مقالات

2: تدوين الفاصل


2: تدوين الفاصل

فترات الثقة

يعطي فاصل الثقة نطاقًا تقديريًا للقيم التي من المحتمل أن تتضمن معلمة غير معروفة للسكان ، ويتم حساب النطاق المقدر من مجموعة معينة من بيانات العينة. (التعريف مأخوذ من الإصدار 1.1 من مسرد إحصائيات فاليري جي إيستون وجون إتش ماكول)

يعطي المستوى C لفترة الثقة احتمال أن الفترة التي تنتجها الطريقة المستخدمة تتضمن القيمة الحقيقية للمعلمة.

افترض أن طالبًا يقيس درجة حرارة الغليان لسائل معين لاحظ القراءات (بالدرجات المئوية) 102.5 و 101.7 و 103.1 و 100.9 و 100.5 و 102.2 على 6 عينات مختلفة من السائل. حسب متوسط ​​العينة ليكون 101.82. إذا كان يعلم أن الانحراف المعياري لهذا الإجراء هو 1.2 درجة ، فما هو فاصل الثقة لوسط المجتمع عند مستوى ثقة 95٪؟

بمعنى آخر ، يرغب الطالب في تقدير متوسط ​​درجة حرارة الغليان الحقيقية للسائل باستخدام نتائج قياساته. إذا اتبعت القياسات توزيعًا طبيعيًا ، فسيكون لمتوسط ​​العينة التوزيع N (،). نظرًا لأن حجم العينة هو 6 ، فإن الانحراف المعياري لمتوسط ​​العينة يساوي 1.2 / sqrt (6) = 0.49. يحدد اختيار مستوى الثقة لفترة ما احتمالية احتواء فاصل الثقة الناتج على قيمة المعلمة الحقيقية. الخيارات الشائعة لمستوى الثقة C هي 0.90 و 0.95 و 0.99. تتوافق هذه المستويات مع النسب المئوية لمساحة منحنى الكثافة الطبيعي. على سبيل المثال ، يغطي فاصل الثقة 95٪ 95٪ من المنحنى الطبيعي - احتمالية ملاحظة قيمة خارج هذه المنطقة أقل من 0.05. نظرًا لأن المنحنى الطبيعي متماثل ، فإن نصف المساحة في الذيل الأيسر من المنحنى ، والنصف الآخر في الذيل الأيمن من المنحنى. كما هو موضح في الرسم البياني إلى اليمين ، بالنسبة لفاصل الثقة بالمستوى C ، فإن المساحة في كل ذيل منحنى تساوي (1- C) / 2. بالنسبة لفاصل الثقة 95٪ ، فإن المساحة في كل ذيل تساوي 0.05 / 2 = 0.025.

تُعرف القيمة z * التي تمثل النقطة على منحنى الكثافة العادية القياسية مثل احتمال ملاحظة قيمة أكبر من z * تساوي p بالقيمة الحرجة العليا للتوزيع العادي القياسي. على سبيل المثال ، إذا كانت p = 0.025 ، فإن القيمة z * مثل P (Z & gt z *) = 0.025 ، أو P (Z & lt z *) = 0.975 ، تساوي 1.96. بالنسبة لفاصل الثقة مع المستوى C ، فإن القيمة p تساوي (1- C) / 2. فاصل الثقة 95٪ للتوزيع الطبيعي القياسي ، إذن ، هو الفاصل الزمني (-1.96 ، 1.96) ، حيث أن 95٪ من المنطقة الواقعة تحت المنحنى تقع ضمن هذه الفترة.

فترات الثقة للمتوسط ​​غير المعروف والانحراف المعياري المعروف

ملاحظة: هذا الفاصل الزمني دقيق فقط عندما يكون توزيع السكان طبيعياً. بالنسبة للعينات الكبيرة من التوزيعات السكانية الأخرى ، يكون الفاصل الزمني صحيحًا تقريبًا بواسطة نظرية الحدود المركزية. في المثال أعلاه ، قام الطالب بحساب متوسط ​​العينة لدرجة حرارة الغليان ليكون 101.82 ، مع الانحراف المعياري 0.49. القيمة الحرجة لفاصل الثقة 95٪ هي 1.96 ، حيث (1-0.95) / 2 = 0.025. فاصل الثقة 95٪ للمتوسط ​​المجهول هو ((101.82 - (1.96 * 0.49)) ، (101.82 + (1.96 * 0.49))) = (101.82 - 0.96 ، 101.82 + 0.96) = (100.86 ، 102.78).

مع انخفاض مستوى الثقة ، سينخفض ​​حجم الفترة المقابلة. افترض أن الطالب كان مهتمًا بفاصل ثقة بنسبة 90٪ لدرجة حرارة الغليان. في هذه الحالة ، C = 0.90 ، و (1- C) / 2 = 0.05. القيمة الحرجة z * لهذا المستوى تساوي 1.645 ، وبالتالي فإن فاصل الثقة 90٪ هو ((101.82 - (1.645 * 0.49)) ، (101.82 + (1.645 * 0.49))) = (101.82 - 0.81 ، 101.82 + 0.81) ) = (101.01، 102.63) ستؤدي الزيادة في حجم العينة إلى تقليل طول فترة الثقة دون تقليل مستوى الثقة. وذلك لأن الانحراف المعياري يتناقص مع زيادة n. يتم تعريف هامش الخطأ m لفاصل الثقة على أنه القيمة المضافة أو المطروحة من متوسط ​​العينة الذي يحدد طول الفترة الزمنية: m = z *.

