مقالات

17.3: تطبيقات المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية


أهداف التعلم

  • حل معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية تمثل حركة توافقية بسيطة.
  • حل معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية تمثل حركة توافقية بسيطة مخمدة.
  • حل معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية تمثل الحركة التوافقية البسيطة القسرية.
  • حل معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية تمثل الشحنة والتيار في دائرة سلسلة RLC.

رأينا في مقدمة الفصل أن المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية تُستخدم لنمذجة العديد من المواقف في الفيزياء والهندسة. في هذا القسم ، نلقي نظرة على كيفية عمل ذلك مع أنظمة جسم ذي كتلة متصلة بنابض رأسي ودائرة كهربائية تحتوي على مقاوم ، ومحث ، ومكثف متصل في سلسلة. يمكن استخدام مثل هذه النماذج لتقريب المواقف الأخرى الأكثر تعقيدًا ؛ على سبيل المثال ، غالبًا ما يتم نمذجة الروابط بين الذرات أو الجزيئات على أنها نوابض تهتز ، كما هو موضح في نفس المعادلات التفاضلية.

حركة متناغمة بسيطة

ضع في اعتبارك كتلة معلقة من زنبرك متصل بدعامة صلبة. (وهذا ما يسمى عادة ملف نظام كتلة الربيع.) تعمل الجاذبية على سحب الكتلة إلى أسفل وقوة استعادة الزنبرك تسحب الكتلة إلى أعلى. كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {1} ) ، عندما تكون هاتان القوتان متساويتين ، يُقال أن الكتلة في وضع التوازن. إذا تم إزاحة الكتلة من التوازن ، فإنها تتأرجح لأعلى ولأسفل. يمكن نمذجة هذا السلوك من خلال معادلة تفاضلية ذات معامل ثابت من الدرجة الثانية.

دع x (t) x (t) يشير إلى إزاحة الكتلة من التوازن. لاحظ أنه بالنسبة لأنظمة الكتلة الزنبركية من هذا النوع ، من المعتاد تبني الاتفاقية التي تشير إلى أن الانخفاض إيجابي. وبالتالي ، يشير الإزاحة الإيجابية إلى الكتلة أقل نقطة التوازن ، في حين أن الإزاحة السالبة تشير إلى الكتلة في الاعلى حالة توازن. عادةً ما يُعطى الإزاحة بالأقدام في النظام الإنجليزي أو بالأمتار في النظام المتري.

تأمل القوى المؤثرة على الجماهير. تُعطى قوة الجاذبية بالقيمة mg.mg. في النظام الإنجليزي ، تكون الكتلة في شكل رخويات ، ويكون التسارع الناتج عن الجاذبية بالأقدام في الثانية المربعة. التسارع الناتج عن الجاذبية ثابت ، لذلك في النظام الإنجليزي ، (g = 32 ) قدم / ثانية2. تذكر أن 1 قدم سبيكة / ثانية2 هو الجنيه ، وبالتالي فإن التعبير ملغ يمكن التعبير عنها بالجنيه. وحدات النظام المتري هي كيلوغرامات للكتلة ومتر / ثانية2 لتسريع الجاذبية. في النظام المتري ، لدينا (ز = 9.8 ) م / ثانية2.

بالنسبة الى قانون هوك، فإن قوة استعادة الزنبرك تتناسب مع الإزاحة وتعمل في الاتجاه المعاكس للإزاحة ، لذلك تُعطى قوة الاستعادة بواسطة (- k (s + x). ) يُعطى ثابت الزنبرك بالجنيه لكل قدم في النظام الإنجليزي وبالنيوتن للمتر في النظام المتري.

الآن ، وفقًا لقانون نيوتن الثاني ، فإن مجموع القوى المؤثرة على النظام (الجاذبية زائد قوة الاستعادة) يساوي الكتلة مضروبة في التسارع ، لذلك لدينا

[ ابدأ {محاذاة *} mx ″ = −k (s + x) + mg = −ks − kx + mg. النهاية {محاذاة *} ]

ومع ذلك ، بالمناسبة التي حددنا بها موضع التوازن ، (mg = ks ) ، تصبح المعادلة التفاضلية

[م س ″ + ك س = 0. لا يوجد رقم]

من الملائم إعادة ترتيب هذه المعادلة وإدخال متغير جديد يسمى التردد الزاوي، (ω ). السماح (ω = sqrt {k / m} ) ، يمكننا كتابة المعادلة على النحو التالي

[x '' + ω ^ 2x = 0. لا يوجد رقم]

هذه المعادلة التفاضلية لها الحل العام

[x (t) = c_1 cos ωt + c_2 sin ωt ، التسمية {GeneralSol} ]

والذي يعطي موقع الكتلة في أي وقت. تسمى حركة الكتلة بسيطة الحركة المتناسقة. فترة هذه الحركة (الوقت المستغرق لإكمال ذبذبة واحدة) هي (T = dfrac {2π} {ω} ) والتردد هو (f = dfrac {1} {T} = dfrac { ω} {2π} ) (شكل ( PageIndex {2} )).

مثال ( PageIndex {1} ): حركة توافقية بسيطة

افترض أن جسمًا يزن 2 رطل يمتد زنبركًا بمقدار 6 بوصات. أوجد معادلة الحركة إذا تم تحرير الزنبرك من موضع التوازن بسرعة تصاعدية تبلغ 16 قدمًا / ثانية. ما هي مدة الحركة؟

المحلول

علينا أولًا إيجاد ثابت الزنبرك. لدينا

[ begin {align *} mg & = ks 2 & = k ( dfrac {1} {2}) k & = 4. النهاية {محاذاة *} ]

نحن نعلم أيضًا هذا الوزن دبليو يساوي حاصل ضرب الكتلة م والتسارع بسبب الجاذبية ز. في الوحدات الإنجليزية ، يكون التسارع الناتج عن الجاذبية 32 قدمًا / ثانية2.

[ begin {align *} W & = mg 2 = m (32) m & = dfrac {1} {16} end {align *} ]

وبالتالي ، فإن المعادلة التفاضلية التي تمثل هذا النظام هي

[ dfrac {1} {16} س ″ + 4x = 0. لا يوجد رقم]

بالضرب في 16 ، نحصل على (x '' + 64x = 0، ) والذي يمكن كتابته أيضًا بالصيغة (x '' + (8 ^ 2) x = 0. ) هذه المعادلة لها الحل العام

[x (t) = c_1 cos (8t) + c_2 sin (8t). لا يوجد رقم]

تم إطلاق الكتلة من وضع التوازن ، لذلك (x (0) = 0 ) ، وكانت سرعة أولية تصاعدية تبلغ 16 قدمًا / ثانية ، لذا (x ′ (0) = - 16 ). تطبيق هذه الشروط الأولية لحل من أجل (c_1 ) و (c_2 ). يعطي

[x (t) = - 2 الخطيئة 8 طن. لا يوجد رقم]

فترة هذه الحركة ( dfrac {2π} {8} = dfrac {π} {4} ) ثانية.

تمرين ( PageIndex {1} )

كتلة 200 غ تمتد زنبرك 5 سم. أوجد معادلة حركة الكتلة إذا تحررت من السكون من موضع 10 سم تحت موضع التوازن. ما هو تردد هذه الحركة؟

تلميح

ابحث أولاً عن ثابت الربيع.

إجابه

(x (t) = 0.1 cos (14t) ) (بالأمتار) ؛ التردد ( dfrac {14} {2π} ) هرتز.

كتابة الحل العام بالصيغة (x (t) = c_1 cos (ωt) + c_2 sin (ωt) ) (المعادلة المرجع {GeneralSol}) له بعض المزايا. من السهل رؤية الرابط بين المعادلة التفاضلية والحل ، وتكون فترة وتكرار الحركة واضحين. ومع ذلك ، فإن هذا الشكل من الوظيفة يخبرنا القليل جدًا عن سعة الحركة. في بعض الحالات ، قد نفضل كتابة الحل بالصيغة

[x (t) = A sin (t + ϕ). لا يوجد رقم]

على الرغم من أن الارتباط بالمعادلة التفاضلية ليس واضحًا في هذه الحالة ، إلا أن فترة وتكرار الحركة لا يزالان واضحين. علاوة على ذلك ، اتساع الحركة ، أ، واضح في هذا الشكل من الوظيفة. الثابت (ϕ ) يسمى أ مرحلة التحول ولها تأثير تحويل الرسم البياني للدالة إلى اليسار أو اليمين.

