذا الحل بسهولة. استبدل x = 5 في الأصل المعادلة (1).

( الجذر التربيعي {س − 1} = 2 )

( الجذر التربيعي {5−1} = 2 )

( الجذر التربيعي {4} = 2 )

السطر الأخير صالح لأن "الجذر التربيعي الموجب للعدد 4" هو بالفعل 2.

يبدو هذا واضحًا جدًا للأمام ، ولكن هناك بعض التفاصيل الدقيقة. لنلق نظرة على مثال آخر ، مثال به معادلة مشابهة تمامًا لـ معادلة.

مثال ( PageIndex {2} )

حل المعادلة ( sqrt {x − 1} = −2 ) من أجل x.

إذا كنت تدرس المعادلة بعناية

( الجذر التربيعي {س − 1} = 2 ) (3)

قد تكتشف صعوبة على الفور. يستدعي الطرف الأيسر من المعادلة "جذرًا تربيعيًا موجبًا" ، لكن الجانب الأيمن من المعادلة سالب. حدسيًا ، لا يمكن أن تكون هناك حلول.

تكشف نظرة على الرسوم البيانية لكل جانب من المعادلة عن المشكلة أيضًا. الرسوم البيانية لـ (y = sqrt {x − 1} ) و y = −2 موضحة في شكل 1. لاحظ أن الرسوم البيانية لا تتقاطع ، لذا فإن المعادلة ( sqrt {x − 1} = −2 ) ليس لها حل.

ومع ذلك ، لاحظ ما يحدث عندما نربّع كلا طرفيها المعادلة (3).

(( sqrt {x - 1}) ^ 2 = (2) ^ 2 )

(س − 1 = 4 ) (4)

هذه النتيجة مطابقة للنتيجة التي حصلنا عليها عندما قمنا بتربيع طرفي المعادلة ( sqrt {x − 1} = 2 ) أعلاه. إذا واصلنا ، بإضافة 1 إلى كلا طرفي المعادلة ، نحصل على

س = 5.

لكن هذا لا يمكن أن يكون صحيحًا ، مثل كل من الحدس والرسوم البيانية في شكل 1 أظهرت أن المعادلة ( sqrt {x − 1} = −2 ) ليس لها حل.

دعنا نتحقق من الحل x = 5 في المعادلة الأصلية.

( الجذر التربيعي {س − 1} = 2 )

( الجذر التربيعي {5−1} = 2 )

( الجذر التربيعي {4} = −2 )

لأن "الجذر التربيعي الموجب للعدد 4" لا يساوي 2 ، هذا السطر الأخير غير صحيح والحل x = 5 لا يتم التحقق منه في المعادلة ( sqrt {x} 1} = −2 ). نظرًا لأن الحل الوحيد الذي وجدناه لا يتحقق ، فليس للمعادلة حلول.

المناقشة في مثال 2 يفرض الحذر.

تحذير ( PageIndex {5} )

عندما تقوم بتربيع طرفي المعادلة ، فهناك احتمال أن تتمكن من تقديم حلول خارجية ، وحلول "إضافية" لن تتحقق من المشكلة الأصلية.

هناك طريقة واحدة فقط لتجنب معضلة المعادلات الخارجية.

فحص الحلول

كلما قمت بتربيع طرفي المعادلة ، فأنت يجب تحقق من كل من الحلول الخاصة بك في أصلي معادلة. هذه هي الطريقة الوحيدة التي يمكنك من خلالها التأكد من أن لديك حلًا صالحًا.

تربيع ذو الحدين

كما رأينا مرارًا وتكرارًا ، فإن تربيع نمط ذي الحدين له أهمية قصوى.

تربيع ثنائية

إذا كان a و b أي أرقام حقيقية ، إذن

((أ + ب) ^ 2 = أ ^ 2 + 2ab + ب ^ 2 ).

سيلعب تربيع النمط ذي الحدين دورًا رئيسيًا في بقية الأمثلة في هذا القسم.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة على استخدامه.

مثال ( PageIndex {6} )

قم بتوسيع وتبسيط ((1+ sqrt {x}) ^ 2 ) باستخدام تربيع نمط ذي الحدين. افترض أن (x ge 0 ).

افتراض أن (x ge 0 ) مطلوب ، وإلا فإن التعبير ( sqrt {x} ) يتضمن الجذر التربيعي لرقم سالب ، وهو ليس رقمًا حقيقيًا.

يخبرنا تربيع نمط ذي الحدين بتربيع الحدين الأول والثاني. ومع ذلك ، يوجد أيضًا حد متوسط ​​، يتم العثور عليه بأخذ حاصل ضرب الحدين الأول والثاني ، ثم ضرب الناتج في 2.

((1 + sqrt {x}) ^ 2 = (1) ^ 2 + 2 (1) ( sqrt {x}) + ( sqrt {x}) ^ 2 )

= (1 + 2 sqrt {x} + x )

دعونا نلقي نظرة على مثال آخر.

مثال ( PageIndex {7} )

قم بتوسيع وتبسيط (( sqrt {x + 1} - sqrt {x}) ^ 2 ) باستخدام تربيع نمط ذي الحدين. علق على مجال هذا التعبير.

لكي يكون هذا التعبير منطقيًا ، يجب أن نتجنب أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب. ومن ثم ، يجب أن يكون كلا التعبيرين تحت الجذور التربيعية غير سالب (موجب أو صفر). هذا هو،

[ start {array} {ccc} {x + 1 ge 0} & { text {and}} & {x ge 0} nonumber end {array} ]

حل كل من هذه المتباينات بشكل مستقل ، نحصل على حقيقة ذلك

[ start {array} {ccc} {x ge −1} & { text {and}} & {x ge 0} nonumber end {array} ]

بسبب كلمة "و" ، فإن المجال المطلوب هو مجموعة جميع الأرقام التي تحقق كلا المتباينات ، أي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي الصفر. وهذا يعني أن مجال التعبير هو ({x: x ≥ 0} ).

سنقوم الآن بتوسيع التعبير (( sqrt {x + 1} - sqrt {x}) ^ 2 ) باستخدام تربيع نمط ذي الحدين.

(( sqrt {x + 1} - sqrt {x}) ^ 2 = ( sqrt {x + 1}) ^ 2−2 ( sqrt {x + 1}) ( sqrt {x}) + ( sqrt {x}) ^ 2 )

= (x + 1 + 2 sqrt {(x + 1) x} + x )

= (2x + 1 + 2 sqrt {x ^ 2 + x} )

عزل الراديكالي

شعارنا سيكون عبارة استراتيجية "عزل الراديكالي".

اعزل الراديكالي

عندما تحل المعادلات التي تحتوي على جذري واحد ، اعزل الجذر بمفرده في أحد طرفي المعادلة.

على الرغم من أن هذا ليس ممكنًا دائمًا (قد تحتوي بعض المعادلات على أكثر من تعبير جذري واحد) ، إلا أنه ممكن في مثالنا التالي.

