مقالات

7.4: القطع المكافئ - الرياضيات


أهداف التعلم

  • ارسم القطع المكافئ بالرءوس عند نقطة الأصل.
  • اكتب معادلات القطع المكافئ في الشكل القياسي.
  • ارسم قطعًا مكافئًا برؤوس ليست في الأصل.
  • حل المسائل التطبيقية التي تتضمن قطع مكافئ.

هل تعلم أن الشعلة الأولمبية أضاءت قبل عدة أشهر من بدء الألعاب؟ الطريقة الاحتفالية لإضاءة اللهب هي نفسها كما في العصور القديمة. يقام الاحتفال في معبد هيرا في أولمبيا باليونان ، وهو متجذر في الأساطير اليونانية ، تكريمًا لبروميثيوس ، الذي سرق النار من زيوس لتقديمها لجميع البشر. تقوم إحدى الكاهنات الإحدى عشرة بالتمثيل بوضع الشعلة في بؤرة مرآة مكافئة (الشكل ( PageIndex {1} )) ، والتي تركز أشعة الضوء القادمة من الشمس لإشعال اللهب.

المرايا المكافئة (أو العاكسات) قادرة على التقاط الطاقة وتركيزها على نقطة واحدة. تتضح مزايا هذه الخاصية من خلال القائمة الواسعة من الأجسام المكافئة التي نستخدمها كل يوم: أطباق الأقمار الصناعية ، والجسور المعلقة ، والتلسكوبات ، والميكروفونات ، والمصابيح الكاشفة ، والمصابيح الأمامية للسيارات ، على سبيل المثال لا الحصر. تُستخدم العواكس المكافئة أيضًا في أجهزة الطاقة البديلة ، مثل المواقد الشمسية وسخانات المياه ، لأنها غير مكلفة في التصنيع وتحتاج إلى القليل من الصيانة. في هذا القسم سوف نستكشف القطع المكافئ واستخداماته ، بما في ذلك التصميمات الشمسية منخفضة التكلفة والموفرة للطاقة.

رسم القطع المكافئ بالرسم البياني مع الرؤوس عند الأصل

في السابق ، رأينا أن القطع الناقص يتكون عندما تخترق طائرة مخروطًا دائريًا قائمًا. إذا كان المستوى موازيًا لحافة المخروط ، يتشكل منحنى غير محدود. هذا المنحنى هو أ القطع المكافئ (الشكل ( PageIndex {2} )).

مثل القطع الناقص والقطع الزائد ، يمكن أيضًا تحديد القطع المكافئ من خلال مجموعة من النقاط في مستوى الإحداثيات. القطع المكافئ هو مجموعة جميع النقاط ((س ، ص) ) في مستوى والتي هي على نفس المسافة من خط ثابت ، يسمى الدليل، ونقطة ثابتة (ملف التركيز) ليس في الدليل.

في السابق ، علمنا برأس القطع المكافئ ومحور التناظر. نقوم الآن بتوسيع المناقشة لتشمل الميزات الرئيسية الأخرى للقطع المكافئ (الشكل ( PageIndex {3} )). لاحظ أن محور التناظر يمر عبر البؤرة والرأس وعمودي على الدليل. الرأس هو نقطة المنتصف بين الدليل والبؤرة. يسمى الجزء المستقيم الذي يمر عبر البؤرة ويوازي الدليل المستقيم العريض. تقع نقاط نهاية المستقيم العريض على المنحنى. بحكم التعريف ، فإن المسافة d من التركيز إلى أي نقطة (P ) على القطع المكافئ تساوي المسافة من (P ) إلى الدليل.

للعمل مع القطع المكافئ في خطة تنسيق، فنحن نأخذ في الاعتبار حالتين: تلك التي لها قمة في الأصل وتلك التي بها a قمة الرأس في نقطة غير الأصل. نبدأ بالأول.

لنفترض ((س ، ص) ) أن تكون نقطة على القطع المكافئ برأس ((0،0) ) ، والتركيز ((0 ، ف) ) ، ودليل (ص = − ص ) مثل الموضح في الشكل ( PageIndex {4} ). المسافة d من النقطة ((x، y) ) إلى النقطة ((x، −p) ) على الدليل هي الفرق بين ذ- القيم: (د = ص + ع ). المسافة من التركيز ((0، p) ) إلى النقطة ((x، y) ) تساوي أيضًا (d ) ويمكن التعبير عنها باستخدام صيغة المسافة.

[ begin {align *} d & = sqrt {{(x − 0)} ^ 2 + {(y − p)} ^ 2} [4pt] & = sqrt {x ^ 2 + {( y − p)} ^ 2} end {align *} ]

ضع تعبيرين من أجل (d ) متساويين مع بعضهما البعض وحل من أجل (y ) لاشتقاق معادلة القطع المكافئ. نقوم بذلك لأن المسافة من ((x، y) ) إلى ((0، p) ) تساوي المسافة من ((x، y) ) إلى ((x، −p) ) .

[ sqrt {x ^ 2 + {(y − p)} ^ 2} = y + p ]

بعد ذلك ، نربّع طرفي المعادلة ، ونفكّك الحدود التربيعية ، ونبسطها بدمج الحدود المتشابهة.

[ start {align *} x ^ 2 + {(y − p)} ^ 2 & = {(y + p)} ^ 2 [4pt] x ^ 2 + y ^ 2−2py + p ^ 2 & = y ^ 2 + 2py + p ^ 2 [4pt] x ^ 2−2py & = 2py [4pt] x ^ 2 & = 4py end {align *} ]

معادلات القطع المكافئ ذات الرأس ((0،0) ) هي (y ^ 2 = 4px ) عندما x-المحور هو محور التناظر و (x ^ 2 = 4py ) عندما يكون ذ- المحور هو محور التناظر. هذه النماذج القياسية موضحة أدناه ، جنبًا إلى جنب مع الرسوم البيانية العامة والميزات الرئيسية.

النماذج القياسية من بارابولا مع VERTEX ((0،0) )

يلخص الجدول ( PageIndex {1} ) والشكل ( PageIndex {5} ) الميزات القياسية للقطوع المكافئة التي يكون رأسها في الأصل.

جدول ( PageIndex {1} )
محاور التماثلمعادلةركزالدليلنقاط نهاية لاتوس المستقيم
x-محور (ص ^ 2 = 4 بكسل ) ((ص ، 0) ) (س = − ص ) ((ص ، م 2 ص) )
ذ-محور (س ^ 2 = 4 بنس ) ((0 ، ف) ) (ص = − ص ) (( pm 2p، p) )

الملامح الرئيسية للقطع المكافئ هي رأسه ، ومحور التناظر ، والتركيز ، والدليل ، و المستقيم العريض (الشكل ( PageIndex {5} )). عند إعطاء معادلة قياسية للقطع المكافئ المتمركز في الأصل ، يمكننا بسهولة تحديد الميزات الرئيسية لرسم القطع المكافئ. يُقال إن الخط يكون مماسًا لمنحنى إذا تقاطع مع المنحنى عند نقطة واحدة بالضبط. إذا رسمنا خطوطًا مماسة للقطع المكافئ عند نقاط نهاية المستقيم العريض، تتقاطع هذه الخطوط على محور التناظر ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {6} ).

