مقالات

3.E: مقدمة في لغة الجبر (تمارين) - رياضيات


2.1 - استخدم لغة الجبر

استخدم المتغيرات والرموز الجبرية

في التدريبات التالية ، قم بالترجمة من الجبر إلى اللغة الإنجليزية.

  1. 3 • 8
  2. 12 - س
  3. 24 ÷ 6
  4. 9 + 2 أ
  5. 50 ≥ 47
  6. 3 سنوات <15
  7. ن + 4 = 13
  8. 32 - ك = 7

التعرف على التعبيرات والمعادلات

في التدريبات التالية ، حدد ما إذا كان كل منها عبارة عن تعبير أم معادلة.

  1. 5 + ش = 84
  2. 36 - 6 s
  3. 4 سنوات - 11
  4. 10x = 120

بسّط التعابير مع الأسس

اكتب في التدريبات التالية بشكل أسي.

  1. 2 • 2 • 2
  2. أ • أ • أ • أ • أ
  3. x • x • x • x • x • x
  4. 10 • 10 • 10

اكتب في التدريبات التالية بصيغة موسعة.

  1. 84
  2. 36
  3. ذ5
  4. ن4

في التمارين التالية ، بسّط كل تعبير.

  1. 34
  2. 106
  3. 27
  4. 43

تبسيط التعابير باستخدام ترتيب العمليات

في التدريبات التالية ، قم بالتبسيط.

  1. 10 + 2 • 5
  2. (10 + 2) • 5
  3. (30 + 6) ÷ 2
  4. 30 + 6 ÷ 2
  5. 72 + 52
  6. (7 + 5)2
  7. 4 + 3(10 − 1)
  8. (4 + 3)(10 − 1)

2.2 - تقييم التعبيرات وتبسيطها وترجمتها

تقييم التعبير

في التمارين التالية ، قم بتقييم التعبيرات التالية.

  1. 9x - 5 عندما x = 7
  2. ذ3 عندما ص = 5
  3. 3 أ - 4 ب عندما أ = 10 ، ب = 1
  4. bh عندما ب = 7 ، ع = 8

تحديد المصطلحات والمعاملات والمصطلحات المشابهة

في التمارين التالية ، حدد المصطلحات في كل تعبير.

  1. 12 ن2 + 3n + 1
  2. 4x3 + 11 س + 3

في التدريبات التالية ، حدد معامل كل مصطلح.

  1. 6y
  2. 13 ضعفًا2

في التدريبات التالية ، حدد المصطلحات المتشابهة.

  1. 5x2، 3 ، 5 سنوات2، 3x ، x ، 4
  2. 8 ، 8 ص2، 8 ص ، 3 ص ، ص2، 3 ثوانٍ

بسّط التعبيرات بدمج الحدود المتشابهة

في التمارين التالية ، بسّط التعابير التالية بدمج المصطلحات المتشابهة.

  1. 15 أ + 9 أ
  2. 12y + 3y + y
  3. 4 س + 7 س + 3 س
  4. 6 + 5 ج + 3
  5. 8n + 2 + 4n + 9
  6. 19 ص + 5 + 4 ص - 1 + 3 ص
  7. 7 س2 + 2y + 11 + 3y2 − 8
  8. 13 ضعفًا2 - س + 6 + 5 س2 + 9x

ترجمة العبارات الإنجليزية إلى التعبيرات الجبرية

في التدريبات التالية ، قم بترجمة العبارات التالية إلى تعبيرات جبرية.

  1. الفرق بين x و 6
  2. مجموع 10 ومرتين
  3. حاصل ضرب 3n و 9
  4. حاصل قسمة s و 4
  5. 5 أضعاف مجموع y و 1
  6. 10 أقل من حاصل ضرب 5 و z
  7. اشترى جاك شطيرة وقهوة. كانت تكلفة الشطيرة 3 دولارات أكثر من تكلفة القهوة. استدعاء تكلفة القهوة ج. اكتب تعبيرًا عن تكلفة الشطيرة.
  8. عدد كتب الشعر الموجودة على رف كتب بريانا هو 5 أقل من ضعف عدد الروايات. استدعاء عدد الروايات ن. اكتب تعبيرا لعدد كتب الشعر.

2.3 - حل المعادلات باستخدام خصائص الطرح والجمع للمساواة

حدد ما إذا كان الرقم حلًا لمعادلة

في التمارين التالية ، حدد ما إذا كان كل رقم يمثل حلاً للمعادلة.

  1. ص + 16 = 40
    1. 24
    2. 56
  2. د - 6 = 21
    1. 15
    2. 27
  3. 4 ن + 12 = 36
    1. 6
    2. 12
  4. 20 س - 10 = 70
    1. 3
    2. 4
  5. 15x - 5 = 10x + 45
    1. 2
    2. 10
  6. 22 بكسل - 6 = 18 بكسل + 86
    1. 4
    2. 23

نموذج لخاصية الطرح للمساواة

في التدريبات التالية ، اكتب المعادلة التي تم تشكيلها بواسطة الأظرف والعدادات ثم قم بحل المعادلة باستخدام خاصية الطرح للمساواة

حل المعادلات باستخدام خاصية الطرح للمساواة

في التدريبات التالية ، حل كل معادلة باستخدام خاصية الطرح للمساواة.

  1. ج + 8 = 14
  2. ع + 8 = 150
  3. 23 = س + 12
  4. 376 = ن + 265

حل المعادلات باستخدام خاصية الإضافة للمساواة

في التدريبات التالية ، حل كل معادلة باستخدام خاصية الإضافة للمساواة.

  1. ص - 7 = 16
  2. ك - 42 = 113
  3. 19 = ص - 15
  4. 501 = ش - 399

ترجمة الجمل الإنجليزية إلى المعادلات الجبرية

في التدريبات التالية ، قم بترجمة كل جملة إنجليزية إلى معادلة جبرية.