مثال ( PageIndex {8} )

حل المعادلة
(1+ sqrt {4x + 13} = 2x ) لـ x (9)

دعونا نلقي نظرة على حل آلة حاسبة بيانية. لقد قمنا بتحميل الجانبين الأيسر والأيمن من (1+ sqrt {4x + 13} = 2x ) في Y1 و Y2 على التوالي ، كما هو موضح في الشكل 2(أ). ثم نستخدم 6: ZStandard وأداة التقاطع في قائمة CALC لتحديد إحداثيات نقطة تقاطع (y = 1+ sqrt {4x + 13} ) و y = 2x ، كما هو موضح في الشكل 2(ب).

سنقدم الآن حلًا جبريًا ، لكن لاحظ أننا محذرون مسبقًا من وجود حل واحد فقط ونعتقد أن الحل هو (x حوالي 3 ). بالطبع ، هذا مجرد تقريب ، كما هو الحال دائمًا عندما نلتقط الآلة الحاسبة (آلة التقريب الخاصة بنا).

قم بترديد عبارة الاستراتيجية "اعزل الراديكالي" ، ثم اعزل الراديكالي على جانب واحد من المعادلة. سنحقق هذا التوجيه بطرح 1 من كلا طرفي المعادلة.

(1+ sqrt {4x + 13} = 2x )

( الجذر التربيعي {4x + 13} = 2 س − 1 )

بعد ذلك ، قم بتربيع طرفي المعادلة.

(( sqrt {4x + 13}) ^ 2 = (2x − 1) ^ 2 )
يزيل التربيع الجذر الموجود على اليسار ، لكن يجب أن نستخدم تربيع نمط ذي الحدين لتربيع ذات الحدين في الجانب الأيمن من المعادلة.

(4x + 13 = (2x) ^ 2−2 (2x) (1) + (1) ^ 2 )

(4x + 13 = 4x ^ 2−4x + 1 )

لقد نجحنا في إزالة جميع الجذور التربيعية من المعادلة باستخدام إستراتيجيتنا "عزل الراديكالية". المعادلة المتبقية غير خطية (توجد قوة x أعلى من 1) ، لذلك نريد أن نجعل أحد طرفي المعادلة يساوي صفرًا. سنفعل ذلك بطرح 4x و 13 من كلا طرفي المعادلة.

(0 = 4x ^ 2−4x + 1−4x − 13 )

(0 = 4x ^ 2−8x − 12 )

في هذه المرحلة ، لاحظ أن كل حد في الجانب الأيمن من المعادلة قابل للقسمة على 4. اقسم طرفي المعادلة على 4 ، ثم استخدم اختبار ac لتحليل النتيجة.

(0 = س ^ 2−2x − 3 )
0 = (س − 3) (س + 1)

ضع كل عامل في الجانب الأيمن من هذه المعادلة الأخيرة للحصول على الحلول x = 3 و x = −1.

لاحظ أن x = 3 يطابق الحل الموجود بالرسم البياني بـ الشكل 2(ب). ومع ذلك ، فقد ظهر حل "إضافي" x = −1. تذكر أننا قمنا بتربيع طرفي المعادلة الأصلية ، لذا من الممكن أن يكون قد تم تقديم حلول غريبة. نحتاج إلى التحقق من كل حل من الحلول عن طريق استبدالها في الأصل المعادلة (9).

الرسم البياني لدينا بتنسيق الشكل 2(ب) يضيف مصداقية إلى الحل التحليلي x = 3 ، لذلك دعونا نتحقق من ذلك أولاً. عوّض x = 3 في المعادلة الأصلية.

(1+ sqrt {4x + 13} = 2x )

(1+ الجذر التربيعي {4 (3) +13} = 2 (3) )

(1+ sqrt {25} = 6 )

(1+5 = 6)

من الواضح أن x = 3 يتحقق وهو حل صالح.

بعد ذلك ، دعونا نتحقق من الحل "المشبوه" x = 1 بالتعويض عنها في المعادلة الأصلية.

(1+ sqrt {4x + 13} = 2x )

(1 + الجذر التربيعي {4 (−1) + 13} = 2 (−1) )

(1+ sqrt {9} = −2 )

(1+3 = −2)

من الواضح أن x = −1 لا تتحقق وهي ليست حلاً.

وبالتالي ، فإن الحل الوحيد لـ (1+ sqrt {4x + 13} = 2x ) هو x = 3. يجب على القراء أن يلاحظوا كيف أن الحل الرسومي والحل التحليلي يكمل كل منهما الآخر.

قبل النظر إلى مثال آخر ، دعنا نلقي نظرة على أحد أكثر الأخطاء شيوعًا في الحل الجبري لـ معادلة.

خطأ جبري شائع

نناقش في هذا القسم أحد الأخطاء الجبرية الأكثر شيوعًا التي نواجهها عند حل المعادلات التي تحتوي على تعبيرات جذرية.

تحذير ( PageIndex {10} )

العديد من الحسابات في هذا القسم غير صحيح. إنها أمثلة لأخطاء الجبر الشائعة التي ارتكبت عند حل المعادلات التي تحتوي على الجذور. ضع ذلك في اعتبارك واقرأ المادة في هذا القسم جدا بحرص.

عند تقديمها مع المعادلة

(1+ الجذر التربيعي {4x + 13} = 2x ) ، (11)

سيقوم البعض بتربيع جانبي المعادلة بالطريقة التالية.

((1) ^ 2 + ( sqrt {4x + 13}) ^ 2 = (2x) ^ 2 ). (12)

الوصول إلى

(1 + 4x + 13 = 4x ^ 2 ).

ارسم ضلعًا واحدًا صفرًا ، ثم اقسم طرفي المعادلة الناتجة على 2.

(0 = 4x ^ 2 −4x − 14 )

(0 = 2 س ^ 2 −2 س − 7 )

سيدرك القارئ الدقيق بالفعل أننا سلكنا المسار الخطأ ، لأن هذه النتيجة مختلفة تمامًا عن تلك الموجودة في نقطة مماثلة في حل المثال 8. ومع ذلك ، يمكننا الاستمرار في الحل باستخدام الصيغة التربيعية لحل المعادلة الأخيرة لـ x. عندما نقارن (2x ^ 2−2x − 7 ) مع (ax ^ 2 + bx + c ) ، لاحظ أن a = 2 و b = −2 و c = 7. هكذا،

(x = frac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} )

= ( frac {- (- 2) pm sqrt {(- 2) ^ 2−4 (2) (- 7)}} {2 (2)} )

= ( frac {2 pm sqrt {60}} {4} )

ومع ذلك ، لا يمثل أي من هذه "الحلول" الحل الصحيح الموجود في المثال 8، يسمى، x = 3. إذن ، ما الخطأ الذي ارتكبناه؟

حدث الخطأ في الخطوة الأولى عندما قمنا بتربيع كلا جانبي معادلة(11). في الواقع ، للحصول على المعادلة (12)، لم نقم بتربيع كلا جانبي المعادلة (11). بدلاً من ذلك ، قمنا بتربيع كل حد من الحدود الفردية في كل جانب من المعادلة.

هذا خطأ خطير. في الأساس ، بدأنا بمعادلة لها الشكل

أ + ب = ج ، (13)

ثم تربيع "كلا الجانبين" بالطريقة التالية.