الكيفية: بإعطاء معادلة النموذج القياسي للقطع المكافئ المتمركز في ((0،0) ) ، ارسم الرسم البياني

  1. حدد أيًا من النماذج القياسية ينطبق على المعادلة المحددة: (y ^ 2 = 4px ) أو (x ^ 2 = 4py ).
  2. استخدم النموذج القياسي المحدد في الخطوة 1 لتحديد محور التناظر والتركيز ومعادلة الدليل ونقاط نهاية المستقيم العريض.
    • إذا كانت المعادلة بالصيغة (y ^ 2 = 4px ) ، إذن
      • محور التناظر هو (س ) - المحور (ص = 0 )
      • ضع (4 ع ) مساويًا لمعامل (س ) في المعادلة المعطاة لحل (ع ). إذا (p> 0 ) ، يفتح القطع المكافئ يمينًا. إذا (p <0 ) ، يفتح القطع المكافئ لليسار.
      • استخدم (p ) للعثور على إحداثيات التركيز ، ((ص ، 0) )
      • استخدم (p ) لإيجاد معادلة الدليل ، (x = −p )
      • استخدم (p ) للعثور على نقاط نهاية المستقيم الطولي ، ((p، pm 2p) ). بالتناوب ، استبدل (x = p ) في المعادلة الأصلية.
    • إذا كانت المعادلة بالصيغة (x ^ 2 = 4py ) ، إذن
      • محور التناظر هو (ص ) - المحور (س = 0 )
      • ضع (4 ع ) مساويًا لمعامل (ص ) في المعادلة المعطاة لحل (ع ). إذا (p> 0 ) ، يفتح القطع المكافئ. إذا (p <0 ) ، يفتح القطع المكافئ لأسفل.
      • استخدم (p ) للعثور على إحداثيات التركيز ، ((0، p) )
      • استخدم (p ) لإيجاد معادلة الدليل ، (y = −p )
      • استخدم (p ) للعثور على نقاط نهاية المستقيم العريض ، (( pm 2p ، p) )
  3. ارسم البؤرة والدليل وطبقة المستقيم وارسم منحنى سلسًا لتشكيل القطع المكافئ.

- المحور كمحور التناظر

رسم بياني (y ^ 2 = 24x ). تحديد وتسمية التركيز والدليل ونقاط النهاية لملف المستقيم العريض.

المحلول

الصيغة القياسية التي تنطبق على المعادلة المعطاة هي (y ^ 2 = 4px ). وبالتالي ، فإن محور التناظر هو x-محور. إنه يتبع هذا:

  • (24 = 4 ف ) لذا (ع = 6 ). منذ (p> 0 ) ، يفتح القطع المكافئ على اليمين
  • إحداثيات التركيز هي ((ص ، 0) = (6،0) )
  • معادلة الدليل هي (س = − ص = −6 )
  • نهايات المستقيم العريض لها نفس الشيء x-تنسيق في التركيز. لإيجاد نقاط النهاية ، استبدل (x = 6 ) في المعادلة الأصلية: ((6، pm 12) )

بعد ذلك ، نرسم البؤرة والدليل والمستقيم العريض ، ونرسم منحنىًا سلسًا لتشكيل القطع المكافئ (الشكل ( PageIndex {7} )).

تمرين ( PageIndex {1} )

رسم بياني (y ^ 2 = −16x ). تحديد وتسمية التركيز والدليل ونقاط النهاية لملف المستقيم العريض.

إجابه
  • التركيز: ((- 4،0) )
  • الدليل: (س = 4 )
  • نهايات المستقيم العريض: ((- 4 ، م 8) )

- المحور كمحور التناظر

رسم بياني (x ^ 2 = −6y ). تحديد وتسمية التركيز والدليل ونقاط النهاية لملف المستقيم العريض.

المحلول

الصيغة القياسية التي تنطبق على المعادلة المعطاة هي (x ^ 2 = 4py ). وبالتالي ، فإن محور التناظر هو محور (ص ). إنه يتبع هذا:

  • (- 6 = 4p ) ، لذلك (p = - dfrac {3} {2} ). منذ (p <0 ) ، يفتح القطع المكافئ لأسفل.
  • إحداثيات التركيز هي ((0، p) = (0، - dfrac {3} {2}) )
  • معادلة الدليل هي (y = −p = dfrac {3} {2} )
  • يمكن إيجاد نقاط نهاية المستقيم العريض باستبدال (y = dfrac {3} {2} ) في المعادلة الأصلية ، (( pm 3، - dfrac {3} {2}) )

بعد ذلك نرسم البؤرة والدليل و المستقيم العريض، وارسم منحنى سلس لتشكيل القطع المكافئ.

تمرين ( PageIndex {2} )

رسم بياني (x ^ 2 = 8y ). تحديد وتسمية التركيز والدليل ونقاط النهاية لملف المستقيم العريض.

إجابه
  • التركيز: ((0،2) )
  • الدليل: (ص = −2 )
  • نهايات المستقيم العريض: (( pm 4،2) ).

كتابة معادلات القطع المكافئ في شكل قياسي

في الأمثلة السابقة ، استخدمنا معادلة النموذج القياسي للقطع المكافئ لحساب مواقع ميزاته الرئيسية. يمكننا أيضًا استخدام العمليات الحسابية في الاتجاه المعاكس لكتابة معادلة للقطع المكافئ عند إعطاء ميزاته الرئيسية.

الكيفية: نظرًا لتركيزها ودليلها ، اكتب معادلة القطع المكافئ في الشكل القياسي

  1. حدد ما إذا كان محور التناظر هو المحور (x ) - أو (y ) -.
    1. إذا كانت إحداثيات التركيز المحددة لها الشكل ((ص ، 0) ) ، فإن محور التناظر هو محور (س ). استخدم النموذج القياسي (y ^ 2 = 4px ).
    2. إذا كانت إحداثيات التركيز المحددة لها الشكل ((0 ، ف) ) ، فإن محور التناظر هو (ص ) - المحور. استخدم النموذج القياسي (x ^ 2 = 4py ).
  2. اضرب (4p ).
  3. استبدل القيمة من الخطوة 2 بالمعادلة المحددة في الخطوة 1.

مثال ( PageIndex {3} ): كتابة معادلة القطع المكافئ في شكل قياسي نظرًا لتركيزها ودليلها

ما هي معادلة القطع المكافئ مع التركيز ((- dfrac {1} {2}، 0) ) والدليل (x = dfrac {1} {2} )؟

المحلول

يكون التركيز على الشكل ((p ، 0) ) ، لذلك سيكون للمعادلة الشكل (y ^ 2 = 4px ).

  • بضرب (4p ) ، لدينا (4p = 4 (- dfrac {1} {2}) = - 2 ).
  • بالتعويض عن (4p ) ، لدينا (y ^ 2 = 4px = −2x ). =

لذلك ، فإن معادلة القطع المكافئ هي (y ^ 2 = −2x ).