  1. مجموع 7 و 33 يساوي 40.
  2. الفرق بين 15 و 3 يساوي 12.
  3. حاصل ضرب 4 و 8 يساوي 32.
  4. حاصل قسمة 63 و 9 يساوي 7.
  5. نحصل على ضعف الفرق بين n و 3 بمقدار 76.
  6. مجموع خمسة في y و 4 يساوي 89.

ترجم إلى معادلة وحل

في التدريبات التالية ، قم بترجمة كل جملة إنجليزية إلى معادلة جبرية ثم حلها.

  1. ثمانية أكثر من x يساوي 35.
  2. 21 أقل من a تساوي 11.
  3. الفرق بين q و 18 هو 57.
  4. مجموع م و 125 هو 240.

الممارسة المختلطة

في التمارين التالية ، حل كل معادلة.

  1. ح - 15 = 27
  2. ك - 11 = 34
  3. ض + 52 = 85
  4. س + 93 = 114
  5. 27 = ف + 19
  6. 38 = ف + 19
  7. 31 = ت - 25
  8. 38 = ش - 16

2.4 - إيجاد المضاعفات والعوامل

حدد مضاعفات الأعداد

في التمارين التالية ، ضع قائمة بجميع المضاعفات الأقل من 50 لكل مما يلي.

  1. 3
  2. 2
  3. 8
  4. 10

استخدم اختبارات القسمة المشتركة

في التدريبات التالية ، باستخدام اختبارات القابلية للقسمة ، حدد ما إذا كان كل رقم قابل للقسمة على 2 و 3 و 5 و 6 و 10.

  1. 96
  2. 250
  3. 420
  4. 625

أوجد كل عوامل العدد

في التمارين التالية ، أوجد جميع عوامل كل رقم.

  1. 30
  2. 70
  3. 180
  4. 378

تحديد الأعداد الأولية والمركبة

في التدريبات التالية ، حدد كل رقم على أنه أولي أو مركب.

  1. 19
  2. 51
  3. 121

2.5 - العوملة الأولية والمضاعف المشترك الأصغر

أوجد العامل الأولي لرقم مركب

ابحث في التمارين التالية عن التحليل الأولي لكل رقم.

  1. 84
  2. 165
  3. 350
  4. 572

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لعددين

ابحث في التمارين التالية عن المضاعف المشترك الأصغر لكل زوج من الأرقام.

  1. 9, 15
  2. 12, 20
  3. 25, 35
  4. 18, 40

الرياضيات اليومية

  1. صف كيف استخدمت موضوعين من فصل لغة الجبر في حياتك خارج فصل الرياضيات خلال الشهر الماضي.

اختبار الممارسة

في التدريبات التالية ، قم بالترجمة من معادلة جبرية إلى عبارات إنجليزية.

  1. 6 • 4
  2. 15 - س

في التدريبات التالية ، حدد كل منها كتعبير أو معادلة.

  1. 5 • 8 + 10
  2. س + 6 = 9
  3. 3 • 11 = 33
  4. (أ) اكتب n • n • n • n • n • n بالصيغة الأسية. (ب) اكتب 35 في صورة موسعة ثم تبسيطها.

في التدريبات التالية ، قم بالتبسيط باستخدام ترتيب العمليات.

  1. 4 + 3 • 5
  2. (8 + 1) • 4
  3. 1 + 6(3 − 1)
  4. (8 + 4) ÷ 3 + 1
  5. (1 + 4)2
  6. 5[2 + 7(9 − 8)]

في التدريبات التالية ، قم بتقييم كل تعبير.

  1. 8x - 3 عندما x = 4
  2. ذ3 عندما ص = 5
  3. 6 أ - 2 ب عندما تكون أ = 5 ، ب = 7
  4. hw عندما h = 12 ، w = 3
  5. بسّط من خلال الجمع بين الحدود المتشابهة.
    1. 6x + 8x
    2. 9 م + 10 + م + 3

في التدريبات التالية ، قم بترجمة كل عبارة إلى تعبير جبري.

  1. 5 أكثر من x
  2. حاصل قسمة 12 و y
  3. ثلاثة أضعاف الفرق بين أ وب
  4. كارولين لديها 3 أقراط أقل في أذنها اليسرى مقارنة بأذنها اليمنى. اتصل بعدد الأقراط الموجودة على أذنها اليمنى ، r. اكتب تعبيرًا عن عدد الأقراط الموجودة على أذنها اليسرى.

في التمارين التالية ، حل كل معادلة.

  1. ن - 6 = 25
  2. س + 58 = 71

في التدريبات التالية ، قم بترجمة كل جملة إنجليزية إلى معادلة جبرية ثم حلها.

  1. 15 أقل من y يساوي 32.
  2. مجموع a و 129 هو 164.
  3. اكتب كل مضاعفات العدد 4 الأصغر من 50.
  4. أوجد كل عوامل العدد 90.
  5. أوجد التحليل الأولي لـ 1080.
  6. أوجد المضاعف المشترك الأصغر (المضاعف المشترك الأصغر) للعددين 24 و 40.

