مقالات

2.1: الجمل والعاملين المنطقيين - الرياضيات


نشاط المعاينة ( PageIndex {1} ): العبارات المركبة

غالبًا ما يطور علماء الرياضيات طرقًا لبناء كائنات رياضية جديدة من كائنات رياضية موجودة. من الممكن تكوين عبارات جديدة من العبارات الموجودة عن طريق ربط العبارات بكلمات مثل "و" و "أو" أو عن طريق نفي العبارة. أ عامل منطقي (أو الضامة) في البيانات الرياضية هي كلمة أو مجموعة من الكلمات التي تجمع بين واحد أو أكثر من العبارات الرياضية لعمل بيان رياضي جديد. أ مجمع البيان عبارة تحتوي على عامل واحد أو أكثر. نظرًا لاستخدام بعض العوامل بشكل متكرر في المنطق والرياضيات ، فإننا نمنحهم أسماء ونستخدم رموزًا خاصة لتمثيلهم.

  • إن اقتران العبارتين (P ) و (Q ) هو العبارة " (P ) و (Q ) "ويشار إليه بـ (P wedge Q ). البيان (P wedge Q ) يكون صحيحًا فقط عندما يكون كلاهما (P ) و (س ) صحيح.
  • ال انفصال من العبارات (P ) و (Q ) هي العبارة " (P ) أو (Q ) "ويشار إليه بـ (P vee Q ). تكون العبارة (P vee Q ) صحيحة فقط عندما يكون واحد على الأقل من (P ) أو (Q ) صحيحًا.
  • ال النفي (بيان) من البيان (P ) هي العبارة "ليس (P ) "ويشار إليه بـ ( urcorner P ). يكون نفي (P ) صحيحًا فقط عندما يكون (P ) خطأ ، و ( urcorner P ) يكون خطأ فقط عندما يكون (P ) صحيحًا.
  • ال يتضمن أو الشرط هو البيان "لو (ف ) ومن بعد (Q ) "ويشار إليه بـ (P to Q ). غالبًا ما تتم قراءة العبارة (P to Q ) على أنها " (P ) يدل (Q ) ، وقد رأينا في القسم 1.1 أن (P to Q ) يكون خطأ فقط عندما يكون (P ) صحيحًا و (Q ) خاطئًا.

بعض التعليقات حول الانفصال.
من المهم فهم استخدام عامل التشغيل "or." في الرياضيات ، نستخدم "شامل أو" ما لم ينص على خلاف ذلك. هذا يعني أن (P vee Q ) يكون صحيحًا عندما يكون كل من (P ) و (Q ) صحيحين وأيضًا عندما يكون أحدهما صحيحًا. وهذا يعني أن (P vee Q ) يكون صحيحًا عندما يكون واحد على الأقل من (P ) أو (Q ) صحيحًا ، أو (P vee Q ) يكون خطأ فقط عندما يكون كلاهما (P ) ) و (س ) خطأ.

استخدام مختلف لكلمة "أو" هو "حصري أو. " بالنسبة إلى العبارة الحصرية أو العبارة الناتجة تكون خاطئة عندما تكون كلتا العبارتين صحيحة. وهذا يعني أن " (P ) حصري أو (Q )" يكون صحيحًا فقط عندما يكون واحدًا بالضبط من (P ) أو (Q ) صحيحًا. في الحياة اليومية ، غالبًا ما نستخدم الامتداد الحصري أو. عندما يقول أحدهم ، "عند التقاطع ، انعطف يسارًا أو انطلق في خط مستقيم" ، فهذا الشخص يستخدم الامتداد الحصري أو

بعض التعليقات حول النفي. على الرغم من أن العبارة ( urcorner P ) ، يمكن قراءتها على أنها "ليست الحالة أن (P )" ، فغالبًا ما توجد طرق أفضل لقول أو كتابة هذا باللغة الإنجليزية. على سبيل المثال ، عادةً ما نقول (أو نكتب):

  • نفي العبارة ، "391 عدد أولي" هو "391 ليس عددًا أوليًا".
  • نفي العبارة ، " (12 <9 )" هو " (12 ge 9 )."
  1. عن البيانات

    (ف ): 15 فردي (س ): 15 عدد أولي
    اكتب كل من العبارات التالية على هيئة جمل إنجليزية وحددها

    سواء كانت صحيحة أم خاطئة.
    (أ) (ف إسفين س ). (ب) (P vee س ). (ج) (ف إسفين كورنر س ). (د) ( كورنر ف في كورنر س ).

  2. عن البيانات

    P: 15 فردي R: 15 <17

    اكتب كل من العبارات التالية في شكل رمزي باستخدام عوامل التشغيل ( wedge ) ، ( vee ) ، و ( urcorner )

    (أ) 15 ( ge ) 17. (ب) 15 فردي أو 15 ( ge ) 17.
    (ج) 15 عدد زوجي أو 15 <17. (د) 15 عدد فردي و 15 ( جنرال الكتريك) 17.

معاينة النشاط ( PageIndex {2} ): قيم الحقيقة في البيانات

سوف نستخدم العبارتين التاليتين لكل نشاط المعاينة هذا:

  • (P ) عبارة "إنها تمطر".
  • (Q ) هي العبارة "ديزي تلعب الجولف".

في كل جزء من الأجزاء الأربعة التالية ، سيتم تعيين قيمة حقيقة للعبارات (P ) و (Q ). على سبيل المثال ، في السؤال (1) ، سنفترض أن كل عبارة صحيحة. في السؤال (2) ، سنفترض أن (P ) صحيح وأن (س ) خطأ. في كل جزء ، حدد القيمة الحقيقية لكل من العبارات التالية:

(أ) ( (P إسفين س )) السماء تمطر وديزي تلعب الجولف.

(ب) ( (P vee Q )) السماء تمطر أو ديزي تلعب الجولف.

(ج) ( (ف إلى س )) إذا كانت السماء تمطر ، فإن ديزي تلعب الجولف.

(د) ( ( كورنر ف )) إنها لا تمطر.

أي العبارات الأربعة من [(أ) إلى (د)] صحيحة وأيها خاطئة في كل من المواقف الأربعة التالية؟

1. عندما يكون (P ) صحيحًا (السماء تمطر) و (Q ) يكون صحيحًا (ديزي تلعب الجولف).
2. عندما يكون (P ) صحيحًا (السماء تمطر) و (Q ) يكون خطأ (ديزي لا يلعب الجولف).
3. عندما يكون (P ) خطأ (لا تمطر) و (Q ) يكون صحيحًا (ديزي تلعب الجولف).
4. عندما يكون (P ) خطأ (لا تمطر) و (Q ) يكون خطأ (ديزي لا يلعب الجولف).