تمرين ( PageIndex {3} )

ما هي معادلة القطع المكافئ مع التركيز ( left (0، dfrac {7} {2} right) ) والدليل (y = - dfrac {7} {2} )؟

إجابه

(س ^ 2 = 14 ص ).

رسم القطع المكافئ بالرسم ليس في الأصل

مثل الرسوم البيانية الأخرى التي عملنا معها ، يمكن ترجمة الرسم البياني للقطع المكافئ. إذا تمت ترجمة القطع المكافئ (ح ) الوحدات أفقيًا و (ك ) عموديًا ، فسيكون الرأس ((ح ، ك) ). ينتج عن هذه الترجمة الصيغة القياسية للمعادلة التي رأيناها سابقًا مع استبدال (x ) بـ ((x − h) ) واستبدال (y ) بـ ((y − k) ).

لرسم قطع مكافئ برأس ((h، k) ) بخلاف الأصل ، نستخدم النموذج القياسي ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ) للقطوع المكافئة التي تحتوي على محور التناظر الموازي للمحور (x ) و ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) ) للقطوع المكافئة التي لها محور تناظر موازٍ لـ (y )-محور. هذه النماذج القياسية موضحة أدناه ، جنبًا إلى جنب مع الرسوم البيانية العامة والميزات الرئيسية.

النماذج القياسية من بارابولا مع VERTEX ((H، K) )

يلخص الجدول ( PageIndex {2} ) والشكل ( PageIndex {11} ) الميزات القياسية للقطع المكافئ برأس عند نقطة ((h، k) ).

جدول ( PageIndex {2} )
محاور التماثلمعادلةركزالدليلنقاط نهاية لاتوس المستقيم
(ص = ك ) ({(ص − ك)} ^ 2 = 4 ص (س − ح) ) ((ح + ف ، ك) ) (س = ح − ع ) ((ح + ص ، ك م 2 ص) )
(س = ح ) ({(س − ح)} ^ 2 = 4 ص (ص − ك) ) ((ح ، ك + ع) ) (ص = ك − ف ) ((h pm 2p، k + p) )

الكيفية: بإعطاء معادلة النموذج القياسي للقطع المكافئ المتمركز في ((ح ، ك) ) ، ارسم الرسم البياني

  1. حدد أيًا من النماذج القياسية ينطبق على المعادلة المحددة: ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ) أو ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k ) ).
  2. استخدم النموذج القياسي المحدد في الخطوة 1 لتحديد الرأس ومحور التناظر والتركيز ومعادلة الدليل ونقاط نهاية المستقيم العريض.
    • إذا كانت المعادلة بالصيغة ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ) ، إذن:
      • استخدم المعادلة المعطاة لتحديد (ح ) و (ك ) للرأس ، ((ح ، ك) )
      • استخدم قيمة (ك ) لتحديد محور التناظر ، (ص = ك )
      • ضع (4p ) مساويًا لمعامل ((x − h) ) في المعادلة المعطاة لحل (p ). إذا (p> 0 ) ، يفتح القطع المكافئ يمينًا. إذا (p <0 ) ، يفتح القطع المكافئ لليسار.
      • استخدم (h ) و (k ) و (p ) للعثور على إحداثيات التركيز ، ((h + p ، k) )
      • استخدم (h ) andp p لإيجاد معادلة الدليل ، (x = h − p )
      • استخدم (h ) و (k ) و (p ) للعثور على نقاط نهاية المستقيم العريض ، ((h + p ، k pm 2p) )
    • إذا كانت المعادلة بالصيغة ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) ) ، إذن:
      • استخدم المعادلة المعطاة لتحديد (ح ) و (ك ) للرأس ، ((ح ، ك) )
      • استخدم قيمة (ح ) لتحديد محور التناظر ، (س = ح )
      • ضع (4p ) مساويًا لمعامل ((y − k) ) في المعادلة المعطاة لحل (p ). إذا (p> 0 ) ، يفتح القطع المكافئ. إذا (p <0 ) ، يفتح القطع المكافئ لأسفل.
      • استخدم (h ) و (k ) و (p ) للعثور على إحداثيات التركيز ، ((h، k + p) )
      • استخدم (ك ) و (ع ) لإيجاد معادلة الدليل ، (ص = ك − ع )
      • استخدم (h ) و (k ) و (p ) للعثور على نقاط نهاية المستقيم العريض ((h pm 2p، k + p) )
  3. ارسم الرأس ومحور التناظر والتركيز والدليل والمستقيم العريض وارسم منحنى سلسًا لتشكيل القطع المكافئ.

مثال ( PageIndex {4} ): رسم شكل قطع مكافئ باستخدام Vertex ((h، k) ) ومحور التناظر الموازي للمحور (x ) -

رسم بياني ({(y − 1)} ^ 2 = 16 (x + 3) ). تحديد وتسمية الرأس ومحور التناظر والتركيز والدليل ونقاط نهاية المستقيم العريض.

المحلول

الصيغة القياسية التي تنطبق على المعادلة المعطاة هي ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ). وبالتالي ، فإن محور التناظر موازٍ لمحور (س ). إنه يتبع هذا:

  • الرأس هو ((ح ، ك) = (- 3،1) )
  • محور التناظر هو (ص = ك = 1 )
  • (- 16 = 4 ف ) ، لذلك (ع = −4 ). منذ (p <0 ) ، يفتح القطع المكافئ لليسار.
  • إحداثيات التركيز هي ((h + p، k) = (- 3 + (- 4)، 1) = (- 7،1) )
  • معادلة الدليل هي (س = ح − ع = −3 - (- 4) = 1 )
  • نقاط نهاية المستقيم العريض هي ((h + p، k pm 2p) = (- 3 + (- 4)، 1 pm 2 (−4)) ) ، أو ((- 7، −7 ) ) و ((- 7،9) )

بعد ذلك ، نرسم الرأس ، ومحور التناظر ، والتركيز ، والدليل ، والمستقيم العريض ، ونرسم منحنىًا سلسًا لتشكيل القطع المكافئ (الشكل ( PageIndex {10} )).

تمرين ( PageIndex {4} )

رسم بياني ({(y + 1)} ^ 2 = 4 (x − 8) ). حدد وقم بتسمية الرأس ومحور التناظر والتركيز والدليل ونقاط النهاية الخاصة بـ المستقيم العريض.

إجابه
  • الرأس: ((8 ، −1) )
  • محور التناظر: (y = 1 )
  • التركيز: ((9، −1) )
  • الدليل: (س = 7 )
  • نقاط نهاية ملف المستقيم العريض: ((9، −3) ) و ((9،1) ).

مثال ( PageIndex {5} ): رسم قطع مكافئ من معادلة مقدمة في شكل عام

رسم بياني (x ^ 2−8x − 28y − 208 = 0 ). حدد وقم بتسمية الرأس ومحور التناظر والتركيز والدليل ونقاط النهاية الخاصة بـ المستقيم العريض.

المحلول

ابدأ بكتابة معادلة القطع المكافئ في الشكل القياسي. الصيغة القياسية التي تنطبق على المعادلة المعطاة هي ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) ). وبالتالي ، فإن محور التناظر موازٍ لمحور (ص ). للتعبير عن معادلة القطع المكافئ في هذا الشكل ، نبدأ بعزل المصطلحات التي تحتوي على المتغير (x ) لإكمال المربع.