(أ ^ 2 + ب ^ 2 = ج ^ 2 ). (14)

هذا غير صحيح. على سبيل المثال ، ابدأ بـ

2 + 3 = 5,

معادلة صالحة تمامًا حيث أن مجموع 2 و 3 هو 5. الآن "مربع" كما فعلنا في معادلة (14) لتأخذ، لتمتلك

(2^2 + 3^2 = 5^2).

ومع ذلك ، لاحظ أن هذا يبسط مثل

4+9 = 25,

لذلك لم يعد لدينا معادلة صالحة.

الخطأ الذي وقع هنا هو أننا قمنا بتربيع كل حد من الحدود الفردية على كل جانب من المعادلة بدلاً من تربيع "كل جانب" من المعادلة. لو فعلنا ذلك ، لكنا بخير ، كما يظهر في هذا الحساب.

2+3=5

((2+3)^2 =5^2)

(2^2 +2(2)(3)+3^2 =5^2)

4+12+9 = 25

فقط تذكر أن أ + ب = ج لا تعني (أ ^ 2 + ب ^ 2 = ج ^ 2 ).

تحذير ( PageIndex {15} )

سنعود الآن إلى الحسابات الصحيحة.

أكثر من راديكالي

دعونا نلقي نظرة على معادلة تحتوي على أكثر من جذري واحد.

مثال ( PageIndex {16} )

حل المعادلة

( sqrt {2x} + sqrt {2x + 3} = 3 ) (17)

من أجل x.

سنبدأ بحل رسومي للمعادلة. أولاً ، قم بتحميل المعادلات (y = sqrt {2x} + sqrt {2x + 3} ) و y = 3 في Y = القائمة ، كما هو موضح في الشكل 3(أ).

لا يمكننا أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب ، لذلك عندما نفكر في الدالة المحددة بالمعادلة (y = sqrt {2x} + sqrt {2x + 3} ) ، يجب أن يكون كلا التعبيرين تحت الجذور غير سالبين. هذا هو،

[ start {array} {ccc} {2x ge 0} & { text {and}} & {2x + 3 ge 0} nonumber end {array} ]

حل كل من هذه بشكل مستقل ،

[ start {array} {ccc} {x ge 0} & { text {and}} & {x ge - frac {3} {2}} nonumber end {array} ]

الأرقام الأكبر من أو التي تساوي الصفر وأكبر من أو تساوي (- frac {3} {2} ) هي الأرقام الأكبر من أو تساوي الصفر. ومن ثم ، فإن مجال الوظيفة المحددة بالمعادلة (y = sqrt {2x} + sqrt {2x + 3} ) ، هو {x: (x ge 0 )}. وبالتالي ، لا ينبغي أن تكون صدمة عندما يقع الرسم البياني لـ (y = sqrt {2x} + sqrt {2x + 3} ) بالكامل على يمين الصفر ، كما هو موضح في الشكل 3(ب).

من الصعب بعض الشيء رؤية نقطة التقاطع في الشكل 3(ب) ، فلنضبط إعدادات WINDOW كما هو موضح في الشكل 4(أ). كما ترون الشكل 4(ب) ، هذا يسلط الضوء على نقطة التقاطع بشكل أكثر وضوحًا قليلاً وتجد الأداة المساعدة 5: التقاطع في قائمة CALC نقطة التقاطع الموضحة في الشكل 4(ب).

تشير الآلة الحاسبة للرسوم البيانية إلى حل واحد (توجد نقطة تقاطع واحدة فقط) ، وتبلغ قيمة x لنقطة التقاطع تقريبًا (x حوالي 0.5 ).

الآن ، دعونا نلقي نظرة على حل جبري. نظرًا لوجود مقدارين جذريين في هذه المعادلة ، سنعزل أحدهما في أحد طرفي المعادلة. اخترنا عزل التعبيرين الجذريين الأكثر تعقيدًا على الجانب الأيسر من المعادلة ، ثم تربيع طرفي المعادلة الناتجة.

( sqrt {2x} + sqrt {2x + 3} = 3 )

( sqrt {2x + 3} = 3− sqrt {2x} )

(( sqrt {2x + 3}) ^ 2 = (3− sqrt {2x}) ^ 2 )

على اليسار ، التربيع يزيل الجذر. لتربيع الحدين على اليمين ، نستخدم تربيع نمط ذي الحدين للحصول عليه

(2x + 3 = (3) ^ 2−2 (3) ( sqrt {2x}) + ( sqrt {2x}) ^ 2 )

(2x + 3 = 9−6 sqrt {2x} + 2x ).

لا يزال لدينا تعبير جذري واحد على الجانب الأيمن من هذه المعادلة ، لذلك سنتبع المانترا "عزل الراديكالي". أولاً ، اطرح 2x من طرفي المعادلة للحصول على

(3 = 9−6 مربع {2x} ) ،

ثم اطرح 9 من طرفي المعادلة.

(- 6 = 6 sqrt {2x} ) ،

لقد نجحنا في عزل المصطلح الجذري في جانب واحد من المعادلة. الآن ، اقسم طرفي المعادلة على −6 ، ثم قم بتربيع طرفي المعادلة الناتجة.

(1 = sqrt {2x} )

((1) ^ 2 = ( sqrt {2x}) ^ 2 )

(1 = 2 س )

قسّم طرفي النتيجة الأخيرة على 2.

(س = فارك {1} {2} )

لاحظ أن هذا يتفق جيدًا مع الحل الرسومي ( (x حوالي 0.5 )) ، ولكن دعنا نتحقق من الحل عن طريق استبدال (x = frac {1} {2} ) في أصلي معادلة.

( sqrt {2x} + sqrt {2x + 3} = 3 )

( sqrt {2 ( frac {1} {2})} + sqrt {2 ( frac {1} {2}) + 3} = 3 )

( sqrt {1} + sqrt {4} = 3 )

1+2 = 3

العبارة الأخيرة صحيحة ، لذا يتحقق الحل (x = frac {1} {2} ).

ممارسه الرياضه

للوظائف المنطقية في تمارين 1-6، قم بتنفيذ كل من المهام التالية.

  1. قم بتحميل الدالة f والخط y = k في حاسبة الرسوم البيانية الخاصة بك. اضبط نافذة العرض بحيث تظهر جميع نقاط تقاطع الرسمين البيانيين في نافذة العرض الخاصة بك.
  2. انسخ الصورة في نافذة العرض الخاصة بك إلى ورقة واجبك المنزلي. قم بتسمية كل محور وقياسه باستخدام xmin و xmax و ymin و ymax. قم بتسمية الرسوم البيانية بمعادلاتها. تذكر أن ترسم كل الخطوط بمسطرة.
  3. استخدم أداة التقاطع لتحديد إحداثيات نقطة (نقاط) التقاطع. ارسم نقطة التقاطع على ورقة الواجب البيتي وقم بتسميتها بإحداثياتها.
  4. حل المعادلة f (x) = k جبريًا. ضع عملك والحل بجوار الرسم البياني الخاص بك. هل الحلول متوافقة؟

تمرين ( PageIndex {1} )

(و (س) = الجذر التربيعي {س + 3} ) ، ك = 2

إجابه

س = 1

تمرين ( PageIndex {2} )

(و (س) = الجذر التربيعي {4 − س} ) ، ك = 3

تمرين ( PageIndex {3} )

(f (x) = sqrt {7−2x} ) ، ك = 4

إجابه

(س = - فارك {9} {2} )

تمرين ( PageIndex {4} )

(f (x) = sqrt {3x + 5} ) ، ك = 5

تمرين ( PageIndex {5} )

(و (س) = الجذر التربيعي {5 + س} ) ، ك = 4

إجابه

س = 11

تمرين ( PageIndex {6} )

(و (س) = الجذر التربيعي {4 − س} ) ، ك = 5

في تمارين 7-12، استخدم تقنية جبرية لحل المعادلة المعطاة. تحقق من الحلول الخاصة بك.

