مقالات

3.6: معادلات الدرجة الأولى: تحويل المعادلات غير الخطية إلى معادلات قابلة للفصل


في القسم 3.1 ، وجدنا أن حلول معادلة خطية غير متجانسة

[y '+ p (x) y = f (x) nonumber ]

هي من الشكل (y = uy_1 ) ، حيث (y_1 ) هو حل غير بديهي للمعادلة التكميلية

[ label {eq: 3.6.1} y '+ p (x) y = 0 ]

و (u ) هو حل

[u'y_1 (x) = f (x). nonumber ]

لاحظ أن هذه المعادلة الأخيرة قابلة للفصل ، حيث يمكن إعادة كتابتها كـ

[u '= {f (x) over y_1 (x)}. nonumber ]

في هذا القسم سننظر في المعادلات التفاضلية غير الخطية التي لا يمكن فصلها في البداية ، ولكن يمكن حلها بطريقة مماثلة عن طريق كتابة حلولها بالصيغة (y = uy_1 ) ، حيث (y_1 ) مناسب الوظيفة المعروفة المختارة و (u ) تحقق معادلة قابلة للفصل. سنقول في هذه الحالة أننا تحول المعادلة المعطاة في معادلة قابلة للفصل.

معادلات برنولي

أ معادلة برنولي هي معادلة النموذج

[ label {eq: 3.6.2} y '+ p (x) y = f (x) y ^ r، ]

حيث (r ) يمكن أن يكون أي رقم حقيقي بخلاف (0 ) أو (1 ). (لاحظ أن المعادلة المرجع {eq: 3.6.2} تكون خطية إذا وفقط إذا (r = 0 ) أو (r = 1 ).) يمكننا تحويل المعادلة المرجع {eq: 3.6.2} إلى معادلة قابلة للفصل عن طريق اختلاف المعلمات: إذا كان (y_1 ) حلاً غير بديهي للمعادلة المرجع {eq: 3.6.1} ، مع استبدال (y = uy_1 ) في المعادلة المرجع {eq: 3.6.2} العائد

[u'y_1 + u (y_1 '+ p (x) y_1) = f (x) (uy_1) ^ r، nonumber ]

وهو ما يعادل المعادلة القابلة للفصل

[u'y_1 (x) = f (x) left (y_1 (x) right) ^ ru ^ r quad text {or} quad {u ' over u ^ r} = f (x) يسار (y_1 (x) يمين) ^ {r-1} ، غير رقم ]

منذ (y_1 '+ p (x) y_1 = 0 ).

مثال ( PageIndex {1} ):

حل معادلة برنولي

[ label {eq: 3.6.3} y'-y = xy ^ 2. ]

نظرًا لأن (y_1 = e ^ x ) هو حل (y'-y = 0 ) ، فإننا نبحث عن حلول المعادلة ref {eq: 3.6.3} بالصيغة (y = ue ^ x )، أين

[u'e ^ x = xu ^ 2e ^ {2x} quad text {أو ما يعادله} quad u '= xu ^ 2e ^ x. لا يوجد رقم]

ينتج عن فصل المتغيرات

[{u ' over u ^ 2} = xe ^ x، nonumber ]

ودمج الغلة

[- {1 أكثر من u} = (x-1) e ^ x + c. لا يوجد رقم]

لذلك،

[u = - {1 over (x-1) e ^ x + c} non number ]

و

[y = - {1 over x-1 + ce ^ {- x}}. لا يوجد رقم]

يوضح الشكل ( PageIndex {1} ) مجال الاتجاه وبعض منحنيات المعادلة المتكاملة المرجع {eq: 3.6.3}.