[ start {align *} x ^ 2−8x − 28y − 208 & = 0 [4pt] x ^ 2−8x & = 28y + 208 [4pt] x ^ 2−8x + 16 & = 28y + 208 + 16 [4pt] (x − 4) ^ 2 & = 28y + 224 [4pt] (x − 4) ^ 2 & = 28 (y + 8) [4pt] (x − 4) ^ 2 & = 4⋅7⋅ (ص + 8) نهاية {محاذاة *} ]

إنه يتبع هذا:

  • الرأس هو ((ح ، ك) = (4 ، −8) )
  • محور التناظر هو (س = ع = 4 )
  • منذ (ع = 7 ) ، (ص> 0 ) وهكذا يتم فتح القطع المكافئ
  • إحداثيات التركيز هي ((ح ، ك + ع) = (4 ، −8 + 7) = (4 ، −1) )
  • معادلة الدليل هي (y = k − p = −8−7 = −15 )
  • نقاط نهاية المستقيم العريض هي ((h pm 2p، k + p) = (4 pm 2 (7)، - 8 + 7) ) أو ((- 10، −1) ) و ((18، −1) )

بعد ذلك ، نرسم الرأس ، ومحور التناظر ، والتركيز ، والدليل ، والمستقيم العريض ، ونرسم منحنىًا سلسًا لتشكيل القطع المكافئ (الشكل ( PageIndex {14} )).

تمرين ( PageIndex {5} )

رسم بياني ({(x + 2)} ^ 2 = −20 (y − 3) ). حدد وقم بتسمية الرأس ومحور التناظر والتركيز والدليل ونقاط النهاية الخاصة بـ المستقيم العريض.

إجابه
  • الرأس: ((- 2،3) )
  • محور التناظر: (س = −2 )
  • التركيز: ((- 2، −2) )
  • الدليل: (ص = 8 )
  • نقاط نهاية ملف المستقيم العريض: ((- 12، −2) ) و ((8، −2) ).

حل المشكلات التطبيقية التي تتضمن القطع المكافئ

كما ذكرنا في بداية القسم ، يتم استخدام القطع المكافئ لتصميم العديد من الأشياء التي نستخدمها كل يوم ، مثل التلسكوبات والجسور المعلقة والميكروفونات وأجهزة الرادار. المرايا المكافئة ، مثل تلك المستخدمة لإضاءة الشعلة الأولمبية ، لها خاصية انعكاس فريدة للغاية. عندما يتم توجيه أشعة الضوء الموازية لمحور تناظر القطع المكافئ نحو أي سطح من المرآة ، ينعكس الضوء مباشرةً على البؤرة (الشكل ( فهرس الصفحة {16} )). هذا هو سبب إشعال الشعلة الأولمبية عندما تكون مثبتة في بؤرة المرآة المكافئة.

تتمتع المرايا المكافئة بالقدرة على تركيز طاقة الشمس على نقطة واحدة ، ورفع درجة الحرارة مئات الدرجات في غضون ثوانٍ. وبالتالي ، تظهر المرايا المكافئة في العديد من منتجات الطاقة الشمسية منخفضة التكلفة والموفرة للطاقة ، مثل المواقد الشمسية ، والسخانات الشمسية ، وحتى مقبلات الحرائق بحجم السفر.

مثال ( PageIndex {6} ): حل المشكلات التطبيقية التي تتضمن القطوع المكافئة

يظهر المقطع العرضي لتصميم جهاز بدء حريق يعمل بالطاقة الشمسية بحجم السفر في الشكل ( PageIndex {17} ). تنعكس أشعة الشمس عن المرآة المكافئة تجاه جسم متصل بالمُشعل. نظرًا لأن المشعل يقع في بؤرة القطع المكافئ ، فإن الأشعة المنعكسة تتسبب في احتراق الكائن في ثوانٍ فقط.

  1. أوجد معادلة القطع المكافئ التي تشكل نموذج بداية النار. افترض أن قمة المرآة المكافئة هي أصل مستوى الإحداثيات.
  2. استخدم المعادلة الموجودة في الجزء (أ) للعثور على عمق بادئ الحريق.

المحلول

  1. رأس الطبق هو أصل المستوى الإحداثي ، لذلك سيأخذ القطع المكافئ الشكل القياسي (x ^ 2 = 4py ) ، حيث (p> 0 ). الشاعل ، وهو البؤرة ، على ارتفاع (1.7 ) بوصة فوق قمة الطبق. وهكذا لدينا (ع = 1.7 ).

[ begin {align *} x ^ 2 & = 4py qquad text {الشكل القياسي للقطع المكافئ المتجه لأعلى مع قمة الرأس} (0،0) x ^ 2 & = 4 (1.7) y qquad text {البديل } 1.7 text {for} p x ^ 2 & = 6.8y qquad text {Multiply.} end {align *} ]

  1. يمتد الطبق ( dfrac {4.5} {2} = 2.25 ) بوصة على جانبي المنشأ. يمكننا استبدال (2.25 ) بـ (x ) في المعادلة من الجزء (أ) لإيجاد عمق الطبق.

[ begin {align *} x ^ 2 & = 6.8y qquad text {تم العثور على المعادلة في الجزء} (a) {(2.25)} ^ 2 & = 6.8y qquad text {البديل} 2.25 text { لـ} x y & almost 0.74 qquad text {Solve for} y end {align *} ]

يبلغ عمق الطبق حوالي 0.74 بوصة.

تمرين ( PageIndex {6} )

تم تصميم المواقد الشمسية بحجم الشرفة للعائلات التي تعيش في الهند. يبلغ قطر الجزء العلوي من الطبق (1600 ) مم. تنعكس أشعة الشمس عن المرآة المكافئة باتجاه "الطباخ" الذي يقع على (320 ) مم من القاعدة.

  1. ابحث عن معادلة تشكل مقطعًا عرضيًا للطباخ الشمسي. افترض أن قمة المرآة المكافئة هي أصل مستوى الإحداثيات ، وأن القطع المكافئ يفتح إلى اليمين (أي ، لديه x-المحور كمحور تناظره).
  2. استخدم المعادلة الموجودة في الجزء (أ) لمعرفة عمق الطباخ.
الإجابة أ

(ص ^ 2 = 1280x )

الجواب ب

عمق البوتاجاز (500 ) مم

المعادلات الرئيسية

القطع المكافئ ، الرأس عند الأصل ، محور التناظر على x-محور (ص ^ 2 = 4 بكسل )
القطع المكافئ ، الرأس عند الأصل ، محور التناظر على ذ-محور (س ^ 2 = 4 بنس )
القطع المكافئ ، قمة الرأس عند ((ح ، ك) ) ، محور التناظر x-محور ({(ص − ك)} ^ 2 = 4 ص (س − ح) )
القطع المكافئ ، قمة الرأس عند ((ح ، ك) ) ، محور التناظر على ذ-محور ({(س − ح)} ^ 2 = 4 ص (ص − ك) )