افترض في المثال أعلاه أن الطالب يرغب في أن يكون له هامش خطأ يساوي 0.5 مع ثقة 95٪. استبدال القيم المناسبة في التعبير لـ m وحل لـ n يعطي الحساب n = (1.96 * 1.2 / 0.5) & sup2 = (2.35 / 0.5) & sup2 = 4.7 & sup2 = 22.09. لتحقيق فاصل ثقة بنسبة 95٪ لنقطة الغليان المتوسطة بطول إجمالي أقل من درجة واحدة ، يجب على الطالب إجراء 23 قياسًا.

فترات الثقة لمتوسط ​​غير معروف وانحراف معياري غير معروف

بالنسبة لمجتمع ذي متوسط ​​غير معروف وانحراف معياري غير معروف ، فإن فاصل الثقة لمتوسط ​​المجتمع ، بناءً على عينة عشوائية بسيطة (SRS) بالحجم n ، هو + t * ، حيث t * هي الجزء العلوي (1- C) / 2 القيمة الحرجة لتوزيع t مع درجات الحرية n-1 ، t (n-1). مثال

تحتوي مجموعة البيانات "درجة حرارة الجسم الطبيعية والجنس ومعدل ضربات القلب" على 130 ملاحظة لدرجة حرارة الجسم ، جنبًا إلى جنب مع جنس كل فرد ومعدل ضربات قلبه. يوفر استخدام الأمر MINITAB "DESCRIBE" المعلومات التالية: للعثور على فاصل ثقة 95٪ للمتوسط ​​استنادًا إلى متوسط ​​العينة 98.249 وعينة الانحراف المعياري 0.733 ، ابحث أولاً عن القيمة الحرجة 0.025 t * لـ 129 درجة من الحرية. هذه القيمة تقارب 1.962 ، وهي القيمة الحرجة لـ 100 درجة من الحرية (موجودة في الجدول E في Moore و McCabe). الانحراف المعياري المقدر لمتوسط ​​العينة هو 0.733 / sqrt (130) = 0.064 ، القيمة المقدمة في عمود SE MEAN لإحصاءات MINITAB الوصفية. فاصل الثقة 95٪ ، إذن ، هو تقريبًا ((98.249 - 1.962 * 0.064) ، (98.249 + 1.962 * 0.064)) = (98.249 - 0.126 ، 98.249+ 0.126) = (98.123 ، 98.375).

للحصول على نتيجة أكثر دقة (وأكثر سهولة في تحقيقها) ، يعطي أمر MINITAB "TINTERVAL" ، المكتوب على النحو التالي ، فاصل ثقة دقيقًا بنسبة 95٪ لـ 129 درجة من الحرية: وفقًا لهذه النتائج ، فإن درجة حرارة الجسم الطبيعية المفترضة المعتادة تبلغ 98.6 درجة فهرنهايت ليس ضمن فاصل ثقة 95٪ للمتوسط.


2: تدوين الفاصل

ستدور العديد من تطبيقاتنا في هذا الفصل حول القيم الدنيا والقصوى للدالة. بينما يمكننا جميعًا تصور القيم الدنيا والقصوى لوظيفة ما ، فإننا نريد أن نكون أكثر تحديدًا في عملنا هنا. على وجه الخصوص ، نريد التفريق بين نوعين من القيم الدنيا أو القصوى. يقدم التعريف التالي أنواع القيم الدنيا و / أو القصوى التي سننظر فيها.

تعريف

  1. نقول أن (f left (x right) ) له امتداد حد أقصى مطلق (أو عالمي) في (x = c ) إذا (f left (x right) le f left (c right) ) لكل (x ) في المجال الذي نعمل عليه.

لاحظ أنه عندما نقول "فاصل مفتوح حول (x = c )" فإننا نعني أنه يمكننا إيجاد فاصل زمني ( يسار ( right) ) ، دون تضمين نقاط النهاية ، مثل (a & lt c & lt b ). أو بعبارة أخرى ، سيتم احتواء (c ) في مكان ما داخل الفاصل الزمني ولن يكون أيًا من نقطتي النهاية.

أيضًا ، سنطلق بشكل جماعي على الحد الأدنى والحد الأقصى لنقاط الوظيفة النهايات من الوظيفة. لذلك ، تشير القيم القصوى النسبية إلى القيم الدنيا والقصوى النسبية بينما تشير القيم القصوى المطلقة إلى القيم الدنيا والقصوى المطلقة.

الآن ، لنتحدث قليلاً عن الاختلاف الدقيق بين المطلق والنسبي في التعريف أعلاه.