في أنشطة المعاينة لهذا القسم ، تعرفنا على العبارات المركبة وقيم الحقيقة الخاصة بها. يمكن تلخيص هذه المعلومات بجداول الحقيقة كما هو موضح أدناه.

(ف ) ( كورنر ف )
تيF
Fتي
(ف ) (س ) (ف إسفين س )
تيتيتي
تيFF
FتيF
FFF
(ف ) (س ) (P vee س )
تيتيتي
تيFتي
Fتيتي
FFF
(ف ) (س ) (ف إلى س )
تيتيتي
تيFF
Fتيتي
FFتي

بدلاً من حفظ جداول الحقيقة ، يسهل على العديد من الأشخاص تذكر القواعد الملخصة في الجدول 2.1.

الجدول 2.1: قيم الحقيقة للوصلات المشتركة
المشغل أو العاملشكل رمزيملخص قيم الحقيقة
بالاشتراك (ف إسفين س )صحيح فقط عندما يكون كلا من (P ) و (Q ) صحيحين
انفصال (P vee س )خطأ فقط عندما يكون كل من (P ) و (Q ) خاطئين
النفي ( كورنر ف )قيمة الحقيقة المقابلة لـ (P )
الشرط (ف إلى س )خطأ فقط عندما يكون (P ) صحيحًا و (Q ) خطأ

أشكال أخرى من الجمل الشرطية

تعتبر العبارات الشرطية مهمة للغاية في الرياضيات لأن جميع النظريات الرياضية تقريبًا (أو يمكن أن تكون) مذكورة في شكل بيان شرطي في النموذج التالي:

في حالة "استيفاء شروط معينة" ، عندئذٍ "يحدث شيء ما".

من الضروري أن يفهم جميع الطلاب الذين يدرسون الرياضيات تمامًا معنى العبارة الشرطية وجدول الحقيقة للبيان الشرطي.

نحتاج أيضًا إلى أن ندرك أنه في اللغة الإنجليزية ، توجد طرق أخرى للتعبير عن العبارة الشرطية (P to Q ) بخلاف "If (P ) ، ثم (Q )". فيما يلي بعض الطرق الشائعة للتعبير عن العبارة الشرطية (P to Q ) باللغة الإنجليزية:

  • إذا (ف ) ، ثم (س ).
  • (ف ) يعني (س ).
  • (ف ) فقط إذا (س ).
  • (س ) إذا (ف ).
  • عندما يكون (P ) صحيحًا ، يكون (Q ) صحيحًا.
  • (Q ) يكون صحيحًا عندما يكون (P ) صحيحًا.
  • (س ) ضروري لـ (ف ). (هذا يعني أنه إذا كان (P ) صحيحًا ، فإن (Q ) يكون صحيحًا بالضرورة.)
  • (ف ) كافٍ لـ (س ). (هذا يعني أنك إذا كنت تريد أن يكون (Q ) صحيحًا ، فيكفي إظهار أن (P ) صحيح.)

    في كل هذه الحالات ، (P ) هو ملف فرضية من البيان الشرطي و (Q ) هو استنتاج من البيان الشرطي.

التحقق من التقدم 2.1: الحالة "فقط إذا"

تذكر أن الشكل الرباعي هو مضلع رباعي الأضلاع. دع (S ) يمثل العبارة الشرطية الصحيحة التالية:

إذا كان الشكل الرباعي مربعًا ، فهو مستطيل.

اكتب هذا البيان الشرطي باللغة الإنجليزية باستخدام

  1. كلمة "كلما"
  2. عبارة "فقط إذا"
  3. عبارة "ضروري لـ"
  4. عبارة "كافية لـ"
إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

بناء جداول الحقيقة

يمكن إنشاء جداول الحقيقة للتعليمات المركبة باستخدام جداول الحقيقة للوصلات الأساسية. لتوضيح ذلك ، سنقوم ببناء جدول الحقيقة لـ. ((P wedge urcorner Q) to R ). الخطوة الأولى هي تحديد عدد الصفوف المطلوبة.

  • بالنسبة لجدول الحقيقة الذي يحتوي على جملتين بسيطتين مختلفتين ، هناك حاجة إلى أربعة صفوف نظرًا لوجود أربع مجموعات مختلفة من قيم الحقيقة للعبارتين. يجب أن نكون متسقين مع كيفية إعداد الصفوف. الطريقة التي سنقوم بها في هذا النص هي تسمية الصفوف الخاصة بالعبارة الأولى بـ (T ، T ، F ، F) والصفوف الخاصة بالعبارة الثانية بـ (T ، F ، T ، F). كل جداول الحقيقة في النص لها هذا المخطط.
  • بالنسبة لجدول الحقيقة الذي يحتوي على ثلاث عبارات بسيطة مختلفة ، يلزم وجود ثمانية صفوف نظرًا لوجود ثماني مجموعات مختلفة من قيم الحقيقة للعبارات الثلاثة. يظهر مخططنا القياسي لهذا النوع من جدول الحقيقة في الجدول 2.2.

الخطوة التالية هي تحديد الأعمدة التي سيتم استخدامها. طريقة واحدة للقيام بذلك هي العمل للخلف من شكل البيان المحدد. بالنسبة إلى ((P wedge urcorner Q) to R ) ، فإن الخطوة الأخيرة هي التعامل مع العامل الشرطي (( to) ). للقيام بذلك ، نحتاج إلى معرفة قيم الحقيقة لـ ((P wedge urcorner Q) ) و (R ). لتحديد قيم الحقيقة لـ ((P wedge urcorner Q) ) ، نحتاج إلى تطبيق قواعد عامل الاقتران (( wedge) ) ونحتاج إلى معرفة قيم الحقيقة لـ (P ) ) و ( كورنر س ).

الطاولة 2.2 هو جدول حقيقة مكتمل لـ ((P wedge urcorner Q) to R ) مع الإشارة إلى أرقام الخطوات أسفل كل عمود. تتوافق أرقام الخطوات مع الترتيب الذي تم به إكمال الأعمدة.

الجدول 2.2: جدول الحقيقة لـ ((P wedge urcorner Q) to R )
(ف ) (س ) (ص ) ( كورنر س ) ((ف إسفين كورنر س) ) ((P wedge urcorner Q) to R )
تيتيتيFFتي
تيتيFFFتي
تيFتيتيتيتي
تيFFتيتيF
FتيتيFFتي
FتيFFFتي
FFتيتيFتي
FFFتيFتي
111234
  • عند إكمال عمود (P wedge urcorner Q ) ، تذكر أن الوقت الوحيد الذي يكون فيه الاقتران صحيحًا هو عندما يكون كلا من (P ) و ( urcorner Q ) صحيحين.
  • عند إكمال عمود ((P wedge urcorner Q) to R ) ، تذكر أن المرة الوحيدة التي تكون فيها العبارة الشرطية خاطئة هي عندما تكون الفرضية ((P wedge urcorner Q) ) صحيحة و الاستنتاج (R ) خاطئ.