المفاهيم الرئيسية

  • القطع المكافئ هو مجموعة جميع النقاط ((س ، ص) ) في مستوى والتي تكون على نفس المسافة من خط ثابت ، يسمى الدليل ، ونقطة ثابتة (التركيز) ليست على الدليل.
  • الشكل القياسي للقطع المكافئ برأس ((0،0) ) و x- يمكن استخدام المحور كمحور التناظر لرسم القطع المكافئ. إذا (p> 0 ) ، يفتح القطع المكافئ يمينًا. إذا (p <0 ) ، يفتح القطع المكافئ لليسار. راجع المثال ( PageIndex {1} ).
  • الشكل القياسي للقطع المكافئ برأس ((0،0) ) و ذ- يمكن استخدام المحور كمحور التناظر لرسم القطع المكافئ. إذا (p> 0 ) ، يفتح القطع المكافئ. إذا (p <0 ) ، يفتح القطع المكافئ لأسفل. راجع المثال ( PageIndex {2} ).
  • عند إعطاء بؤرة ودليل القطع المكافئ ، يمكننا كتابة معادلته في الصورة القياسية. راجع المثال ( PageIndex {3} ).
  • يمكن استخدام الشكل القياسي للقطع المكافئ ذي الرأس ((ح ، ك) ) ومحور التناظر الموازي للمحور (س ) لرسم بياني للقطع المكافئ. إذا (p <0 ) ، يفتح القطع المكافئ لليسار. راجع المثال ( PageIndex {4} ).
  • يمكن استخدام الشكل القياسي للقطع المكافئ ذي الرأس ((ح ، ك) ) ومحور التناظر الموازي للمحور (ص ) لرسم بياني للقطع المكافئ. راجع المثال ( PageIndex {5} ).
  • يمكن نمذجة مواقف العالم الحقيقي باستخدام المعادلات القياسية للقطوع المكافئة. على سبيل المثال ، بالنظر إلى قطر وتركيز المقطع العرضي لعاكس مكافئ ، يمكننا إيجاد معادلة تشكل جوانبها. راجع المثال ( PageIndex {6} ).

فهم القطع المكافئ

لاحظ أن القطع المكافئ هو خط تماثل ، مما يعني أن الجانبين يعكسان بعضهما البعض.

يوجد نمطين للقطع المكافئ ، حيث يمكن أن يكون إما عموديًا (يفتح لأعلى أو لأسفل) أو أفقيًا (يفتح لليسار أو لليمين).

أنماط - رسم:

لنلقِ نظرة على بعض النقاط الأساسية حول هذه الأنماط:

  • إذا تم تربيع x ، يكون القطع المكافئ عموديًا (يفتح لأعلى أو لأسفل). إذا كانت y مربعة ، فهذا يعني أنها أفقية (تفتح لليسار أو لليمين).
  • إذا كانت a موجبة ، فإن القطع المكافئ يفتح أو يمينًا. إذا كانت سالبة ، تفتح لأسفل أو لليسار.
  • الرأس عند (ح ، ك). عليك أن تكون حذرا جدا. لاحظ كيف يتم تبديل موقع h و k بناءً على ما إذا كان القطع المكافئ عموديًا أم أفقيًا. أيضًا ، الإحداثي داخل الأقواس سالب ، لكن الإحداثي الموجود بالخارج ليس كذلك.

لنلقِ نظرة على قطعتين مكافئتين ونرى ما يمكننا تحديده عنهما.

1.

أولًا ، نعلم أن هذا القطع المكافئ عمودي (يفتح إما لأعلى أو لأسفل) لأن x تربيع. يمكننا تحديد أنه يفتح لأسفل لأن a (-2) سلبي.

بعد ذلك يمكننا إيجاد الرأس (h، k). بالنسبة للقطع المكافئ الرأسي ، يوجد h داخل قوس ، وبما أن هناك سالبًا في النمط ، فلا بد أن نأخذ العكس. إذن h = -3. k خارج ، والإشارة في النموذج موجبة ، لذلك سنحتفظ بهذا الرقم كما هو. ك = 4. إذن ، رأسنا هو (-3 ، 4).

ملخص: هذا هو القطع المكافئ الرأسي الذي ينفتح لأسفل. رأسه هو (-3، 4).

2.

أولًا ، نعلم أن هذا القطع المكافئ أفقي (يفتح إما لليسار أو لليمين) لأن y تربيع. يمكننا تحديد أنه يفتح على اليمين لأن a (1/2) موجب.

بعد ذلك يمكننا إيجاد الرأس (h، k). بالنسبة للقطع المكافئ الأفقي ، يقع h خارج الأقواس ، وبما أن هناك موجبًا في النمط ، سنتركه كما هو. إذن h = -1. k بالداخل ، والإشارة في النمط سالبة ، لذلك سنأخذ العكس. ك = 4. إذن ، رأسنا هو (-1 ، 4).

ملخص: هذا هو القطع المكافئ الأفقي الذي يفتح على اليمين. رأسه هو (-1 ، 4).

ممارسة: حدد ما إذا كان القطع المكافئ يفتح لأعلى أو لأسفل أو لليسار أو لليمين. ثم ابحث عن رأسه.

1.

2.

3.

4.

5.

الإجابات: 1) يفتح ، الرأس: (-5 ، -2) 2) يفتح على اليسار ، الرأس: (-5 ، 4) 3) يفتح على اليمين ، الرأس: (6 ، -3) 4) يفتح ، قمة الرأس : (0، -3) 5) يفتح لأسفل ، رأس: (4 ، 1)


حساب التركيز والدليل

فيما يلي مثال على كيفية حساب التركيز والدليل الذي قد يوفر فهمًا أفضل للتعريف الرياضي للقطع المكافئ المذكور أعلاه:

التركيز هو نقطة تقع على نفس الخط مثل محور التناظر ، بينما الدليل هو خط عمودي على محور التناظر. بالنسبة للقطع المكافئ ، يكون التركيز دائمًا على الجزء الداخلي من القطع المكافئ ، ولا يلمس الدليل القطع المكافئ أبدًا. نظرًا لأن الرأس هو نفس المسافة من البؤرة والدليل ، فإن الدليل له موقع مقابل البؤرة مباشرةً.

بالنسبة للقطع المكافئ في شكل الرأس y = a (x - h) 2 + k ، يقع التركيز عند (h، k +) ويقع الدليل عند y = k -.

بالنسبة للقطوع المكافئة الأفقية ، يكون الرأس هو x = a (y - k) 2 + h ، حيث (h ، k) هو الرأس. تركيز القطع المكافئة في هذا النموذج له تركيز يقع عند (h +، k) ودليل عند x = h -. يقع محور التناظر عند y = k.


الحديث: القطع المكافئ

عمل رائع حقًا مع التعديلات. العرض العام الخاص بك واضح بشكل استثنائي.