لتحويل الحل إلى هذه الصيغة ، نريد إيجاد قيم أ و (ϕ ) هكذا

[c_1 cos (ωt) + c_2 sin (ωt) = A sin (ωt + ϕ). لا يوجد رقم]

نطبق أولاً المتطابقات المثلثية

[ sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β nonumber ]

تحصل

[ start {align *} c_1 cos (ωt) + c_2 sin (ωt) & = A ( sin (ωt) cos ϕ + cos (ωt) sin ϕ) & = A sin ϕ ( cos (ωt)) + A cos ϕ ( sin (ωt)). النهاية {محاذاة *} ]

هكذا،

[c1 = A sin ϕ text {and} c_2 = A cos ϕ. لا يوجد رقم]

إذا قمنا بتربيع كلتا المعادلتين وجمعهما معًا ، نحصل على

[ start {align *} c_1 ^ 2 + c_2 ^ 2 & = A ^ 2 sin _2 ϕ + A ^ 2 cos _2 ϕ & = A ^ 2 ( sin ^ 2 ϕ + cos ^ 2 ϕ) & = A ^ 2. النهاية {محاذاة *} ]

هكذا،

[A = sqrt {c_1 ^ 2 + c_2 ^ 2}. لا يوجد رقم]

الآن ، للعثور على (ϕ ) ، ارجع إلى معادلات (c_1 ) و (c_2 ) ، ولكن هذه المرة ، اقسم المعادلة الأولى على المعادلة الثانية للحصول على

[ start {align *} dfrac {c_1} {c_2} & = dfrac {A sin ϕ} {A cos ϕ} & = tan ϕ. نهاية {محاذاة *} ]

ثم،

[ tan ϕ = dfrac {c_1} {c_2}. لا يوجد رقم]

نلخص هذه النتيجة في النظرية التالية.

حل معادلة الحركة المتناسقة البسيطة

يمكن كتابة الوظيفة (x (t) = c_1 cos (ωt) + c_2 sin (ωt) ) بالصيغة (x (t) = A sin (t + ϕ) ) ، حيث (A = sqrt {c_1 ^ 2 + c_2 ^ 2} ) و ( tan ϕ = dfrac {c_1} {c_2} ).

لاحظ أنه عند استخدام الصيغة ( tan ϕ = dfrac {c_1} {c_2} ) للعثور على (ϕ ) ، يجب أن نحرص على التأكد من وجود (ϕ ) في الربع الأيمن (الشكل ( PageIndex {3} )).

مثال ( PageIndex {2} ): التعبير عن الحل بتغيير المرحلة

عبر عن الوظائف التالية بالصيغة (A sin (ωt + ϕ) ). ما هو تردد الحركة؟ السعة؟

  1. (x (t) = 2 cos (3t) + sin (3t) )
  2. (x (t) = 3 cos (2t) −2 الخطيئة (2t) )

المحلول

لدينا

[A = sqrt {c_1 ^ 2 + c_2 ^ 2} = sqrt {2 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {5} nonumber ]

و

[ tan ϕ = dfrac {c_1} {c_2} = dfrac {2} {1} = 2. لا يوجد رقم]

لاحظ أن كلا من (c_1 ) و (c_2 ) موجبان ، لذا فإن (ϕ ) يقع في الربع الأول. هكذا،

[ϕ≈1.107 ؛ text {rad}، nonumber ]

اذا لدينا

[x (t) = 2 cos (3t) + sin (3t) = 5 sin (3t + 1.107). لا يوجد رقم]

التردد هو ( dfrac {ω} {2π} = dfrac {3} {2π} ≈0.477. ) السعة ( sqrt {5} ).

  1. لدينا

    [A = sqrt {c_1 ^ 2 + c_2 ^ 2} = sqrt {3 ^ 2 + 2 ^ 2} = sqrt {13} nonumber ]

    و

    [ tan ϕ = dfrac {c_1} {c_2} = dfrac {3} {- 2} = - dfrac {3} {2}. لا يوجد رقم]

    لاحظ أن (c_1 ) موجب لكن (c_2 ) سلبي ، لذا فإن (ϕ ) يقع في الربع الرابع. هكذا،

    [ϕ≈ − 0.983 ؛ text {rad}، nonumber ]

    اذا لدينا

    [ start {align *} x (t) & = 3 cos (2t) −2 sin (2t) & = sqrt {13} sin (2t − 0.983). النهاية {محاذاة *} ]

    التردد هو ( dfrac {ω} {2π} = dfrac {2} {2π} ≈0.318. ) السعة ( sqrt {13} ).

تمرين ( PageIndex {2} )

عبر عن الوظيفة (x (t) = cos (4t) + 4 sin (4t) ) بالصيغة (A sin (ωt + ϕ) ). ما هو تردد الحركة؟ السعة؟

تلميح

استخدم العملية من المثال ( PageIndex {2} ).

إجابه

(x (t) = sqrt {17} sin (4t + 0.245)، text {frequency} = dfrac {4} {2π} ≈0.637، A = sqrt {17} )

الاهتزازات المخففة

مع النموذج الموصوف للتو ، تستمر حركة الكتلة إلى أجل غير مسمى. من الواضح أن هذا لا يحدث في العالم الحقيقي. في العالم الواقعي ، يوجد دائمًا بعض الاحتكاك في النظام ، مما يؤدي إلى اختفاء التذبذبات ببطء - وهو تأثير يسمى التخميد. دعونا الآن نلقي نظرة على كيفية دمج قوة التخميد هذه في معادلتنا التفاضلية.

غالبًا ما تحتوي أنظمة كتلة الزنبرك الفيزيائية على بعض التخميد نتيجة للاحتكاك أو مقاومة الهواء أو المثبط المادي ، والذي يسمى لوحة القيادة (أسطوانة هوائية ؛ الشكل ( PageIndex {4} )).

نظرًا لأن التخميد هو في الأساس قوة احتكاك ، فإننا نفترض أنه يتناسب مع سرعة الكتلة ويعمل في الاتجاه المعاكس. لذا فإن قوة التخميد تعطى بواسطة (- bx ′ ) لبعض الثوابت (b> 0 ). مرة أخرى بتطبيق قانون نيوتن الثاني ، تصبح المعادلة التفاضلية

[mx ″ + bx ′ + kx = 0. لا يوجد رقم]

ثم المعادلة المميزة المصاحبة هي

[مλ ^ 2 + بλ + ك = 0. لا يوجد رقم]

بتطبيق الصيغة التربيعية ، لدينا

[λ = dfrac {−b ± sqrt {b ^ 2−4mk}} {2m}. لا يوجد رقم]

تمامًا كما هو الحال في المعادلات الخطية من الدرجة الثانية ، فإننا نأخذ في الاعتبار ثلاث حالات ، بناءً على ما إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور حقيقية مميزة ، أو جذر حقيقي متكرر ، أو جذور مقترنة معقدة.

الحالة 1: الاهتزازات المفرطة التخميد

عندما (b ^ 2> 4mk ) ، نقول إن النظام هو مفرط. الحل العام له الشكل

[x (t) = c_1e ^ {λ_1t} + c_2e ^ {λ_2t} ، nonumber ]

حيث (λ_1 ) و (λ_2 ) أقل من الصفر. نظرًا لأن الأسس سالبة ، فإن الإزاحة تتحلل إلى الصفر بمرور الوقت ، عادةً بسرعة كبيرة. لا تتأرجح الأنظمة المفرطة التخميد (ليس هناك أكثر من تغيير واحد في الاتجاه) ، ولكن ببساطة تتحرك للخلف نحو وضع التوازن. يوضح الشكل ( PageIndex {5} ) الشكل المعتاد للسلوك المخمد بشكل خطير.

