مقالات

3.6: الأعداد الكاتالونية


أ شجرة ثنائية متجذرة هو نوع من الرسم البياني له أهمية خاصة في بعض مجالات علوم الكمبيوتر. يتم عرض الشجرة الثنائية النموذجية ذات الجذور في الشكل ( PageIndex {1} ). الرؤوس الموجودة أسفل الرأس والمتصلة بها بواسطة حافة هي أبناء الرأس. إنها شجرة ثنائية لأن كل الرؤوس بها 0 أو 1 أو 2 طفل. كم عدد الأشجار الثنائية ذات الجذور المختلفة الموجودة مع (n ) رؤوس؟

الشكل ( PageIndex {1} ): شجرة ثنائية متجذرة.

دعونا نشير إلى هذا الرقم من خلال (C_n ) ؛ هؤلاء هم الأرقام الكاتالونية. للراحة ، نسمح بأن تكون الشجرة الثنائية ذات الجذور فارغة ، ونترك (C_0 = 1 ). ثم من السهل رؤية (C_1 = 1 ) و (C_2 = 2 ) ، وليس من الصعب رؤية ذلك (C_3 = 5 ). لاحظ أن أي شجرة ثنائية متجذرة على رأس واحد على الأقل يمكن اعتبارها شجرتين ثنائيتين (ربما فارغتين) تم ضمهما إلى شجرة جديدة عن طريق إدخال قمة جذر جديدة وجعل أطفال هذا الجذر هما جذري الأشجار الأصلية ؛ انظر الشكل ( PageIndex {1} ). (لجعل الشجرة الفارغة تابعة للقمة الجديدة ، ببساطة لا تفعل شيئًا ، أي حذف الطفل المقابل.)

الشكل ( PageIndex {1} ): إنتاج شجرة جديدة من الأشجار الصغيرة.

وبالتالي ، لجعل جميع الأشجار الثنائية الممكنة ذات القمم (n ) ، نبدأ برأس الجذر ، ثم بالنسبة لطفليها ، ندرج أشجارًا ثنائية متجذرة على رؤوس (ك ) و (ل ) ، مع ( k + l = n-1 ) ، لجميع الخيارات الممكنة للأشجار الصغيرة. الآن يمكننا الكتابة

$$ C_n = sum_ {i = 0} ^ {n-1} C_iC_ {n-i-1}. $$

على سبيل المثال ، بما أننا نعلم أن (C_0 = C_1 = 1 ) و (C_2 = 2 ) ،

$$ C_3 = C_0C_2 + C_1C_1 + C_2C_0 = 1 cdot2 + 1 cdot1 + 2 cdot1 = 5 ، $$

كما ذكر أعلاه. بمجرد أن نعرف الأشجار الموجودة على رؤوس 0 و 1 و 2 ، يمكننا دمجها بكل الطرق الممكنة لسرد الأشجار على 3 رؤوس ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {3} ). لاحظ أن الشجرتين الأوليين ليس لهما طفل يسار ، حيث إن الشجرة الوحيدة الموجودة على رأس 0 فارغة ، وبالمثل فإن الشجرتين الأخيرين ليس لهما طفل صحيح.

الشكل ( PageIndex {3} ):الأشجار ذات الجذور الثنائية ثلاثية الرؤوس.

نستخدم الآن دالة توليد لإيجاد صيغة لـ (C_n ). دعونا (f = sum_ {i = 0} ^ infty C_ix ^ i ). الآن ضع في اعتبارك (f ^ 2 ): معامل المصطلح (x ^ n ) في توسيع (f ^ 2 ) هو ( sum_ {i = 0} ^ {n} C_iC_ {ni } ) ، المقابلة لجميع الطرق الممكنة لمضاعفة المصطلحات (f ) للحصول على المصطلح (x ^ n ): $$ C_0 cdot C_nx ^ n + C_1x cdot C_ {n-1} x ^ {n-1} + C_2x ^ 2 cdot C_ {n-2} x ^ {n-2} + cdots + C_nx ^ n cdot C_0. $$ الآن نحن ندرك أن هذا هو بالضبط المجموع الذي يعطي (C_ {n + 1} ) ، لذلك (f ^ 2 = sum_ {n = 0} ^ infty C_ {n + 1} x ^ n ). إذا ضربنا هذا في (x ) وأضفنا 1 (وهو (C_0 )) نحصل بالضبط على (f ) مرة أخرى ، أي (xf ^ 2 + 1 = f ) أو (xf ^ 2-و + 1 = 0 ) ؛ هنا 0 هي دالة الصفر ، أي (xf ^ 2-f + 1 ) هي 0 لكل x. باستخدام نظرية فيثاغورس ،

$$ f = {1 pm sqrt {1-4x} أكثر من 2x} ، $$

طالما (س ليس = 0 ). ليس من الصعب رؤية أن (س ) يقترب من الصفر ،

$$ {1+ sqrt {1-4x} أكثر من 2x} $$

يذهب إلى ما لا نهاية حين

$$ {1- sqrt {1-4x} over 2x} $$

يذهب إلى 1. بما أننا نعلم (f (0) = C_0 = 1 ) ، هذا هو (f ) الذي نريده.

الآن من خلال نظرية ذات الحدين لنيوتن ، يمكننا التوسع

$$ sqrt {1-4x} = (1 + (- 4x)) ^ {1/2} = sum_ {n = 0} ^ infty {1/2 Choose n} (- 4x) ^ n. $$

ثم

$$ {1- sqrt {1-4x} over 2x} = sum_ {n = 1} ^ infty - {1 over 2} {1/2 Choose n} (- 4) ^ nx ^ { n-1} = sum_ {n = 0} ^ infty - {1 over 2} {1/2 Choose n + 1} (- 4) ^ {n + 1} x ^ n. $$

توسيع المعامل ذي الحدين (1/2 اختر n + 1 ) وإعادة تنظيم التعبير ، نكتشف ذلك

$$ C_n = - {1 أكثر من 2} {1/2 اختر n + 1} (- 4) ^ {n + 1} = {1 over n + 1} {2n Choose n}. $$

في التمرين 7 في قسم 1.2، رأينا أن عدد التسلسلات المتطابقة بشكل صحيح لأقواس الطول (2n ) هو ({2n Choose n} - {2n Choose n + 1} ) ، وسميت هذا (C_n ). ليس من الصعب رؤية ذلك

$$ {2n Choose n} - {2n Choose n + 1} = {1 over n + 1} {2n Choose n}، $$

لذا فإن الصيغ متفق عليها.

اسمح مؤقتًا بـ (A_n ) أن يكون عدد التسلسلات المتطابقة بشكل صحيح لأقواس الطول (2n ) ، لذلك من التمرين نعرف (A_n = {2n Choose n} - {2n Choose n + 1} ). من الممكن أن ترى مباشرةً أن (A_0 = A_1 = 1 ) وأن الأرقام (A_n ) تفي بنفس علاقة التكرار مثل (C_n ) ، مما يعني أن (A_n = C_n ) ، دون التلاعب بوظيفة التوليد.