إذا كان من الممكن إنشاء رسم بياني لقسم "Finding the Focus and Directrix" ، فهذا رائع ، ولكن إذا لم ينجح ، فلا مشكلة. شيء واحد يمكنك القيام به لتبسيط هذا هو رسم قطع مكافئ ، ثم إضافة نقطة وخط متقطع باستخدام Microsoft word (يمكن أن يوضح لك Brendan كيفية القيام بذلك). بعد ذلك ، بدلاً من وضع التعبيرات الرياضية في الرسم نفسه ، قم ببساطة بالإشارة إلى الرسومات في النص الخاص بك.

سيكون من الجيد حقًا إضافة قسم يتعلق بالمواد من القسم الأكثر رياضية إلى فكرة القطع المكافئ على أنه يمثل مسار كائن تم إلقاؤه ، مثل تفسير a و b و c (النموذج القياسي) ، و h و k (شكل قمة الرأس) لجسم مُلقى (ليس صعبًا جدًا). هذا اختياري تمامًا ، رغم ذلك.

التغييرات المتبقية التي أود أن أقول أنها ضرورية كلها صغيرة حقًا:

  • في بداية قسم النموذج القياسي ، ربما استبدل "الأكثر استخدامًا." بعبارة "يمكن كتابة أي قطع مكافئ عمودي باستخدام المعادلة [إدراج المعادلة]. وأيضًا ، سيكون الرسم البياني لأي معادلة في هذه الصورة قطعًا مكافئًا. " تكمن مشكلة "الأكثر استخدامًا" في أنه لا يوضح أنه يمكن دائمًا وصف القطع المكافئ الرأسي بهذه الطريقة.
  • للانتقال من النموذج القياسي إلى الشكل الرأسي ، يتطلب الأمر تحليل المعادلة. في بعض الحالات ، ستكون المعادلة كما هي قابلة للتحليل. العوملة بشكل عام مفيدة بشكل غير مباشر فقط في كتابة تربيعية في شكل قياسي. على سبيل المثال ، x ^ 2 + 7x + 10 = (x + 5) (x + 2) ، لكن الأمر يتطلب القليل من العمل للانتقال من هناك إلى شكل قمة الرأس ، لذلك ربما تحذف هاتين الجملتين أو تستبدلهما بشيء غامض ، مثل "أحيانًا تكون هناك طرق مختصرة ، لكن بشكل عام.
  • غالبًا ما يتم توجيه مشكلتين صغيرتين مع "الرسوم البيانية للقطع المكافئ عموديًا ، بحيث يفتح القطع المكافئ لأعلى أو لأسفل ، على الرغم من أنه يمكن أيضًا فتحهما بشكل جانبي. في هذه الحالة ، سيتم كتابة معادلات القطع المكافئ عموديًا للحفاظ على الاتساق. القطع المكافئ ، يمكن تبديل الحرفين x و y ".
    • يمكن أن تفتح القطع المكافئة في الواقع قطريًا. أصبحت المعادلات أكثر سوءًا.
    • الجملة "في هذه الحالة" هي جملة مفيدة حقًا ، فالصياغة محيرة بعض الشيء. تعني بعبارة "في هذه الحالة" "في المعادلات أدناه" وعندما تقول "المعادلات. ستتم كتابتها بشكل عمودي" أعتقد أنك تقصد المعادلات الممثلة للقطوع المكافئة ذات الاتجاه الرأسي ، بينما تشير الصياغة إلى أن المعادلات نفسها موجهة عموديا.

    تانيا 7/7

    أعتقد أنني تناولت معظم التغييرات. سأحاول عمل صورة لقسم التركيز / الدليل ، لكنني لست واثقًا جدًا من قدراتي في الرسم / الرسوم البيانية.

    أبرام 7/7

    هذه الصفحة حقا جميلة. أتفق مع Anna في أنه سيساعد على إخفاء كل خطوة من خطوات الاشتقاق.

    التغيير الآخر الذي أعتقد أنه حاسم (لكنه أسهل بكثير!) هو جعل كل y في الوصف الرياضي الأكثر أحرفًا صغيرة.

    فكرتان صغيرتان أخريان ، مع وجود أهم التغييرات في البداية (لكن لا أحد منهما مهم):

    • في بداية قسم "النموذج القياسي" ، حدد أنواع القطع المكافئ التي يمكن أن تنطبق عليها هذه المعادلة. شيء مثل ، "الرسوم البيانية للقطع المكافئ غالبًا ما تكون موجهة عموديًا ، بحيث يفتح القطع المكافئ لأعلى أو لأسفل. في هذه الحالة ، يمكن كتابة معادلة القطع المكافئ كـ."
    • وبالمثل ، في الاشتقاق ، لاحظ صراحة أن هذا الاشتقاق يفترض وجود دليل أفقي ، وهو ليس ضروريًا للقطوع المكافئة بشكل عام.
    • قد تكون صورة القسم "Finding the Focus and Directrix" مفيدة للغاية ، على الرغم من أنني أستطيع أن أتخيل أنه قد يكون من الصعب العثور عليها أو إنشاؤها.
    • في الوصف الأساسي ، احذف الجملة التي تقول ، "إلى اليسار يمكننا رؤية مستوى يقطع المخروط السفلي بحيث يمر عبر القاعدة الدائرية." هذه الجملة ليست ضرورية حقًا ، وإزالتها يزيل الحاجة إلى التحدث عن جملتين محدودتين بعد أن توضح بالتحديد النقطة التي مفادها أن الأقماع لا نهائية.

    آنا 7/6

    أعلم أنه من الصعب القيام بذلك ، لكنني أعتقد أنه سيبدو أفضل إذا أخفيت كل خطوة من خطوات الاشتقاق (أعتقد أن إحدى صفحات بريندان لديها مثال جيد على ذلك) للاشتقاق بدلاً من كل شيء.

    باعتباري أحد الأشخاص ينقر عليها ، فإن أفكاري هي "أوه ، دعنا نرى اشتقاق" * انقر * "GAHHH ، هذا كثير من الرياضيات دفعة واحدة! كيف يمكنني التخلص منها مرة أخرى؟" في الأساس ، ظهور كل ذلك مرة واحدة أمر مخيف ، وحتى عيناي تلمعان فوقه قليلاً. هذا هو الشيء الوحيد الذي كنت سأغيره.

    آنا 7/4

    أزلت كلمة "عام" في الماوس فوق "قاعدة" لجعل هذه الجملة أكثر وضوحًا.

    هل يمكنك إخفاء محتويات الخطوات الجبرية مع الاحتفاظ بالملخصات أعلاه؟ مثل "الآن نقوم بتربيع كلا الجانبين" [إظهار المعادلة] & # 160؟

    الجين 6/29

    "ولكن أيضًا في العديد من المجالات الأخرى مثل الفيزياء والهندسة.

    آنا 6/29

    لن أقول إن القطع المكافئ "يُستخدم في" تلك الحقول ، أقول إنه ينشأ فيها.

    سأجبر كل معادلاتك على أن تكون بنفس الحجم في اشتقاقك. (يمكنك القيام بذلك باستخدام left (and right) للأقواس لمجموعة واحدة فقط من الأقواس.)

    يجب إعادة صياغة مؤشر الماوس فوق كلمة "قمة الرأس".