تمرين ( PageIndex {7} )

( الجذر التربيعي {−5 س + 5} = 2 )

إجابه

( فارك {1} {5} )

تمرين ( PageIndex {8} )

( الجذر التربيعي {4x + 6} = 7 )

تمرين ( PageIndex {9} )

( الجذر التربيعي {6 س − 8} = 8 )

إجابه

12

تمرين ( PageIndex {10} )

( الجذر التربيعي {2 س + 4} = 2 )

تمرين ( PageIndex {11} )

( الجذر التربيعي {−3x + 1} = 3 )

إجابه

(س = - فارك {8} {3} )

تمرين ( PageIndex {12} )

( الجذر التربيعي {4x + 7} = 3 )

للوظائف المنطقية في تمارين 13-16 أداء كل من المهام التالية.

  1. قم بتحميل الدالة f والخط y = k في حاسبة الرسوم البيانية الخاصة بك. هل الحلول متوافقة؟

تمرين ( PageIndex {13} )

(f (x) = sqrt {x + 3} + x ) ، ك = 9

إجابه

س = 6

تمرين ( PageIndex {14} )

(و (س) = الجذر التربيعي {س + 6} −x ) ، ك = 4

تمرين ( PageIndex {15} )

(و (س) = الجذر التربيعي {س − 5} −x ) ، ك = −7

إجابه

س = 9

تمرين ( PageIndex {16} )

(f (x) = sqrt {x + 5} + x ) ، ك = 7

في تمرين 17-24، استخدم تقنية جبرية لحل المعادلة المعطاة. تحقق من الحلول الخاصة بك.

تمرين ( PageIndex {17} )

( الجذر التربيعي {س + 1} + س = 5 )

إجابه

3

تمرين ( PageIndex {18} )

( الجذر التربيعي {س + 8} −x = 8 )

تمرين ( PageIndex {19} )

( الجذر التربيعي {س + 4} + س = 8 )

إجابه

5

تمرين ( PageIndex {20} )

( الجذر التربيعي {س + 8} −x = 2 )

تمرين ( PageIndex {21} )

( الجذر التربيعي {س + 5} −x = 3 )

إجابه

−1

تمرين ( PageIndex {22} )

( الجذر التربيعي {س + 5} + س = 7 )

تمرين ( PageIndex {23} )

( الجذر التربيعي {س + 9} −x = 9 )

إجابه

−8, −9

تمرين ( PageIndex {24} )

( الجذر التربيعي {س + 7} + س = 5 )

للوظائف المنطقية في تمارين 25-28، قم بتنفيذ كل من المهام التالية.

  1. قم بتحميل الدالة f والخط y = k في حاسبة الرسوم البيانية الخاصة بك. هل الحلول متوافقة؟

تمرين ( PageIndex {25} )

(f (x) = sqrt {x − 1} + sqrt {x + 6}، k = 7 )

إجابه

س = 10

تمرين ( PageIndex {26} )

(f (x) = sqrt {x + 2} + sqrt {x + 9}، k = 7 )

تمرين ( PageIndex {27} )

(f (x) = sqrt {x + 2} + sqrt {3x + 4}، k = 2 )

إجابه

س = -1

تمرين ( PageIndex {28} )

(f (x) = sqrt {6x + 7} + sqrt {3x + 3}، k = 1 )

في تمارين 29-40، استخدم تقنية جبرية لحل المعادلة المعطاة. تحقق من الحلول الخاصة بك.

تمرين ( PageIndex {29} )

( sqrt {x + 46} - sqrt {x − 35} = 1 )

إجابه

1635

تمرين ( PageIndex {30} )

( sqrt {x − 16} + sqrt {x + 16} = 8 )

تمرين ( PageIndex {31} )

( sqrt {x − 19} + sqrt {x x 6} = 13 )

إجابه

55

تمرين ( PageIndex {32} )

( sqrt {x + 31} - sqrt {x + 12} = 1 )

تمرين ( PageIndex {33} )

( sqrt {x − 2} - sqrt {x − 49} = 1 )

إجابه

578

تمرين ( PageIndex {34} )

( sqrt {x + 13} + sqrt {x + 8} = 5 )

تمرين ( PageIndex {35} )

( sqrt {x + 27} - sqrt {x − 22} = 1 )

إجابه

598

تمرين ( PageIndex {36} )

( sqrt {x + 10} + sqrt {x + 13} = 3 )

تمرين ( PageIndex {37} )

( sqrt {x + 30} - sqrt {x − 38} = 2 )

إجابه

294

تمرين ( PageIndex {38} )

( sqrt {x + 36} - sqrt {x + 11} = 1 )

تمرين ( PageIndex {39} )

( sqrt {x − 17} + sqrt {x + 3} = 10 )

إجابه

33

تمرين ( PageIndex {40} )

( sqrt {x + 18} + sqrt {x + 13} = 5 )

​​​​​​​


التمرين 9.5.21 في Grillet (Jacobson Radical ، Nakayama & # 39s Lemma)

(21.) دع $ mathfrakيكون الحد الأقصى المثالي للحلقة التبادلية $ R $. أثبت ما يلي: إذا كان $ A $ عبارة عن وحدة $ R $ تم إنشاؤها بشكل نهائي ، و $ x_1 ، x_2 ، ldots ، تكون x_n $ الحد الأدنى لتوليد مجموعة فرعية من $ A $ ، ثم $ x_1 + mathfrak أ، ldots، x_n + mathfrak A $ هو أساس $ A / mathfrakأكثر من $ R / mathfrak$ .

في جريليت الجبر المجرد، الصفحة 377 ، فقط تحت فرضية أن $ mathfrak$ هو فقط الحد الأقصى المثالي ، أي أن $ R $ هو حلقة محلية.

دليل ضعيف: أولاً ، يتم تعريف الضرب القياسي على أنه $ (r ! + ! mathfrak) (أ ! + ! mathfrakأ) !: = ! را ! + ! mathfrakدولار. لرؤية هذا محدد جيدًا ، لاحظ أنه إذا كان $ r ! + ! mathfrak ! = ! 0 $ ، أي $ r ! in ! mathfrak$ ثم $ ra ! in ! mathfrakأ $ ، أي $ ra ! + ! mathfrakA ! = ! 0 $ وكذلك إذا $ a ! + ! mathfrakA ! = ! 0 $ ، أي $ a ! = ! ma '! in ! mathfrak$ ثم $ ra ! = ! rma '! in ! mathfrakأ $ ، أي $ ra ! + ! mathfrakأ ! = ! 0 دولار. في الواقع ، $ R / mathfrak$ -module $ A / mathfrakيتم إنشاء $ عن طريق إنشاء $ R $ -module $ A / mathfrakA $ (هذا ممكن لأن $ mathfrakA $ هو نموذج فرعي من $ A $ ، منذ $ mathfrak$ مثالى لـ $ R $) ثم تحويله إلى $ R / mathfrak$ -module (هذا ممكن لأن $ mathrm_R (A / mathfrakأ) سوبسيتق متفرق$ ).