العمود الأخير الذي تم إدخاله هو جدول الحقيقة للبيان ((P wedge urcorner Q) to R ) باستخدام الإعداد في الأعمدة الثلاثة الأولى.

التحقق من التقدم 2.2: إنشاء جداول الحقيقة

أنشئ جدول الحقيقة لكل من العبارات التالية:

  1. (ف إسفين كورنر س )
  2. ( ركنر (ف إسفين س) )
  3. ( كورنر ف إسفين كورنر س )
  4. ( كورنر ف في كورنر س )

هل أي من هذه العبارات لها نفس جدول الحقيقة؟

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

البيان الشرطي

يتم ذكر بعض النتائج الرياضية في النموذج " (P ) إذا وفقط إذا كان (Q )" أو " (P ) ضروريًا وكافيًا لـ (Q )." من الأمثلة على ذلك ، "يكون المثلث متساوي الأضلاع إذا وفقط إذا كانت زواياه الداخلية الثلاث متطابقة." الشكل الرمزي للبيان الثنائي الشرطي " (P ) إذا وفقط إذا كان (Q )" هو (P leftrightarrow Q ). من أجل تحديد جدول الحقيقة لبيان ثنائي الشرط ، من المفيد النظر بعناية في شكل العبارة " (P ) إذا وفقط إذا (Q )". تشير كلمة "و" إلى أن هذا البيان عبارة عن أداة ربط. في الواقع ، إنه اقتران من العبارات " (P ) if (Q )" و " (P ) فقط إذا (Q )." الشكل الرمزي لهذا الاقتران هو ([(Q to P) wedge (P to Q] ).

التحقق من التقدم 2.3: جدول الحقيقة لبيان الشرط الثنائي

أكمل جدول الحقيقة لـ ([(Q to P) wedge (P to Q] ). استخدم الأعمدة التالية: (P ) ، (Q ) ، (Q to P ) و (P to Q ) و ([(Q to P) wedge (P to Q] ). سيكون العمود الأخير من هذا الجدول هو الحقيقة لـ (P leftrightarrow Q ) .

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

أشكال أخرى من البيان الشرطي

كما هو الحال مع العبارة الشرطية ، هناك بعض الطرق الشائعة للتعبير عن العبارة ثنائية الشرط ، (P leftrightarrow Q ) ، باللغة الإنجليزية.

مثال

  • (ف ) هو وفقط إذا (س ).
  • (ف ) ضروري وكافي لـ (س ).
  • (P ) يعني (Q ) و (Q ) يعني (P ).

التحصيل والتناقضات

التعريف: علم الحشو

أ الحشو هي عبارة مركبة S صحيحة لجميع التركيبات الممكنة لقيم الحقيقة الخاصة ببيانات المكون التي تشكل جزءًا من (S ). أ تناقض عبارة مركبة خاطئة لجميع التركيبات الممكنة لقيم الحقيقة الخاصة ببيانات المكون التي تشكل جزءًا من (S ).

أي أن الحشو صحيح بالضرورة في جميع الظروف ، والتناقض خاطئ بالضرورة في جميع الظروف.

التحقق من التقدم 2.4 (التحليلات والتناقضات)

بالنسبة إلى العبارات (P ) و (Q ):

  1. استخدم جدول الحقيقة لتوضيح أن ((P vee urcorner P) ) عبارة عن حشو.
  2. استخدم جدول الحقيقة لتوضيح أن ((P wedge urcorner P) ) يمثل تناقضًا.
  3. استخدم جدول الحقيقة لتحديد ما إذا كان (P to (P vee P) ) حشوًا أم تناقضًا أم لا.
إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

تمارين للقسم 2.1

  1. لنفترض أن ديزي تقول ، "إذا لم تمطر ، فسألعب الجولف." في وقت لاحق من اليوم علمت أن المطر هطل لكن ديزي ما زالت تلعب الجولف. هل بيان ديزي صحيح أم خطأ؟ ادعم استنتاجك.
  2. لنفترض أن (P ) و (Q ) عبارة عن عبارات يكون (P to Q ) صحيحًا بالنسبة لها والتي ( urcorner Q ) صحيحة. ما هو الاستنتاج (إن وجد) الذي يمكن التوصل إليه بشأن القيمة الحقيقية لكل من العبارات التالية؟

    (أ) (ف )
    (ب) (ف إسفين س )
    (ج) (ف في س )

  3. افترض أن (P ) و (Q ) عبارة عن عبارات خاطئة (P to Q ). ما هو الاستنتاج (إن وجد) الذي يمكن التوصل إليه بشأن القيمة الحقيقية لكل من العبارات التالية؟

    (أ) ( كورنر ف إلى س )
    (ب) (س إلى ف )
    (ج) (ف في س )

  4. افترض أن (P ) و (Q ) عبارة عن عبارات (Q ) خاطئة و ( urcorner P to Q ) صحيحة (وليس معروفًا ما إذا كان (R ) صحيحة أو خاطئة). ما هو الاستنتاج (إن وجد) الذي يمكن استخلاصه بشأن القيمة الحقيقية لكل من العبارات التالية؟

    (أ) ( كورنر س إلى ف )
    (ب) (ف )
    (ج) (ف إسفين ص )
    (د) (ص إلى كورنر ف )

  5. أنشئ جدول الحقيقة لكل من العبارات التالية:

    (أ) (ف إلى س )
    (ب) (س إلى ف )
    (c) ( urcorner P to urcorner Q )
    (د) ( كورنر س إلى كورنر ف )

    هل أي من هذه العبارات لها نفس جدول الحقيقة؟

  6. أنشئ جدول الحقيقة لكل من العبارات التالية:

    (أ) (ف في كورنر س )
    (ب) ( الزاوية (P vee Q) )
    (ج) ( كورنر ف vee كورنر س )
    (د) ( كورنر ف إسفين كورنر س )

    هل أي من هذه العبارات لها نفس جدول الحقيقة؟

  7. أنشئ جدول الحقيقة لـ (P wedge (Q vee R) ) و ((P wedge Q) vee (P wedge R) ). ماذا تلاحظ.
  8. افترض أن كل من العبارات التالية صحيحة.
    • لورا في الصف السابع.
    • حصلت لورا على A في اختبار الرياضيات أو حصلت سارة على A في اختبار الرياضيات.
    • إذا حصلت سارة على علامة (أ) في اختبار الرياضيات ، فإن لورا ليست في الصف السابع.