سيكون لدينا حد أقصى مطلق (أو حد أدنى) عند (x = c ) بشرط أن تكون (f left (c right) ) هي أكبر (أو أصغر) قيمة ستأخذها الوظيفة في المجال الذي نحن يعملون عليها. أيضًا ، عندما نقول "المجال الذي نعمل عليه" ، فهذا يعني ببساطة نطاق (س ) الذي اخترنا العمل معه لحل مشكلة معينة. قد تكون هناك قيم أخرى لـ (x ) يمكننا بالفعل توصيلها بالدالة ولكننا استثناها لسبب ما.

الحد الأقصى أو الأدنى النسبي مختلف قليلاً. كل ما هو مطلوب لنقطة ما لتكون حدًا أو أدنى نسبيًا هو أن تكون هذه النقطة بحد أقصى أو أدنى في بعض الفواصل الزمنية (x ) 's حول (x = c ). قد تكون هناك قيم أكبر أو أصغر للوظيفة في مكان آخر ، ولكن نسبة إلى (x = c ) ، أو محلية لـ (x = c ) ، (f left (c right) ) هي أكبر أو أصغر من جميع قيم الوظائف الأخرى القريبة منه.

لاحظ أيضًا أنه من أجل أن تكون النقطة قيمة قصوى نسبية ، يجب أن نكون قادرين على النظر إلى قيم الدالة على جانبي (x = c ) لمعرفة ما إذا كانت بالفعل قيمة قصوى أو أدنى عند هذه النقطة. هذا يعني أن القيم القصوى النسبية لا تحدث في نقاط نهاية المجال. يمكن أن تحدث فقط داخل المجال.

هناك بالفعل بعض الجدل حول النقطة السابقة. يشعر بعض الأشخاص أن القيم القصوى النسبية يمكن أن تحدث في نقاط نهاية المجال. ومع ذلك ، في هذا الفصل ، سنستخدم التعريف الذي ينص على أنه لا يمكن أن تحدث في نقاط نهاية النطاق. سيتم مناقشة هذا بمزيد من التفصيل في نهاية القسم بمجرد أن نعتني بالحقيقة ذات الصلة.

عادة ما يكون من الأسهل التعرف على التعريفات من خلال إلقاء نظرة سريعة على الرسم البياني.

بالنسبة للوظيفة الموضحة في هذا الرسم البياني ، لدينا حدود قصوى نسبية في (س = ب ) و (س = د ). كلتا النقطتين هي قيم قصوى نسبية نظرًا لأنهما داخل المجال الموضح وهما أكبر نقطة على الرسم البياني في بعض الفواصل الزمنية حول النقطة. لدينا أيضًا حد أدنى نسبي عند (x = c ) نظرًا لأن هذه النقطة داخلية للمجال وهي أدنى نقطة على الرسم البياني في فترة زمنية حولها. لن تكون نقطة النهاية في أقصى اليمين ، (x = e ) ، حدًا أدنى نسبيًا لأنها نقطة نهاية.

سيكون للوظيفة حد أقصى مطلق عند (x = d ) وحد أدنى مطلق عند (x = a ). هاتان النقطتان هما الأكبر والأصغر الذي ستكون عليه الوظيفة على الإطلاق. يمكننا أيضًا ملاحظة أن القيمة القصوى المطلقة للدالة ستحدث إما عند نقاط نهاية المجال أو عند الحد الأقصى النسبي. سنستخدم هذه الفكرة في أقسام لاحقة ، لذا فهي أكثر أهمية مما قد تبدو في الوقت الحالي.

دعنا نلقي نظرة سريعة على بعض الأمثلة للتأكد من أن لدينا تعريفات القيم القصوى المطلقة والنصرية القصوى بشكل مستقيم.

نظرًا لأن هذه الوظيفة سهلة بما يكفي لرسم بياني ، فلنقم بذلك. ومع ذلك ، نريد فقط الرسم البياني على الفاصل ( left [<- 1،2> right] ). هنا الرسم البياني ،

لاحظ أننا استخدمنا النقاط في نهاية الرسم البياني لتذكيرنا بأن الرسم البياني ينتهي عند هذه النقاط.

يمكننا الآن تحديد القيم القصوى من التمثيل البياني. يبدو أن لدينا حدًا أدنى نسبيًا ومطلقًا عند (x = 0 ) وحد أقصى مطلق وهو أربعة عند (x = 2 ). لاحظ أن (x = - 1 ) ليس حدًا أقصى نسبيًا لأنه يقع عند نقطة نهاية الفترة الزمنية.

لا تحتوي هذه الوظيفة على أي حدود قصوى نسبية.

كما رأينا في المثال السابق ، لا يجب أن يكون للوظائف قيمة قصوى نسبية. من الممكن تمامًا ألا يكون للوظيفة حد أقصى نسبي و / أو حد أدنى نسبي.

هذا هو الرسم البياني لهذه الوظيفة.

في هذه الحالة ، لا يزال لدينا حد أدنى نسبي ومطلق للصفر عند (x = 0 ). لا يزال لدينا أيضًا حد أقصى مطلق وهو أربعة. ومع ذلك ، على عكس المثال الأول ، سيحدث هذا عند نقطتين ، (س = - 2 ) و (س = 2 ).

مرة أخرى ، لا تحتوي الوظيفة على أي حدود قصوى نسبية.