لإثبات $ x_1 ! + ! mathfrakأ ، ldots ، x_n ! + ! mathfrak$ توليد $ A / mathfrakيجب أن نظهر أن $ (R / mathfrak) (x_1 ! + ! mathfrakأ) ! + ! ldots ! + ! (R / mathfrak) (x_n ! + ! mathfrakأ) ! = ! أ / mathfrakA $ وهو ما يعني $ Rx_1 ! + ! ldots ! + ! Rx_n ! + ! mathfrakأ ! = ! أ / mathfrak$ أو ما يعادله $ Rx_1 ! + ! ldots ! + ! Rx_n ! + ! mathfrakA ! = ! A $ ، لكن هذا صحيح منذ $ Rx_1 ! + ! ldots ! + ! Rx_n ! = ! A $ حسب الفرضية. بدلاً من ذلك ، يمكننا القول أنه منذ إنشاء $ x_1 ، ldots ، x_n $ $ R $ -module $ A $ ، قاموا بتوليد $ R $ -module $ A / mathfrakA $ ، وبالتالي إنشاء $ R / mathfrak$ -module $ A / mathfrakدولار.

إذا $ x_1 ! + ! mathfrakأ ، ldots ، x_n ! + ! mathfrak$ كان $ R / mathfrakتعتمد على خطي $ ، ثم WLOG $ x_n ! + ! mathfrakيمكن التعبير عن $ على أنه $ R / mathfrakمزيج خطي $ من الآخرين ، لذا بالفعل $ x_1 ! + ! mathfrakأ ، ldots ، x_! + ! mathfrakسيولد $ A $ A / mathfrakA $ ، وهو ما يعني $ Rx_1 ! + ! ldots ! + ! Rx_! + ! mathfrakأ ! = ! دولار. لكن منذ $ J (R) ! = ! mathfrak$ ، من خلال Lemma لـ Nakayama ، هذا يعني $ Rx_1 ! + ! ldots ! + ! Rx_! = ! A $ ، تناقض مع فرضية الحد الأدنى من $ x_1 ، ldots ، x_n $. $ blacksquare $

سؤال: كيف يمكنني إثبات النسخة العامة للتمرين؟ أنا متشكك إلى حد ما في هذا الادعاء.


9.5 قسمة الجذور التربيعية

نعلم أننا نبسط الكسور بإزالة العوامل المشتركة في البسط والمقام. عندما يكون لدينا كسر بجذر تربيعي في البسط ، فإننا نبسط أولًا الجذر التربيعي. ثم يمكننا البحث عن العوامل المشتركة.

مثال 9.60

حل

مثال 9.61

حل

لقد استخدمنا خاصية حاصل القسمة للجذور التربيعية لتبسيط الجذور التربيعية للكسور. تقول خاصية الحصة النسبية للجذور التربيعية

سنحتاج أحيانًا إلى استخدام خاصية حاصل الجذور التربيعية "معكوسة" لتبسيط الكسر ذي الجذور التربيعية.

سنعيد كتابة خاصية حاصل الجذور التربيعية حتى نرى كلا الاتجاهين معًا. تذكر: نفترض أن جميع المتغيرات أكبر من أو تساوي صفرًا بحيث تكون جذورها التربيعية أعدادًا حقيقية.

حاصل الملكية للجذور التربيعية

إذا أ, ب هي أعداد حقيقية غير سالبة و b ≠ 0 b ≠ 0 إذن

سنستخدم خاصية الحاصل للجذور التربيعية "في الاتجاه المعاكس" عندما يكون الكسر الذي نبدأ به هو حاصل جذر تربيعي ، ولا يكون أيًا من الجذر التربيعي مربعًا كاملاً. عندما نكتب الكسر في جذر تربيعي واحد ، فقد نجد العوامل المشتركة في البسط والمقام.

مثال 9.62

حل

سنستخدم خاصية الحاصل من أجل الأس ، a m a n = a m - n a m a n = a m - n ، عندما يكون لدينا متغيرات مع الأس في الجذور.

مثال 9.63

حل

مثال 9.64

حل

مثال 9.65

بسّط: 147 أ ب 8 3 أ 3 ب 4 147 أ ب 8 3 أ 3 ب 4.

حل

بسّط: 162 x 10 y 2 2 x 6 y 6162 x 10 y 2 2 x 6 y 6.

بسّط: 300 m 3 n 7 3 m 5 n 300 m 3 n 7 3 m 5 n.

ترشيد قاسم مصطلح واحد

قبل أن تصبح الآلة الحاسبة أداة للحياة اليومية ، تم استخدام جداول الجذور التربيعية لإيجاد القيم التقريبية للجذور التربيعية. يوضح الشكل 9.3 جزءًا من جدول المربعات والجذور التربيعية. تم تقريب الجذور التربيعية إلى خمسة منازل عشرية في هذا الجدول.

إذا احتاج شخص ما لتقريب كسر بجذر تربيعي في المقام ، فهذا يعني إجراء قسمة مطولة بمقسوم عليه من خمسة منازل عشرية. كانت هذه عملية مرهقة للغاية.

لهذا السبب ، تم تطوير عملية تسمى عقلنة المقام. يتم تحويل كسر بجذر في المقام إلى كسر مكافئ مقامه عدد صحيح. لا تزال هذه العملية مستخدمة اليوم وهي مفيدة في مجالات أخرى من الرياضيات أيضًا.

ترشيد القاسم

تسمى عملية تحويل كسر بجذر في المقام إلى كسر مكافئ مقامه عددًا صحيحًا ، بإضفاء الصفة المنطقية على المقام.

الجذور التربيعية للأعداد التي ليست مربعات كاملة هي أعداد غير منطقية. عندما كنا عقلنة المقام، نكتب كسرًا مكافئًا برقم نسبي في المقام.

دعونا نلقي نظرة على مثال عددي.

افترض أننا نحتاج إلى قيمة تقريبية للكسر. 1 2 التقريب لخمس منازل عشرية لأقرب 2 يساوي 1.41421. 1 1.41421 بدون آلة حاسبة ، هل تريد إجراء هذه القسمة؟ 1.41421 1.0 افترض أننا بحاجة إلى قيمة تقريبية للكسر. 1 2 التقريب لخمس منازل عشرية لأقرب 2 يساوي 1.41421. 1 1.41421 بدون آلة حاسبة ، هل تريد إجراء هذه القسمة؟ 1.41421 1.0

لكن يمكننا إيجاد كسر يساوي 1 2 1 2 بضرب البسط والمقام في 2 2.

الآن إذا احتجنا إلى قيمة تقريبية ، نقسم 2 1.41421 2 1.41421. هذا أسهل بكثير.