    تغيير "مثل مع النموذج القياسي" إلى "كما هو الحال مع النموذج القياسي"

    هل ستنتهي من هذا القسم الأخير هنا؟ أو هل تعتقد أنك قد تغيرها إلى فكرة للمستقبل؟

    أيضًا ، أراهن أن هناك بعض صور البصريات الرائعة والتطبيقات الصغيرة التي توضح الأشياء التي تتحدث عنها. قد ترغب في البحث عن تطبيقات أو صور "مرآة مكافئة" أو "عدسة مكافئة" للحصول على المزيد من الأفكار ومشاهدة أشياء جديدة. سيعيدك ذلك أيضًا إلى فكرتك الأولية بأن القطع المكافئ يظهر في مجالات أخرى.


    أسئلة

    الجذور
    عندما تحل المعادلة التربيعية y = x 2 & ndash 6x + 8 = 0 بالتحليل إلى عوامل أو بالصيغة ، x = 2 أو 4. هذه هي جذور المعادلة 2. ما الذي تلاحظه بشأن هذه الجذور والنقاط التي يتقاطع عندها القطع المكافئ مع المحور x؟

    نقطة تحول
    صيغة إيجاد قيمة x لنقطة تحول القطع المكافئ هي x = & ndashb / 2a. استخدم هذه الصيغة لإيجاد قيمة x حيث يتحول الرسم البياني. عوض بقيمة x هذه في المعادلة y = x 2 & ndash 6x + 8 لإيجاد قيمة y لنقطة التحول. ماذا تلاحظ؟


    استخدام تعريف القطع المكافئ لإيجاد معادلة القطع المكافئ.

    اكتب معادلة للرسم البياني الذي يمثل مجموعة جميع النقاط في المستوى التي تقع على نفس المسافة من النقطة (0،4) والخط y = -4

    وفقًا للتعريف ، FG = GQ. لذلك ، دعونا نجد جميع النقاط P (x ، y) مثل FG والمسافة من G إلى الخط متساوي.


    العالم الحقيقي القطع المكافئ

    إن مظاهر الأشكال المكافئة في العالم المادي وفيرة للغاية. فيما يلي بعض الأمثلة التي قد تكون على دراية بها. أدناه سترى خمسة هياكل حقيقية ، بعضها قطع مكافئ: أفعوانية ، عاكس من مصباح يدوي ، قاعدة برج إيفل ، أقواس ماكدونالدز، ومسار رحلة جهاز محاكاة الصفر الجاذبية التابع لوكالة ناسا والمعروف باسم "مذنب القيء".



    هل تساءلت يومًا عن سبب كون أفضل الأفعوانيات هي القطع المكافئ؟ عندما تركب هذه الوقايات تشعر وكأنك تهزم قوة الجاذبية ، أليس كذلك؟ بالضبط! عندما تسقط السفينة من قمة القطع المكافئ ، فإنها ترفض مقاومة الهواء وتسقط جميع الأجسام بنفس المعدل. القوة الوحيدة هنا هي الجاذبية.

    تلعب قوى G أيضًا دورًا في شعورك بانعدام الوزن والثقل عند السقوط. أولاً ، من المهم التمييز بين أن الجاذبية ليست قوة جي. تُقاس القوة G بما تشعر به وأنت جالس في مجال جاذبية الأرض. لذلك ، على سبيل المثال ، عندما تكون جالسًا في كوستر ، فإن المقعد يبذل نفس القدر من القوة مثل الأرض ، ولكن يتم توجيهه بشكل معاكس ، وهذا ما يجعلك جالسًا ساكنًا. ولكن ، عندما تسقط ، فأنت لا تعاني من أي قوة G (صفر G) لذا في الواقع لا يدعمك المقعد على الإطلاق! ولكن بمجرد أن تكون في قاع الهبوط ، تعود القوة G لتكون أكبر من 1:

    • تكون قوى G أعظمها عند أدنى حد من القطع المكافئ
    • تكون قوى G على الأقل في الحد الأقصى من القطع المكافئ

    لذلك ، يلعب شكل السفينة وكذلك الصعود والنزول دورًا حيويًا في متعة الراكب. يتم الاستمتاع بوقايات ذات شكل مكافئ كثيرًا بسبب قوة الجاذبية الشديدة وقوة G غير الموجودة التي تحدث عند السقوط.


    معادلة الدائرة والقطوع المكافئة

    & emsp & emspA الدائرة C في المستوى XY ، مع المركز عند النقطة (h، k) ونصف القطر r ، هي مجموعة جميع النقاط على مسافة r من النقطة (h، k). لنفترض أن P: (x ، y) تكون أي نقطة على C. Then by the distance formula from Section 7.1 we have

    An equivalent equation is

    Obtain an equation for the circle having its center at (-1,3/2) and a radius of 2 .
    Substituting into (1) we obtain

    This is a convenient form in which to leave the equation, since it readily yields the radius and the coordinates of the center.
    &emsp&emspConsider the equation

    We recall from Section 6.7 that by using the method of completing the square, this equation can be written in the form

    We recognize from the form of (2) that its graph, and hence the graph of (1), is the circle with center (h, k) and radius r .

    Completing the square we have

    From this last equation we recognize that its graph is the circle with center (3/4,-1) and radius 7/4 .

    Let's see how our graph generator solves this problem and similar problems and generate graphs. انقر فوق الزر "حل مشابه" لمشاهدة المزيد من الأمثلة.

    7.6&emsp&emspSome Parabolas and Their Equations

    &emsp&emspIn many situations a certain type of curve, called a parabola, appears. For example, the path traced out by a stone thrown into the air (not vertically) is a part of a parabola. The arc of water from a hose is a part of a parabola. The reflecting mirror in a car headlight is in the shape of a parabolic dish, and so are the mirrors in a good reflecting telescope.
    In a coordinate plane, parabolas are graphs of certain types of second degree equations in the variables x and y . An example of such an equation is
    (1)&emsp&emsp&emsp y=x^2
    Plotting points and graphing we obtain the curve as shown in Figure 8. From the equation we can tell that as x increases positively or negatively y increases positively. The point at which the parabola turns most sharply is its vertex. The vertex of the parabola in Figure 8 is the point (0,0) . This parabola opens upward and the vertical line through its vertex divides it into mirror image halves. This line is called the axis of symmetry of the parabola.
    The parabola y=x^2 is just one of the many parabolas with vertical axis and vertex at the origin. In fact, these parabolas are the graphs of equations of the form
    (2)&emsp&emsp&emsp y=ax^2
    where a is a nonzero real number. If a is positive, then the parabola opens upward. while if a is negative it opens down. To sketch the

    x ذ
    -3 9
    -2 4
    -1 1
    0 0
    1 1
    2 4
    3 9

    graph of a parabola it is usually sufficient to plot the vertex and two or three points on each side of the axis of symmetry.

    Example 1&emsp&emspGraph y=-(1/2)x^2 .

    This is a parabola with vertex at the origin and the Y axis as its axis of symmetry. Since the coefficient -1/2 is negative, the parabola opens downward.

    x ذ
    -4 -8
    -3 -9/2
    -2 -2
    -1 -1/2
    0 0
    1 -1/2
    2 -2
    3 -9/2
    4 -8

    also have graphs that are parabolas. In fact, they are parabolas with vertex at the point (h,k) and whose axis of symmetry is the vertical line through (h,k) . They open up or down depending on whether a is positive or negative.