كما أوضح هذا المثال ، لا يمكن أن يكون هناك سوى قيمة قصوى مطلقة واحدة أو قيمة دنيا مطلقة ، ولكن يمكن أن تحدث في أكثر من مكان في المجال.

في هذه الحالة ، لم نعطِ أي نطاق ، ولذا فإن الافتراض هو أننا سنأخذ أكبر نطاق ممكن. بالنسبة لهذه الوظيفة ، فهذا يعني جميع الأعداد الحقيقية. هنا الرسم البياني.

في هذه الحالة ، لا يتوقف الرسم البياني عن الزيادة في أي من طرفيه ، وبالتالي لا توجد حدود قصوى من أي نوع لهذه الوظيفة. بغض النظر عن النقطة التي نختارها على الرسم البياني ، ستكون هناك نقاط أكبر وأصغر من كلا الجانبين ، لذلك لا يمكن أن يكون لدينا أي حد أقصى (من أي نوع ، نسبي أو مطلق) في الرسم البياني.

لا يزال لدينا حد أدنى نسبي ومطلق للصفر عند (x = 0 ).

لذلك ، يمكن أن تحتوي بعض الرسوم البيانية على حد أدنى ولكن ليس حدًا أقصى. وبالمثل ، يمكن أن يكون للرسم البياني حدود قصوى ولكن ليس حدًا أدنى.

هذا هو الرسم البياني لهذه الوظيفة.

هذه الدالة لها حد أقصى مطلق وهو ثمانية عند (x = 2 ) وحد أدنى مطلق هو سالب ثمانية عند (x = - 2 ). هذه الوظيفة ليس لها قيمة قصوى نسبية.

لذلك ، ليس من الضروري أن تحتوي الوظيفة على قيمة قصوى نسبية كما هو موضح في هذا المثال.

مرة أخرى ، لم نقم بتقييد النطاق هذه المرة ، لذا إليك الرسم البياني.

في هذه الحالة ، ليس للدالة قيمة قصوى نسبية ولا قيمة قصوى مطلقة.

كما رأينا في المثال السابق ، ليس من الضروري أن تحتوي الوظائف على أي نوع من القيم القصوى أو النسبية أو المطلقة.

لم نقم بتقييد المجال لهذه الوظيفة. هنا الرسم البياني.

جيب التمام له قيمة قصوى (نسبية ومطلقة) تحدث في عدة نقاط. جيب التمام له حدود قصوى نسبية ومطلقة تبلغ 1 عند

[x = ldots - 4 pi ، ، - 2 pi ، ، ، 0 ، ، ، 2 pi ، ، ، 4 pi ، ldots ]

يحتوي جيب التمام أيضًا على حد أدنى نسبي ومطلق من -1 عند

[x = ldots - 3 pi ، ، - pi ، ، ، pi ، ، ، 3 pi ، ldots ]

كما أظهر هذا المثال ، يمكن أن يكون للرسم البياني في الواقع قيمة قصوى تحدث عند عدد كبير (غير محدود في هذه الحالة) من النقاط.

لقد عملنا الآن على عدد غير قليل من الأمثلة ويمكننا استخدام هذه الأمثلة لمعرفة حقيقة لطيفة حول القيم القصوى المطلقة. أولاً ، دعنا نلاحظ أن جميع الوظائف المذكورة أعلاه كانت وظائف مستمرة. لاحظ بعد ذلك أنه في كل مرة قمنا فيها بتقييد المجال بفاصل زمني مغلق (بمعنى آخر. الفاصل الزمني يحتوي على نقاط نهايته) حصلنا على القيم القصوى والصغرى المطلقة. أخيرًا ، في مثال واحد فقط من الأمثلة الثلاثة التي لم نقم فيها بتقييد المجال ، حصلنا على حد أقصى مطلق وحد أدنى مطلق.

تقودنا هذه الملاحظات إلى النظرية التالية.

نظرية القيمة القصوى

افترض أن (f left (x right) ) مستمر على الفاصل ( left [ right] ) ثم هناك رقمان (a le c، d le b ) بحيث يكون (f left (c right) ) الحد الأقصى المطلق للدالة و (f left (d right) ) هو الحد الأدنى المطلق للدالة.

لذلك ، إذا كان لدينا دالة مستمرة على فاصل ( يسار [ right] ) ثم نضمن أن يكون لدينا حد أقصى مطلق وحد أدنى مطلق للدالة في مكان ما في الفترة الزمنية. لا تخبرنا النظرية بمكان حدوثها أو ما إذا كانت ستحدث أكثر من مرة ، ولكنها على الأقل تخبرنا أنها موجودة في مكان ما. في بعض الأحيان ، كل ما نحتاج إلى معرفته هو أنها موجودة بالفعل.

لا تقول هذه النظرية أي شيء عن القيم القصوى المطلقة إذا لم نعمل على فاصل زمني. لقد رأينا أمثلة للدوال أعلاه التي تحتوي على قيم قصوى مطلقة ، ونقطة قصوى مطلقة واحدة ، ولا قيمة قصوى مطلقة عندما لم نحصر أنفسنا في فترة.