هناك العديد من مسائل العد التي تبين أن إجاباتها هي الأرقام الكاتالونية. التوافقية العددية: المجلد 2بقلم ريتشارد ستانلي ، يحتوي على عدد كبير من الأمثلة.


3.6: الأعداد الكاتالونية

الأرقام القبيحة هي أرقام عواملها الأولية الوحيدة هي 2 أو 3 أو 5. التسلسل 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 8 ، 9 ، 10 ، 12 ، 15 ، & # 8230 يظهر أول 11 رقمًا قبيحًا. حسب الاتفاقية ، يتم تضمين 1.
عند إعطاء رقم n ، تتمثل المهمة في إيجاد رقم n & # 8217 القبيح.

الطريقة الأولى (بسيطة)
حلقة لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى يصبح عدد الأعداد القبيحة أصغر من n ، إذا كان العدد الصحيح قبيحًا من زيادة عدد الأعداد القبيحة.
للتحقق مما إذا كان الرقم قبيحًا ، قسّم الرقم على أكبر قوى قابلة للقسمة 2 و 3 و 5 ، إذا أصبح الرقم 1 ، فسيكون رقمًا قبيحًا وإلا فلا.

على سبيل المثال ، دعونا نرى كيف نتحقق من أن الرقم 300 قبيح أم لا. أكبر قوة قابلة للقسمة لـ 2 هي 4 ، بعد قسمة 300 على 4 نحصل على 75. أكبر قوة قابلة للقسمة هي 3 ، بعد قسمة 75 على 3 نحصل على 25. أكبر قوة قابلة للقسمة هي 25 ، بعد قسمة 25 على 25 نحصل على 1 منذ أن حصلنا على 1 أخيرًا ، 300 هو رقم قبيح.


أرقام 4+

أنشئ جداول بيانات رائعة باستخدام Numbers لـ Mac. ابدأ باستخدام أحد القوالب العديدة التي صممتها Apple لميزانية منزلك ، وقائمة المراجعة ، والفاتورة ، وحاسبة الرهن العقاري ، والمزيد. أضف الجداول والمخططات والنصوص والصور في أي مكان على اللوحة ذات الشكل الحر. بمجرد أن تبدأ في كتابة صيغة ، ستحصل على اقتراحات فورية ومساعدة مضمنة لأكثر من 250 وظيفة قوية. حرك بياناتك باستخدام مخططات عمودية وشريطية ومخططات مبعثرة وفقاعية تفاعلية جديدة. تصفية بسهولة من خلال الطاولات الكبيرة. تنسيق الخلايا تلقائيًا استنادًا إلى الأرقام والنصوص والتواريخ والمدد باستخدام تمييز شرطي جديد. ومع محرك الحساب الجديد تمامًا ، أصبحت Numbers أسرع من أي وقت مضى.

مع iCloud المدمج ، يتم تحديث جداول البيانات الخاصة بك عبر جميع أجهزتك. ومن خلال التعاون في الوقت الفعلي ، سيتمكن فريقك من العمل معًا في نفس الوقت على جهاز Mac أو iPad أو iPhone أو iPod touch - حتى على كمبيوتر شخصي باستخدام iWork لـ iCloud.

تعاون مع الآخرين في نفس الوقت
• من خلال التعاون في الوقت الفعلي ، يمكن لفريقك بأكمله العمل معًا على جدول بيانات في نفس الوقت
• التعاون مدمج في Numbers على أجهزة Mac و iPad و iPhone و iPod touch
• يمكن لمستخدمي الكمبيوتر الشخصي التعاون أيضًا باستخدام Numbers لـ iCloud
• شارك المستند علنًا أو مع أشخاص محددين
• يمكنك بسهولة معرفة الأشخاص الموجودين حاليًا في المستند معك
• اعرض مؤشرات الأشخاص الآخرين لمتابعة تعديلاتهم
• متوفر في جداول البيانات المخزنة في iCloud أو في Box

ابدأ بسرعة
• أكثر من 30 نموذجًا من تصميم Apple يمنح جداول البيانات الخاصة بك بداية جميلة
• يمنحك شريط الأدوات المبسط وصولاً سريعًا إلى الأشكال والوسائط والجداول والمخططات وخيارات المشاركة
• يتم تحديث لوحة التنسيق الجديدة تلقائيًا بناءً على التحديد
• استخدم الفئات الذكية لمشاهدة بياناتك بطريقة جديدة تمامًا
• تنظيم الجداول وتلخيصها بسرعة لاكتساب رؤى جديدة
• استيراد وتحرير جداول بيانات Microsoft Excel
• استيراد وتحرير قيم مفصولة بفواصل (CSV) ونص محدد بعلامات جدولة
• فتح جداول البيانات المحمية بكلمة مرور بسرعة باستخدام Touch ID على أجهزة Mac المدعومة

جداول بيانات جميلة
• ضع الجداول والمخططات والنصوص والصور في أي مكان على قماش الرسم الحر
• إضافة وتغيير حجم جداول متعددة على ورقة واحدة
• إنشاء جداول رائعة المظهر باستخدام أدوات تصميم حدود الخلية المحسّنة
• استخدم أنماطًا رائعة معدة مسبقًا لجعل النص والجداول والأشكال والصور تبدو جميلة
• استخدم المخططات الدائرية المجوفة لتصور البيانات بطريقة جديدة جذابة
• إضافة معرض صور تفاعلي لعرض مجموعة من الصور
• إدراج الصور والموسيقى والفيديو باستخدام مستعرض الوسائط
• حسّن جداول البيانات الخاصة بك بمكتبة تضم أكثر من 700 شكل قابل للتحرير

صيغ للجميع
• اختر من بين أكثر من 250 وظيفة قوية
• احصل على اقتراحات الوظائف بمجرد أن تبدأ في كتابة الصيغة
• ابحث في مستعرض الوظائف المتكاملة للحصول على تعليمات مضمنة وعينة من الصيغ
• احصل على نتائج الصيغة الحية ، والتحقق من الأخطاء ، والقيمة الدقيقة ، وتنسيق الخلية باستخدام طريقة عرض الخلية الذكية الجديدة
• سهولة إضافة معلومات الأسهم إلى جداول البيانات
• أضف وظائفك المفضلة إلى "العمليات الحسابية السريعة" للحصول على نتائج فورية