احسب اختبار المساحات السطحية

مسابقة احسب الأحجام

تحويل النسب إلى اختبار الكسور

تعبيرات جبرية

اختبار الزوايا

مسابقة ينسق ورسومات

مسابقات عشرية

كسور

ألعاب الجبر - معادلات ذات متغير محدد ص = 1

لعبة الجبر في كرة السلة مع تعريف متغير y = 1

لعبة En Garde algebra مبارزة مع تعريف متغير y = 1

اقذف لعبة المعلم في الجبر بتعريف متغير y = 1

المشي في لعبة الجبر بلانك مع تحديد متغير y = 1

لعبة جبر كرة القدم مع تعريف متغير y = 1


محتويات

يبدأ طلاب المرحلة الابتدائية بتمارين حسابية مكونة من رقم واحد. تشتمل معظم التمارين اللاحقة على رقمين على الأقل. يستدعي التمرين الشائع في الجبر الابتدائي تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل. تمرين آخر هو إكمال المربع في متعدد الحدود من الدرجة الثانية. مشكلة الكلمات المنتجة بشكل مصطنع هي نوع من التمارين يهدف إلى إبقاء الرياضيات ذات صلة. وصف ستيفن ليكوك هذا النوع: [1]

يجد طالب الحساب الذي أتقن القواعد الأربع الأولى لفنه ونجح في التعامل مع المجاميع والكسور نفسه في مواجهة مجموعة متواصلة من الأسئلة تُعرف بالمشكلات. هذه قصص قصيرة للمغامرة والصناعة مع حذف النهاية ، وعلى الرغم من أنها تخون تشابهًا عائليًا قويًا ، إلا أنها لا تخلو من عنصر معين من الرومانسية.

شونفيلد قام بالتمييز بين التمرين والمشكلة الرياضية: [2]

يجب على الطلاب إتقان الموضوع ذي الصلة ، والتمارين مناسبة لذلك. ولكن إذا كانت التدريبات عن ظهر قلب هي النوع الوحيد من المشاكل التي يراها الطلاب في فصولهم ، فنحن نلحق ضررًا بالغًا بالطلاب.

دعا إلى وضع التحديات:

من خلال "مشاكل حقيقية". أعني المهام الرياضية التي تشكل تحديًا صادقًا للطالب والتي يحتاج الطالب إلى العمل بها من أجل الحصول على حل.

أعرب مارفن بيتينجر عن شعور مماثل عندما أعد الطبعة الثانية [3] من كتابه المدرسي:

ردًا على تعليقات المستخدمين ، أضاف المؤلفون تمارين تتطلب شيئًا من الطالب بخلاف فهم الأهداف المباشرة للدرس المطروح ، ولكنها ليست بالضرورة صعبة للغاية.

تحدد منطقة التطور القريب لكل طالب ، أو مجموعة من الطلاب ، التمارين على مستوى من الصعوبة يتحدىهم ولكنه لا يحبطهم.

توضح بعض التعليقات الواردة في مقدمة كتاب التفاضل والتكامل [4] المكانة المركزية للتمارين في الكتاب:

تشكل التمارين حوالي ربع النص - الجزء الأكثر أهمية في النص في رأينا. . تمارين تكميلية في نهاية كل فصل توسع مجموعات التمارين الأخرى وتوفر تمارين تراكمية تتطلب مهارات من الفصول السابقة.

يتضمن هذا النص "الوظائف والرسوم البيانية في التطبيقات" (الفصل 0.6) وهو عبارة عن أربع عشرة صفحة من التحضير لمشاكل الكلمات.

اختار مؤلفو كتاب في الحقول المحدودة تمارينهم بحرية: [5]

من أجل تعزيز جاذبية هذا الكتاب ككتاب مدرسي ، قمنا بتضمين أمثلة عملية في نقاط مناسبة في النص وأدرجنا قوائم من التمارين للفصول من 1 إلى 9. وتتنوع هذه التمارين من المشكلات الروتينية إلى البراهين البديلة للنظريات الرئيسية ، ولكنها تحتوي أيضًا على مواد تتجاوز ما تم تناوله في النص.

شرح جي سي ماكسويل كيف أن التمرين يسهل الوصول إلى لغة الرياضيات: [6]

بصفتنا علماء رياضيات ، فإننا نقوم بعمليات ذهنية معينة على رموز العدد أو الكمية ، ومن خلال الانتقال خطوة بخطوة من العمليات الأكثر بساطة إلى العمليات الأكثر تعقيدًا ، يمكننا التعبير عن نفس الشيء في العديد من الأشكال المختلفة. إن تكافؤ هذه الأشكال المختلفة ، على الرغم من أنه نتيجة ضرورية للبديهيات البديهية ، ليس دائمًا ، في أذهاننا ، بديهيًا بذاته ، ولكنه عالم الرياضيات ، الذي اكتسب ، من خلال الممارسة الطويلة ، إلمامًا بالعديد من هذه الأشكال ، وأصبح خبيرًا في العمليات التي تقود من واحد إلى آخر ، غالبًا ما يحول تعبيرًا محيرًا إلى تعبير آخر مما يفسر معناها بلغة أكثر وضوحًا.

يستخدم المعلمون الفرديون في مختلف الكليات التدريبات كجزء من دورات الرياضيات الخاصة بهم. أشار شوينفيلد إلى التحقيق في حل المشكلات في الجامعات: [7]

عروض القسم العلوي لتخصصات الرياضيات ، حيث عمل الطلاب في الغالب على مجموعات من المسائل التي قام بتجميعها أساتذتهم الفردية. في مثل هذه الدورات ، كان التركيز على التعلم بالممارسة ، دون محاولة لتدريس أساليب إرشادية محددة: عمل الطلاب على الكثير من المشاكل لأن (وفقًا للنموذج التعليمي الضمني وراء مثل هذه الدورات) هذه هي الطريقة التي يصبح بها المرء جيدًا في الرياضيات.

قد تكون مجموعات التمرين هذه مملوكة للمدرس ومؤسسته. كمثال على قيمة مجموعات التمرين ، ضع في اعتبارك إنجاز Toru Kumon وطريقة Kumon الخاصة به. في برنامجه ، لا يتقدم الطالب قبل إتقان كل مستوى من مستويات التمرين. في المدرسة الروسية للرياضيات ، يبدأ الطلاب مشاكل متعددة الخطوات في وقت مبكر من الصف الأول ، ويتعلمون البناء على النتائج السابقة للتقدم نحو الحل.