مثال ( PageIndex {3} ): نظام زنبركي كثيف التخميد

كتلة 16 رطلاً متصلة بنابض طوله 10 أقدام. عندما تستقر الكتلة في وضع التوازن ، يبلغ قياس الزنبرك 15 قدمًا و 4 بوصات. ينغمس النظام في وسط يضفي قوة تخميد تساوي 5252 ضعف السرعة اللحظية للكتلة. أوجد معادلة الحركة إذا تم دفع الكتلة لأعلى من موضع التوازن بسرعة ابتدائية إلى أعلى تبلغ 5 أقدام / ثانية. ما هو موضع الكتلة بعد 10 ثوانٍ؟ سرعتها؟

المحلول

تمتد الكتلة في الزنبرك 5 أقدام و 4 بوصات ، أو ( dfrac {16} {3} ) قدم وهكذا ، (16 = ( dfrac {16} {3}) ك ، ) لذا (ك = 3. ) لدينا أيضًا (m = dfrac {16} {32} = dfrac {1} {2} ) ، لذا فإن المعادلة التفاضلية هي

[ dfrac {5} {2} x ′ + 3x = 0. لا يوجد رقم]

الضرب في 2 يعطي (x ″ + 5x ′ + 6x = 0 ) ، الذي له الحل العام

[x (t) = c_1e ^ {- 2t} + c_2e ^ {- 3t}. لا يوجد رقم]

بتطبيق الشروط الأولية ، (x (0) = 0 ) و (x ′ (0) = - 5 ) ، نحصل على

[x (t) = - 5e ^ {- 2t} + 5e ^ {- 3t}. لا يوجد رقم]

بعد 10 ثوانٍ تكون الكتلة في موضعها

[x (10) = - 5e ^ {- 20} + 5e ^ {- 30} ≈ − 1.0305 × 10 ^ {- 8} ≈0، nonumber ]

لذلك فهي ، بشكل فعال ، في وضع التوازن. لدينا (x ′ (t) = 10e ^ {- 2t} −15e ^ {- 3t} ) ، لذلك بعد 10 ثوانٍ تتحرك الكتلة بسرعة تبلغ

[x ′ (10) = 10e ^ {- 20} −15e ^ {- 30} ≈2.061 × 10 ^ {- 8} ≈0. لا يوجد رقم]

بعد 10 ثوانٍ فقط ، بالكاد تتحرك الكتلة.

تمرين ( PageIndex {3} )

كتلة 2 كجم متصلة بنابض ثابت الزنبرك 24 N / m. يتم بعد ذلك غمر النظام في وسط ينقل قوة تخميد تساوي 16 ضعف السرعة اللحظية للكتلة. أوجد معادلة الحركة إذا تحررت من السكون عند نقطة 40 سم تحت التوازن.

تلميح

اتبع العملية من المثال السابق.

إجابه

(x (t) = 0.6e ^ {- 2t} −0.2e ^ {- 6t} )

الحالة 2: الاهتزازات المخففة بشكل خطير

عندما (b ^ 2 = 4mk ) نقول أن النظام هو مثبط بشكل خطير. الحل العام له الشكل

[x (t) = c_1e ^ {λ_1t} + c_2te ^ {λ_1t} ، nonumber ]

حيث (λ_1 ) أقل من الصفر. إن حركة النظام المثبط بشكل خطير تشبه إلى حد بعيد حركة النظام المثبط بشكل مفرط. لا تتأرجح. ومع ذلك ، مع نظام مثبط بشكل خطير ، إذا تم تقليل التخميد ولو قليلاً ، ينتج عن السلوك التذبذب. من منظور عملي ، غالبًا ما تكون الأنظمة المادية إما مفرطة التخميد أو ناقصة التخميد (الحالة 3 ، والتي نعتبرها بعد ذلك). من المستحيل صقل خصائص النظام المادي بحيث تكون (b ^ 2 ) و (4mk ) متساوية تمامًا. يوضح الشكل ( PageIndex {6} ) الشكل المعتاد للسلوك المخمد بشكل خطير.

مثال ( PageIndex {4} ): نظام كتلة الربيع المثبط بشدة

كتلة 1 كجم تمتد زنبركًا بمقدار 20 سم. النظام متصل بقطعة عدادات تعطي قوة تخميد تساوي 14 ضعف السرعة اللحظية للكتلة. أوجد معادلة الحركة إذا تحررت الكتلة من التوازن بسرعة تصاعدية 3 م / ثانية.

​​​​​​المحلول

لدينا (mg = 1 (9.8) = 0.2k ) ، لذا (k = 49. ) إذن ، المعادلة التفاضلية هي

[س ″ + 14 س ′ + 49 س = 0 ، بلا رقم ]

الذي له حل عام

[x (t) = c_1e ^ {- 7t} + c_2te ^ {- 7t}. لا يوجد رقم]

تطبيق الشروط الأولية (x (0) = 0 ) و (x ′ (0) = - 3 ) يعطي

[x (t) = - 3te ^ {- 7t}. لا يوجد رقم]

تمرين ( PageIndex {4} )

يمتد الوزن الذي يبلغ 1 رطل إلى زنبرك 6 بوصات ، والنظام متصل بقطعة القيادة التي تضفي قوة تخميد تساوي نصف السرعة اللحظية للكتلة. أوجد معادلة الحركة إذا تحررت الكتلة من السكون عند نقطة 6 بوصات تحت التوازن.

تلميح

ابحث أولاً عن ثابت الربيع.

إجابه

[x (t) = dfrac {1} {2} e ^ {- 8t} + 4te ^ {- 8t} nonumber ]

الحالة 3: اهتزازات غير مخمد

عندما (b ^ 2 <4mk ) ، نقول إن النظام هو ناقص. الحل العام له الشكل

[x (t) = e ^ {αt} (c_1 cos (βt) + c_2 sin (βt)) ، nonumber ]

حيث (α ) أقل من الصفر. تتأرجح الأنظمة منخفضة التخميد بسبب شروط الجيب وجيب التمام في المحلول. ومع ذلك ، فإن المصطلح الأسي يسيطر في النهاية ، وبالتالي تقل سعة التذبذبات بمرور الوقت. يوضح الشكل ( PageIndex {7} ) الشكل الذي يبدو عليه السلوك المعتاد قليل التخميد.

لاحظ أنه بالنسبة لجميع الأنظمة المخمدة ، ( lim limits_ {t to infty} x (t) = 0 ). يقترب النظام دائمًا من موضع التوازن بمرور الوقت.

مثال ( PageIndex {5} ): نظام زنبركي منخفض الكثافة

يمتد الوزن البالغ 16 رطلاً إلى زنبرك بطول 3.2 قدم ، افترض أن قوة التخميد على النظام تساوي السرعة اللحظية للكتلة. أوجد معادلة الحركة إذا تحررت الكتلة من السكون عند نقطة 9 بوصة تحت التوازن.

المحلول

لدينا (k = dfrac {16} {3.2} = 5 ) و (m = dfrac {16} {32} = dfrac {1} {2}، ) لذا فإن المعادلة التفاضلية هي

[ dfrac {1} {2} س ″ + س ′ + 5x = 0 ، ؛ text {or} ؛ س ″ + 2 س ′ + 10x = 0. لا يوجد رقم]

هذه المعادلة لها الحل العام

[x (t) = e ^ {- t} (c_1 cos (3t) + c_2 sin (3t)). لا يوجد رقم]

بتطبيق الشروط الأولية ، (x (0) = dfrac {3} {4} ) و (x ′ (0) = 0، ) نحصل عليها

[x (t) = e ^ {- t} bigg ( dfrac {3} {4} cos (3t) + dfrac {1} {4} sin (3t) bigg). لا يوجد رقم]

تمرين ( PageIndex {5} )

كتلة 1 كجم تمتد زنبرك 49 سم. النظام مغمور في وسط يعطي قوة تخميد تساوي أربعة أضعاف السرعة اللحظية للكتلة. أوجد معادلة الحركة إذا تحررت الكتلة من السكون عند نقطة 24 سم فوق التوازن.

تلميح

ابحث أولاً عن ثابت الربيع.

إجابه

(x (t) = - 0.24e ^ {- 2t} cos (4t) −0.12e ^ {- 2t} sin (4t) )

مثال ( PageIndex {6} ): فتاحة الفصل: تصميم نموذج لنظام تعليق دراجة نارية

بالنسبة لراكبي الدراجات النارية ، فإن أنظمة التعليق على دراجاتهم النارية مهمة جدًا. غالبًا ما تتضمن الدورات التدريبية على الطرق الوعرة التي يركبونها القفز ، وفقدان السيطرة على الدراجة النارية عندما تهبط قد يكلفهم السباق.