مطلوب أيضًا أن تكون الوظيفة مستمرة حتى نتمكن من استخدام النظرية. النظر في حالة

هذه الوظيفة ليست مستمرة عند (x = 0 ) بينما نتحرك نحو الصفر ، تقترب الوظيفة من اللانهاية. لذلك ، ليس للدالة حد أقصى مطلق. لاحظ أنه يحتوي على حد أدنى مطلق. في الواقع الحد الأدنى المطلق يحدث مرتين في كل من (س = - 1 ) و (س = 1 ).

إذا غيرنا الفاصل الزمني قليلاً لنقول ،

سيكون للدالة الآن كلا القيم القصوى المطلقة. قد نواجه مشاكل فقط إذا كان الفاصل الزمني يحتوي على نقطة الانقطاع. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فإن النظرية سوف تصمد.

يجب أن نشير أيضًا إلى أنه لمجرد أن الدالة ليست متصلة عند نقطة ، فهذا لا يعني أنها لن تحتوي على كلا القيمتين القصوى المطلقة في الفترة التي تحتوي على تلك النقطة. يوجد أدناه رسم بياني لدالة غير متصلة عند نقطة في الفترة المحددة ومع ذلك بها قيم قصوى مطلقة.

هذا الرسم البياني غير مستمر عند (x = c ) ، ومع ذلك فإنه يحتوي على حد أقصى مطلق ( (x = b )) وحد أدنى مطلق ( (x = c )). لاحظ أيضًا أنه في هذه الحالة ، حدثت إحدى القيم القصوى المطلقة عند نقطة عدم الاستمرارية ، ولكنها لا تحتاج إلى ذلك. يمكن أن يكون الحد الأدنى المطلق بسهولة عند نقطة النهاية الأخرى أو عند نقطة أخرى داخل المنطقة. النقطة هنا هي أن هذا التمثيل البياني ليس مستمرًا ومع ذلك به قيمتان قصيرتان مطلقتان

الهدف من كل هذا هو أننا نحتاج إلى توخي الحذر لاستخدام نظرية القيمة القصوى فقط عندما يتم استيفاء شروط النظرية وعدم إساءة تفسير النتائج إذا لم يتم استيفاء الشروط.

من أجل استخدام نظرية القيمة القصوى ، يجب أن يكون لدينا فاصل زمني يتضمن نقاط النهاية الخاصة به ، وغالبًا ما يُطلق عليه الفاصل الزمني المغلق ، ويجب أن تكون الوظيفة مستمرة في تلك الفترة. إذا لم يكن لدينا فاصل زمني مغلق و / أو لم تكن الوظيفة متصلة على هذه الفترة ، فقد تكون أو لا تحتوي الدالة على قيمة قصوى مطلقة.

نحتاج إلى مناقشة موضوع أخير واحد في هذا القسم قبل الانتقال إلى التطبيق الرئيسي الأول للمشتق الذي سننظر فيه في هذا الفصل.

نظرية فيرمات

إذا كان (f left (x right) ) يحتوي على قيمة قصوى نسبية عند (x = c ) و (f ' left (c right) ) موجود إذن (x = c ) هو النقطة الحرجة لـ (f left (x right) ). في الواقع ، ستكون نقطة حرجة مثل (f ' left (c right) = 0 ).

للاطلاع على إثبات هذه النظرية ، راجع قسم الأدلة من التطبيقات المشتقة في فصل الإضافات.

لاحظ أيضًا أنه يمكننا القول أن (f ' left (c right) = 0 ) لأننا نفترض أيضًا أن (f' left (c right) ) موجود.

تخبرنا هذه النظرية أن هناك علاقة جيدة بين القيم القصوى النسبية والنقاط الحرجة. في الواقع ، سيسمح لنا بالحصول على قائمة بجميع القيم القصوى النسبية الممكنة. نظرًا لأن القيم القصوى النسبية يجب أن تكون نقطة حرجة ، فإن قائمة جميع النقاط الحرجة ستعطينا قائمة بجميع القيم القصوى النسبية الممكنة.

ضع في اعتبارك حالة (f left (x right) = ). لقد رأينا أن هذه الوظيفة لها حد أدنى نسبي عند (x = 0 ) في العديد من الأمثلة السابقة. لذلك وفقًا لنظرية فيرما ، يجب أن تكون (س = 0 ) نقطة حرجة. مشتق الوظيفة هو ،

من المؤكد أن (x = 0 ) نقطة حرجة.

احرص على عدم إساءة استخدام هذه النظرية. فهي لا تقول أن النقطة الحرجة ستكون قيمة قصوى نسبيًا. لرؤية هذا ، ضع في اعتبارك الحالة التالية.

[f يسار (x يمين) = hspace <0.25in> hspace <0.25in> f ' left (x right) = 3]

من الواضح أن (x = 0 ) نقطة حرجة. ومع ذلك ، رأينا في مثال سابق أن هذه الوظيفة ليس لها قيمة قصوى نسبية من أي نوع. لذلك ، لا يجب أن تكون النقاط الحرجة قيمة قصوى نسبية.