على الرغم من توفر الآلات الحاسبة في كل مكان تقريبًا ، فلا يزال يتعين عقلنة الكسر الذي يحتوي على جذري في المقام. لا يعتبر مبسطًا إذا كان المقام يحتوي على جذر تربيعي.

وبالمثل ، لا يعتبر الجذر التربيعي مبسطًا إذا كان الجذر التربيعي يحتوي على كسر.

الجذور التربيعية المبسطة

يعتبر الجذر التربيعي مبسطًا إذا كان موجودًا

  • لا توجد عوامل تربيع كامل في الجذر
  • لا كسور في الجذر
  • لا توجد جذور تربيعية في مقام الكسر

لترشيد المقام ، نستخدم الخاصية التي (أ) 2 = أ (أ) 2 = أ. إذا قمنا بتربيع جذر تربيعي غير نسبي ، نحصل على عدد نسبي.

سنستخدم هذه الخاصية لترشيد المقام في المثال التالي.


الرياضيات & # 8216 غير عادلة ومتأصلة في التمييز ، & # 8217 المعلمين يئن

  • هناك منظمتان وطنيتان لمعلمي الرياضيات في مهمة لإثبات أن تعليم الرياضيات "غير عادل وقائم على إرث من التمييز المؤسسي".
  • في بيان مشترك ، تشكو المجموعات من أن جعل الطلاب & # 8220master الأساسيات & # 8221 يؤدي إلى & # 8220s الفصل والفصل ، & # 8221 واستدعاء مدربي الرياضيات لاعتماد & # 8220 موقف العدالة الاجتماعية & # 8221 في الفصل الدراسي.

هناك منظمتان وطنيتان للرياضيات في مهمة لإثبات أن تعليم الرياضيات "غير عادل وقائم على إرث من التمييز المؤسسي".

المجلس الوطني لمشرفي الرياضيات (NCSM) و TODOS: الرياضيات للجميع "التصديق على العدالة الاجتماعية كأولوية رئيسية في الوصول إلى ، والمشاركة ، والتقدم في تعليم الرياضيات لشباب بلدنا ،" أعلنت المجموعات العام الماضي في بيان مشترك ، أن "موقف العدالة الاجتماعية يستجوب ويتحدى الأدوار التي تلعبها السلطة والامتياز والقمع في النظام الجائر الحالي لتعليم الرياضيات - وفي المجتمع ككل.تم استخدام الرياضيات & # 8220 لتعليم الأطفال في الأدوار المجتمعية المختلفة مثل القيادة / الطبقة الحاكمة. & # 8221

في الشهر المقبل ، ستستضيف NCSM و TODOS ، جنبًا إلى جنب مع عدد قليل من جمعيات العضوية الأخرى لمعلمي الرياضيات ، ندوة مجانية عبر الإنترنت تعتمد على مديري المدارس المشار إليهم في بيانهم المشترك ، ودعوة أي أفراد مهتمين من الجمهور للانضمام إلى الاستماع إلى "دعوة جماعية" العمل على تنمية الوعي: الإنصاف والعدالة الاجتماعية في تعليم الرياضيات. "

رئيس NCSM ، كوني شروك ، هو أستاذ رياضيات في جامعة إمبوريا ستيت ، ويعمل العديد من الأساتذة في مجلس إدارة TODOS.

بينما تأمل المؤسسات في إمكانية استخدام الرياضيات كأداة للعدالة الاجتماعية في المستقبل ، فإنها تعتقد أيضًا أن الرياضيات قد كرست تاريخياً "الفصل والفصل" ، مؤكدين في بيانهم المشترك أن "التحصيل الرياضي ، الذي يتم قياسه غالبًا عن طريق الاختبارات الموحدة ، له تم استخدامها كأداة لحراسة البوابة لفرز الطلاب وتصنيفهم حسب العرق والفصل والجنس بدءًا من المدرسة الابتدائية ".

نقلاً عن ممارسة "التتبع" ، حيث يتم فرز الطلاب حسب القدرة الأكاديمية في مجموعات لفصول معينة ، يجادل NCSM و TODOS بأنه "تاريخيًا ، تم استخدام الرياضيات والقدرة المتصورة لتعلم الرياضيات لتعليم الأطفال في أدوار مجتمعية مختلفة مثل القيادة / الطبقة الحاكمة والعمالة / الطبقة العاملة مما يؤدي إلى الفصل والفصل ".

لن يتوقف اليسار الراديكالي عند أي شيء لتخويف الطلاب المحافظين في حرم الجامعات. يمكنك المساعدة في فضحهم. اكتشف المزيد "

"من الناحية العملية ، فإن الأطفال المندرجين في مجموعات" منخفضة "يختبرون الرياضيات كعمل عزل يتكون من مهام تتطلب إدراكيًا منخفضًا مدفوعة بالحقائق وغياب فرص خطاب الرياضيات ، كما يؤكد البيان ، ويعزو هذا الشرط إلى" اعتقاد مضلل سائد بأن الطلاب يجب "إتقان الأساسيات" قبل الانخراط في حل المشكلات المعقدة. "

تتحسر المجموعات أيضًا على القوة العاملة من "الطبقة البيضاء والمتوسطة" لمعلمي الرياضيات ، وتخشى أن ذلك قد لا "يعكس" بشكل مناسب التركيبة السكانية للمجتمعات التي يعلمون فيها ، مثل مجتمعات المهاجرين أو الأقليات العرقية.

قد تكون العدالة الاجتماعية هي المفتاح لحل هذه القضايا ، كما يقولون ، ودعوا معلمي الرياضيات إلى اتخاذ "موقف العدالة الاجتماعية" الذي "يتحدى أدوار القوة والامتياز والقمع في النظام الحالي غير العادل للرياضيات".

قدم كل من NCSM و TODOS استراتيجيات مفصلة يمكن لمعلمي الرياضيات استخدامها لتعزيز العدالة الاجتماعية ، مثل الدعوة إلى زيادة "تجنيد معلمي الرياضيات والاحتفاظ بهم من الفئات المهمشة تاريخياً" وتحدي "المعتقدات الفردية والمجتمعية الكامنة وراء وجهات النظر الناقصة حول تعلم الرياضيات والأطفال. ، مع إيلاء اهتمام خاص للعرق / الإثنية ، والطبقة ، والجنس ، والثقافة ، واللغة. "

لكن عمل العدالة الاجتماعية لا يخلو من المساءلة ، كما يحذرون ، معلنين أنه "يجب علينا تحميل المهنة ومنظماتنا مسؤولية جعل تعليم الرياضيات العادل والمنصف حقيقة مستدامة."


توقف عن تقسيم الطلاب كثيرًا ، ولا تسرع في المناهج الدراسية

على مر السنين ، سعت بعض المدارس إلى رفع مستوى التحصيل في الرياضيات عن طريق دفع الجبر إلى الصف الثامن. قد يتكيف الطلاب المتفوقون ولديهم مساحة لأخذ المزيد من فصول المدارس الثانوية المتقدمة. يمكن أن يؤدي تسريع المناهج الدراسية إلى توسيع الهوة في التحصيل بين الطلاب ذوي الأداء المنخفض ، بما في ذلك أولئك المحرومين اقتصاديًا والأقليات العرقية.