      إن أمكن ، حدد قيمة الحقيقة لكل من العبارات التالية. اشرح منطقك بعناية.

      (أ) حصلت لورا على A في اختبار الرياضيات.
      (ب) حصلت سارة على A في اختبار الرياضيات.
      (ج) لم تحصل لورا أو سارة على درجة A في اختبار الرياضيات.

  9. دع (P ) يرمز إلى "العدد الصحيح (x ) هو زوجي" ، ودع (Q ) يرمز إلى " (x ^ 2 ) هو زوجي." عبر عن العبارة الشرطية (P to Q ) باللغة الإنجليزية باستخدام

    (أ) صيغة "if then" للبيان الشرطي
    (ب) كلمة "ضمني"
    (ج) شكل العبارة الشرطية "إلا إذا"
    (د) عبارة "ضروري لـ"
    (هـ) عبارة "كافية لـ"

  10. كرر التمرين (9) للبيان الشرطي (Q to P ).
  11. بالنسبة إلى العبارات (P ) و (Q ) ، استخدم جداول الحقيقة لتحديد ما إذا كانت كل من العبارات التالية عبارة عن حشو أم تناقض أم لا.
    (أ) ( كورنر س vee (ف إلى س) ).
    (ب) (س إسفين (ف إسفين كورنر س) ).
    (ج) ((س إسفين ف) إسفين (ف إلى الزاوية س) ).
    (د) ( كورنر س إلى (ف إسفين كورنر ف) ).
  12. بالنسبة إلى العبارات (P ) و (Q ) و (R ):
    (أ) أظهر أن ([(P to Q) wedge P] to Q ) عبارة عن حشو. ملحوظة: في المنطق الرمزي ، هذا نموذج مهم للحجة المنطقية يسمى طريقة ponens.
    (ب) أظهر أن ([(P to Q) wedge (Q to R)] to (P to R) ) هو علم النفس. ملحوظة: في المنطق الرمزي ، هذا هو شكل وسيطة منطقية مهمة تسمى القياس المنطقي.

    الاستكشافات والأنشطة

  13. العمل مع الجمل الشرطية. ملء الجدول التالي:
    نموذج اللغة الإنجليزيةفرضيةاستنتاجشكل رمزي
    إذا (ف ) ، ثم (س ) (ف ) (س ) (ف إلى س )
    (س ) فقط إذا (ف ) (س ) (ف ) (س إلى ف )
    (ف ) ضروري لـ (س )
    (ف ) كافٍ لـ (س )
    (س ) ضروري لـ (ف )
    (ف ) يعني (س )
    (ف ) فقط إذا (س )
    (ف ) إذا (س )
    إذا (س ) ثم (ف )
    إذا ( كورنر س ) ثم ( كورنر ف )
    إذا (س ) ، ثم (س إسفين ص )
    إذا (P vee Q ) ، ثم (R )
  14. العمل مع قيم الحقيقة للبيانات. لنفترض أن (P ) و (Q ) عبارة صحيحة ، وأن (U ) و (V ) عبارة عن جمل كاذبة ، وأن (W ) عبارة وليس معروفًا إذا (W ) صح أم خطأ.

    أي العبارات التالية صحيحة أم خاطئة ولأي عبارات لا يمكن تحديد ما إذا كانت صحيحة أم خاطئة؟ برر استنتاجاتك.

    (أ) ((P vee Q) vee (U wedge W) ) (f) (( urcorner P vee urcorner U) wedge (Q vee urcorner V) )
    (ب) (P إسفين (Q إلى W) ) (ز) ((P wedge urcorner Q) إسفين (U vee W) )
    (ج) (P إسفين (W إلى Q) ) (ح) ((P vee urcorner Q) إلى (U إسفين W) )
    (د) (W to (P wedge U) ) (i) ((P vee W) to (U wedge W) )
    (هـ) (W to (P wedge urcorner U) ) (j) ((U wedge urcorner V) to (P wedge W) )

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.


العوامل المنطقية في R

تُستخدم العوامل المنطقية في البرمجة R للجمع بين شرطين أو أكثر ، وتنفيذ العمليات المنطقية باستخدام & (Logical AND) ، | (منطقي أو) و! (المنطقي لا).

تُستخدم عوامل المقارنة لمقارنة متغيرين ، وماذا لو أردنا مقارنة أكثر من شرط واحد؟ عوامل تشغيل منطقية بسيطة جدًا تقوم بالخدعة نيابة عنك.

دعونا نرى جداول الحقيقة وراء العوامل المنطقية في برمجة R لفهم أفضل

جدول R المنطقي والحقيقي


1 إجابة 1

لقد حاولت الجزء أ.

$ (n in mathbb Z wedge x mid n) يشير إلى (x leq n) $

x هنا هو أي رقم تعسفي يقسم عددًا صحيحًا. هل هذا صحيح؟

خاصة. أنت بحاجة إلى محددات كمية لكلمة "أي".

$ forall x forall n: Bigl (x، n in mathbb Z wedge (x mid n) implies (x leq n) Bigr) $

يكتب أحيانًا على النحو التالي: $ forall x in mathbb Z، forall n in mathbb Z: (x mid n) implies (x leq n) $

وبالمثل ، من ناحية أخرى ب ستحتاج إلى تحديد أن هناك عددًا أوليًا ، مكان ما في البيان. $ موجود م: م في mathbb P $

ب أي عدد صحيح أكبر من 1 له قاسم أولي واحد على الأقل.


بيانات رياضية

في اللغة اليومية ، نستخدم عبارة "إما أ أو ب" للإشارة إلى أن أحد الخيارين صالح ، ولكن ليس كلاهما. على سبيل المثال ، عندما يقول معظم الناس شيئًا مثل "يمكنك تناول هوت دوج أو همبرغر" ، فإنهم عادةً لا يقدمون لك كليهما. عادةً ما يكون استخدام "إما / أو" في اللغة الإنجليزية اليومية مثيرًا للانقسام ، ويقصد به يعني أن هناك خيارين فقط: أ أو ب ، ولكن ليس كلاهما أ وب. (يُشار أحيانًا إلى استخدام "أو" بهذه الطريقة على أنها "حصرية أو.")

ومع ذلك ، فإن استخدام "أ أو ب" في الرياضيات يسمح بالخيار الذي يحمله كل من "أ" و "ب". (يشار أحيانًا إلى استخدام "أو" بهذه الطريقة على أنها "شاملة أو.")