يمكن تصميم نظام التعليق هذا كنظام كتلة زنبركية مخمد. نحدد إطارنا المرجعي فيما يتعلق بإطار الدراجة النارية. افترض أن نهاية ممتص الصدمات المرفقة بإطار الدراجة النارية ثابتة. إذن ، "الكتلة" في نظامنا للكتلة الزنبركية هي عجلة الدراجة النارية. نقيس موضع العجلة فيما يتعلق بإطار الدراجة النارية. قد يبدو هذا غير بديهي ، لأنه ، في كثير من الحالات ، هو في الواقع إطار الدراجة النارية الذي يتحرك ، لكن هذا الإطار المرجعي يحافظ على تطوير المعادلة التفاضلية التي تم إجراؤها سابقًا. كما هو الحال مع التطور السابق ، نحدد الاتجاه الهبوطي ليكون إيجابيًا.

عندما ترفع الدراجة النارية من إطارها ، تتدلى العجلة بحرية ويكون الزنبرك غير مضغوط. هذا هو الوضع الطبيعي للربيع. عندما يتم وضع الدراجة النارية على الأرض ويقوم الراكب بتركيبها ، يتم ضغط الزنبرك ويكون النظام في وضع التوازن (الشكل ( PageIndex {9} )).

يمكن نمذجة هذا النظام باستخدام نفس المعادلة التفاضلية التي استخدمناها من قبل:

[mx ″ + bx ′ + kx = 0. لا يوجد رقم]

تزن دراجة نارية موتوكروس 204 رطلاً ، ونفترض أن وزن الفارس يبلغ 180 رطلاً. عندما يركب الفارس الدراجة النارية ، يضغط التعليق 4 بوصات ، ثم يستقر عند التوازن. يوفر نظام التعليق تخميدًا يساوي 240 ضعف السرعة الرأسية اللحظية للدراجة النارية (والراكب).

  1. قم بإعداد المعادلة التفاضلية التي تمثل سلوك نظام التعليق للدراجات النارية.
  2. نحن مهتمون بما يحدث عندما تهبط الدراجة النارية بعد القفز. دع الوقت [t = 0 ] يشير إلى الوقت الذي تلامس فيه الدراجة النارية الأرض لأول مرة. إذا اصطدمت الدراجة النارية بالأرض بسرعة 10 أقدام / ثانية للأسفل ، فابحث عن معادلة حركة الدراجة النارية بعد القفز.
  3. ارسم معادلة الحركة خلال الثانية الأولى بعد اصطدام الدراجة النارية بالأرض.

المحلول

  1. لقد حددنا التوازن بأنه النقطة التي (mg = ks ) ، لذلك لدينا

    [ begin {align *} mg & = ks 384 & = k ( dfrac {1} {3}) k & = 1152. النهاية {محاذاة *} ]

    نحن ايضا لدينا

    [ start {align *} W & = mg 384 & = m (32) m & = 12. النهاية {محاذاة *} ]

    لذلك ، فإن المعادلة التفاضلية التي تمثل سلوك تعليق الدراجة النارية هي

    [12x ″ + 240x ′ + 1152x = 0. لا يوجد رقم]

    بالقسمة على 12 نحصل على

    [x '' + 20x ′ + 96x = 0. لا يوجد رقم]

  2. المعادلة التفاضلية الموجودة في الجزء أ. لديه الحل العام

    [x (t) = c_1e ^ {- 8t} + c_2e ^ {- 12t}. لا يوجد رقم ]

    الآن ، لتحديد ظروفنا الأولية ، نأخذ في الاعتبار موضع وسرعة عجلة الدراجة النارية عندما تلامس العجلة الأرض لأول مرة. نظرًا لأن الدراجة النارية كانت في الهواء قبل ملامستها للأرض ، كانت العجلة معلقة بحرية وكان الزنبرك غير مضغوط. لذلك تكون العجلة 4 بوصات. (( dfrac {1} {3} text {ft}) ) تحت موضع التوازن (فيما يتعلق بإطار الدراجة النارية) ، ولدينا (x (0) = dfrac {1} {3}. ) وفقًا لبيان المشكلة ، تبلغ سرعة الدراجة النارية 10 أقدام / ثانية لأسفل عندما تلامس الدراجة النارية الأرض ، لذلك (x ′ (0) = 10. ) تطبيق هذه السرعة الأولية الشروط ، نحصل على (c_1 = dfrac {7} {2} ) و (c_2 = - ( dfrac {19} {6}) ) ، لذا فإن معادلة الحركة هي

    [x (t) = dfrac {7} {2} e ^ {- 8t} - dfrac {19} {6} e ^ {- 12t}. لا يوجد رقم]

  3. يظهر الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {10} ).

مركبة هبوط

ناسا تخطط للقيام بمهمة إلى المريخ. لتوفير المال ، قرر المهندسون تكييف إحدى مركبات الهبوط على سطح القمر للمهمة الجديدة. ومع ذلك ، فهم قلقون بشأن كيفية تأثير قوى الجاذبية المختلفة على نظام التعليق الذي يبطئ المركبة عند ملامستها للأسفل. العجلة الناتجة عن الجاذبية على القمر 1.6 م / ثانية2بينما في المريخ تبلغ 3.7 م / ثانية2.

يمكن تصميم نظام التعليق على المركبة كنظام كتلة نابض مخمد. في هذه الحالة ، يكون الزنبرك أسفل مسبار القمر ، لذلك ينضغط الزنبرك قليلًا عند التوازن ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {11} ).

نحن نحتفظ بالاتفاقية التي تشير إلى أن الانخفاض إيجابي. على الرغم من الاتجاه الجديد ، يُظهر فحص القوى التي تؤثر على المسبار أنه يمكن استخدام نفس المعادلة التفاضلية لنمذجة موضع مركبة الإنزال بالنسبة إلى التوازن:

[mx '' + bx ′ + kx = 0، nonumber ]

حيث (م ) هي كتلة المسبار ، (ب ) هو معامل التخميد ، و (ك ) هو ثابت الربيع.

  1. كتلة الهبوط 15000 كجم ويبلغ طول الزنبرك 2 متر عند عدم الضغط. تم تصميم المسبار لضغط الزنبرك بمقدار 0.5 متر للوصول إلى وضع التوازن تحت الجاذبية القمرية. تضفي لوحة القيادة قوة تخميد تساوي 48000 ضعف السرعة اللحظية لمركبة الهبوط. قم بإعداد المعادلة التفاضلية التي تمثل حركة المسبار عندما تهبط المركبة على القمر.
  2. دع الوقت (t = 0 ) يشير إلى لحظة ملامسة المسبار. يمكن للطاقم التحكم في معدل هبوط المسبار ، بحيث ينزل بمعدل 2 م / ثانية عند ملامسته للأسفل. أوجد معادلة حركة المسبار على القمر.
  3. إذا كان المسبار يتحرك بسرعة كبيرة عند ملامسته للأسفل ، فيمكنه ضغط الزنبرك بالكامل و "القاع للخارج". يمكن أن يؤدي القاع إلى إتلاف مركبة الإنزال ويجب تجنبه بأي ثمن. ارسم معادلة الحركة الموجودة في الجزء 2. إذا كان طول الزنبرك 0.5 متر عند ضغطه بالكامل ، فهل ستكون مركبة الهبوط في خطر الانهيار؟
  4. بافتراض أن مهندسي وكالة ناسا لم يجروا أي تعديلات على الزنبرك أو المخمد ، إلى أي مدى يضغط المسبار على الزنبرك للوصول إلى موضع التوازن تحت جاذبية المريخ؟
  5. إذا كان طاقم المسبار يستخدم نفس الإجراءات على سطح المريخ كما هو الحال على القمر ، ويحافظ على معدل الهبوط عند 2 م / ثانية ، فهل سيبدأ المسبار عند هبوطه على المريخ؟
  6. ما التعديلات ، إن وجدت ، التي يجب على مهندسي ناسا إجراؤها لاستخدام المسبار بأمان على المريخ؟

الاهتزازات القسرية

الحالة الأخيرة التي نأخذها في الاعتبار هي عندما تعمل قوة خارجية على النظام. في حالة نظام تعليق الدراجات النارية ، على سبيل المثال ، تعمل المطبات في الطريق كقوة خارجية تعمل على النظام. مثال آخر هو زنبرك معلق من دعامة ؛ إذا تم تشغيل الدعم ، فسيتم اعتبار هذه الحركة قوة خارجية على النظام. نقوم بنمذجة هذه الأنظمة القسرية باستخدام المعادلة التفاضلية غير المتجانسة

[mx ″ + bx ′ + kx = f (t)، nonumber ]

حيث يتم تمثيل القوة الخارجية بالمصطلح (f (t) ). كما رأينا في المعادلات الخطية غير المتجانسة ، فإن المعادلات التفاضلية مثل هذه لها حلول للصيغة

[x (t) = c_1x_1 (t) + c_2x_2 (t) + x_p (t) ، nonumber ]

حيث (c_1x_1 (t) + c_2x_2 (t) ) هو الحل العام للمعادلة التكميلية و (x_p (t) ) هو حل خاص للمعادلة غير المتجانسة. إذا كان النظام مثبطًا ، ( lim limits_ {t to infty} c_1x_1 (t) + c_2x_2 (t) = 0. ) نظرًا لأن هذه المصطلحات لا تؤثر على السلوك طويل المدى للنظام ، فإننا ندعو هذا الجزء من الحل حل عابر. يتم تحديد سلوك النظام على المدى الطويل بواسطة (x_p (t) ) ، لذلك نسمي هذا الجزء من الحل حل الحالة المستقرة.