كل شيء يضيف. جميل
• إدراج مخططات رائعة ثنائية وثلاثية الأبعاد
• تحريك البيانات باستخدام مخططات عمودية وشريطية ومخططات مبعثرة وفقاعية تفاعلية جديدة
• تمييز الخلايا تلقائيًا استنادًا إلى قواعد الأرقام والنصوص والتواريخ والمدد
• سهولة التصفية من خلال الطاولات الكبيرة
• قم بتغيير القيم في الخلايا باستخدام أشرطة التمرير والخطوات ومربعات الاختيار والنوافذ المنبثقة والتصنيفات النجمية

iCloud
• قم بتشغيل iCloud حتى تتمكن من الوصول إلى جداول البيانات وتعديلها من Mac و iPad و iPhone و iPod touch و iCloud.com
• الوصول إلى جداول البيانات وتعديلها من متصفح Mac أو الكمبيوتر الشخصي على www.icloud.com باستخدام Numbers لـ iCloud

شارك عملك
• تصدير جدول البيانات إلى CSV و PDF و Microsoft Excel
• استخدم "فتح في تطبيق آخر" لنسخ جداول البيانات إلى تطبيقات مثل Dropbox

قد تتطلب بعض الميزات الوصول إلى الإنترنت رسومًا إضافية وقد يتم تطبيق شروط.


أوصي بهذا المقال بقلم زميلي نيك بارلانت (من الخلف عندما كان لا يزال في ستانفورد). يحتوي عدد الأشجار الثنائية المختلفة هيكليًا (المشكلة 12) على حل تكراري بسيط (والذي في شكل مغلق ينتهي به الأمر إلى أن يكون الصيغة الكاتالونية التي ذكرت إجابة @ codeka بالفعل).

لست متأكدًا من كيفية عدد ثنائي مختلف هيكليًا بحث قد تختلف الأشجار (BSTs باختصار) عن الأشجار الثنائية "العادية" - باستثناء أنه إذا كان "اعتبار قيم عقد الشجرة" يعني أن كل عقدة قد تكون على سبيل المثال أي رقم متوافق مع شرط BST ، ثم عدد مختلف (ولكن ليس كل هيكليا مختلف! -) BSTs لانهائية. أشك في أنك تقصد ذلك ، لذا يرجى توضيح ما تريد فعل يعني بمثال!

إجمالي عدد الأشجار الثنائية =

يعطي الجمع على i العدد الإجمالي لأشجار البحث الثنائية ذات العقد.

الحالة الأساسية هي t (0) = 1 و t (1) = 1 ، أي أن هناك BST واحد فارغ وهناك BST واحد مع عقدة واحدة.

لذلك ، بشكل عام ، يمكنك حساب العدد الإجمالي لأشجار البحث الثنائية باستخدام الصيغة أعلاه. لقد تم طرح سؤال في غوغل المقابلة المتعلقة بهذه الصيغة. كان السؤال هو كم عدد إجمالي عدد أشجار البحث الثنائية الممكنة مع 6 رؤوس. إذن الإجابة هي t (6) = 132

أعتقد أنني أعطيتك فكرة.

يمكن حساب عدد الأشجار الثنائية باستخدام الرقم الكتالوني.

يمكن اعتبار عدد أشجار البحث الثنائية حلاً متكررًا. على سبيل المثال ، عدد أشجار البحث الثنائية = (عدد متبقى الأشجار الفرعية للبحث الثنائي) * (عدد حق الأشجار الفرعية للبحث الثنائي) * (طرق اختيار الجذر)

في BST ، فقط الترتيب النسبي بين العناصر هو المهم. لذلك ، بدون أي خسارة في العمومية ، يمكننا أن نفترض أن العناصر المميزة في الشجرة هي 1 ، 2 ، 3 ، 4 ،. ن. أيضًا ، دع رقم BST يتم تمثيله بواسطة f (n) لـ n من العناصر.

الآن لدينا حالات متعددة لاختيار الجذر.

  1. اختر 1 كجذر ، لا يمكن إدراج عنصر في الشجرة الفرعية اليسرى. ن -1 سيتم إدراج العناصر في الشجرة الفرعية اليمنى.
  2. اختر 2 كجذر ، 1 يمكن إدراج عنصر في الشجرة الفرعية اليسرى. ن -2 يمكن إدراج العناصر في الشجرة الفرعية اليمنى.
  3. اختر 3 كجذر ، 2 يمكن إدراج عنصر في الشجرة الفرعية اليسرى. ن -3 يمكن إدراج العناصر في الشجرة الفرعية اليمنى.

. وبالمثل ، ل ط العنصر كجذر ، ط -1 يمكن أن تكون العناصر على اليسار و ن-ط على اليمين.

هذه الأشجار الفرعية هي نفسها BST ، وبالتالي ، يمكننا تلخيص الصيغة على النحو التالي:

و (ن) = و (0) و (ن -1) + و (1) و (ن -2) +. + و (ن -1) و (0)

الحالات الأساسية ، f (0) = 1 ، حيث توجد طريقة واحدة بالضبط لعمل BST مع 0 عقدة. f (1) = 1 ، حيث توجد طريقة واحدة بالضبط لعمل BST مع عقدة واحدة.


تمارين 1.4

مثال 1.4.1 أظهر ذلك إذا $ $ هو قسم من $ <1،2 ، ldots ، n > $ ، ثم هناك علاقة تكافؤ فريدة $ equiv $ التي تكون فئات التكافؤ فيها $ $.

مثال 1.4.2 لنفترض أن $ n $ هو رقم خالي من المربعات ، أي لا يوجد رقم $ m ^ 2 $ divides $ n $ بعبارة أخرى ، فإن الأرقام الخالية من المربعات هي نتاج عوامل أولية مميزة ، أي $ n = p_1p_2 cdots p_k $ ، حيث يكون كل $ p_i $ عددًا أوليًا ولا يوجد عاملان أوليان متساويان. أوجد عدد عوامل تحليل $ n $. على سبيل المثال ، $ 30 = 2 cdot 3 cdot 5 $ ، و Factorizations 30 هي 30 ، $ 6 cdot 5 $ ، $ 10 cdot 3 $ ، $ 2 cdot 15 $ ، و $ 2 cdot 3 cdot 5 $. لاحظ أننا نعد 30 وحده كعامل ، على الرغم من أنه إلى حد ما عامل تافه.

مثال 1.4.3 يشير مخطط القافية في مقطع من الشعر إلى سطور القافية. عادة ما يتم التعبير عن هذا في شكل ABAB ، أي السطر الأول والثالث من قافية مقطعية من أربعة أسطر ، كما هو الحال في الثاني والرابع ، أو ABCB ، مما يعني فقط السطر الثاني والرابع قافية ، وهكذا. قصيدة ليمريك هي قصيدة من خمسة أسطر مع مخطط القافية AABBA. كم عدد مخططات القافية المختلفة الممكنة لمقطع $ n $ line؟ لتجنب الأنماط المكررة ، نسمح فقط بحرف جديد في النمط عندما يتم استخدام جميع الأحرف السابقة على يسار الحرف الجديد. على سبيل المثال ، لا يُسمح بـ ACBA ، لأنه عند وضع C في الموضع 2 ، لم يتم استخدام B إلى اليسار. هذا هو نفس مخطط القافية مثل ABCA ، وهو مسموح به.