المعادلات غير الخطية الأخرى التي يمكن تحويلها إلى معادلات قابلة للفصل

لقد رأينا أنه يمكن تحويل معادلة برنولي غير الخطية إلى معادلة قابلة للفصل عن طريق الاستبدال (y = uy_1 ) إذا تم اختيار (y_1 ) بشكل مناسب. دعنا الآن نكتشف شرطًا كافيًا لمعادلة تفاضلية غير خطية من الدرجة الأولى

[ label {eq: 3.6.4} y '= f (x، y) ]

لتكون قابلة للتحويل إلى معادلة منفصلة بنفس الطريقة. استبدال (y = uy_1 ) في المعادلة المرجع {eq: 3.6.4} العائد

[u'y_1 (x) + uy_1 '(x) = f (x، uy_1 (x))، nonumber ]

وهو ما يعادل

[ التسمية {eq: 3.6.5} u'y_1 (x) = f (x، uy_1 (x)) - uy_1 '(x). ]

إذا

[f (x، uy_1 (x)) = q (u) y_1 '(x) nonumber ]

بالنسبة لبعض الوظائف (q ) ، تصبح المعادلة المرجع {eq: 3.6.5}

[ label {eq: 3.6.6} u'y_1 (x) = (q (u) -u) y_1 '(x)، ]

وهو ما يمكن فصله. بعد التحقق من الحلول الثابتة (u equiv u_0 ) مثل (q (u_0) = u_0 ) ، يمكننا فصل المتغيرات للحصول على

[{u ' over q (u) -u} = {y_1' (x) over y_1 (x)}. لا يوجد رقم]

المعادلات غير الخطية المتجانسة

في النص ، سننظر فقط في فئة المعادلات التي تمت دراستها على نطاق واسع والتي تعمل بها طريقة الفقرة السابقة. تظهر أنواع أخرى من المعادلات في التمارين ( PageIndex {44} ) - ( PageIndex {51} ).

يقال إن المعادلة التفاضلية المرجع {eq: 3.6.4} متجانس إذا حدث (س ) و (ص ) في (و ) بطريقة تعتمد فقط على النسبة (ص / س ) ؛ أي ، المعادلة المرجع {eq: 3.6.4} يمكن كتابتها كـ

[ label {eq: 3.6.7} y '= q (y / x)، ]

حيث (q = q (u) ) دالة لمتغير واحد. على سبيل المثال،

[y '= {y + xe ^ {- y / x} over x} = {y over x} + e ^ {- y / x} nonumber ]

و

[y '= {y ^ 2 + xy-x ^ 2 over x ^ 2} = left (y over x right) ^ 2 + {y over x} -1 nonumber ]

هي من المعادلة النموذجية المرجع {eq: 3.6.7} ، مع

[q (u) = u + e ^ {- u} quad text {and} quad q (u) = u ^ 2 + u-1، nonumber ]

على التوالى. يمكن تطبيق الطريقة العامة التي تمت مناقشتها أعلاه على المعادلة المرجع {eq: 3.6.7} مع (y_1 = x ) (وبالتالي (y_1 '= 1) ). وبالتالي ، فإن استبدال (y = ux ) في المعادلة المرجع {eq: 3.6.7} ينتج عنه

[u'x + u = q (u)، nonumber ]

وفصل المتغيرات (بعد التحقق من الحلول الثابتة (u equiv u_0 ) بحيث (q (u_0) = u_0 )) ينتج

[{u ' over q (u) -u} = {1 over x}. nonumber ]

قبل الانتقال إلى الأمثلة ، نشير إلى شيء ربما تكون قد لاحظته بالفعل: تعريف معادلة متجانسة المعطى هنا ليس هو نفسه التعريف الوارد في القسم 2.1 ، حيث قلنا أن معادلة خطية للصيغة

[y '+ p (x) y = 0 nonumber ]

متجانسة. نحن لا نعتذر عن هذا التناقض ، لأننا لم نخلقه تاريخيًا ، متجانس تم استخدامه بهاتين الطريقتين غير المتسقتين. العامل الذي له علاقة بالمعادلات الخطية هو الأهم. هذا هو القسم الوحيد من الكتاب حيث ينطبق المعنى المحدد هنا.