مثال ( PageIndex {7} ): اهتزازات إجبارية

كتلة من سبيكة واحدة تمتد زنبركًا بمقدار 2 قدم وتأتي في حالة توازن. النظام متصل بقطعة عدادات تعطي قوة تخميد تساوي ثمانية أضعاف السرعة اللحظية للكتلة. ابحث عن معادلة الحركة إذا تم تطبيق قوة خارجية تساوي (f (t) = 8 sin (4t) ) على النظام الذي يبدأ في الوقت (t = 0 ). ما هو الحل العابر؟ ما هو حل الدولة المستقرة؟

المحلول

لدينا (mg = 1 (32) = 2k، ) لذا (k = 16 ) والمعادلة التفاضلية هي

[x ″ + 8x ′ + 16x = 8 sin (4t). لا يوجد رقم]

الحل العام للمعادلة التكميلية هو

[c_1e ^ {- 4t} + c_2te ^ {- 4t}. لا يوجد رقم]

بافتراض حل معين على الشكل (x_p (t) = A cos (4t) + B sin (4t) ) وباستخدام طريقة المعاملات غير المحددة ، نجد (x_p (t) = - dfrac { 1} {4} cos (4t) ) ، حسنًا

[x (t) = c_1e ^ {- 4t} + c_2te ^ {- 4t} - dfrac {1} {4} cos (4t). لا يوجد رقم]

عند (t = 0 ، ) تكون الكتلة في حالة راحة في وضع التوازن ، لذلك (x (0) = x ′ (0) = 0. ) بتطبيق هذه الشروط الأولية لحل c1c1 و c2 ، c2 ، نحن احصل على

[x (t) = dfrac {1} {4} e ^ {- 4t} + te ^ {- 4t} - dfrac {1} {4} cos (4t). لا يوجد رقم]

الحل المؤقت هو ( dfrac {1} {4} e ^ {- 4t} + te ^ {- 4t} ). حل الحالة المستقرة هو (- dfrac {1} {4} cos (4t). )

تمرين ( PageIndex {6} )

كتلة مقدارها 2 كجم متصلة بنابض ثابت 32 نيوتن / م وتستقر في وضع التوازن. بدءًا من الوقت (t = 0 ) ، يتم تطبيق قوة خارجية تساوي (f (t) = 68e ^ {- 2} t cos (4t) ) على النظام. أوجد معادلة الحركة إذا لم يكن هناك تخميد. ما هو الحل العابر؟ ما هو حل الدولة المستقرة؟

تلميح

أوجد الحل المعين قبل تطبيق الشروط الأولية.

إجابه

(x (t) = - dfrac {1} {2} cos (4t) + dfrac {9} {4} sin (4t) + dfrac {1} {2} e ^ {- 2t} cos (4t) −2e ^ {- 2t} sin (4t) )

( text {حل عابر:} dfrac {1} {2} e ^ {- 2t} cos (4t) −2e ^ {- 2t} sin (4t) )

( text {حل الحالة الثابتة:} - dfrac {1} {2} cos (4t) + dfrac {9} {4} sin (4t) )

صدى

ضع في اعتبارك نظامًا غير مخمد يعرض حركة توافقية بسيطة. في العالم الحقيقي ، ليس لدينا حقًا نظام غير مخمد ؛ - يحدث بعض التخميد دائمًا. ومع ذلك ، للأغراض النظرية ، يمكننا تخيل نظام كتلة زنبركية محتواة في غرفة مفرغة. مع عدم وجود مقاومة للهواء ، ستستمر الكتلة في التحرك لأعلى ولأسفل إلى أجل غير مسمى.

تردد الحركة الناتجة ، المعطى بواسطة (f = dfrac {1} {T} = dfrac {ω} {2π} ) ، يسمى التردد الطبيعي للنظام. إذا كانت هناك قوة خارجية تعمل على النظام لها تردد قريب من التردد الطبيعي للنظام ، تسمى ظاهرة صدى النتائج. تعزز القوة الخارجية وتضخم الحركة الطبيعية للنظام.

  1. ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية (x ″ + x = 0. ) أوجد الحل العام. ما هو التردد الطبيعي للنظام؟
  2. لنفترض الآن أن هذا النظام يتعرض لقوة خارجية معطاة من قبل (f (t) = 5 cos t. ) حل مشكلة القيمة الأولية (x ″ + x = 5 cos t ) ، (x ( 0) = 0 ) ، (س ′ (0) = 1 ).
  3. ارسم الحل. ماذا يحدث لسلوك النظام بمرور الوقت؟
  4. في العالم الحقيقي ، هناك دائمًا بعض التخميد. ومع ذلك ، إذا كانت قوة التخميد ضعيفة ، وكانت القوة الخارجية قوية بدرجة كافية ، فلا يزال بإمكان أنظمة العالم الحقيقي أن تظهر صدى. أحد أشهر الأمثلة على الرنين هو انهيار جسر تاكوما ضيق في 7 نوفمبر 1940. أظهر الجسر سلوكًا غريبًا منذ إنشائه. الطريق به "ارتداد" غريب. في اليوم الذي انهار فيه ، تسببت عاصفة رياح قوية في التواء الطريق وتموج بعنف. لم يكن الجسر قادرًا على تحمل هذه القوى وانهار في النهاية. يعتقد الخبراء أن العاصفة الهوائية أثارت قوى على الجسر كانت قريبة جدًا من ترددها الطبيعي ، والصدى الناتج أدى في النهاية إلى هز الجسر.

    يحتوي موقع الويب هذا على مزيد من المعلومات حول انهيار جسر Tacoma Narrows.

    خلال الوقت القصير الذي وقف فيه جسر تاكوما ناروز ، أصبح نقطة جذب سياحي تمامًا. كان العديد من الأشخاص في الموقع في اليوم الذي انهار فيه الجسر ، واكتشف أحدهم الانهيار في فيلم.

شاهد الفيديو لترى انهيار جسر تاكوما الضيق "Gallopin 'Gertie". https://www.youtube.com/watch؟v=j-zczJXSxnw

  1. مثال آخر في العالم الواقعي على الرنين هو مغنية تحطم كأس نبيذ بلوري عندما تغني النغمة الصحيحة فقط. عندما ينقر شخص ما على كأس النبيذ البلوري أو يبلل إصبعًا ويديره حول الحافة ، يمكن سماع نغمة. يتم إنشاء هذه النوتة من قبل كأس النبيذ الذي يهتز بتردده الطبيعي. إذا غنى المغني نفس النغمة بصوت عالٍ بدرجة كافية ، فإن الزجاج ينكسر نتيجة الرنين.

    العرض التلفزيوني ميثبوسترس بثت حلقة عن هذه الظاهرة. قم بزيارة هذا الموقع لمعرفة المزيد عنه. وصف آدم سافاج التجربة أيضًا. شاهد هذا الفيديو لحسابه.

ال RLC سلسلة الدائرة

ضع في اعتبارك دائرة كهربائية تحتوي على مقاوم ومحث ومكثف ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {12} ). هذه الدائرة تسمى RLC سلسلة الدائرة. RLC تُستخدم الدوائر في العديد من الأنظمة الإلكترونية ، وأبرزها موالفات في أجهزة راديو AM / FM. يغير مقبض الضبط سعة المكثف ، والذي بدوره يضبط الراديو. يمكن نمذجة هذه الدوائر بواسطة معادلات تفاضلية من الدرجة الثانية ذات معامل ثابت.