على سبيل المثال ، في الرياضيات ، العبارة "إذا كان $ x $ رقمًا حقيقيًا ، فإن إما $ x leq 0 $ أو $ x geq 0 $" يسمح بإمكانية أن يرضي $ x $ كلاً من $ x leq 0 $ ، بالإضافة إلى $ x geq 0 $ (وهو ما ينطبق على الرقم الحقيقي $). إذا فكرنا في هذه العبارة ، يمكننا أن نرى أنها صحيحة ، لأن أي عدد حقيقي يحقق واحدة على الأقل من هذه المتباينات. ومع ذلك ، إذا أخذنا الاستخدام الشائع لعبارة "إما / أو" ، فإننا نعتقد أن هذه العبارة خاطئة ، لأنه من الممكن تحقيق كلتا المتباينات.

الجزء 2. "و"

في الرياضيات ، يستحق استخدام "و" أيضًا مناقشة موجزة ، على الرغم من أن استخدامها يتوافق مع الاستخدام اليومي. تمامًا كما نتوقع ، تعني عبارة "A و B" أن كلا من A و B يجب أن يكونا صحيحين. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك العبارة "إذا كان $ n $ عددًا صحيحًا يقبل القسمة على 4 ، فإن $ frac<2> $ و $ frac<4> $ هي أعداد صحيحة. "لكي يكون العدد الصحيح قابلاً للقسمة على 4 ، يجب أن يكون صحيحًا أن $ frac<2> $ هو عدد صحيح و $ فارك<4> $ هو عدد صحيح.

يمكن للمرء الاستفادة من مخططات فين لفهم استخدام "إما / أو" وكذلك "و" كما هو موضح في الرسم البياني أدناه.


لقد رأينا العديد من الشروط في عبارة if ، مثل if ($ j -lt 10) ، ولكن إذا أردنا التحقق من عدة شروط في وقت واحد ، على سبيل المثال ، $ j -lt 10 و $ i -lt 15 ، لذلك لدينا عوامل منطقية لمعالجة هذا النوع من المواقف. تدمج العوامل المنطقية في PowerShell تعبيرين وعبارات أو أكثر معًا. بكلمات بسيطة للغاية ، إذا أردنا تحويل عدة شروط في حالة واحدة ، فيمكننا استخدام العوامل المنطقية في PowerShell. دعونا نطلق على العامل المنطقي اسم LO لبناء الجملة.

Hadoop وعلوم البيانات والإحصاء وغيرها

إذا (cond1 LO1 cond2 LO2 cond3) <
البيان 1
البيان 2
.
>

لذلك في الصيغة أعلاه (cond1 LO1 cond2 LO2 cond3) مجتمعة لإنشاء شرط واحد.

في الصيغة أعلاه (cond1 LO1 cond2 LO2 cond3) = شرط واحد. لأنه سيعيد مجموعة ذات قيمة واحدة من شروط متعددة.

أمثلة على العوامل المنطقية في PowerShell

فيما يلي أمثلة للمشغلين المنطقيين في Powershell الموضحة بالتفصيل.

مثال 1

في هذا المثال ، نجمع بين ثلاثة شروط ، ($ a -gt $ b) = شرط واحد ، (($ a -lt 20) -or ($ b -lt 20)) = شرط واحد بمركبتين و ($ a -gt $ b) - و (($ a -lt 20) -or ($ b -lt 20)) = شرط واحد ، من خلال مجموعة من الثلاثة نحصل على شرط واحد. لذلك إذا كانت كل هذه الشروط صحيحة ، فسيتم عرض الناتج "جميع الشروط المجمعة صحيحة" فقط.

$ أ = 14
ب = 12
إذا (($ a -gt $ b) - و (($ a -lt 20) -or ($ b -lt 20))
) <
اكتب - إخراج "جميع الشروط مجتمعة صحيحة"
>

المثال رقم 2

في هذا المثال ، نجمع بين ثلاثة شروط ، ($ a -gt $ b) = شرط واحد ، (($ a -lt 20) -or ($ b -lt 20)) = شرط واحد ، ($ a -gt $ ب) - و (($ a -lt 20) - أو ($ b -lt 20)) = شرط واحد ، بمزيج من الثلاثة نحصل على شرط واحد. هنا يمكننا أن نرى أننا نجمع جميع الشروط الثلاثة لتشكيل شرط واحد ، سيكون ناتجهم واحدًا.

دولار أ = 20
ب = 21
إذا (($ a -gt $ b) - و (($ a -lt 20) -or ($ b -lt 20))
) <
اكتب - إخراج "جميع الشروط مجتمعة صحيحة"
> آخر <
كتابة - إخراج "جميع الشروط المجمعة خاطئة"
>

قائمة العوامل المنطقية في PowerShell

هناك 5 عوامل تشغيل منطقية رئيسية في PowerShell ، هم "و" ، "أو" ، "xor" ، "ليس = (!)". دعونا نناقش كل مثال بإيجاز.

1) -ومشغل

ويسمى بالمنطق ، وإخراج أي منطقي وهو صحيح إذا كان $ a و $ b صحيحين وإلا خطأ ، فيما يلي بعض الأمثلة للمنطق وعوامل التشغيل.

$ a -and $ b // false (إذا كان كلاهما خطأ)
$ a -and $ b // false (إذا كان أي منهما خطأ)
$ a -and $ b // true (إذا كان كلاهما صحيحًا)

لذا فمن المنطقي أساسًا وصحيح العامل فقط عندما يكون كلاهما صحيحًا. فيما يلي شاشة تنفيذ الأمثلة المذكورة أعلاه.

بشكل عام والمشغلين الذين نستخدمهم حيث نريد يجب ملء جميع الشروط بالكامل. على سبيل المثال ، افترض أن مدرسًا في الفصل قرر السماح بالامتحانات فقط للطلاب الذين يزيد عدد حضورهم عن 100 ، كما أنهم دفعوا رسوم الفصل. لذلك هنا يجب ملء كلا الشرطين بالكامل.

الحضور = 101 دولار
$ المدفوع = "نعم"
if (الحضور -gt 100 -والدولار المدفوع-مكافئ "نعم") <
اكتب - إخراج "السماح له للفحص"
>

يمكننا أيضًا اختبار هذا البرنامج عن طريق تمرير قيمة مدخلات مختلفة من $ الحضور و $ المدفوع.