مثال 1.4.4 هناك طريقة أخرى للتعبير عن أرقام الجرس لـ $ n> 0 $ وهي $ B_n = sum_^ n S (n، k)، $ حيث $ S (n، k) $ هو عدد الأقسام من $ <1،2، ldots، n > $ إلى أجزاء $ k $ بالضبط ، $ 1 le k le n $. $ S (n، k) $ هي ملفات أرقام ستيرلنغ من النوع الثاني. ابحث عن علاقة تكرار لـ $ S (n، k) $. يجب أن يسمح التكرار ببناء مثلث بسيط إلى حد ما يحتوي على القيم $ S (n، k) $ ، ومن ثم يمكن حساب أرقام الجرس عن طريق جمع صفوف هذا المثلث. اعرض الصفوف الخمسة الأولى من المثلث ، $ n في <1،2 ، ldots ، 5 > $.

مثال 1.4.5 لنفترض أن $ A_n $ هو عدد أقسام $ <1،2، ldots، n + 1 > $ حيث لا توجد أعداد صحيحة متتالية في نفس الجزء من القسم. على سبيل المثال ، عندما يكون $ n = 3 $ هذه الأقسام هي $ < <1 > ، <2 > ، <3 > ، <4 > > $ ، $ < <1 > ، <2،4 >، <3 > > $، $ < <1،3 >، <2 >، <4 > > $، $ < <1 ، 3 > ، <2،4 > > $ ، $ < <1،4 > ، <2 > ، <3 > > $ ، لذا $ A_3 = 5 $. لنفترض أن $ A (n، k) $ هو عدد الأقسام من $ <1،2، ldots، n + 1 > $ إلى أجزاء $ k $ بالضبط ، حيث لا توجد أعداد صحيحة متتالية في نفس الجزء من تقسيم. وبالتالي $ A_n = sum_^ أ (ن ، ك). ابحث عن تكرار لـ $ A (n، k) $ ثم أظهر أن $ A_n = B_n $.


بياض ، أ ، كيم ، ت: تكرارات أعلى لأرقام أبوستول - برنولي - أويلر. روس. J. الرياضيات. فيز. 19(1), 1–10 (2012)

El-Desouky، BS، Mustafa، A: نتائج جديدة لأرقام Daehee و Bernoulli ذات الترتيب الأعلى ومتعددة الحدود. حال. اختلف. يساوي 2016(32), 21 (2016)

Jang، L.-C، Lee، JG: ملاحظة حول كثيرات حدود أويلر من نوع بارنز. حال. اختلف. يساوي 2015(250), 7 (2015)

Jeong، J.، Rim، S.-H.، Kim، BM: في الأزمنة المحدودة المتدهورة بأرقام كوشي ومتعددة الحدود. حال. اختلف. يساوي 2015(321), 12 (2015)

Kang، D.، Jeong، J.، Lee، S.-J.، Rim، S.H .: ملاحظة حول كثيرات حدود برنولي الناشئة عن معادلة تفاضلية غير خطية. بروك. جانغجون الرياضيات. شركة 16(1), 37–43 (2013)

Kim، DS، Kim، T: أرقام Daehee ومتعددة الحدود. تطبيق رياضيات. علوم. (حيلة) 7(117–120), 5969–5976 (2013)

Kim، DS، Kim، T.، Lee، S.-H.، Seo، J.-J: ملاحظة حول كثيرات حدود لامدا-دايهي. كثافة العمليات J. الرياضيات. شرجي. (حيلة) 7(61–64), 3069–3080 (2013)

كيم ، تي: ملاحظة حول الأرقام الكاتالونية المرتبطة بـ (p ) - تكامل أساسي على ( mathbb_p ). بروك. جانغجون الرياضيات. شركة 19(3), 493–501 (2016)

كيم ، ت. ، كيم ، د.س .: ملاحظة حول معادلات تشانغهي التفاضلية غير الخطية. روس. J. الرياضيات. فيز. 23(1), 88–92 (2016)

كيم ، ت ، كيم ، دي إس: بعض هويات كثيرات حدود أويلريان الناشئة عن المعادلات التفاضلية غير الخطية. إيران. J. Sci. تكنول. عبر. علوم. 2016, 1–6 (2016)

Kim، T.، Kim، D.S.، Seo، J.-J: المعادلات التفاضلية المرتبطة بمتعدد حدود بيل المتدهور. انتر. J. نقية أبل. رياضيات. 108(3), 551–559 (2016)

كيم ، ت. ، كيم ، دي إس: هويات متناظرة لتناظرية متعددة الحدود الكاتالونية. جانغجون الرياضيات. شركة 19(3), 515–521 (2016)

Kim، T.، Kim، DS، Seo، J.-J.، Kwon، H.-I: المعادلات التفاضلية المرتبطة بـ ( lambda ) -Changhee كثيرات الحدود. J. غير الخطية Sci. تطبيق 9(5), 3098–3111 (2016)

لايتون ، إف تي ، نيومان ، إم: مصفوفات محددة موجبة وأرقام كتالونية. بروك. أكون. رياضيات. شركة 79(2), 177–181 (1980)

Moon ، E.-J. ، Park ، J.-W. ، Rim ، S.-H: ملاحظة حول أرقام (q ) -Daehee المعممة ذات الترتيب الأعلى. بروك. جانغجون الرياضيات. شركة 17(4), 557–565 (2014)

بارك ، جي دبليو: في ( lambda ) -Daehee كثيرات الحدود مع (q ) -المعلمة. J. كومبوت. شرجي. تطبيق 20(1), 11–20 (2016)

Park، J.-W.، Rim، S.-H.، Kwon، J: أرقام Daehee الهندسية الفائقة ومتعددة الحدود. التركية J. الشرج. نظرية الأعداد 1(1), 59–62 (2013)

Park، J.-W.، Rim، S.-H.، Kwon، J: أرقام Daehee الملتوية ومتعددة الحدود. حال. اختلف. يساوي 2014(1), 9 (2014)

Rim، S.-H.، Jeong، J.، Park، J.-W: بعض الهويات التي تتضمن كثيرات حدود أويلر الناشئة عن معادلة تفاضلية غير خطية. كيونغ بوك الرياضيات. ج. 53(4), 553–563 (2013)

ساندز ، ميلادي: عن الأعداد الكاتالونية المعممة. الرياضيات المنفصلة. 21(2), 219–221 (1978)

شابيرو ، إل دبليو: دليل قصير على هوية توشارد فيما يتعلق بالأرقام الكاتالونية. J. مشط. نظرية سر. أ 20(3), 375–376 (1976)