دع (I (t) ) للإشارة إلى التيار في RLC الدائرة و (q (t) ) تدل على الشحنة على المكثف. علاوة على ذلك ، دع (L ) تشير إلى المحاثة في هنريز (H) ، ر تشير إلى المقاومة بالأوم ((Ω) ) و ج تشير إلى السعة بالفاراد (F). أخيرًا ، دع (E (t) ) للإشارة إلى الجهد الكهربائي بالفولت (V).

تنص قاعدة الجهد في Kirchhoff على أن مجموع الجهد الذي ينخفض ​​حول أي حلقة مغلقة يجب أن يكون صفرًا. لذلك ، نحن بحاجة إلى النظر في انخفاض الجهد عبر المحث (المشار إليه (E_L )) ، والمقاوم (المشار إليه (E_R )) ، والمكثف (المشار إليه (E_C )) بسبب ال RLC الدائرة الموضحة في الشكل ( PageIndex {12} ) تتضمن مصدر جهد ، (E (t) ) ، والذي يضيف الجهد إلى الدائرة ، لدينا (E_L + E_R + E_C = E (t) ) .

نقدم الصيغ أدناه دون مزيد من التطوير ويمكن للمهتمين باشتقاق هذه الصيغ مراجعة الروابط. باستخدام قانون فاراداي وقانون لينز ، يمكن إظهار أن انخفاض الجهد عبر محث متناسب مع معدل التغير اللحظي للتيار ، مع ثابت التناسب إل. هكذا،

[E_L = L dfrac {dI} {dt}. لا يوجد رقم]

بعد ذلك ، وفقًا لقانون أوم ، يتناسب انخفاض الجهد عبر المقاوم مع التيار المار عبر المقاوم ، مع ثابت التناسب ر. وبالتالي،

[E_R = RI. لا يوجد رقم]

أخيرًا ، يتناسب انخفاض الجهد عبر المكثف مع الشحنة ، ف، على المكثف ، مع ثابت التناسب (1 / س ). هكذا،

[E_C = dfrac {1} {C} q. لا يوجد رقم]

بجمع هذه الشروط معًا ، نحصل على

[L dfrac {dI} {dt} + RI + dfrac {1} {C} q = E (t). لا يوجد رقم]

مع ملاحظة أن (I = (dq) / (dt) ) ، يصبح هذا

[L dfrac {d ^ 2q} {dt ^ 2} + R dfrac {dq} {dt} + dfrac {1} {C} q = E (t). لا يوجد رقم]

رياضيا ، هذا النظام مشابه لأنظمة الكتلة الربيعية التي درسناها في هذا القسم.

سلسلة الدائرة

أوجد شحنة المكثف في RLC دارة متسلسلة حيث (L = 5/3 ) H ، (R = 10Ω ) ، (C = 1/30 ) F ، و (E (t) = 300 ) V. افترض الشحنة الأولية على المكثف يساوي 0 C والتيار الابتدائي 9 A. ماذا يحدث لشحنة المكثف بمرور الوقت؟

المحلول

لدينا

[ begin {align *} L dfrac {d ^ 2q} {dt ^ 2} + R dfrac {dq} {dt} + dfrac {1} {C} q & = E (t) [ 4pt] dfrac {5} {3} dfrac {d ^ 2q} {dt ^ 2} +10 dfrac {dq} {dt} + 30q & = 300 [4pt] dfrac {d ^ 2q} { dt ^ 2} +6 dfrac {dq} {dt} + 18q & = 180. النهاية {محاذاة *} ]

الحل العام للمعادلة التكميلية هو

[e ^ {- 3t} (c_1 cos (3t) + c_2 sin (3t)). لا يوجد رقم]

افترض حلاً معينًا بالصيغة (q_p = A ) ، حيث (A ) ثابت. باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة ، نجد (A = 10 ). وبالتالي،

[q (t) = e ^ {- 3t} (c_1 cos (3t) + c_2 sin (3t)) + 10. لا يوجد رقم]

بتطبيق الشروط الأولية (q (0) = 0 ) و (i (0) = ((dq) / (dt)) (0) = 9 ، ) نجد (c_1 = −10 ) و (c_2 = −7. ) إذن شحنة المكثف تساوي

[q (t) = - 10e ^ {- 3t} cos (3t) −7e ^ {- 3t} sin (3t) +10. لا يوجد رقم]

بالنظر إلى هذه الدالة عن كثب ، نرى أن أول حدين سيتلاشى بمرور الوقت (نتيجة الأس السالب في الدالة الأسية). لذلك ، يقترب المكثف في النهاية من شحنة ثابتة تبلغ 10 درجة مئوية.

تمرين ( PageIndex {7} )

أوجد شحنة المكثف في RLC دارة متسلسلة حيث (L = 1/5 ) H ، (R = 2/5 ، ) (C = 1/2 ) F ، و (E (t) = 50 ) V. افترض شحنة ابتدائية على المكثف هي 0 درجة مئوية والتيار الأولي هو 4 أ.

تلميح

تذكر ، (E_L = L ((dI) / (dt)). )

إجابه

[q (t) = - 25e ^ {- t} cos (3t) −7e ^ {- t} sin (3t) +25 nonumber ]

المفاهيم الرئيسية

  • يمكن استخدام المعادلات التفاضلية ذات المعامل الثابت من الدرجة الثانية لنمذجة أنظمة الكتلة الزنبركية.
  • An examination of the forces on a spring-mass system results in a differential equation of the form [mx″+bx′+kx=f(t), onumber] where mm represents the mass, bb is the coefficient of the damping force, (k) is the spring constant, and (f(t)) represents any net external forces on the system.
  • If (b=0), there is no damping force acting on the system, and simple harmonic motion results.
  • If (b≠0),the behavior of the system depends on whether (b^2−4mk>0, b^2−4mk=0,) or (b^2−4mk<0.)
    • If (b^2−4mk>0,) the system is overdamped and does not exhibit oscillatory behavior.
    • If (b^2−4mk=0,) the system is critically damped. It does not exhibit oscillatory behavior, but any slight reduction in the damping would result in oscillatory behavior.
    • If (b^2−4mk<0), the system is underdamped. It exhibits oscillatory behavior, but the amplitude of the oscillations decreases over time.
  • If(f(t)≠0), the solution to the differential equation is the sum of a transient solution and a steady-state solution. The steady-state solution governs the long-term behavior of the system.
  • The charge on the capacitor in an RLC series circuit can also be modeled with a second-order constant-coefficient differential equation of the form [Ldfrac{d^2q}{dt^2}+Rdfrac{dq}{dt}+dfrac{1}{C}q=E(t), onumber] where إل is the inductance, ر is the resistance, C is the capacitance, and (E(t)) is the voltage source.

المعادلات الرئيسية

  • Equation of simple harmonic motion [x″+ω^2x=0 onumber]
  • Solution for simple harmonic motion [x(t)=c_1 cos (ωt)+c_2 sin (ωt) onumber]
  • Alternative form of solution for SHM [x(t)=A sin (ωt+ϕ) onumber]
  • Forced harmonic motion [mx″+bx′+kx=f(t) onumber]
  • Charge in a RLC series circuit [Ldfrac{d^2q}{dt^2}+Rdfrac{dq}{dt}+dfrac{1}{C}q=E(t), onumber]

قائمة المصطلحات

RLC series circuit
a complete electrical path consisting of a resistor, an inductor, and a capacitor; a second-order, constant-coefficient differential equation can be used to model the charge on the capacitor in an RLC series circuit
simple harmonic motion
motion described by the equation (x(t)=c_1 cos (ωt)+c_2 sin (ωt)), as exhibited by an undamped spring-mass system in which the mass continues to oscillate indefinitely
steady-state solution
a solution to a nonhomogeneous differential equation related to the forcing function; in the long term, the solution approaches the steady-state solution

Q: Use the Ratio Test or the Root Test to determine the values of x for which the series converges.

A: Use the Ratio Test or the Root Test to determine the values of x for which the series converges. .

Q: If an integer is added to its square the sum is 90 . Find the integer with the help of quadratic equ.

A: Click to see the answer

A: Consider the given: fx0,x1,x2,⋯,xn=fnξn!where,fnξ is the nth derivative of f and ξ.Let n=m,fx0,x1.

A: As a given on question, it is just addition of two numbers.