في الستينيات ، تمت ترجمة مجموعات التمارين الرياضية من الروسية ونشرها دبليو إتش فريمان وشركاه: كتاب مشكلة أولمبياد اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية (1962), [8] مشاكل في الجبر العالي (1965) ، [9] و مشاكل في المعادلات التفاضلية (1963). [10]

في الصين ، منذ العصور القديمة ، تم استخدام قضبان العد لتمثيل الأرقام ، وتم إجراء الحساب باستخدام حساب التفاضل والتكامل والقضيب لاحقًا. يتضمن كتاب الأرقام والحساب والفصول التسعة في الفن الرياضي تمارين تمثل نماذج للجبر الخطي. [11]

حوالي 980 كتب السجزي كتابه طرق تسهيل اشتقاق الأشكال الهندسيةالذي ترجمه ونشره جان هوغينديك عام 1996. [12]

تم إعطاء مجموعة من التمارين باللغة العربية ترجمة إسبانية كـ خلاصة وافية عن الجبر في أبينبير ومراجعتها في الطبيعة. [13]

في أوروبا قبل عام 1900 ، كان علم المنظور الرسومي عبارة عن تمارين هندسية مؤطرة. على سبيل المثال ، في عام 1719 كتب بروك تايلور في مبادئ جديدة للمنظور الخطي

سيجد [القارئ] متعة أكبر بكثير في ملاحظة مدى اتساع هذه المبادئ ، من خلال تطبيقها على حالات معينة سيبتكرها بنفسه ، بينما يمارس نفسه في هذا الفن. [14]

. بالنسبة للطريقة الصحيحة والأفضل لتعلم أي فن ، لا تتمثل في رؤية العديد من الأمثلة التي قام بها شخص آخر ولكن امتلاك الذات أولاً من مبادئها ، ثم جعلها مألوفة ، من خلال ممارسة الذات في الممارسة. [15]

قدم استخدام الألواح الكتابية في المدارس شكلاً مبكرًا للتمارين. جاء نمو برامج التمرين بعد إدخال الامتحانات الكتابية والدراسة على أساس الورقة والقلم.

. دورة في "الرياضيات الخاصة". هذا تركيز قوي للغاية لتعليم الرياضيات - يصل إلى 16 ساعة في الأسبوع - حيث يتم دراسة الهندسة التحليلية الأولية والميكانيكا ، وحساب التفاضل والتكامل مؤخرًا أيضًا ، بدقة وتحويلها إلى أداة متقنة بشكل آمن عن طريق العديد من التمارين.

كان سيلفستر لاكروا مدرسًا ومعرضًا موهوبًا. يستخدم كتابه عن الهندسة الوصفية أقسامًا بعنوان "مشكلة" لممارسة فهم القارئ. في عام 1816 كتب مقالات عن التدريس بشكل عام ، وعن تدريس الرياضيات بشكل خاص والتي أكدت على الحاجة إلى التمرين والاختبار:

الممتحن ، ملزم ، على المدى القصير ، بضرب أسئلته بما يكفي لتغطية الموضوعات التي يطلبها ، إلى الجزء الأكبر من المادة التي يتم تدريسها ، لا يمكن أن يكون أقل شمولاً ، لأنه إذا كان اختصارًا ، فإنه يضع الطلبات جانبًا ، لن تكسب كليات التلاميذ شيئا بهذه الطريقة. [17]

لفت أندرو وارويك الانتباه إلى السؤال التاريخي للتدريبات:

أصبح إدراج التدريبات والمشكلات التوضيحية في نهاية الفصول في الكتب المدرسية للفيزياء الرياضية أمرًا شائعًا لدرجة أنه يبدو غير استثنائي ، ولكن من المهم أن ندرك أن هذا الجهاز التربوي من أصل حديث نسبيًا وتم تقديمه في سياق تاريخي محدد. [18]: 168

في تقريره عن امتحانات tripos الرياضية التي تم إجراؤها في جامعة كامبريدج ، يلاحظ

تم تحقيق هذا التعلم التراكمي التنافسي بشكل أكثر فاعلية بواسطة مدرسين خاصين باستخدام دروس فردية ، ومخطوطات معدة خصيصًا ، وأمثلة ومشكلات متدرجة ، مما كان عليه من قبل محاضرين جامعيين يقومون بتدريس فصول كبيرة بوتيرة متوسطة. [18]: 79

يشرح العلاقة بين الفحص والتمرين ، يكتب

. بحلول ثلاثينيات القرن التاسع عشر ، كانت المشكلات في أوراق الامتحانات ، بدلاً من التدريبات في الكتب المدرسية ، هي التي حددت المعيار الذي يطمح إليه الطلاب الطموحون. [طلاب كامبردج] لم يتوقعوا فقط أن يجدوا طريقهم من خلال أبسط رسم لمثال ، ولكن تم تعليمهم اعتبار مثل هذه التمارين كتحضير مفيد لمعالجة المشاكل الصعبة في الامتحانات. [18]: 152

كتب وارويك موضحًا كيف تجذر الإصلاح:

كان يعتقد على نطاق واسع في كامبريدج أن أفضل طريقة لتدريس الرياضيات ، بما في ذلك الأساليب التحليلية الجديدة ، كانت من خلال الأمثلة والمشكلات العملية ، وبحلول منتصف ثلاثينيات القرن التاسع عشر ، كان بعض الجيل الأول من زملاء الكلية الشباب قد تعلموا التحليل العالي. وبهذه الطريقة بدأوا بإجراء أبحاثهم الخاصة والتعيين كممتحنين في تريبوس. [18]: 155

أفاد وارويك أنه في ألمانيا ، طور فرانز إرنست نيومان في نفس الوقت تقريبًا "نظامًا مشتركًا للتمارين المتدرجة التي أدخلت الطالب إلى تسلسل هرمي للمهارات والتقنيات الرياضية الأساسية ، وبدأ في بناء مجموعات مسائل خاصة به يمكن من خلالها لطلابه تعلم حرفة." [18]: 174 في روسيا ، أصلح ستيفن تيموشينكو التعليمات حول التدريبات. في عام 1913 كان يدرّس قوة المواد في جامعة بطرسبرغ لوسائل الاتصال. كما كتب عام 1968 ،