2) -أو المشغل

منطقي أو خطأ إذا كان $ a و $ b خطأ ، وإلا فإن بعض الأمثلة مذكورة أدناه:

$ a -or $ b // false (إذا كان كلاهما خطأ)
$ a -or $ b // true (إذا كان أي منها صحيحًا)
$ a -or $ b // true (إذا كان كلاهما صحيحًا)

لذا فمن المنطقي أساسًا وخطأ عامل التشغيل فقط عندما يكون كلاهما خطأ. فيما يلي شاشة تنفيذ الأمثلة المذكورة أعلاه.

بشكل عام ، يتم استخدام عوامل التشغيل عندما نريد اعتبار أي شرط صحيحًا مثل الطلاب الذين حضروا أكثر من 100 سيحصلون على 5 درجات إضافية أو الطالب الذي حصل على أكثر من 200 درجة.

الحضور = 101 دولار
$ مارك = 201
إذا ($ الحضور -gt 100-أو $ مارك -gt 200) <
كتابة الإخراج "إعطاء 5 درجات إضافية"
>

يمكننا أيضًا اختبار هذا البرنامج عن طريق تمرير قيمة مدخلات مختلفة من $ الحضور و $ المدفوع.

3) مشغل xor

منطقي حصري أو صحيح إذا كان أي من $ a أو $ b صحيحًا ، وإلا

("a" -eq "A") -xor ("a" -eq "z") // صحيح لأن أحدهما صحيح
("a" -eq "A") -xor ("Z" -eq "z") // خطأ لأن أحدهما خطأ
("a" -eq "s") -xor ("Z" -eq "p") // خطأ لأن كلاهما خطأ

تظهر الشاشة أدناه إخراج المثال أعلاه ،

4) -لا مشغل

لا منطقي ، صحيح إذا كان $ a خطأ ، وإلا

-not ("a" -eq "a") // خطأ لأن ناتج التعبير صحيح
-not ("v" -eq "a") // صحيح لأن تعبير الإخراج خطأ
-not ("v" -eq "V") // خطأ لأن تعبير الإخراج صحيح
-not ("V" -eq "V1") // صحيح لأن تعبير الإخراج خطأ

الشاشة للمثال أعلاه معطاة أدناه ،

5)! المشغل أو العامل

ال ! عامل التشغيل هو نفس عامل التشغيل -not. ببساطة! عامل التشغيل يتحول من صح إلى خطأ ومن خطأ إلى صحيح.

! ("a" -eq "a") // خطأ حيث أن ناتج التعبير صحيح
! ("v" -eq "a") // صحيح لأن تعبير الإخراج خطأ
! ("v" -eq "V") // خطأ لأن التعبير الناتج صحيح
! ("V" -eq "V1") // صحيح لأن تعبير الإخراج خطأ

الشاشة للمثال أعلاه معطاة أدناه ،

الشاشة للمثال أعلاه معطاة أدناه ،

بعض الأمثلة الواقعية مع خلط جميع المشغلين معًا ،

لنفترض أن الخادم وقاعدة البيانات الخاصة بنا قيد التشغيل ونريد تنفيذ عمليات فحص معينة حيث سيتم فحصها طوال الوقت إذا كان الخادم وقاعدة البيانات يعملان أم لا.

if ($ server -eq “running” -and $ database -eq “running”) <
كتابة-إخراج "الخادم قيد التشغيل وقاعدة البيانات قيد التشغيل"
> elseif ($ server -eq “not running” -and $ database -eq “running”) <
الكتابة-الإخراج "الخادم لا يعمل وقاعدة البيانات قيد التشغيل"
> elseif ($ server -eq “running” -و $ database -eq “not قيد التشغيل”) <
الكتابة-الإخراج "الخادم قيد التشغيل وقاعدة البيانات لا تعمل"
> آخر <
كتابة-إخراج "الخادم وقاعدة البيانات كلاهما لا يعملان"
>

$ server = "لا يعمل"
قاعدة بيانات $ = ”قيد التشغيل”

خادم $ = "قيد التشغيل"
قاعدة بيانات $ = "ليست قيد التشغيل"

استنتاج

في الختام ، بدون عامل منطقي ، ستكون برمجتنا فارغة ، بسبب العوامل المنطقية فقط نحن قادرون على كتابة كود ظرفية ، نحن قادرون على التعامل مع ظروف مختلفة.

مقالات مقترحة

هذا دليل إلى العوامل المنطقية في بوويرشيل. نناقش هنا المقدمة وأفضل 5 مشغلين منطقيين في Powershell مع أمثلة وتنفيذ الكود. يمكنك أيضًا الاطلاع على المقالات التالية لمعرفة المزيد & # 8211


عامل بايثون العلائقية

تُستخدم العوامل العلائقية لإنشاء نوع من العلاقة بين المعاملين. يمكن أن تكون بعض الأمثلة ذات الصلة أقل من, أكثر من أو يساوي العاملين. لغة Python قادرة على فهم هذه الأنواع من العوامل وبالتالي إرجاع المخرجات ، والتي يمكن أن تكون إما صحيحة أو خاطئة.

دعنا نتحقق من بعض التعبيرات العلائقية. افتح IDLE وجرب هذا:

نظرًا لأن 5 أقل من 9 ، فإن الناتج الناتج يكون صحيحًا.

قائمة المشغلين المتاحة تشمل:

  1. أقل من & rarr تستخدم مع & lt
  2. أكثر من & rarr تستخدم مع & GT
  3. يساوي & rarr تستخدم مع ==
  4. لا يساوي & rarr تستخدم مع! =
  5. اقل او يساوي & rarr تستخدم مع & lt =
  6. أكبر من أو يساوي & rarr تستخدم مع & gt =

يمكنك تجربة كل عامل للتدرب على بعض الأرقام (أو حتى السلاسل).


أسبقية المشغل

في حالة حدوث عدة عمليات في تعبير ، يتم تقييم كل جزء وحله بترتيب محدد مسبقًا يسمى أسبقية عامل التشغيل. يمكن استخدام الأقواس لتجاوز ترتيب الأسبقية وتقييم بعض أجزاء التعبير قبل الأجزاء الأخرى. دائمًا ما يتم تنفيذ العمليات داخل الأقواس قبل تلك الموجودة بالخارج. ومع ذلك ، يتم الاحتفاظ بأولوية المشغل العادية داخل الأقواس.

إذا كانت التعبيرات تحتوي على عوامل تشغيل من أكثر من فئة واحدة ، فيتم تقييم العوامل الحسابية أولاً ، ثم يتم تقييم عوامل المقارنة بعد ذلك ، ثم يتم تقييم العوامل المنطقية في النهاية. جميع عوامل المقارنة لها أسبقية متساوية يتم تقييمها بالترتيب من اليسار إلى اليمين الذي تظهر به. يتم تقييم العمليات الحسابية والمنطقية بالترتيب التالي للأولوية:

علم الحساب

مقارنة

منطقي

إذا حدث الجمع والطرح والضرب والقسمة معًا على التوالي في تعبير ما ، يتم تقييم كل عملية كما تحدث من اليسار إلى اليمين.