تعكس هذه الممارسة ميزة طويلة الأمد لتعليم الرياضيات الأمريكي: في وقت مبكر من المدرسة المتوسطة ، غالبًا ما يتم تقسيم الطلاب إلى "مسارات" بطرق تحدد مسبقًا من سيأخذ دروسًا متقدمة في المدرسة الثانوية. تظهر الأبحاث أن الفصول المتقدمة غالبًا ما تكون مليئة بالطلاب البيض أو الآسيويين الذين يلتحقون بمدارس الضواحي - بينما يظل الطلاب السود واللاتينيون ناقص التمثيل.

منذ حوالي ست سنوات ، سعى قادة مدرسة سان فرانسيسكو إلى معالجة المشكلة. توقفوا عن تدريس مادة الجبر 1 في الصف الثامن. قالت ليزي هال بارنز ، مشرفة الرياضيات في مدرسة سان فرانسيسكو الموحدة ، إن الطلاب يأخذون نفس التسلسل لمدة ثلاث سنوات من دورات الرياضيات في المدرسة الإعدادية ، ويتم تسجيل الجميع في فصول دراسية مختلطة القدرات.

في المدرسة الثانوية ، يأخذ جميع الطلاب علم الجبر للصف التاسع وهندسة الصف العاشر. بعد ذلك ، يمكن للطلاب اختيار مسارهم: قد يختار البعض الجبر 2 ، وقد يختار البعض الآخر مقررًا يجمع بين الجبر 2 وحساب ما قبل التفاضل والتكامل. قد يتسارع البعض إلى إحصائيات AP.

تعمل معلمة الرياضيات في مدرسة بيرتون الثانوية ستيفاني هانسون مع فصل من طلاب الصف الحادي عشر. توقفت المنطقة التعليمية في سان فرانسيسكو عن فصل الطلاب إلى مسارات رياضية متسارعة وغير متسارعة في المدرسة الإعدادية ، وتحسنت درجات طلاب المدارس الثانوية والرياضيات # 39 ، لا سيما بين طلاب الأقليات وذوي الدخل المنخفض. (الصورة: مارتن إي كليميك ، الولايات المتحدة الأمريكية اليوم)

قبل التغيير ، كان 40٪ من كبار السن المتخرجين في سان فرانسيسكو يضطرون إلى إعادة الجبر الأول في حياتهم الأكاديمية. بالنسبة إلى دفعة 2019 ، أول دفعة من الطلاب تتبع التسلسل الجديد ، كان على 8٪ فقط من الطلاب إعادة الدورة.

قال بارنز إن التغييرات أدت إلى زيادة كبيرة في الطلاب المحرومين المسجلين في فصول الرياضيات عالية المستوى مثل الصغار وكبار السن. لم يؤد تعزيز نجاح الطلاب السود واللاتينيين إلى الإضرار بتقدم الطلاب البيض والآسيويين المتفوقين.

قال بارنز: "لقد كان تحولًا زلزاليًا".

في نيويورك ، ضجة حول استبعاد مسارات الموهوبين: هذه المدرسة تفعل ذلك على أي حال


9.5: المعادلات الجذرية - الرياضيات

مجموعة من الفصول الرياضية البسيطة في C # بما في ذلك

  • النواقل (مع الحالات المعقدة)
  • المصفوفات (ليس فقط مربع)
  • Polynoms (بما في ذلك intergation والمشتقات)
  • نظم المعادلات الخطية
  • طرق التكاملات (بما في ذلك Gauss-Kronrod)
  • الأعداد المركبة والمتجهات المعقدة والمصفوفات وطرق الوظائف المعقدة
  • أرقام نسبية
  • الرسوم البيانية
  • طرق حل المعادلات التفاضلية البسيطة
  • تقريب الوظيفة / الاستيفاء
  • طرق الوظائف الصافية
  • تحسين الوظيفة (بما في ذلك خوارزمية السرب لأبعاد 1/2 / n)
  • حفظ قيم الوظائف (memoize) للحالات المتوازية / غير المتوازية

أقوم بإنشاء هذه المكتبة منذ عام 2017 لأداء واجباتي المدرسية في الجامعة ووظيفتي. كتابته كنت أمارس مهاراتي في C # من C # 3.0 إلى C # 7.1 ، والحصول على خبرة في البرمجة.

هناك إصدار .NET Framework وأحدث نسخة مدعومة من .NET Core (تسمى MathClassesLibrary) مع القليل من الترقية.


삼각 함수 ¶

x의 아크 코사인 (قوس جيب التمام) 을 라디안 으로 반환 합니다. 결과 는 0 과 بي 사이 입니다.

x의 아크 사인 (قوس جيب) 을 라디안 으로 반환 합니다. 결과 는 -pi / 2 بي / 2 사이 입니다.

x의 아크 탄젠트 (قوس ظل) 를 라디안 으로 반환 합니다. 결과 는 -pi / 2 بي / 2 사이 입니다.

atan (y / x) 를 라디안 으로 반환 합니다. 결과 는 -pi 와 بي 사이 입니다. 평면 에 있는 원점 에서 점 (س ، ص) 까지 의 벡터 는 양 의 X 축 과 이 각도 를 이룹니다. atan2() 의 요점은 두 입력의 부호가 모두 알려져 있기 때문에 각도에 대한 정확한 사분면을 계산할 수 있다는 것입니다. 예를 들어, atan(1) 과 atan2(1, 1) 은 모두 pi/4 이지만, atan2(-1, -1) 은 -3*pi/4 입니다.

각각 좌표 시퀀스(또는 이터러블)로 제공되는, 두 점 صف 사이의 유클리드 거리를 반환합니다. 두 점의 차원(dimension)은 같아야 합니다.

유클리드 크기(norm) sqrt(sum(x**2 for x in coordinates)) 를 반환합니다. 원점에서 coordinates로 지정된 점까지의 벡터의 길이입니다.

2차원 점 (x, y) 의 경우, 피타고라스 정리를 사용하여 직각 삼각형의 빗변(hypotenuse)을 계산하는 것과 동등합니다, sqrt(x*x + y*y) .

버전 3.8에서 변경: n 차원 점에 대한 지원이 추가되었습니다. 이전에는, 2차원인 경우만 지원되었습니다.


Radical Equations : Civil Rights from Mississippi to the Algebra Project

At a time when popular solutions to the educational plight of poor children of color are imposed from the outside--national standards, high-stakes tests, charismatic individual saviors--the acclaimed Algebra Project and its founder, Robert Moses, offer a vision of school reform based in the power of communities. Begun in 1982, the Algebra Project is transforming math education in twenty-five cities. Founded on the belief that math-science literacy is a prerequisite for full citizenship in society, the Project works with entire communities--parents, teachers, and especially students--to create a culture of literacy around algebra, a crucial stepping-stone to college math and opportunity.

Telling the story of this remarkable program, Robert Moses draws on lessons from the 1960s Southern voter registration he famously helped organize: "Everyone said sharecroppers didn't want to vote. It wasn't until we got them demanding to vote that we got attention. Today, when kids are falling wholesale through the cracks, people say they don't want to learn. We have to get the kids themselves to demand what everyone says they don't want."