لم يتم إجراء تمارين [عملية] في المعهد ، وفي الامتحانات طُرح على الطلاب أسئلة نظرية فقط من الكتاب المدرسي المعتمد. كان علي أن أنهي هذا النوع من التدريس في أسرع وقت ممكن. لقد فهم الطلاب الموقف بوضوح ، وأدركوا الحاجة إلى استيعاب أفضل للموضوع ، ولم يعترضوا على الزيادة الكبيرة في عبء عملهم. كانت الصعوبة الرئيسية مع المعلمين - أو بشكل أكثر دقة ، مع الممتحنين ، الذين اعتادوا على بناء امتحاناتهم على الكتاب. وضع مشاكل عملية في الامتحانات يعقد عملهم. كانوا أشخاصًا منذ سنوات. كان الأمل الوحيد هو جلب الشباب إلى التدريس. [19]


الجبر الخطي كمقدمة للرياضيات المجردة

هذا كتاب تمهيدي مصمم لتخصصات الرياضيات الجامعية مع التركيز على التجريد وعلى وجه الخصوص ، مفهوم البراهين في وضع الجبر الخطي. عادةً ما يكون مثل هذا الطالب قد أخذ حساب التفاضل والتكامل ، على الرغم من أن الشرط الأساسي الوحيد هو التأريض الرياضي المناسب. الغرض من هذا الكتاب هو سد الفجوة بين الفصول الجامعية الأكثر توجهاً نحو المفاهيم والحسابات إلى الفصول الأكثر توجهاً نحو التجريد. يبدأ الكتاب بأنظمة المعادلات الخطية والأرقام المركبة ، ثم يربطها بالمفهوم التجريدي للخرائط الخطية على مسافات متجهة ذات أبعاد محدودة ، ويغطي القطرية ، ومساحات eigens ، والمحددات ، والنظرية الطيفية. يختتم كل فصل بكلٍ من التدريبات التدريجية والحاسوبية.

  • ما هو الجبر الخطي
  • مقدمة في الأعداد المركبة
  • النظرية الأساسية للجبر وعوامل متعددة الحدود
  • مساحات المتجهات
  • سبان وقواعد
  • الخرائط الخطية
  • القيم الذاتية والمتجهات الذاتية
  • التباديل ومحدد المصفوفة المربعة
  • مساحات المنتج الداخلية
  • تغيير القواعد
  • النظرية الطيفية للخرائط الخطية العادية
  • الملحقات:
    • ملاحظات تكميلية على المصفوفات والأنظمة الخطية
    • لغة المجموعات والوظائف
    • ملخص التراكيب الجبرية التي تمت مواجهتها
    • بعض الرموز والاختصارات الرياضية الشائعة
    أمامي
    الفصل 1: ما هو الجبر الخطي؟
    • مقدمة
    • ما هو الجبر الخطي؟
    • نظم المعادلات الخطية
      • المعادلات الخطية
      • المعادلات غير الخطية
      • التحولات الخطية
      الفصل 2: ​​مقدمة في الأعداد المركبة

      دع تشير إلى مجموعة الأرقام الحقيقية ، والتي يجب أن تكون مجموعة مألوفة من الأرقام لأي شخص درس التفاضل والتكامل. في هذا الفصل ، نستخدم R لبناء مجموعة متساوية الأهمية من ما يسمى بالأرقام المركبة.

      الفصل 3: النظرية الأساسية للجبر وعوملة كثيرات الحدود

      أوجه التشابه والاختلاف بين ℝ و أنيقة ومثيرة للاهتمام ، ولكن لماذا تعتبر الأعداد المركبة مهمة؟ إحدى الإجابات المحتملة على هذا السؤال هي النظرية الأساسية للجبر. تنص على أن كل معادلة متعددة الحدود في متغير واحد مع معاملات معقدة لها حل معقد واحد على الأقل. بعبارة أخرى ، يمكن دائمًا حل المعادلات متعددة الحدود المتكونة على على ℂ. تحتوي هذه النتيجة المذهلة على العديد من الصيغ المكافئة بالإضافة إلى عدد لا يحصى من البراهين المختلفة ، أولها قدمه عالم الرياضيات البارز كارل فريدريش جاوس (1777-1855) في أطروحة الدكتوراه الخاصة به.

      الفصل 4: مسافات المتجهات

      مع الخلفية التي تم تطويرها في الفصول السابقة ، نحن على استعداد لبدء دراسة الجبر الخطي من خلال تقديم مسافات متجهة. الفراغات المتجهة ضرورية لصياغة وحل مسائل الجبر الخطي وستظهر تقريبًا في كل صفحة من صفحات هذا الكتاب من الآن فصاعدًا.

      الفصل 5: الامتداد والقواعد

      إن الفكرة البديهية لبعد الفضاء مثل عدد الإحداثيات التي يحتاجها المرء لتحديد نقطة في الفضاء بشكل فريد يحفز التعريف الرياضي لأبعاد الفضاء المتجه. في هذا الفصل ، سوف نقدم أولاً مفاهيم الامتداد الخطي والاستقلال الخطي وأساس الفضاء المتجه. بالنظر إلى الأساس ، سنجد تطابقًا حيويًا بين الإحداثيات والعناصر في فضاء متجه ، مما يؤدي إلى تعريف بُعد فضاء متجه.

      الفصل السادس: الخرائط الخطية

      كما تمت مناقشته في الفصل الأول ، فإن أحد الأهداف الرئيسية للجبر الخطي هو توصيف الحلول لنظام من المعادلات الخطية في n مجهولة. x1, . . . , xن,


      3.E: مقدمة في لغة الجبر (تمارين) - رياضيات

      نظرًا لأن الجبر يستخدم نفس الرموز المستخدمة في الحساب للجمع والطرح والضرب والقسمة ، فأنت بالفعل على دراية بالمفردات الأساسية.