    مثال 2. & emsp & emspGraph y-3=1/3(x+1)^2 .

    This is a parabola with vertex at (-1,3) which opens up. Its axis of symmetry is the line x=-1 .

    x ذ
    -4 6
    -3 13/3
    -2 10/3
    -1 3
    0 10/3
    1 13/3
    2 6
    3 25/3

    Consider an equation of the form

    By completing the square we can transform this equation to one of the form (3) above. Thus the graph of (4) is a parabola. From the resulting equation we can determine the vertex, axis of symmetry, and the direction in which the parabola opens.

    مثال 3. & emsp & emspGraph y=2x^2+3x-1 .

    We complete the square on the right-hand side

    The graph of the resulting equation is seen to be a parabola opening upward with vertex at (-3/4,-17/8) and axis of symmetry the line x=-3/4

    x ذ
    -2 1
    -3 8
    1 4
    2 13

    Similarly, equations of the form

    have parabolas for graphs. These parabolas have horizontal axes of symmetry and open either to the left or to the right depending on whether a is negative or positive. Again we find the vertex and axis of symmetry by completing the square.

    The graph of this equation is a parabola with vertex at (1,2) , it opens
    to the right, and its axis of symmetry is the line y=2 .

    Let's see how our graph generator solves this problem and similar problems and generate graphs. انقر فوق الزر "حل مشابه" لمشاهدة المزيد من الأمثلة.

    Find an equation of the parabola having vertex (3,1) , vertical axis of symmetry, and passing through the point P : (2,3) .


    Examples of Parabolas

    Example 1: Find an equation of the parabola having its focus at $left( <0, – 3> ight)$ and as its directrix on the line $y = 3$.

    المحلول: Since the focus is on the Y-axis and is also below the directrix, the parabola opens downward, and $a = – 3$. Hence the equation of the parabola is $ = – 12y$. The length of the latus rectum is $|4left( < – 3> ight)| = 12$.

    مثال 2: Given the parabola having the equation $ = 7x$, find the coordinates of the focus, the equation of the directrix, and the length of the latus rectum.

    المحلول: Compared with the general equation, here we have $4a = 7 Rightarrow a = frac<7><4>$. Since $a > 0$, the parabola opens to the right. The focus is at the point $Fleft( <4>,0> ight)$.
    The equation of the directrix is $x = – frac<7><4>$. The length of the latus rectum is $7$.

    مثال 3: Show that the ordinate at any point $P$ of the parabola is a mean proportional between the length of the latus rectum and the abscissa of $P$.

    المحلول: Let $Pleft( ight)$ be any point of the parabola
    $ = 4ax$

    Then the length of the latus rectum is $l = 4a$, therefore from the above parabola equation:
    [egin 4ax = Rightarrow left( يمين شمال( ight) = ight)^2> end ]

    This shows that the ordinate at any point $P$ of the parabola is a mean proportional between the length of the latus rectum and the abscissa of $P$.


    Parabola : Standard equation of Parabola , Latus Rectum

    DEFINITION : CONIC SECTION
    A conic section or conic is the locus of a point, which moves in a plane so that its distance from a fixed point is in a constant ratio to its distance from a fixed straight line, not passing through the fixed point.

    ∎ The fixed point is called the focus.

    ∎ The fixed straight line is called the directrix.

    ∎ The constant ratio is called the eccentricity and is denoted by e.

    ∎ When the eccentricity is unity i.e., e = 1 , the conic is called a parabola

    when e < 1, the conic is called an ellipse .

    and when e > 1, the conic is called a hyperbola.

    ∎ The straight line passing through the focus and perpendicular to the directrix is called the axis of the parabola.

    ∎ A point of intersection of a conic with its axis is called vertex.

    Standard equation of a Parabola:

    Let S be the focus, ZM the directrix and P the moving point. Draw SZ perpendicular from S on the directrix. Then SZ is the axis of the parabola. Now the middle point of SZ , say A , will lie on the locus of P ,

    i.e., AS = AZ
    Take A as the origin, the x-axis along AS, and the y-axis along the perpendicular to AS at A, as in the figure.

    Let AS = a , so that ZA is also a .

    Let (x, y) be the coordinates of the moving point P.

    Then MP = ZN = ZA + AN = a + x .

    So that , (a + x) 2 = (x – a) 2 + y 2

    Hence , the equation of parabola is y 2 = 4ax

    Latus Rectum:

    The chord of a parabola through the focus and perpendicular to the axis is called the latus rectum.

    In the figure LSL’ is the latus rectum.

    Also LSL’ = 4a = double ordinate through the focus S.

    ملحوظة:
    ∎ Any chord of the parabola y 2 = 4ax perpendicular to the axis of the parabola is called double ordinate.
    ∎ Two parabolas are said to be equal when their latus recta are equal.

    Four common forms of a Parabola

    Four common forms of a Parabola:

    ∎ Equation of the Directrix: x = −a

    ∎ Equation of the Directrix : x = a

    ∎ Equation of the Directrix : y = -a

    ∎ Equation of the Directrix : y = a

    Illustration : Find the vertex , axis , directrix, focus, latus rectum and the tangent at vertex for the parabola 9y 2 − 16x − 12y − 57 = 0

    Solution: The given equation can be rewritten as

    which is of the form Y 2 = 4AX.

    Hence the vertex is (− 61/16 , 2/3)

    The directrix is : X + A = 0

    The focus is X = A and Y = 0

    Length of the latus rectum = 4A = 16/9

    The tangent at the vertex is X = 0

    Illustration : The extreme points of the latus rectum of a parabola are (7, 5) and (7, 3). Find the equation of the parabola and the points where it meets the axes.

    Solution: Focus of the parabola is the mid-point of the latus rectum.

    Also axis of the parabola is perpendicular to the latus rectum and passes through the focus. Its equation is

    Length of the latus rectum = (5 − 3) = 2

    Hence the vertex of the parabola is at a distance 2/4 = 0.5 from the focus. We have two parabolas, one concave rightwards and the other concave leftwards.

    The vertex of the first parabola is (6.5, 4)

    and its equation is (y − 4) 2 = 2(x − 6.5)

    and it meets the x-axis at (14.5 , 0).

    The equation of the second parabola is

    It meets the x-axis at (−0.5, 0) and the y-axis at (0, 4 ± √15).

    Exercise :
    (i) Find the equation of parabola whose focus is (1, −1) and whose vertex is (2, 1). Also find its axis and latus rectum.

    (ii) Find vertex, focus, directix and latus rectum of the parabola y 2 + 4x + 4y − 3 = 0.

    (iii) Find the equation of the parabola whose axis is parallel to the y – axis and which passes through the points (0, 4), (1, 9) and (−2, 6) and determine its latus rectum.


    شاهد الفيديو: رياضيات ثالث ثانوي علمي القطع المكافئ الدرس الأول (كانون الثاني 2022).