Simsek، Y: Apostol اكتب أرقام Daehee ومتعددة الحدود. حال. عشيق. المعاصر. رياضيات. 26(3), 555–566 (2016)

Simsek، Y.، Rim، S.-H.، Jang، L.-C، Kang، D.-J.، Seo، J.-J: A note on (q ) -Daehee sums. J. الشرج. حاسوب. 1(2), 151–160 (2005)

Singmaster، D: تقييم أولي للأرقام الكتالونية. أكون. رياضيات. الاثنين. 85(5), 366–368 (1978)


الأعداد المثالية الفردية: هل هي موجودة؟

غالبًا ما يؤدي الاستفسار الرياضي إلى غابة من الأسئلة والمشكلات الفريدة. في مجال نظرية الأعداد ، هناك تشكيلة واسعة من هذه المخلوقات الرياضية. على الرغم من سهولة تحديد هذه المشكلات ، إلا أنها يمكن أن تظل كامنة لسنوات مع القليل من علامات التقدم. في الواقع ، يعد تخمين الرقم المثالي الغريب إحدى هذه المشكلات التي أفلتت من الإثبات لعدة قرون.

الأعداد المثالية هي الأعداد الصحيحة الموجبة التي تمثل مجموع قواسمها الصحيحة. على سبيل المثال ، 6 هو رقم مثالي ، لأن مجموع قواسمه الصحيحة ، 1 و 2 و 3 يساوي 6 (1 + 2 + 3 = 6). ابتكر إقليدس أولاً طريقة لبناء مجموعة من الأعداد المثالية في الكتاب التاسع من العناصر. أوضح إقليدس في كتابه أنه إذا كان عددًا أوليًا ، فعندئذ يكون عددًا كاملاً. من آخر مشاركة لي حول "The Infinitude of Mersenne Primes" ، يمكن للمرء أن يدرك أنه إذا كان رئيسًا هو Mersenne Prime.

في عام 1638 ، أرسل رينيه ديكارت رسالة إلى مارين ميرسين تفيد بأنه يعتقد أن كل رقم مثالي هو من شكل إقليدس. علاوة على ذلك ، في الخطاب ، كان ديكارت أول من فكر في احتمال وجود أو عدم وجود عدد مثالي فردي. منذ ذلك الحين فشل العديد من علماء الرياضيات في تقديم برهان. إذن ، هل يوجد عدد مثالي فردي؟

حسابيا ، تم التحقق من التخمين للأرقام الفردية حتى دون نجاح. مع مرور الوقت ، حقق علماء الرياضيات العديد من النتائج الرائعة. في عام 1888 ، أثبت Eugène Charles Catalan أنه في حالة وجود عدد مثالي فردي ولا يمكن القسمة على 3 أو 5 أو 7 ، فإنه يحتوي على 26 عاملًا أوليًا على الأقل (تم تمديد هذه النتيجة لاحقًا إلى 27 عاملاً أوليًا بواسطة KK Norton في 1960). جاءت نتيجة رائعة أخرى من عالم الرياضيات ج. توشارد. في عام 1953 ، أوضح توشارد أنه في حالة وجود عدد مثالي فردي ، يجب أن يكون بالشكل أو.

يمكن العثور على الموارد والمزيد من الأمثلة بسهولة على الإنترنت. عالم الرياضيات النرويجي أوستين أور كان لديه ما يلي ليقوله عن التخمين وشكل إقليدس & # 8217s في كتابه دعوة إلى نظرية الأعداد:

& # 8220 تظهر هذه النتيجة أن كل رئيس Mersenne ينتج عنه رقم مثالي & # 8230. هل هناك أي أنواع أخرى من الأعداد المثالية؟ & # 8230 هذا يتركنا مع السؤال: هل هناك أي أرقام فردية مثالية؟ في الوقت الحالي ، لا نعرف شيئًا وهو أحد الألغاز البارزة في نظرية الأعداد لتحديد ما إذا كان يمكن وجود عدد مثالي فردي & # 8230. & # 8221

من كلمات Ore & # 8217s ، فإن التخمين هو بالتأكيد لغز رائع. الأناقة هي كلمة يستخدمها علماء الرياضيات عند وصف نتيجة شديدة البخل وصارمة. سيكون من الرائع رؤية حل أنيق لهذه المعضلة القديمة. واحد يُظهر المتانة ويولد المزيد من الأسئلة ذات الاهتمام والتفرد.


ما هي أنواع الأرقام الموجودة هناك؟

فهي كثيرة فوق الكمال ، ناهيك عن النقص. انظر إلى الأرقام الكاملة والناقصة.

العشرة الأوائل: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54

هناك 2487 رقمًا وفيرًا أقل من 10000.

ظريف

تعريف: الرقم ن هو ظريف إذا كان ينتمي إلى زوج ودي. رقمان n و m يسمىان زوج ودي إذا كان مجموع جميع القواسم الموجبة لـ n يساوي مجموع جميع القواسم الموجبة لـ m وكلاهما يساوي n + m.

بدأ كل شيء بأرقام مثالية ودودة مع أنفسهم. تبنت تلك الأرقام الفضائل والصفات الاجتماعية لأجزاء كل منها لديها القدرة على توليد الآخر. انظر أيضا الأرقام الاجتماعية.

العشرة الأوائل: 220, 284, 1184, 1210, 2620, 2924, 5020, 5564, 6232, 6368

هناك 10 أرقام ودية أقل من 10000.

القوة المروعة

تعريف:الرقم n يسمى القوة المروعة إذا احتوت 2 n على الأرقام المتتالية 666 (بالتعداد العشري).

العشرة الأوائل: 157, 192, 218, 220, 222, 224, 226, 243, 245, 247

هناك 6485 قوة مرعبة أقل من 10000.

تطمح

تعريف:الرقم n يسمى تطمح number إذا انتهى تسلسل القسمة الخاص به بعدد مثالي ، ولم يكن بحد ذاته رقمًا مثاليًا.

العشرة الأوائل: 25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652

هناك 89 رقمًا طموحًا أقل من 10000.

ذاتي الشكل (فضولي)

تعريف:الرقم n يسمى ذاتي الشكل رقم إذا (التوسع العشري لـ) n 2 ينتهي بـ n. تسمى هذه الأرقام أيضًا فضولي.

إنه لأمر غريب ، كيف يوجد رقم آلي آخر من رقم k-digit n - 10 k + 1 - n. لكي يعمل هذا مع n = 1 ، يجب أن تعامل 1 كرقم مكون من صفر.

العشرة الأوائل: 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376.

هناك 8 أرقام ذات شكل آلي أقل من 10000.

تعريف:ال ن ال كيك number هو الحد الأقصى لعدد القطع التي يمكن تقطيع الكعكة (الأسطوانية) إليها بقطع n (مستوية).