نظرًا لأن (y / x ) بشكل عام غير معرف إذا (x = 0 ) ، سننظر في حلول المعادلات غير المتجانسة فقط على فترات مفتوحة لا تحتوي على النقطة (x = 0 ).

مثال ( PageIndex {2} )

يحل

[ label {eq: 3.6.8} y '= {y + xe ^ {- y / x} over x}. ]

استبدال (y = ux ) في المعادلة المرجع {eq: 3.6.8} العائد

[u'x + u = {ux + xe ^ {- ux / x} over x} = u + e ^ {- u}. لا يوجد رقم]

تبسيط وفصل المتغيرات ينتج

[e ^ uu '= {1 أكثر من x}. لا يوجد رقم]

تكامل العوائد (e ^ u = ln | x | + c ). لذلك (u = ln ( ln | x | + ج) ) و (y = ux = x ln ( ln | x | + c) ).

يوضح الشكل ( PageIndex {2} ) مجال اتجاه ومنحنيات متكاملة للمعادلة المرجع {eq: 3.6.8}.

مثال ( PageIndex {3} )

أ. يحل

[ label {eq: 3.6.9} x ^ 2y '= y ^ 2 + xy-x ^ 2. ]

ب. حل مشكلة القيمة الأولية

[ label {eq: 3.6.10} x ^ 2y '= y ^ 2 + xy-x ^ 2، quad y (1) = 2. ]

الحل أ

نجد أولاً حلول المعادلة المرجع {eq: 3.6.9} على فترات مفتوحة لا تحتوي على (x = 0 ). يمكننا إعادة كتابة المعادلة المرجع {eq: 3.6.9} كـ

[y '= {y ^ 2 + xy-x ^ 2 over x ^ 2} nonumber ]

لـ (س ) في أي فاصل زمني من هذا القبيل. استبدال (y = ux ) ينتج

[u'x + u = {(ux) ^ 2 + x (ux) -x ^ 2 أكثر من x ^ 2} = u ^ 2 + u-1، nonumber ]

وبالتالي

[ التسمية {eq: 3.6.11} u'x = u ^ 2-1. ]

من خلال الفحص ، تحتوي هذه المعادلة على الحلول الثابتة (u equiv1 ) و (u equiv-1 ). لذلك (y = x ) و (y = -x ) حلان للمعادلة المرجع {eq: 3.6.9}. إذا كان (u ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 3.6.11} الذي لا يفترض القيم ( pm 1 ) في بعض الفواصل الزمنية ، فإن فصل المتغيرات ينتج

[{u ' over u ^ 2-1} = {1 over x} ، non number ]

أو بعد توسيع جزء جزئي ،

[{1 over 2} left [{1 over u-1} - {1 over u + 1} right] u '= {1 over x}. nonumber ]

الضرب في 2 ودمج الغلات

[ ln يسار | u-1 أكثر من u + 1 يمين | = 2 ln | x | + k، nonumber ]

أو

[ left | {u-1 over u + 1} right | = e ^ kx ^ 2، nonumber ]

الذي يحمل إذا

[ label {eq: 3.6.12} {u-1 over u + 1} = cx ^ 2 ]

حيث (ج ) ثابت اعتباطي. حل لعوائد (u )

[u = {1 + cx ^ 2 over 1-cx ^ 2}. non number ]

لذلك

[ label {eq: 3.6.13} y = ux = {x (1 + cx ^ 2) over 1-cx ^ 2} ]

هو حل المعادلة المرجع {eq: 3.6.10} لأي اختيار للثابت (c ). يؤدي ضبط (c = 0 ) في المعادلة المرجع {eq: 3.6.13} إلى الحصول على الحل (y = x ). ومع ذلك ، لا يمكن الحصول على الحل (y = -x ) من المعادلة المرجع {eq: 3.6.13}. وبالتالي ، فإن حلول المعادلة ref {eq: 3.6.9} على فترات زمنية لا تحتوي على (x = 0 ) هي (y = -x ) ووظائف النموذج المعادلة المرجع {eq: 3.6 .13}.