لاحظ أيضًا أن هذه النظرية لا تقول شيئًا عن القيم القصوى المطلقة. قد تكون القيم القصوى المطلقة نقطة حرجة وقد لا تكون كذلك.

قبل أن نغادر هذا القسم ، نحتاج إلى مناقشة مشكلتين.

أولاً ، تعمل نظرية فيرما فقط مع النقاط الحرجة التي فيها (f ' left (c right) = 0 ). ومع ذلك ، هذا لا يعني أن القيم القصوى النسبية لن تحدث في النقاط الحرجة حيث لا يوجد المشتق. لرؤية هذا ، ضع في اعتبارك (f left (x right) = left | x right | ). من الواضح أن هذه الوظيفة لها حد أدنى نسبي عند (x = 0 ) ومع ذلك أظهرنا في أحد الأمثلة أن (f ' left (0 right) ) غير موجود.

ما يعنيه هذا كله هو أننا إذا أردنا تحديد القيم القصوى النسبية ، فكل ما نحتاج إلى فعله حقًا هو النظر إلى النقاط الحرجة باعتبارها الأماكن التي قد توجد فيها القيم القصوى النسبية.

أخيرًا ، تذكر أنه في بداية القسم تلك ، ذكرنا أن القيم القصوى النسبية لن تكون موجودة عند نقاط نهاية الفترة التي ننظر إليها. والسبب في ذلك هو أننا إذا سمحنا بحدوث القيم القصوى النسبية هناك ، فقد ينتهك (وفي الواقع معظم الوقت) نظرية فيرمات. لا يوجد سبب لتوقع أن تكون نقاط نهاية الفترات الزمنية نقاطًا حرجة من أي نوع. لذلك ، لا نسمح بوجود قيم قصوى نسبية عند نقاط نهاية الفترات.


كيف تستبعد الأرقام في تدوين الفاصل؟

على سبيل المثال ، خذ f (x) = x + 2x & minus3. يمكننا أن نرى أن مجالها هو كل الأعداد الحقيقية باستثناء 3. في تدوين الفاصل هذا هو مكتوب (& ناقص & infin، 3) & كوب (3، & infin). ليس من السهل أن نرى ما هو ملف نطاق يجب أن يكون.

قد يتساءل المرء أيضًا ، ما هو مثال على تدوين الفاصل؟ تدوين الفاصل. أ الرموز لتمثيل فاصلة كزوج من الأرقام. الأرقام هي نقاط نهاية ملف فاصلة. يتم استخدام الأقواس و / أو الأقواس لإظهار ما إذا كانت نقاط النهاية مستبعدة أو متضمنة. إلى عن على مثال، [3 ، 8) هو فاصلة من الأعداد الحقيقية بين 3 و 8 ، بما في ذلك 3 واستثناء 8.

في المقابل ، كيف تكتب جميع الأعداد الحقيقية باستثناء 0 في تدوين الفترة؟

مجموعة بما في ذلك كل الأعداد الحقيقية ماعدا واحد عدد. على سبيل المثال ، يمكننا التعبير عن المجموعة ، 0> ، باستخدام تدوين الفاصل كـ ، (& ناقص & infin ، 0) &كوب (0و infin).


أمثلة

يتضمن هذا القسم بعض الأمثلة على المشاكل التي قد تنشأ عن عدم المساواة

حل المتباينات التالية 1) 3 x + 5 & # x2264 6 x + 14

عند حل المتباينات ، يلزم أحيانًا أن تكون الإجابة النهائية في شكل تدوين الفترة. لهذه المشكلة [& # x2212 3، & # x221E)

2) هنا يمكننا حل كل متباينة على حدة ، ويجب أن تحقق x كلا المتراجحتين. وبالتالي ، علينا حل & # x2212 3 & lt 2 x + 5 & # xA0 و & # xA0 2 x + 5 & # x2264 10 < displaystyle -3 & lt2x + 5 < text > 2x + 5 leq 10>

للأول ، نحصل على -8 & lt 2x و -4 & lt x. لآخر واحد لدينا 2 x & # x2264 5 & # xA0 و & # xA0 x & # x2264 5 2 < displaystyle 2x leq 5 < text <و >> x leq < frac <5> <2>> >

3) في هذه المسألة ، نحتاج إلى أن يكون كل من البسط والمقام موجبين أو كلاهما سالب. لذلك نريد حل هذه الحالة عندما تكون 3x - 5 & gt 0. لاحظ أننا لا نضيف 3x - 5 = 0 لأننا لا نستطيع القسمة على 0. لحل هذه المتباينة نجد x & gt 5 3 < displaystyle x & gt < frac <5> < 3 >>>. في تدوين الفاصل لدينا (5 3، & # x221E) <3>>، infty)>


كيفية كتابة تدوين الفاصل لحلول المتباينات:

الخطوة 1. ارسم مجموعة الحلول على خط الأعداد. استخدم نقطة مفتوحة () عند نقطة / نقاط الحدود المستبعدة في الحل. استخدم نقطة مغلقة (●) عند نقطة / نقاط الحدود المضمنة في الحل.

الخطوة 2. اكتب تدوين الفترة التي تبدأ بالحد الأدنى ثم الحد الأعلى. يستخدم مربع اقواس ([ ]) للإشارة إلى تضمين من الحدود في الحل ، أو أقواس ( ) للإشارة إلى استبعاد.