      في هذا الدرس ، ستتعلم بعض كلمات المفردات الجديدة المهمة ، وسترى كيفية الترجمة من الإنجليزية البسيطة إلى & quotlanguage & quot في الجبر.

      الخطوة الأولى في تعلم & quot؛ تعلم الجبر & quot هي تعلم تعاريف الكلمات الأكثر استخدامًا.

      تعبيرات جبرية
      ان تعبير جبري هو واحد أو أكثر من المصطلحات الجبرية في العبارة. يمكن أن تشمل المتغيرات والثوابت ورموز التشغيل ، مثل علامات الجمع والطرح. إنها عبارة فقط ، وليست الجملة بأكملها ، لذا فهي لا تتضمن علامة يساوي.

      تعبير جبري:

      في التعبير الجبري ، المصطلحات هي العناصر المفصولة بعلامات زائد أو ناقص. هذا المثال له أربعة مصطلحات ، 3x 2 , 2 س, 7xy، و 5. قد تتكون الشروط من متغيرات ومعاملات ، أو ثوابت.

      المتغيرات
      في التعبيرات الجبرية ، تمثل الأحرف المتغيرات. هذه الأحرف هي في الواقع أرقام مقنعة. في هذا التعبير ، المتغيران هما x و y. نسمي هذه الحروف & quot فار iables & quot لأن الأرقام التي يمثلونها ممكنة يتغير & # 151 أي يمكننا استبدال رقم واحد أو أكثر بأحرف التعبير.

      معاملات
      المعاملات هي الجزء الرقمي من المصطلحات ذات المتغيرات. في 3x 2 + 2y + 7xy + 5 ، معامل الحد الأول هو 3. معامل الحد الثاني هو 2 ، ومعامل الحد الثالث هو 7.

      إذا كان المصطلح يتكون من متغيرات فقط ، فإن معامله هو 1.

      الثوابت
      الثوابت هي المصطلحات في التعبير الجبري التي تحتوي على أرقام فقط. أي أنها الحدود بدون متغيرات. نسميها ثوابت لأن قيمتها لا تتغير أبدًا ، حيث لا توجد متغيرات في المصطلح يمكنها تغيير قيمته. في التعبير 7 × 2 + 3 ص + 8 المصطلح الثابت هو & quot8. & quot

      أرقام حقيقية
      في الجبر ، نعمل مع مجموعة الأعداد الحقيقية ، والتي يمكننا نمذجتها باستخدام خط الأعداد.

      تصف الأرقام الحقيقية كميات العالم الحقيقي مثل الكميات والمسافات والعمر ودرجة الحرارة وما إلى ذلك. يمكن أن يكون الرقم الحقيقي عددًا صحيحًا أو كسرًا أو رقمًا عشريًا. يمكن أن تكون أيضًا إما عقلانية أو غير عقلانية. تسمى الأرقام غير الحقيقية & quot & مثل التخيلية. يستخدم علماء الرياضيات الأرقام التخيلية لوصف الأرقام التي لا يمكن العثور عليها على خط الأعداد. إنها موضوع أكثر تعقيدًا مما سنعمل معه هنا.

      أرقام نسبية
      نسمي مجموعة الأعداد الصحيحة والكسور والأرقام الاقتباسية. & quot عاقل يأتي من الكلمة & quot نسبة & quot لأن الرقم المنطقي يمكن كتابته دائمًا كـ نسبة أو حاصل قسمة عددين صحيحين.

      أمثلة على الأرقام المنطقية
      الكسر و frac12 هو نسبة 1 إلى 2.

      بما أنه يمكن التعبير عن ثلاثة في صورة ثلاثة على واحد ، أو النسبة من 3 إلى واحد ، فهو أيضًا عدد نسبي.

      الرقم & quot0.57 & quot هو أيضًا رقم نسبي ، حيث يمكن كتابته في صورة كسر.

      أرقام غير منطقية
      لا يمكن التعبير عن بعض الأعداد الحقيقية في صورة حاصل قسمة عددين صحيحين. نسمي هذه الأرقام & amp ؛ أرقام الاقتباس & quot. الشكل العشري للرقم غير النسبي هو رقم عشري غير متكرر وغير منتهي. على سبيل المثال ، ربما تكون على دراية بالرقم المسمى & quotpi & quot. هذا الرقم غير المنطقي مهم جدًا لدرجة أننا نمنحه اسمًا ورمزًا خاصًا!

      لا يمكن كتابة Pi على هيئة حاصل قسمة عددين صحيحين ، وصيغته العشرية تستمر إلى الأبد ولا تتكرر أبدًا.

      ترجمة الكلمات إلى لغة الجبر
      إليك بعض العبارات باللغة الإنجليزية. يوجد أسفل كل عبارة ترجمتها في الجبر.

      مجموع ثلاثة في عدد وثمانية
      3x + 8

      تخبرنا الكلمات & quotthe sum of & quot؛ أننا بحاجة إلى علامة زائد لأننا سنضيف ثلاثة في عدد إلى ثمانية. تخبرنا الكلمتان & quot؛ ثلاث مرات & quot؛ أن الحد الأول هو عدد مضروب في ثلاثة.

      في هذا التعبير ، لا نحتاج إلى علامة ضرب أو أقواس. عبارات مثل & quota number & quot أو & quotthe number & quot تخبرنا أن تعبيرنا يحتوي على كمية غير معروفة تسمى متغير. في الجبر ، نستخدم الحروف لتمثيل المتغيرات.