لسوء الحظ ، لا يحصل الجميع على الصقيع. إذا قطعت البيتزا بدلاً من الكعكة ، فستحصل على أرقام متعهد طعام كسول.

العشرة الأوائل: 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176.

يوجد 38 رقمًا للكعك أقل من 10000.

كارمايكل

تعريف: العدد الصحيح المركب n هو أ كارمايكل number if b n-1 = 1 (mod n) لكل عدد صحيح b الذي يعتبر نسبيًا أوليًا مع n.

تتصرف أعداد كارمايكل مثل الأعداد الأولية فيما يتعلق بأكثر اختبار البدائية فائدة ، أي أنها تتظاهر بأنها أعداد أولية.

العشرة الأوائل: 561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341.

هناك 7 أعداد كارمايكل أقل من 10000.

الكاتالونية

تعريف: ال ن ال الكاتالونية الرقم يساوي (2n اختر n) / (n + 1) = (2n)! / (n! (n + 1)!).

هناك العديد من الطرق التي يمكن من خلالها تفسير الأرقام الكاتالونية ، وهناك بعض الصور الرائعة هنا ومقال ويكيبيديا جيد جدًا.

العشرة الأوائل: 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796.

هناك 9 أرقام كتالونية أقل من 10000.

مركب

تعريف: يتم استدعاء عدد صحيح موجب أكبر من 1 وليس عددًا أوليًا مركب.

الأرقام المركبة هي عكس الأعداد الأولية.

العشرة الأوائل: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

يوجد 8769 رقمًا مركبًا أقل من 10000.

تركيبي

تعريف: ال ن ال تركيبي هو حاصل ضرب أول n من الأرقام المركبة.

الأعداد التركيبية هي معاملات مقسومة على الأعداد الأولية.

العشرة الأوائل: 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, 12541132800, 250822656000.

هناك 4 مؤلفين أقل من 10000.

تعريف: الرقم ن هو مكعب إذا كان هو مكعب عدد صحيح.

العشرة الأوائل: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000

يوجد 21 رقم مكعب أقل من 10000.

ناقص

تعريف: الرقم ن هو ناقص إذا كان مجموع كل المقسومات الموجبة باستثناء نفسها أقل من n.

قارن مع الأرقام الكاملة والوفرة.

العشرة الأوائل: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11.

يوجد 7508 رقم ناقص أقل من 10000.

تعريف: الرقم هو حتى في إذا كانت قابلة للقسمة على 2.

الأرقام غير الفردية. قارن مع زوج آخر - الأعداد الشريرة والبغيضة.

العشرة الأوائل: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.

يوجد 4999 رقمًا زوجيًا أقل من 10000.

تعريف: الرقم ن هو شرير إذا كان لديه عدد زوجي من الآحاد في توسعه الثنائي.

العشرة الأوائل: 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 20.

يوجد 4999 رقمًا شريرًا أقل من 10000.

عاملي

تعريف: ال ن ال عاملي هو حاصل ضرب أول n أعداد طبيعية.

استحق العامل علامة تعجب لتدوينه: k! = 1 * 2 * 3 *. *ك.

العشرة الأوائل: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800.

هناك 7 عوامل أقل من 10000.

فيبوناتشي

تعريف: فيبوناتشي الأرقام هي أرقام تشكل متوالية فيبوناتشي. يتم تعريف متتالية فيبوناتشي على أنها تبدأ بـ 1 ، 1 ثم كل حد تالي هو مجموع الاثنين السابقين.

أرقام فيبوناتشي شائعة جدًا في الطبيعة. على سبيل المثال ، يحتوي الأناناس على 8 حلزونات إذا عدت بطريقة واحدة ، و 13 إذا عدت بطريقة أخرى.

العشرة الأوائل: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

يوجد 19 رقمًا مختلفًا فيبوناتشي أقل من 10000.

غوغل

تعريف: ال ن ال غوغل number هو أول عدد أولي من n عدد موجود في التوسع العشري لـ e.

تم تسميتهم غوغل الأرقام بسبب إعلان التوظيف غير المعتاد غوغل ضع.

العشرة الأوائل: 2, 71, 271, 4523, 74713, 904523, 2718281, 72407663, 360287471, 7427466391.

هناك 4 أرقام جوجل أقل من 10000.

سعيدة

تعريف: يمكن للمرء أن يأخذ مجموع مربعات أرقام العدد. هذه الأرقام سعيدة حيث يؤدي تكرار هذه العملية في النهاية إلى 1.

العشرة الأوائل: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44.

يوجد 1441 رقمًا سعيدًا أقل من 10000.

جوعان

تعريف: ال k-th جوعان number هو أصغر رقم n بحيث يحتوي 2 ^ n على أول k من الأرقام العشرية للتوسع في pi.

تم تسميتهم جوعان الأرقام لأنهم يحاولون تناول أكبر قدر ممكن من "باي".

العشرة الأوائل: 5, 17, 74, 144, 144, 2003, 2003, 37929, 82810, 161449.

هناك 5 أعداد مختلفة للجوع أقل من 10000.

متعهد كسول

تعريف: ال ن ال متعهد كسول number هو الحد الأقصى لعدد القطع التي يمكن تقطيع البيتزا (الدائرية) إليها بقطع n (خط مستقيم).

على عكس الوضع مع الكعكة ، يحصل الجميع على الطبقة العلوية.

العشرة الأوائل: 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56.

هناك 140 عددًا كسولًا من متعهد تقديم الطعام أقل من 10000.

سعيد الحظ

تعريف: لبناء سعيد الحظ التسلسل الرقمي ، ابدأ بالأرقام الطبيعية. احذف كل رقم ثاني ، مع ترك 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ،. . الرقم الثاني المتبقي هو 3 ، لذا احذف كل رقم ثالث ، مع ترك 1 ، 3 ، 7 ، 9 ، 13 ، 15 ، 19 ، 21 ،. . العدد المتبقي التالي هو 7 ، لذا احذف كل رقم سابع ، مع ترك 1 ، 3 ، 7 ، 9 ، 13 ، 15 ، 21 ،. . العدد التالي المتبقي هو 9 ، لذا احذف كل رقم تاسع ، إلخ.

كانت هذه الأرقام محظوظة لأنها لم يتم شطبها.

العشرة الأوائل: 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33.

يوجد 1118 رقم حظ أقل من 10000.

ميرسين

تعريف: عدد من النموذج 2 ص - 1 يسمى أ ميرسين رقم إذا كان p أولي.

كان يعتقد منذ سنوات عديدة أن جميع أرقام مرسين أولية. هذا ليس كذلك ، وبالتالي هناك إدخال منفصل للأعداد الأولية في مرسين.

العشرة الأوائل: 3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607, 536870911.