We see the Algebra Project organizing community by community. Older kids serve as coaches for younger students and build a self-sustained tradition of leadership. Teachers use innovative techniques. And we see the remarkable success stories of schools like the predominately poor Hart School in Bessemer, Alabama, which outscored the city's middle-class flagship school in just three years.

المعادلات الجذرية provides a model for anyone looking for a community-based solution to the problems of our disadvantaged schools.


Mean, Median and Mode

There are several ways to describe the characteristics of a set of data. The Mean, Median and Mode are all called measures of central tendency. These measures of central tendency and range are described below with one example each. The Mean of a set of data describes their average. To calculate the mean, add all of the numbers and then divide by the number of items in the … [Read more. ]


Woke Math Spreads to Oregon

Jarrett Stepman is a contributor to The Daily Signal and co-host of The Right Side of History podcast. Send an email to Jarrett. He is also the author of the book "The War on History: The Conspiracy to Rewrite America's Past."

“Woke” education is not just coming to history, social studies, and the humanities.

A recent report by Fox News explained how the Oregon Department of Education encouraged teachers to take “ethnomathematics” training to aid in “dismantling racism in mathematics.”

Oregon educators did the training, called the “Pathway to Math Equity Micro Course,” in partnership with California’s San Mateo County Office of Education, Fox reported.

The Oregon Department of Education confirmed the initiative to Fox and defended its use in classrooms. A spokesperson for the department said the training course “helps educators learn key tools for engagement, develop strategies to improve equitable outcomes for Black, Latinx, and multilingual students, and join communities of practice.”

As usual, educators’ defense of these programs comes with little argument and a torrent of nonsensical academic jargon to appeal to converts and confuse skeptics.

Apparently, one example of “white supremacy” in math is teachers asking students to “show their work” when solving math problems. According to class materials, this requirement reinforces “worship of the written word as well as paternalism.”

Students are encouraged to make TikTok videos rather than bow to the “paternalism” of writing things down.

Somehow, school districts are transforming the “soft bigotry of low expectations” into an ethos.

In a workbook on “Dismantling Racism” used as part of the instructional material, teachers are asked to “center ethnomathematics.” One of the ways of doing this is for those teachers to “identify and challenge the ways that math is used to uphold capitalist, imperialist, and racist views.”

This really is a remarkable statement.

Even the Soviet Union, very much committed to destroying students’ notions of “capitalism” and “imperialism,” would not have instructed young comrades to do that by making themselves ignorant.

It’s even more unlikely to be the case in modern communist China.

“The concept of mathematics being purely objective is unequivocally false, and teaching it is even much less so,” the course toolkit in Oregon reads. “Upholding the idea that there are always right and wrong answers perpetuate objectivity as well as fear of open conflict.”

“Objectivity,” if one doesn’t follow, is considered an aspect of white supremacy.

This insulting nonsense actually made its way into Smithsonian material last summer before officials had it taken down following public outcry.

It’s clear that absurd lessons about objectivity being racist are becoming normalized in education circles.

If such “lessons” really do become the norm, one wonders how the United States will produce effective engineers or how this sort of sermonizing will help math students in middle school in their careers.

Then again, if the point simply is to train the next generation of leftist activists and party apparatchiks to carry out the revolution, then perhaps mission accomplished. If the point is to further weaken and fracture the United States as a country, also mission accomplished.

In the future, skills in mathematics will be trivial compared to the more important lesson that the party is always right.

This possibility should be more deeply concerning than declining academic competitiveness.

It would be a mistake to see looniness in the Oregon Department of Education as an outlier.

These “math” lessons that are actually just social justice and critical race theory sermons will become the norm if Black Lives Matter activists and other radicals get their way.

In my analysis of “Black Lives Matter at School,” a book that provides the blueprint for injecting Black Lives Matter activism into K-12 classrooms around the country, I explained how BLM-aligned lessons would become all-encompassing.

Identitarian lectures about race and gender would be injected into every aspect of a child’s education, regardless of subject.

In 2019, I wrote about how similar woke math was coming to Seattle’s K-12 public schools. Again, officials reconstructed math courses to mirror ethnic studies programs to ensure that no matter a student’s interests, there is no escaping the indoctrination.

According to “Black Lives Matter at School,” Seattle was the model for how public school districts should operate. And now that system is being replicated elsewhere.

Woke math seems absurd now. In the future, though, it will be unremarkable. That’s the consequence of not making these issues a priority.

The radical left is putting parents in the mortifying position of wondering if their children will be better off if they aren’t paying attention in class.

Have an opinion about this article? To sound off, please email [email protected] and we will consider publishing your remarks in our regular “We Hear You” feature.


Radical Equations: Civil Rights from Mississippi to the Algebra Project

Book – Non-fiction. By Robert P. Moses and Charles E. Cobb Jr. 2001.
Algebra Project founder on math literacy and civil rights.

At a time when popular solutions to failing schools are imposed from the outside — national standards, high-stakes tests, charismatic individual saviors — the acclaimed Algebra Project and its founder, Robert Moses, offer a vision of school reform based in the power of communities.

Telling the story of this remarkable program, Robert Moses draws on lessons from the 1960s Southern voter registration he famously helped organize:

Everyone said sharecroppers didn’t want to vote. It wasn’t until we got them demanding to vote that we got attention. Today, when kids are falling wholesale through the cracks, people say they don’t want to learn. We have to get the kids themselves to demand what everyone says they don’t want.

We see the Algebra Project organizing community by community. Older kids serve as coaches for younger students and build a self-sustained tradition of leadership. Teachers use innovative techniques. And we see the success stories of schools like the predominately low-income Hart School in Bessemer, Alabama, which outscored the city’s middle-class flagship school in just three years. [Description by publisher.]

ISBN: 9780807031278 | Beacon Press

موارد ذات الصلة

Teaching SNCC: The Organization at the Heart of the Civil Rights Revolution

Teaching Activity. By Adam Sanchez. 24 pages. Rethinking Schools.
A series of role plays that explore the history and evolution of the Student Nonviolent Coordinating Committee, including freedom rides and voter registration.

Freedom Day in Hattiesburg, Mississippi

Article. By Howard Zinn. From Chapter 6 of You Can’t Be Neutral on a Moving Train.
Zinn describes the Student Nonviolent Coordinating Committee (SNCC) voting rights campaign called Freedom Day in Hattiesburg, Miss.

I’ve Got the Light of Freedom: The Organizing Tradition and the Mississippi Freedom Struggle

Book – Non-fiction. By Charles M. Payne. 1995.
A people’s history of the Civil Rights Movement in Mississippi.

Local People: The Struggle for Civil Rights in Mississippi

Book – Non-fiction. By John Dittmer. 1995.
A detailed, grassroots description of the Civil Rights Movement in Mississippi.

Jan. 23, 1935: Robert Parris Moses Born

Lifelong organizer in SNCC and with the Algebra Project, Robert Parris Moses, was born on January 23, 1935, in Harlem, New York.

Jan. 22, 1964: Freedom Day in Hattiesburg

The Student Nonviolent Coordinating Committee (SNCC) voting rights campaign held a Freedom Day in Hattiesburg, Mississippi.


شاهد الفيديو: درس: المعادلات الجذرية رياضيات. ثالث متوسط (كانون الثاني 2022).