      حاصل ضرب رقم ونفس العدد مطروحًا منه 3
      x (x & # 150 3)

      تخبرنا الكلمات & quotthe حاصل ضرب & quot ؛ أننا سنضرب عددًا في العدد أقل من 3. في هذه الحالة ، سنستخدم الأقواس لتمثيل الضرب. تخبرنا الكلمات & quotless 3 & quot بطرح ثلاثة من العدد المجهول.

      عدد مقسومًا على نفس العدد مطروحًا منه خمسة

      تخبرنا الكلمات & quot مقسومة على & quot أننا سنقسم عددًا على فرق الرقم و 5. في هذه الحالة ، سنستخدم كسرًا لتمثيل القسمة. تخبرنا الكلمات & quotless 5 & quot؛ أننا بحاجة إلى علامة ناقص لأننا سنطرح خمسة.


      مقدمة في التفكير الرياضي: أنظمة الجبر والأرقام

      تم تصميم هذا الكتاب لدورة أولى في الرياضيات المجردة لطلاب الجامعات الذين يرغبون في التخصص في الرياضيات أو علوم الكمبيوتر. في نفس الوقت الذي يتم فيه تدريس علم الجبر الذي سيكون مفيدًا في الدراسات اللاحقة ، يقدم الكتاب مقدمة عن التفكير الرياضي وفن كتابة البراهين.

      يتركز الجبر في الكتاب حول أنظمة الأرقام ، من الأعداد الصحيحة إلى الأعداد المركبة ، وحل المعادلات متعددة الحدود في هذه الأنظمة. على الرغم من أن الرياضيات في الكتاب كلاسيكية ، إلا أننا نقوم بتضمين تطبيق حديث للغاية للتشفير الذي يروق للطلاب باعتباره وثيق الصلة بالموضوع.

      محتويات

        مقدمة
    • المنطق والأدلة
      • لغة الرياضيات
      • منطق
      • مجموعات
      • محددو الكمية
      • البراهين
      • أمثلة مضادة
      • تمارين ومشاكل
    • الأعداد الصحيحة ومعادلات الديوفانتين
        خوارزمية الانقسام
    • الخوارزمية الإقليدية
    • معادلات ديوفانتين الخطية
    • عدد صحيح في قواعد مختلفة
    • الأعداد الأولية
    • تمارين ومشاكل
  • التطابق
    • التطابق
    • اختبارات القسمة
    • علاقات التكافؤ
    • الحساب وحدات
    • التطابقات الخطية
    • نظرية الباقي الصيني
    • نظرية أويلر فيرمات
    • تمارين ومشاكل
  • الاستقراء ونظرية ذات الحدين
    • الاستنتاج الرياضي
    • العودية
    • نظرية ذات الحدين
    • تمارين ومشاكل
  • الأعداد الصحيحة والحقيقية
    • أرقام نسبية
    • أرقام حقيقية
    • الأسس العقلانية
    • التوسعات العشرية
    • تمارين ومشاكل
  • الوظائف والتحيزات
    • المهام
    • الرسم البياني لوظيفة
    • تكوين الدوال
    • وظائف معكوسة
    • نظرية الانقلاب
    • عدد العناصر في المجموعة
    • الدوال المثلثية المعكوسة
    • الدوال الأسية واللوغاريتمية
    • التباديل
    • تمارين ومشاكل
  • مقدمة في علم التشفير
      التشفير
  • تشفير المفتاح الخاص
  • تشفير المفتاح العام
  • مخطط RSA
  • تمارين ومشاكل
  • ارقام مركبة
    • المعادلات التربيعية
    • ارقام مركبة
    • الطائرة المعقدة
    • خواص الأعداد المركبة
    • التمثيل القطبي
    • نظرية دي Moivre
    • جذور الأعداد المركبة
    • النظرية الأساسية في الجبر
    • تمارين ومشاكل
  • معادلات كثيرة الحدود
      كثيرات الحدود والعوملة
  • الجذور المعقدة لكثيرات الحدود
  • الجذور المنطقية لكثيرات الحدود
  • تقريب الجذور الحقيقية
  • المتباينات متعددة الحدود
  • المعادلات التكعيبية
  • جذور متعددة
  • الكسور الجزئية
  • المعادلات على مجال محدد
  • تمارين ومشاكل
  • زائدة
    • علم المثلثات
    • عدم المساواة
    قراءة متعمقة
    إجابات على المشاكل والتمارين ذات الأرقام الفردية
    قائمة الرموز
    فهرس

    حلول

    تتوفر حلول كاملة لجميع تمارين ومشكلات 911 من George Lobell ، محرر التزويد في Pearson Prentice Hall.

    هناك الكثير من الأسئلة في نهاية كل فصل. وهي مقسمة إلى نوعين ، التمارين عبارة عن تطبيقات روتينية للمادة الموجودة في الفصل ، بينما تتطلب المشكلات عادةً مزيدًا من البراعة وتتراوح من السهل إلى شبه المستحيل.

    توجد إجابات موجزة لجميع الأسئلة ذات الأرقام الفردية في الجزء الخلفي من الكتاب.

    يتم سرد الأخطاء التي أعرف عنها هنا.

    الإصدارات السابقة

    عودة إلى الصفحة الرئيسية لـ William Gilbert. تم آخر تحديث لهذه الصفحة في 3 مارس 2005


    مقدمة في الجبر المثلي

    مع ثروة من الأمثلة بالإضافة إلى التطبيقات الوفيرة في علم الجبر ، هذا عمل يجب قراءته: دليل مكتوب بوضوح وسهل المتابعة للجبر المثلي. يقدم المؤلف معالجة الجبر المتماثل الذي يقترب من الموضوع من حيث أصوله في الطوبولوجيا الجبرية. في هذه النسخة الجديدة من العلامة التجارية ، تم تحديث النص بالكامل ومراجعته بالكامل وتمت إضافة مواد جديدة على الحزم وفئات أبيليان.