يوجد 6 أرقام من Mersenne أقل من 10000.

رئيس الوزراء مرسين

تعريف: يسمى رقم مرسين وهو أيضًا عدد أولي أ رئيس الوزراء مرسين.

إن السعي لإيجاد الأعداد الأولية بين أعداد ميرسين يمد البشرية بأكبر أعداد أولية معروفة.

العشرة الأوائل: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111.

هناك 5 أعداد أولية من Mersenne أقل من 10000.

نرجسي

تعريف: يتم استدعاء رقم k المكون من n نرجسي إذا كانت مساوية لمجموع قوى k-th لأرقامها. يطلق عليهم أيضا بالإضافة إلى الكمال أعداد.

العشرة الأوائل: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153.

يوجد 16 رقمًا نرجسيًا أقل من 10000.

تعريف: الرقم هو غريب إذا كان لا يقبل القسمة على 2.

الأرقام غير الفردية زوجية. قارن مع زوج آخر - الأعداد الشريرة والبغيضة.

العشرة الأوائل: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.

يوجد 5000 رقم فردي أقل من 10000.

كريه

تعريف: الرقم ن هو كريه إذا كان لديه عدد فردي من الآحاد في توسعه الثنائي.

العشرة الأوائل: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 19.

يوجد 5000 رقم بغيض أقل من 10000.

متناظرة

تعريف: أ متناظرة هو رقم يقرأ نفسه للأمام أو للخلف.

العشرة الأوائل: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11.

هناك 198 رقمًا متناوبًا أقل من 10000.

رئيس متناوب

تعريف: أ رئيس متناوب هو رئيس وهو متماثل.

في القاعدة 2 ، تعد الأعداد الأولية ميرسين أولية متناظرة.

العشرة الأوائل: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191.

هناك 20 مجموعة أولية متناظرة أقل من 10000.

خماسي

تعريف: خماسي الأرقام من الشكل n (3n - 1) / 2.

الأرقام البنتاغونية هي الأرقام المثلثية بالنسبة للمثلثات والأرقام المربعة للمربعات.

العشرة الأوائل: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145.

يوجد 81 رقمًا خماسيًا أقل من 10000.

في احسن الاحوال

تعريف: الرقم ن هو في احسن الاحوال إذا كان مجموع كل المقسومات الموجبة باستثناء نفسها يساوي n.

تسمى الأرقام الأقل من مثالية ناقصة ، مثالية جدًا - وفيرة.

العشرة الأوائل: 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216.

هناك 4 أرقام مثالية أقل من 10000.

قوي

تعريف: عدد صحيح ن هو قوي إذا كانت لكل p أولية قسمة n ، فإن p 2 تقسم n أيضًا.

كم قوة؟ يمكن كتابتها جميعًا في صورة 2 ب 3.

العشرة الأوائل: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49.

يوجد 184 رقمًا قويًا أقل من 10000.

قوة 2

تعريف: الرقم هو قوة 2 إذا كان 2 إلى بعض القوة.

العشرة الأوائل: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.

هناك 14 قوى من 2 تحت 10000.

عملي

تعريف: الرقم ن هو عملي إذا كانت جميع الأعداد الأصغر من n هي مجموع قواسم مميزة لـ n.

العشرة الأوائل: 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24.

يوجد 1455 رقمًا عمليًا أقل من 10000.

رئيس

تعريف: أ رئيس هو عدد صحيح موجب أكبر من 1 لا يقبل القسمة على أي أعداد صحيحة موجبة بخلاف 1 ونفسه.

الأعداد الأولية هي عكس الأرقام المركبة.

العشرة الأوائل: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

يوجد 1229 عددًا أوليًا أقل من 10000.

البدائي

تعريف: إن p-البدائي هو حاصل ضرب جميع الأعداد الأولية الأصغر من أو يساوي p. يتم الإشارة إليه أحيانًا بواسطة p #.

العشرة الأوائل: 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230.

هناك 5 مجموعات أولية أقل من 10000.

بروني (غير متجانس)

تعريف: الرقم يسمى منشط إذا كان نتاج رقمين متتاليين.

هم ضعف الأعداد المثلثية.

العشرة الأوائل: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110.

يوجد 99 رقمًا تقريبيًا أقل من 10000.

أعد الوحدة

تعريف: أ أعد الوحدة هو عدد صحيح فيه كل رقم واحد.

يأتي مصطلح إعادة الوحدة من الجمع بين "مكرر" و "وحدة".

العشرة الأوائل: 1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, 1111111, 11111111, 111111111, 1111111111.

هناك 4 إعادة وحدة أقل من 10000.

سميث (نكتة)

تعريف: الرقم المركب يسمى حداد رقم إذا كان مجموع أرقامه يساوي مجموع كل الأرقام التي تظهر في قواسمه الأولية (حساب التعدد).

في عام 1984 ، عندما اتصل ألبرت ويلانسكي بصهره ، المسمى سميث ، لاحظ أن رقم الهاتف يمثل العقار الموصوف هنا. هل يطلق عليهم أرقام النكات ، لأنهم سموا على اسم صهر بريء مطمئن :-)؟

العشرة الأوائل: 4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265.

يوجد 376 رقم سميث أقل من 10000.

مرن

تعريف: يتم تكوين تسلسل القسمة عن طريق أخذ عدد صحيح ، وإضافة كل مقسوماته بخلاف نفسه ، ثم تكرار هذه العملية مع المجموع. يتم استدعاء الأرقام التي تعود من أجلها هذه العملية إلى نقطة البداية بعد أكثر من خطوتين مرن أعداد.

الدورتان هي الأزواج الودية والدورات الأحادية هي الأرقام المثالية. بالنسبة لبعض الأرقام ، من الصعب جدًا حساب تسلسل القسمة. أصغر رقم لم يتم حساب تسلسله بالكامل هو 276.

العشرة الأوائل (المعروف): 12496, 14264, 14288, 14316, 14536, 15472, 17716, 19116, 19916, 22744.

لا توجد أرقام اجتماعية أقل من 10000.

مربع

تعريف: الرقم ن هو مربع إذا كان هو مربع عدد صحيح.

العشرة الأوائل: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

يوجد 99 مربعًا أقل من 10000.

خالي من المربعات

تعريف: يقال أن الرقم يكون خالي من المربعات إذا كان تحللها الأساسي لا يحتوي على عوامل متكررة.

العشرة الأوائل: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14.

يوجد 6083 رقمًا خالٍ من المربعات أقل من 10000.

رباعي السطوح (هرمي)

تعريف: أ رباعي السطوح number هو عدد الكرات التي يمكنك وضعها في هرم مثلث.

هذا هو تعميم الفضاء للأعداد المثلثية والمربعة.

العشرة الأوائل: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220.

يوجد 83 رقم رباعي السطوح أقل من 10000.