Q: Sketch the region enclosed by the given curves. y = 6 cos(xx), y = 12x2 - 3 y 4 y 2 -1.0 -05 9.5 1.0.

A: Consider the curves y=6cosπx, y=12x2−3

Q: 6. y = x + 6x + 4 Axis of Symmetry: Vertex: Sketch:

A: y=x2+6x+4 To find our axis of symmetry we use formula x=-b2aFrom the given equation a=1, b=6x=-62(1).

Q: You want to make an 80° angle by marking an arc on the perimeter of a 12-in.-diameter disk and drawi.

A: Arc: 80° angle by marking an arc on the perimeter of a 12-in.-diameter disk and drawing lines from t.

Q: Let f(x) = V13 – x The slope of the tangent line to the graph of f(x) at the point (4, 3) is The equ.

A: Given , f(x) = √(13 - x) (A) We have to find the slope of tangent line to the graph of f(x) at the.

Q: Q#2 Find the point of given function f (x)If f(x)=3x*-4x³+6. Find the maxima and minima of the given.


حساب التفاضل والتكامل: التجاوزات المبكرة

Graph the two basic solutions along with several other solutions of the differential equation. What features do the solutions have in common?

Problem 15

Graph the two basic solutions along with several other solutions of the differential equation. What features do the solutions have in common?

Problem 16

Graph the two basic solutions along with several other solutions of the differential equation. What features do the solutions have in common?

Problem 17

Solve the initial-value problem.

Problem 18

Solve the initial-value problem.

$ y" - 2y' - 3y = 0 $, $ y(0) = 2 $, $ y'(0) = 2 $

Problem 19

Solve the initial-value problem.

$ 9y" + 12y' + 4y = 0 $, $ y(0) = 1 $, $ y'(0) = 0 $

Problem 20

Solve the initial-value problem.

$ 3y" - 2y' - y = 0 $, $ y(0) = 0 $, $ y'(0) = -4 $

Problem 21

Solve the initial-value problem.

$ y" - 6y' + 10y = 0 $, $ y(0) = 2 $, $ y'(0) = 3 $

Problem 22

Solve the initial-value problem.

$ 4y" - 20y' + 25y = 0 $, $ y(0) = 2 $, $ y'(0) = -3 $

Problem 23

Solve the initial-value problem.

$ y" - y' - 12y = 0 $, $ y(1) = 0 $, $ y'(1) = 1 $

Problem 24

Solve the initial-value problem.

$ 4y" + 4y' + 3y = 0 $, $ y(0) = 0 $, $ y'(0) = 1 $

Problem 25

Solve the boundary-value problem, if possible.

$ y" + 16y = 0 $, $ y(0) = -3 $, $ y(pi/8) = 2 $

Problem 26

Solve the boundary-value problem, if possible.

Problem 27

Solve the boundary-value problem, if possible.

$ y'' + 4y' + 4y = 0 $, $ y(0) = 2 $, $ y(1) = 0 $

Problem 28

Solve the boundary-value problem, if possible.

$ y'' - 8y' + 17y = 0 $, $ y(0) = 3 $, $ y(pi) = 2 $

Problem 29

Solve the boundary-value problem, if possible.

Problem 30

Solve the boundary-value problem, if possible.

$ 4y'' - 4y' + y = 0 $, $ y(0) = 4 $, $ y(2) = 0 $

Problem 31

Solve the boundary-value problem, if possible.

$ y" + 4y' + 20y = 0 $, $ y(0) = 1 $, $ y(pi) = 2 $

Problem 32

Solve the boundary-value problem, if possible.

$ y" + 4y' + 20y = 0 $, $ y(0) = 1 $, $ y(pi) = e^ <-2pi>$

Problem 33

Let $ L $ be a nonzero real number.

(a) Show that the boundary-value problem $ y'' + lambda y = 0 $, $ y(0) = 0 $, $ y(L) = 0 $ has only the trivial solution $ y = 0 $ for the cases $ lambda = 0 $ and $ lambda < 0 $.

(b) For the case $ lambda > 0 $, find the values of $ lambda $ for which this problem has a nontrivial solution and give the corresponding solution.

Problem 34

If $ a $, $ b $, and $ c $ are all positive constants and $ y(x) $ is a solution of the differential equation $ ay'' + by' + cy = 0 $, show that $ lim_ y(x) = 0 $.

Problem 35

Consider the boundary-value problem $ y''- 2y' + 2y = 0 $, $ y(a) = c $, $ y(b) = d $.

(a) If this problem has a unique solution, how are $ a $ and $ b $ related?

(b) If this problem has no solution, how are $ a $, $ b $, $ c $, and $ d $ related?

(c) If this problem has infinitely many solutions, how are $ a $, $ b $, $ c $, and $ d $ related?


Calculus Early Transcendentals

A spring has natural length 0.75$mathrm < m >$ and a 5. kg mass. A force of 25$mathrm < N >$ is needed to keep the spring stretched to a length of 1$mathrm < m >.$ If the spring is stretched to a length of 1.1$mathrm < m >$ and then released with velocity ,$ find the position of the mass after $t$ seconds.

Problem 2

A spring with an 8 -kg mass is kept stretched 0.4 m beyond its natural length by a force of 32$mathrm < N >$ . The spring starts at its equilibrium position and is given an initial velocity of 1$mathrm < m >/ mathrm < s >$ . Find the position of the mass at any time $t$ .

Problem 3

A spring with a mass of 2 kg has damping constant $14 ,$ and a force of 6$mathrm < N >$ is required to keep the spring stretched 0.5$mathrm < m >$ beyond its natural length. The spring is stretched 1$mathrm < m >$ beyond its natural length and then released with zero velocity. Find the position of the mass at any time $t$

Problem 4

A force of 13$mathrm < N >$ is needed to keep a spring with a 2 -kg mass stretched 0.25$mathrm < m >$ beyond its natural length. The damping constant of the spring is $c = 8$

(a) If the mass starts at the equilibrium position with a velocity of 0.5$mathrm < m >/ mathrm < s >$ , find its position at time $t$
(b) Graph the position function of the mass.

Problem 5

For the spring in Exercise $3 ,$ find the mass that would produce critical damping.

Problem 6

For the spring in Exercise 4 , find the damping constant that would produce critical damping.

Problem 7

A spring has a mass of 1$mathrm < kg >$ and its spring constant is $k = 100$ . The spring is released at a point 0.1$mathrm < m >$ above its equilibrium position. Graph the position function for the fol- lowing values of the damping constant c: $10,15,20,25,30 .$ What type of damping occurs in each case?

Problem 8

A spring has a mass of 1$mathrm < kg >$ and its damping constant is $c = 10 .$ The spring starts from its equilibrium position with a velocity of 1$mathrm < m >/ mathrm < s >$ . Graph the position function for the following values of the spring constant $k : 10,20,25,30,40 .$ What type of damping occurs in each case?

Problem 9

Suppose a spring has mass $m$ and spring constant $k$ and let $omega = sqrt < k / m >$ . Suppose that the damping constant is so small that the damping force is negligible. If an external force $F ( t ) = F _ < 0 >cos omega _ < 0 >t$ is applied, where $omega _ < 0 > eq omega ,$ use the method of undetermined coefficients to show that the motion of the mass is described by Equation 6.

Problem 10

As in Exercise $9 ,$ consider a spring with mass $m ,$ spring constant $k ,$ and damping constant $c = 0 ,$ and let $omega = sqrt < k / m >$ . If an external force $F ( t ) = F _ < 0 >cos omega t$ is applied (the applied frequency equals the natural frequency), use the method of undetermined coefficients to show that the motion of the mass is given by

$x ( t ) = c _ < 1 >cos omega t + c _ < 2 >sin omega t + frac < F _ < 0 >> < 2 m omega >t sin omega t$

Problem 11

Show that if $omega _ < 0 > eq omega ,$ but $omega / omega _ < 0 >$ is a rational number, then the motion described by Equation 6 is periodic.

Problem 12

Consider a spring subject to a frictional or damping force.

(a) In the critically damped case, the motion is given by $x = c _ < 1 >e ^ < t t >+ c _ < 2 >t e ^ < t t >$ . Show that the graph of $x$ crosses the $t$ -axis whenever $c _ < 1 >$ and $c _ < 2 >$ have opposite signs.