يكون الموقف أكثر تعقيدًا إذا كان (x = 0 ) هو الفاصل الزمني المفتوح. أولاً ، لاحظ أن (y = -x ) يفي بالمعادلة المرجع {eq: 3.6.9} في ((- infty، infty) ). إذا كان (c_1 ) و (c_2 ) ثوابت عشوائية ، فإن الدالة

[ label {eq: 3.6.14} y = left { begin {array} {ll} { frac {x (1 + c_ {1} x ^ {2})} {1-c_ {1 } x ^ {2}}،} & {a

هو حل المعادلة المرجع {eq: 3.6.9} في ((أ ، ب) ) ، أين

[a = left { begin {array} {cl} - {1 over sqrt {c_1}} & mbox {if} c_1> 0، - infty & mbox {if} c_1 le 0، end {array} right. quad text {and} quad b = left { begin {array} {cl} {1 over sqrt {c_2}} & mbox {if} c_2> 0، infty & mbox { if} c_2 le 0. end {array} right. nonumber ]

نتركه لك للتحقق من هذا. للقيام بذلك ، لاحظ أنه إذا كان (y ) أي دالة من المعادلة النموذجية المرجع {eq: 3.6.13} ثم (y (0) = 0 ) و (y '(0) = 1 ).

يوضح الشكل ( PageIndex {3} ) حقل اتجاه وبعض المنحنيات المتكاملة للمعادلة المرجع {eq: 3.6.9}.

الحل ب

يمكننا الحصول على (c ) من خلال فرض الشرط الأولي (y (1) = 2 ) في المعادلة المرجع {eq: 3.6.13} ، ثم حل (c ). ومع ذلك ، من الأسهل استخدام المعادلة المرجع {eq: 3.6.12}. بما أن (u = y / x ) ، فإن الشرط الأولي (y (1) = 2 ) يعني أن (u (1) = 2 ). استبدال هذا في المعادلة المرجع {eq: 3.6.12} ينتج (c = 1/3 ). ومن ثم ، فإن حل المعادلة المرجع {eq: 3.6.10} هو

[y = {x (1 + x ^ 2/3) أكثر من 1-x ^ 2/3}. nonumber ]

الفاصل الزمني لصلاحية هذا الحل هو ((- sqrt3 ، sqrt3) ). ومع ذلك ، فإن أكبر فترة زمنية يكون فيها المعادلة ref {eq: 3.6.10} لها حل فريد هي ((0، sqrt3) ). لمشاهدة هذا ، لاحظ من المعادلة المرجع {eq: 3.6.14} أن أي دالة في النموذج

[ label {eq: 3.6.15} y = left { begin {array} {ll} { frac {x (1 + cx ^ {2})} {1-cx ^ {2}} ، } & {a

هو حل المعادلة المرجع {eq: 3.6.10} في ((a، sqrt3) ) ، حيث (a = -1 / sqrt c ) إذا (c> 0 ) أو ( أ = - infty ) إذا (ج le0 ). لماذا هذا لا يتعارض مع نظرية 2.3.1؟

يوضح الشكل ( PageIndex {4} ) عدة حلول لمشكلة القيمة الأولية المعادلة المرجع {eq: 3.6.10}. لاحظ أن هذه الحلول تتوافق مع ((0، sqrt {3}) ).

في المثالين الأخيرين ، تمكنا من حل المعادلات المعطاة بوضوح. ومع ذلك ، هذا ليس ممكنًا دائمًا ، كما سترى في التدريبات.


شاهد الفيديو: الفصل الخامس المعادلالت التفاضليةالمحاضرة 2-الاستاذ حيدر وليد (كانون الثاني 2022).