ملاحظة: دائمًا ما تكون اللانهايات (-∞ ، + ∞) محاطة بأقواس. أيضًا ، يمكن أن تحتوي مجموعات الحلول على قوس مربع واحد وقوس واحد على كلا الجانبين ، اعتمادًا على تضمين الحدود أو استبعادها.

على سبيل المثال ، انظر إلى الصورة أدناه.

x & GT 4
المحلول:
الخطوة 1.
ارسم الحل. استخدم نقطة مفتوحة عند 4 وقم بتظليل جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من 4. ضع اللانهاية الموجبة أعلاه للإشارة إلى أن مجموعة الحلول غير محدودة على يمين خط الأعداد (أو كل الأعداد الحقيقية الموجبة).
الخطوة 2. اكتب رمز الفترة باستخدام قوس لأن الحد الأدنى (4) غير متضمن ، ثم ضع علامة اللانهاية الموجبة على أنها الحد الأعلى ، والذي يتم إرفاقه تلقائيًا بقوس.
تدوين الفاصل: (4، + ∞)

س ≤ 4
المحلول:
الخطوة 1. ارسم الحل. استخدم نقطة مغلقة عند 4 وقم بتظليل جميع الأعداد الحقيقية تحت 4 ، بما في ذلك 4. ضع اللانهاية السالبة أعلاه للإشارة إلى أن مجموعة الحلول غير محدودة على يسار خط الأعداد (أو جميع الأعداد الحقيقية السلبية).
الخطوة 2. اكتب تدوين الفترة. استخدم قوسًا مع الحد الأدنى (-) وقوس مربع مع الحد الأعلى (4).
تدوين الفاصل الزمني: [-، 4]


مقدمة موجزة للجبر على الإنترنت

تدوين الفاصل

اطلب من أطفالك طلب المساعدة في أبحاث الجبر الخاصة بهم ، ولم تقم & # 8217t بالجبر لأن السيدة طبايس الدورة السادسة لدورة الجبر في المدرسة الثانوية العليا أو لديك امتحان جبر مهم ولا يمكنك إتقانه أيضًا. حسنًا ، لا تشدد كثيرًا ، حيث يمكنك الآن اكتشاف أوراق عمل الجبر وآلات حاسبة الجبر بالإضافة إلى أدوات حل الجبر الشائعة على الإنترنت ، والتي ستساعدك بالتأكيد خلال إجراءات التعلم الصعبة.

تعتبر ورقة عمل الجبر طريقة ممتازة لتطوير مهاراتك في الرياضيات ، وأيضًا طريقة لاختبار الرياضيات في المستقبل ، أو الحصول على بعض النصائح المفيدة في الجبر. تتكون أوراق عمل الجبر عادةً من مئات المشاكل والمعادلات التي يمكنك استخدامها للتحقق بنفسك. بشكل عام ، سيقوم الموقع الذي يوفر أوراق عمل الجبر بالتأكيد بتصنيف إجاباتك ، أو يقدم سرًا للرد.

بالنسبة لأدوات تطبيقات برامج الجبر التي ستساعد في إصلاح معادلات الجبر ، قد تكون حاسبات الجبر هي الإجابة التي تبحث عنها.


مسح الجبر والاحتمالات: MAT 101

عندما نحل معادلة ، نجد قيمة واحدة لمتغيرنا. مع المتباينات ، سنقدم نطاقًا من القيم للمتغير. للقيام بذلك ، لن نستخدم علامة يساوي ، ولكن نستخدم أحد الرموز التالية:

WeBWorK: إدخال رموز عدم المساواة.

اكتب الرمزين معًا:

& gt = لـ ( geq ) (أكبر من أو يساوي)

& lt = لـ ( leq ) (أقل من أو يساوي)

يعني التعبير (x lt 4 ) أن المتغير (x ) يمكن أن يكون أي رقم أصغر من (4 ) مثل (- 2 ، 0 ، 3 ، 3.9 ) أو حتى (3.999999999 ) ) طالما أنها أصغر من (4 نص <.> ) بمعنى آخر ، (س lt 4 ) هي مجموعة جميع الأرقام الأصغر من (4 نص <.> ) 4 لا تقل عن 4. نكتب (4 n ما لم 4 نص <.> ) ومع ذلك (4 ) أقل من أو يساوي (4 نص <.> ) نكتب (4 leq 4 نص <.> )

يعني التعبير (y geq -2، ) أن المتغير (y ) يمكن أن يكون أي رقم أكبر من أو يساوي (- 2 ، ) مثل (5 ، 0 ، -1 ، -1.9999 ، ) أو حتى (- 2 نص <.> ) بمعنى آخر ، (x geq -2 ) هي مجموعة جميع الأرقام الأكبر من أو التي تساوي (- 2 text <.> )

غالبًا ما يكون من المفيد رسم صورة لحلول المتباينة على خط الأعداد. سنبدأ من القيمة الموجودة في المسألة ونجعل الجزء السفلي من خط الأعداد غامقًا إذا كان المتغير أصغر من الرقم ، ونكتب بخط غامق الجزء العلوي من خط الأرقام إذا كان المتغير أكبر. القيمة نفسها التي سنحددها بدائرة مفتوحة أو مغلقة: مفتوحة لأقل من أو أكبر من ، ودائرة مغلقة أصغر من أو يساوي أو أكبر من أو يساوي.