(b) In the overdamped case, the motion is given by $x = c _ < 1 >e ^ < r _ < 1 >t > + c _ < 2 >e ^ < f _ < 3 >t > ,$ where $r _ < 1 >> r _ < 2 >.$ Determine a condition on the relative magnitudes of $c _ < 1 >$ and $c _ < 2 >$ under which the
graph of $x$ crosses the $t$ -axis at a positive value of $t$

Problem 13

A series circuit consists of a resistor with $R = 20 Omega$ , an inductor with $L = 1 mathrm < H >,$ a capacitor with $C = 0.002 mathrm < F >,$ and a 12$cdot mathrm < V >$ battery. If the initial charge and current are both ,$ find the charge and current at time $t$

Problem 14

A series circuit contains a resistor with $R = 24 Omega ,$ an inductor with $L = 2 mathrm < H >,$ a capacitor with $C = 0.005 mathrm < F >,$ and a $12 mathrm < V >$ battery. The initial charge is $Q = 0.001 mathrm < C >$ and the initial current is 0 .

(a) Find the charge and current at time $t$
(b) Graph the charge and current functions.

Problem 15

The battery in Exercise 13 is replaced by a generator producing a voltage of $E ( t ) = 12 sin 10 t$ . Find the charge at time $t .$

Problem 16

The battery in Exercise 14 is replaced by a generator producing a voltage of $E ( t ) = 12 sin 10 t$

(a) Find the charge at time $t$
(b) Graph the charge function.

Problem 17

Verify that the solution to Equation 1 can be written in the form $x ( t ) = A cos ( omega t + delta )$

Problem 18

The figure shows a pendulum with length $L$ and the angle $ heta$ from the vertical to the pendulum. It can be shown that $ heta$ , as a function of time, satisfies the nonlinear differential equation

$frac < d ^ < 2 > heta > < d t ^ < 2 >> + frac < g > < L >sin heta = 0$

where $g$ is the acceleration due to gravity. For small values of $ heta$ we can use the linear approximation $sin heta approx heta$ and then the differential equation becomes linear.

(a) Find the equation of motion of a pendulum with length 1 $mathrm < m >$
if $ heta$ is initially 0.2 rad and the initial angular velocity is $d heta / d t = 1 mathrm < rad >/ mathrm < s >$
(b) What is the maximum angle from the vertical?
(c) What is the period of the pendulum (that is, the time to complete one back-and-forth swing)?
(d) When will the pendulum first be vertical?
(e) What is the angular velocity when the pendulum is vertical?


Download Now!

We have made it easy for you to find a PDF Ebooks without any digging. And by having access to our ebooks online or by storing it on your computer, you have convenient answers with General Solution Of Second Order Differential Equation . To get started finding General Solution Of Second Order Differential Equation , you are right to find our website which has a comprehensive collection of manuals listed.
Our library is the biggest of these that have literally hundreds of thousands of different products represented.

Finally I get this ebook, thanks for all these General Solution Of Second Order Differential Equation I can get now!

I did not think that this would work, my best friend showed me this website, and it does! I get my most wanted eBook

wtf this great ebook for free?!

My friends are so mad that they do not know how I have all the high quality ebook which they do not!

It's very easy to get quality ebooks )

so many fake sites. this is the first one which worked! Many thanks

wtffff i do not understand this!

Just select your click then download button, and complete an offer to start downloading the ebook. If there is a survey it only takes 5 minutes, try any survey which works for you.


Download Now!

We have made it easy for you to find a PDF Ebooks without any digging. And by having access to our ebooks online or by storing it on your computer, you have convenient answers with Application Of Differential Equation In Engineering Ppt . To get started finding Application Of Differential Equation In Engineering Ppt , you are right to find our website which has a comprehensive collection of manuals listed.
Our library is the biggest of these that have literally hundreds of thousands of different products represented.

Finally I get this ebook, thanks for all these Application Of Differential Equation In Engineering Ppt I can get now!

I did not think that this would work, my best friend showed me this website, and it does! I get my most wanted eBook

wtf this great ebook for free?!

My friends are so mad that they do not know how I have all the high quality ebook which they do not!

It's very easy to get quality ebooks )

so many fake sites. this is the first one which worked! Many thanks

wtffff i do not understand this!

Just select your click then download button, and complete an offer to start downloading the ebook. If there is a survey it only takes 5 minutes, try any survey which works for you.


Download Now!

We have made it easy for you to find a PDF Ebooks without any digging. And by having access to our ebooks online or by storing it on your computer, you have convenient answers with Application Of Differential Equation In Engineering Field . To get started finding Application Of Differential Equation In Engineering Field , you are right to find our website which has a comprehensive collection of manuals listed.
Our library is the biggest of these that have literally hundreds of thousands of different products represented.

Finally I get this ebook, thanks for all these Application Of Differential Equation In Engineering Field I can get now!

I did not think that this would work, my best friend showed me this website, and it does! I get my most wanted eBook

wtf this great ebook for free?!

My friends are so mad that they do not know how I have all the high quality ebook which they do not!

It's very easy to get quality ebooks )

so many fake sites. this is the first one which worked! Many thanks

wtffff i do not understand this!

Just select your click then download button, and complete an offer to start downloading the ebook. If there is a survey it only takes 5 minutes, try any survey which works for you.


Applications of second order differential equations - Second Order Differential Equations

Using second order differential equations we are able to analyze a circuit consisting of a battery, a resistor, an inductor and a capacitor in series. Let us denote Q ( t ) Q(t) Q ( t ) as the charge on the capacitor at time t t t . The current is the rate of change of Q Q Q with respect to t t t . So the current of the system is equal to I = d Q d t I=frac

I = d t

Kirchhoff&aposs Law states that the sum of all voltage drops across a system must equal the supplied charge:

According to Faraday&aposs Law the voltage drop across an inductor is equal to the instantaneous rate of change of current times an inductance constant, denoted by L L L (measured in henry&aposs).

From Ohm&aposs Law the voltage drop across a resistor is equal to the resistance (measured in ohms) times the current:

And the voltage drop across a capacitor is proportional to the electrical charge of the capacitor times a constant of capacitance (measured in farads).

And let us denote the voltage from the battery as some sort of function with respect to time V b a t = E ( t ) V_=E(t) V b a t ​ = E ( t )

So inputting all the previously found information into Kirchhoff&aposs Law:

And we know that I = d Q d t I= frac

I = d t

d Q ​ . So the equation becomes,

Which can also be written as

Which is a second order, constant coefficient, non-homogeneous differential equation.


Download Now!

We have made it easy for you to find a PDF Ebooks without any digging. And by having access to our ebooks online or by storing it on your computer, you have convenient answers with General Solution Of Second Order Differential Equation . To get started finding General Solution Of Second Order Differential Equation , you are right to find our website which has a comprehensive collection of manuals listed.
Our library is the biggest of these that have literally hundreds of thousands of different products represented.

Finally I get this ebook, thanks for all these General Solution Of Second Order Differential Equation I can get now!

I did not think that this would work, my best friend showed me this website, and it does! I get my most wanted eBook

wtf this great ebook for free?!

My friends are so mad that they do not know how I have all the high quality ebook which they do not!

It's very easy to get quality ebooks )

so many fake sites. this is the first one which worked! Many thanks

wtffff i do not understand this!

Just select your click then download button, and complete an offer to start downloading the ebook. If there is a survey it only takes 5 minutes, try any survey which works for you.


Download Now!

We have made it easy for you to find a PDF Ebooks without any digging. And by having access to our ebooks online or by storing it on your computer, you have convenient answers with Application Of Ordinary Differential Equation In Engineering Field . To get started finding Application Of Ordinary Differential Equation In Engineering Field , you are right to find our website which has a comprehensive collection of manuals listed.
Our library is the biggest of these that have literally hundreds of thousands of different products represented.

Finally I get this ebook, thanks for all these Application Of Ordinary Differential Equation In Engineering Field I can get now!

I did not think that this would work, my best friend showed me this website, and it does! I get my most wanted eBook

wtf this great ebook for free?!

My friends are so mad that they do not know how I have all the high quality ebook which they do not!

It's very easy to get quality ebooks )

so many fake sites. this is the first one which worked! Many thanks

wtffff i do not understand this!

Just select your click then download button, and complete an offer to start downloading the ebook. If there is a survey it only takes 5 minutes, try any survey which works for you.


شاهد الفيديو: Differential equation introduction. First order differential equations. Khan Academy (كانون الثاني 2022).