الثلاثي

تعريف: إذا بدأت بـ n من النقاط على الخط ، ثم ارسم نقاط n-1 أعلى وبينها ، ثم n-2 أعلاه وفيما بينها ، وهكذا ، ستحصل على مثلث من النقاط. عدد النقاط في هذا المثلث هو أ مثلث عدد.

العشرة الأوائل: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55.

يوجد 140 رقمًا مثلثيًا أقل من 10000.

تعريف: العدد الأولي يسمى أ التوأم أولي إذا كان هناك عدد أولي آخر يختلف عنه بمقدار 2.

العشرة الأوائل: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 41.

يوجد 409 عدد أولي مزدوج أقل من 10000.

تعريف: التالي أولام number هو مجموع رقمين مميزين سابقين من أولام.

العشرة الأوائل: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18.

يوجد 827 رقم أولام أقل من 10000.

متموج

تعريف: متموج الأرقام هي أرقام على شكل abababab. في القاعدة 10.

هذه الخاصية مهمة بدءًا من الأرقام المكونة من 3 أرقام ، لذلك لن نأخذ في الاعتبار الأرقام التي تقل عن 100.

العشرة الأوائل: 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191.

يوجد 180 رقمًا متموجًا أقل من 10000.

لا يمكن المساس بها

تعريف: ال لا يمكن المساس بها الأرقام هي تلك التي لا تمثل مجموع القواسم الصحيحة لأي رقم.

العشرة الأوائل: 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188.

يوجد 1212 رقمًا لا يمكن المساس به أقل من 10000.

مصاص دماء

تعريف: الرقم n يسمى أ مصاص دماء number إذا كان هناك تحليل إلى عوامل n باستخدام أرقام n.

العشرة الأوائل: 126, 153, 688, 1206, 1255, 1260, 1395, 1435, 1503, 1530.

يوجد 15 رقم مصاص دماء أقل من 10000.

عجيب

تعريف: الرقم n يسمى أ عجيب number إذا كان وفيرًا ولكنه ليس مجموع أي مجموعة فرعية من عوامله الصحيحة.

العشرة الأوائل: 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792.


سمات

  • WYSIWYG ، يتم إدخال الملاحظات في "ورقة ملاحظات افتراضية"
  • عدد غير محدود من العصي
  • ما يصل إلى أربعة أصوات لكل موظف
  • إدخال ملاحظات سهل وسريع باستخدام لوحة المفاتيح أو الماوس أو لوحة مفاتيح MIDI
  • مُسلسِل مُدمج ومُركِّب برنامج FluidSynth
  • استيراد وتصدير ملفات MusicXML و MIDI القياسية
  • ترجمت في 47 لغة

3.6: الأعداد الكاتالونية

إذا قررت استخدام الحزمة المحمولة .zip ، فتذكر إلغاء قفلها قبل الاستخراج.
使用 便携 版 请 记得 在 解压 前 解锁。

  • QuickLook الآن يدعم الإضافات! انظر قائمة هنا.
  • علامة تجارية جديدة عارض المكتب، والذي لا يتطلب MS Office (كمكوِّن إضافي).
  • مظهر داكن (يتبع نظام ألوان النظام).
  • مشاركة قريبة لنظام التشغيل Windows 10 الأحدث.
  • تحسينات في السرعة لـ عارض الصور، على أساس NConvert.
  • جديد مشغل فديوهات على أساس LAVFilters.
  • الترجمة البولندية والروسية والفيتنامية.

مزيد من التفاصيل يمكن العثور عليها هنا].

هذا تحديث ثانوي من الإصدار 0.3.4 و 0.3.3.

  • TextViewer: Support more highlighting schemes.
  • Modify message text as requested for pre-installation package.

Known Issues

#94: Previewing MS Office files may crash QuickLook. Syncfusion provides a stable solution but their agreement is very unfriendly.

xupefei released this Feb 18, 2018

This is a minor update from version 0.3.3, with a fix for possible crash on few Windows OS.

This version number accompanies the Microsoft Store, who does not accept non-zero revision numbers. The version number 0.3.4 should be treated as 0.3.3.1 .

xupefei released this Feb 12, 2018

Should you decided to use the .zip portable package, remember to unlock it before extraction.
使用便携版请记得在解压前解锁。

Due to personal reasons, this version does not contain all features as planned here. The remainings will be delayed until the next release.

  • Lots of user experience, stability and CPU usage improvements: semi-transparent window, open/close animation, etc.
  • Catalan, French, German, Japanese and Norwegian translation
  • Video playback with hardware decoding and subtitle support

More details can be found [here].

Known Issues

#94: Previewing MS Office files may crash QuickLook. Syncfusion provides a stable solution but their agreement is very unfriendly (details inside).

Should you decided to use the .zip portable package, remember to unlock it before extraction.
使用便携版请记得在解压前解锁。

This is a reissue of version 0.3.2 with a fix for issue #113.

#113: video preview causes QuickLook hang-up in few circumstances.

Below attached the release note for version 0.3.2:

Improvements

  • Add Portuguese Portuguese (Brazilian), Italian and Dutch(Belgium) translations.
  • Minor adjustments to new UI design.
  • Get rid of VLC playback engine. Switch back to FFmpeg.
  • Previewing images is now significantly faster.

#78: Broken image for some compressed .gif files.
#92: File in use : .gif file handle is not closed.
#93: Incorrect preview size for low-resolution images.
#98: Switching preview resets window size.
#101: Pressing Spacebar in Listary toolbar brings up the preview.
#105: Switching preview causes 1px window movement.
#106: Previewing low-resolution image thumbnails and load the full image in the background.

Known Issues

#94: Previewing MS Office files causes crash sometimes. I have not yet figured out how to deal with it.

Improvements

  • Add Portuguese Portuguese (Brazilian), Italian and Dutch(Belgium) translations.
  • Minor adjustments to new UI design.
  • Get rid of VLC playback engine. Switch back to FFmpeg.
  • Previewing images is now significantly faster.

#78: Broken image for some compressed .gif files.
#92: File in use : .gif file handle is not closed.
#93: Incorrect preview size for low-resolution images.
#98: Switching preview resets window size.
#101: Pressing Spacebar in Listary toolbar brings up the preview.
#105: Switching preview causes 1px window movement.
#106: Previewing low-resolution image thumbnails and load the full image in the background.

Known Issues

#94: Previewing MS Office files causes crash sometimes. I have not yet figured out how to deal with it.
#113: If you experience an issue when previewing some video files which makes QuickLook stops responding, please provide your system locale in this thread. شكرا لك.

Should you decided to use the .zip portable package, remember to unlock it before extraction.
使用便携版请记得在解压前解锁。


شاهد الفيديو: History of Numbers - Hindu-Arabic. تاريخ الأعداد - الأرقام الهندية-العربية (كانون الثاني 2022).