عامل سلسلة السلاسل (& amp) ليس عاملًا حسابيًا ، ولكن في الأسبقية ، يقع بعد كل العوامل الحسابية وقبل كل عوامل المقارنة. عامل التشغيل هو عامل مقارنة مرجع كائن. لا يقوم بمقارنة الكائنات أو قيمها ، فإنه يتحقق فقط لتحديد ما إذا كان مراجعان للكائن يشيران إلى نفس الكائن.

& أمبير أمبير

وصف
يفرض عامل التشغيل هذا سلسلة نصية متسلسلة من تعبيرين. يربط عامل تشغيل تسلسل النص قيمتين أو يسلسلهما لإنتاج قيمة نصية متصلة.

بناء الجملة
& ltexpression & GT & amp & ltexpression & GT

عندما لا يكون التعبير سلسلة ، يتم تحويله إلى نوع فرعي String. إذا كان كلا التعبيرين فارغين ، تكون النتيجة خالية. ومع ذلك ، إذا كان تعبير واحد فقط هو Null ، فسيتم التعامل مع هذا التعبير كسلسلة ذات طول صفري (& ldquo & rdquo) عند ربطه بالتعبير الآخر. يتم أيضًا التعامل مع أي تعبير فارغ كسلسلة ذات طول صفري.

= علامة متساوية

وصف
هذا العامل يعين قيمة لمتغير أو خاصية. عامل المقارنة المستخدم أيضًا كمكافئ لنتيجة عوامل المقارنة يكون عادةً قيمة منطقية ، إما صواب أو خطأ.

بناء الجملة
& ltvariable & gt & ltoperator & gt & ltvalue & gt

  • يمثل & ltvariable & gt أي متغير أو أي خاصية قابلة للكتابة.
  • تمثل & ltvalue & gt أي رقم أو سلسلة حرفية أو ثابتة أو تعبيرية.

تعليقات
يمكن أن يكون الاسم الموجود على الجانب الأيسر من علامة التساوي متغيرًا قياسيًا بسيطًا أو عنصرًا في مصفوفة. يمكن أن تكون الخصائص الموجودة على الجانب الأيسر من علامة التساوي هي تلك الخصائص القابلة للكتابة فقط في وقت التشغيل.

إضافة (+)

وصف
يوفر هذا المشغل مجموع رقمين. عادةً ما تكون عملية الحساب الأساسية المستخدمة في إضافة نتيجة المعامل الحسابي عبارة عن قيمة عددية.

بناء الجملة
[تعبير 1] & ltoperator & gt [تعبير 2]

تعليقات
على الرغم من أنه يمكن استخدام عامل التشغيل + لربط سلاسل من حرفين ، يجب استخدام عامل التشغيل & amp للتسلسل لإزالة الغموض وتوفير رمز التوثيق الذاتي. إذا تم استخدام عامل التشغيل + ، فقد لا تكون هناك طريقة لتحديد ما إذا كانت إضافة أو سلسلة سلسلة ستحدث. يحدد النوع الفرعي الأساسي للتعبيرات سلوك عامل التشغيل + بالطريقة التالية:

إذا كان أحد التعبيرين أو كلاهما عبارة عن تعبيرات Null ، فإن النتيجة هي Null. إذا كان كلا التعبيرين فارغين ، تكون النتيجة نوعًا فرعيًا صحيحًا. ومع ذلك ، إذا كان تعبير واحد فقط فارغًا ، فسيتم إرجاع التعبير الآخر دون تغيير كنتيجة لذلك.

وصف
ينفذ هذا المشغل ارتباطًا منطقيًا على تعبيرين منطقيين. إذا تم تقييم كلا التعبيرين إلى True ، فإن عامل التشغيل AND يُرجع True. إذا تم تقييم أحد التعبيرين أو كليهما إلى False ، فإن عامل التشغيل AND يُرجع False.

بناء الجملة
[تعبير منطقي] و [تعبير منطقي]

تعليقات
هذا التعبير هو أي تعبير منطقي صالح في Epi Info.

في هذه الحالة ، يتم تعيين قيمة & ldquoSictures & rdquo لجميع السجلات التي تفي بكلا المعيارين Age & gt75 و Sex = 2.

علم الحساب

وصف
يمكن استخدام هذه العمليات الحسابية الأساسية مع أوامر أخرى. النتيجة هي قيمة عددية.

بناء الجملة
[التعبير] & ltOperator & gt [التعبير]

تعليقات
يتم التعبير عن النتائج في شكل رقمي. العوامل الحسابية الأساسية التي يمكن استخدامها في Epi Info هي كما يلي:

  • إضافة + عادةً ما تكون عملية الحساب الأساسية المستخدمة في إضافة نتيجة المعامل الحسابي عبارة عن قيمة عددية (على سبيل المثال ، EX. 3 + 3).
  • الطرح & ndash (يستخدم للطرح أو النفي.) العملية الحسابية الأساسية المستخدمة للطرح أو النفي تكون نتيجة المعامل الحسابي عادةً قيمة عددية (على سبيل المثال ، EX 3 & ndash 1).
  • الضرب * (النجمة) عادةً ما يكون العامل الحسابي الأساسي المستخدم في الضرب الناتج عن المعامل الحسابي عبارة عن قيمة عددية.
  • قسم / عادةً ما يكون العامل الحسابي الأساسي المستخدم لقسمة نتيجة المعامل الحسابي عبارة عن قيمة عددية.
  • الأُس ^
  • MOD المعامل أو المتبقي

تظهر العوامل الحسابية بترتيب تنازلي للأسبقية. يمكن استخدام الأقواس للتحكم في الترتيب الذي يتم من خلاله تقييم العوامل. ومع ذلك ، فإن الترتيب الافتراضي يحقق النتيجة الصحيحة بشكل متكرر.

While it is possible to do date math with dates considered as a number of days (e.g., IncubationDays = SymptomDateTime &ndash ExposureDateTime), the behavior of the database services underlying Epi Info makes it more efficient to use time interval functions (e.g., IncubationDays = MINUTES(ExposureDateTime, Symptom DateTime)/[24*60]). For doing date math, the following rules apply:

Date + Date produces Date
Date &ndash Date produces Days
Date * Date not permitted
Date / Date not permitted
Date ^ Date not permitted
Date + Number produces Date
Number + Date produces Number
The last two rules apply as well to other math operations: -, *, /, ^
The &ldquozero day&rdquo for date math is December 30, 1899.