بمجرد رسم الرسم البياني ، يمكننا تحويله بسرعة إلى ما يسمى. يعطي تدوين الفاصل رقمين ، الأول هو أصغر قيمة (أقصى اليسار على خط الأعداد) ، والثاني هو أكبر قيمة (أقصى اليمين على خط الأعداد). سنستخدم الأقواس المربعة إذا تضمنت المتباينة أو يساوي (لذلك إما ( leq ) أو ( geq )). سنستخدم الأقواس المستديرة إذا كانت المتباينة أقل من أو أكبر من (لذلك إما ( lt ) أو ( gt )). إذا لم تكن هناك قيمة أكبر ، فيمكننا استخدام ( infty ) (ما لا نهاية). إذا لم تكن هناك قيمة أصغر ، فيمكننا استخدام (- infty ) (اللانهاية السالبة). إذا استخدمنا اللانهاية الموجبة أو السالبة ، فسنستخدم دائمًا قوسًا دائريًا بجانب الرمز.

مثال 2.B.1. ربط عدم المساواة والرسم البياني والفاصل الزمني.

بيّن المتباينة (x geq 4 ) وأعط رمز الفترة.

ابدأ من (4 ) وظلل جهة اليمين. استخدم دائرة مغلقة لأكبر من أو يساوي.

تدوين الفاصل الزمني: ([4، infty) علامة اختيار )

WeBWorK: إدخال فترات.

اكتب [4، inf) للفاصل ([4، infty) text <.> )

مثال 2.B.2. ربط عدم المساواة والرسم البياني والفاصل الزمني.

بيّن المتباينة (x lt -4 ) وأعط رمز الفترة.

ابدأ من (- 4 ) وظلل جهة اليسار. استخدم دائرة مفتوحة بسعر أقل من.

تدوين الفاصل الزمني: ((- infty، -4) علامة الاختيار )

WeBWorK: إدخال رمز اللانهاية.

اكتب (-inf، -4) للفاصل ((- infty، -4) text <.> )

مثال 2.B.3. ربط عدم المساواة والرسم البياني والفاصل الزمني.

بيّن المتباينة (- 3 lt x lt 1 ) وأعط رمز الفترة.

ابدأ من (- 3 ) وقم بالتظليل إلى اليمين من أجل (1 نص <.> ) استخدم الدوائر المفتوحة على كلا الطرفين بأقل من.

تدوين الفاصل الزمني: ((- 3 ، -1) علامة الاختيار )

القسم الفرعي 2. ب -2 المتباينات الخطية

حل المتباينات مشابه جدًا لحل المعادلات باستثناء واحد. لفهم الاستثناء ، ضع في اعتبارك الأدوات التي نستخدمها لحل المعادلة: إضافة / طرح وضرب / قسمة الأرقام على جانبي المعادلة لعزل المتغير. نأخذ في الاعتبار المتباينة (1 lt 3 ) ونلاحظ ما يحدث لعلامة المتباينة عندما نجمع ونطرح ونضرب ونقسم على الأعداد الموجبة والسالبة.


تدوين الفترة

كثيرًا ما يرغب علماء الرياضيات في الحديث عنها فترات من الأعداد الحقيقية مثل "جميع الأعداد الحقيقية بين (1 ) و (2 )" ، دون ذكر متغير. كمثال ، "نطاق الوظيفة (f: x mapsto sin x ) هو جميع الأرقام الحقيقية بين (- 1 ) و (1 )".

غالبًا ما يستخدم الترميز المضغوط لهذه الفواصل الزمنية للأرقام الحقيقية:

((1،2) ) تعني جميع الأرقام الحقيقية بين (1 ) و (2 ) ، باستثناء نقاط النهاية

([1،2] ) يعني جميع الأرقام الحقيقية بين (1 ) و (2 ) ، بما في ذلك نقاط النهاية

يمكننا أيضًا كتابة هذه الفواصل الزمنية باستخدام تدوين المجموعة كـ () و () على التوالى.

إذا لزم الأمر ، يمكننا أيضًا مزج نوعي الأقواس ، لذلك يعني ((1،2] ) الفاصل () و ([1،2) ) تعني () .

تتم كتابة الفاصل الزمني "جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من (- 5 )" بالشكل ((- 5، infty) ) ، وكتابة "جميع الأعداد الحقيقية الأصغر من أو التي تساوي (7 )" بالشكل ((- infty، 7] ) هذا لا يعني أن ( infty ) رقم إنه مجرد اختصار مناسب.

على الرغم من أن التدوين ((1،2) ) هو نفسه تمامًا تدوين الإحداثيات ، إلا أنه نادرًا ما يتم الخلط بينهما لأن السياق سيوضح المعنى المقصود.


شاهد الفيديو: Calculus 2 - Full College Course (كانون الثاني 2022).