Comparisons

وصف
These comparison operators can be used in If, Then, and Select statements in Check Code and Analysis programs. Yes/No variables can only be tested for equality against other Yes/No constants (+), (-), and (.).

المشغل أو العامل

وصف

Syntax
[Expression] <operator> [Expression]
[Expression] is any valid expression.

تعليقات
Comparison operators are executed from left to right. There is no hierarchy of comparison operators. The <> operator can be used only with numeric variables. For non-numeric variables, use NOT.

وصف
This operator is used with the SELECT command to locate subsets of information using a wildcard search. LIKE can be used only to locate data in text variables and uses asterisks (*) to define the select value. It can also be used to create IF/THEN statements.

Syntax
SELECT <variable> LIKE &ldquo*value*&rdquo
SELECT <variable> LIKE &ldquo*val*&rdquo
SELECT <variable> LIKE &ldquov*&rdquo
SELECT <variable> LIKE &ldquo*v&rdquo

  • The select variable must be a text type. The value can be a whole or partial text value. Text variables must be enclosed in quotes.

تعليقات
The results appear in the Output window. Use LIST to view the selected records.

وصف
This operator reverses the True or False value of the logical expression that follows.

Syntax
NOT [Expression]
The expression represents any valid logical expression in Epi Info.

تعليقات
If the value of an expression is True, NOT returns the value False. If the expression is False, NOT <expression> is True.

VANILLA

NOVANILLA

وصف
This operator returns True if one or the other or both expressions are True. If either expression evaluates to True, OR returns True. If neither expression evaluates to True, OR returns False.

Syntax
[Logical Expression] OR [Logical Expression]
[Logical Expression] represents any valid logical expression in Epi Info.

VANILLA

CHOCOLATE

ICE CREAM

XOR (eXclusive OR)

وصف
This operator performs a logical exclusion on two expressions.

Syntax
[Logical Expression] XOR [Logical Expression]
The [Logical Expression] represents any valid logical expression in Epi Info 7 for Windows.

تعليقات
If one, and only one, of the expressions evaluates to True, the result is True. However, if either expression is Null, the result is also Null. When neither expression is Null, the result is determined according to the following table:


2.1: Statements and Logical Operators - Mathematics

مقدمة
تأمل المثال التالي. We need to convert the following sentence into a mathematical statement using propositional logic only.

The above statement cannot be adequately expressed using only propositional logic. The problem in trying to do so is that propositional logic is not expressive enough to deal with quantified variables. It would have been easier if the statement were referring to a specific person. But since it is not the case and the statement applies to all people who are 18 years or older, we are stuck.
Therefore we need a more powerful type of logic.

Predicate Logic
Predicate logic is an extension of Propositional logic. It adds the concept of predicates and quantifiers to better capture the meaning of statements that cannot be adequately expressed by propositional logic.

What is a predicate?

    مثال 1: يترك denote the statement “ > 10″. What are the truth values of و ?

What are quantifiers?

In predicate logic, predicates are used alongside quantifiers to express the extent to which a predicate is true over a range of elements. Using quantifiers to create such propositions is called quantification.

There are two types of quantification-

  • مثال 1: يترك be the statement “ >“. What is the truth value of the statement ?
    حل: As أكبر من for any real number, so للجميع أو .
  • مثال : Let be the statement “ > 5″. What is the truth value of the statement ?
    حل:is true for all real numbers greater than 5 and false for all real numbers less than 5. So .

Now if we try to convert the statement, given in the beginning of this article, into a mathematical statement using predicate logic, we would get something like-

Notice that the given statement is not mentioned as a biconditional and yet we used one. This is because Natural language is ambiguous sometimes, and we made an assumption. This assumption was made since it is true that a person can vote if and only if he/she is 18 years or older. Refer Introduction to Propositional Logic for more explanation.

Other Quantifiers –
Although the universal and existential quantifiers are the most important in Mathematics and Computer Science, they are not the only ones. In Fact, there is no limitation on the number of different quantifiers that can be defined, such as “exactly two”, “there are no more than three”, “there are at least 10”, and so on.
Of all the other possible quantifiers, the one that is seen most often is the uniqueness quantifier, denoted by .

  1. Restriction of universal quantification is the same as the universal quantification of a conditional statement.
  2. Restriction of an existential quantification is the same as the existential quantification of conjunction.

Definitions to Note:

1. Binding variables- A variable whose occurrence is bound by a quantifier is called
أ bound variable. Variables not bound by any quantifiers are called مجانا variables.
2. Scope- The part of the logical expression to which a quantifier is applied is called
ال scope of the quantifier.

This topic has been covered in two parts. The second part of this topic is explained in another article – Predicates and Quantifiers – Set 2

This article is contributed by Chirag Manwani. If you like GeeksforGeeks and would like to contribute, you can also write an article using write.geeksforgeeks.org or mail your article to [email protected] See your article appearing on the GeeksforGeeks main page and help other Geeks.

Please write comments if you find anything incorrect, or you want to share more information about the topic discussed above.

القارئ الانتباه! لا تتوقف عن التعلم الآن. Practice GATE exam well before the actual exam with the subject-wise and overall quizzes available in GATE Test Series Course.


|| Logical OR

Logical OR, also known as “disjunction”.
Accepts two arguments and returns “true” if at least one of them is “true”.
bResult = bLeft || bRight
bResult will be true, if "bLeft" OR "bRight" is true. Let’s create the truth table for this case:

bLeft bRight bResult
true true true
true خاطئة true
خاطئة true true
خاطئة خاطئة خاطئة


3. Use of Logical AND

Like &, the logical AND (&&) operator compares the value of two boolean variables or expressions. And, it returns also true only if both operands are true, otherwise, it returns خاطئة.

Let's take three boolean variables:

Next, let's apply a logical AND operator on variables trueBool و anotherTrueBool:

Then, the result will be true.

Next, let's apply a logical AND operator on trueBool و falseBool:

In this case, the result will be خاطئة.

Let's see the test Java code:

3.1. Short-circuit

So, what's the difference? نحن سوف، ال && operator short-circuits. This means it doesn't evaluate the right-hand side operand or expression when the left-hand side operand or expression is خاطئة.

Let's take two expressions evaluating as false:

When we apply a logical AND operator on expressions 2<1 و 4<5, then it evaluates only the first expression 2<1 and returns false.

3.2 Use of && with Integers

We can use the & operator with boolean or numeric types but && can only be used with boolean operands. Using it with integer operands results in a compilation error:


شاهد الفيديو: عجائب الرياضيات والمنطق (كانون الثاني 2022).