    تشمل التطبيقات ما يلي:

    * للحلقات - نظرية لازارد القائلة بأن الوحدات المسطحة هي حدود مباشرة للوحدات المجانية ، نظرية هيلبرت تزيزي ، حل كويلن سوسلين لمشكلة سيري حول الإسقاطات على الحلقات متعددة الحدود ، توصيف Serre-Auslander-Buchsbaum للحلقات المحلية المنتظمة (ورسم تخطيطي فريد من نوعه) عامل)

    * للمجموعات - Schur-Zassenhaus ، نظرية جاسشوتز في الأشكال التلقائية الخارجية لمجموعات p محدودة ، ومضاعف شور ، ومجموعات الالتواء

    * إلى الحزم - علم ترابط الحزم ، علم التعايش التشيكي ، مناقشة نظرية ريمان-روش على أسطح ريمان المدمجة.

    تعلم الجبر المثلي هو أمر من مرحلتين. أولاً ، يجب أن يتعلم المرء لغة Ext و Tor ، وماذا يصف ذلك. ثانيًا ، يجب أن يكون المرء قادرًا على حساب هذه الأشياء باستخدام لغة منفصلة: لغة التسلسلات الطيفية. تم تطوير الخصائص الأساسية للتسلسل الطيفي باستخدام الأزواج الدقيقة. كل شيء يتم في سياق bicomplexs ، لجميع تطبيقات التسلسل الطيفي تقريبًا تتضمن مؤشرات. تشمل التطبيقات المتواليات الطيفية لغروتينديك ، وتغيير الحلقات ، وتسلسل ليندون-هوشيلد-سيري ، ونظريات ليراي وكارتان الحوسبة المشتركة.

    جوزيف روتمان أستاذ فخري للرياضيات بجامعة إلينوي في أوربانا شامبين. وهو مؤلف العديد من الكتب المدرسية الناجحة ، بما في ذلك الجبر الحديث المتقدم (Prentice-Hall 2002) ، Galois Theory ، الإصدار الثاني (Springer 1998) دورة أولى في الجبر المجرد (Prentice-Hall 1996) ، مقدمة في نظرية المجموعات ، 4 طبعة (Springer 1995) ، ومقدمة في الطوبولوجيا الجبرية (Springer 1988).

    من مراجعات الطبعة الثانية:

    "جوزيف جيه روتمان هو مؤلف كتاب مدرسي مشهور في الرياضيات المعاصرة. على مدى العقود الأربعة الماضية ، نشر العديد من النصوص الناجحة ذات الطابع التمهيدي ، وخاصة في مجال الجبر التجريدي الحديث والتخصصات ذات الصلة. ... الآن ، في الثانية الحالية طبعة ، أعاد المؤلف صياغة النص الأصلي بشكل كبير.بينما غطت الطبعة الأولى حصريًا جوانب الجبر المتماثل للمجموعات والحلقات والوحدات ، أي موضوعات من فترة تطويرها الأولى ، تتضمن الطبعة الجديدة بعض المواد الإضافية من الفترة الثانية ، جنبًا إلى جنب مع العديد من النتائج الأخرى الأكثر حداثة من الجبر المتماثل للمجموعات والحلقات والوحدات. تضاعف حجم الإصدار الجديد تقريبًا ويمثل تحديثًا جوهريًا للأصل الكلاسيكي. تحولت إلى كتاب مدرسي جديد أكثر موضوعية وشمولية في الجبر المتماثل ، مع كل الميزات العظيمة التي ميزت في السابق النص الأصلي ، إلى حد كبير على اعتقاد [من] الجيل الجديد من القراء ". (فيرنر كلاينرت ، زنترالبلات)

    "الإصدار الثاني الموسع الجديد ... يحاول تغطية المزيد من المساحة ، والانتقال بشكل أساسي من فئة (ملموسة) للوحدات فوق حلقة معينة ، كما في الإصدار الأول ، إلى فئة أبليان ومعالجة المثال المهم لفئة الحزم على مساحة طوبولوجية. ... التمرين في نهاية كل قسم ، والكثير من الأمثلة والحافز للعديد من المفاهيم الجديدة يميز هذا الكتاب ويجعله كتابًا مثاليًا لدورة تدريبية حول هذا الموضوع. " (فيليبي زالديفار ، MAA Online ، ديسمبر 2008)

    "هذه هي الطبعة الثانية من مقدمة روتمان للجوانب الأكثر كلاسيكية في الجبر المتماثل .... يهتم الكتاب بشكل أساسي بالجبر المتماثل في فئات الوحدات ... الكتاب مليء بالأمثلة والتمارين التوضيحية. ويحتوي على العديد من المراجع لمزيد من الدراسة و أيضًا إلى المصادر الأصلية. كل هذا يجعل كتاب روتمان مناسبًا جدًا للمبتدئين في الجبر المتماثل بالإضافة إلى كتاب مرجعي ". (فرناندو مورو ، مراجعات رياضية ، العدد 2009 ط)


    جدول المحتويات

    0 مقدمة ومقدمات 1

    • 1.1 مبادئ الجمع والمضاعفة
    • 1.2 المعاملات ذات الحدين
    • 1.3 التوليفات والتبديلات
    • 1.4 البراهين الاندماجية
    • 1.5 نجوم وبارات
    • 1.6 العد المتقدم باستخدام PIE
    • 1.7 ملخص الفصل
    • 2.1 التعاريف
    • 2.2 المتتاليات الحسابية والهندسية
    • 2.3 تركيب متعدد الحدود
    • 2.4 حل علاقات التكرار
    • 2.5 الاستقراء
    • 2.6 ملخص الفصل

    3 المنطق والأدلة الرمزية

    • 4.1 التعريفات
    • 4.2 الأشجار
    • 4.3 الرسوم البيانية المستوية
    • 4.4 التلوين
    • 4.5 مسارات ودوائر أويلر
    • 4.6 المطابقة في الرسوم البيانية ثنائية الأجزاء
    • 4.7 ملخص الفصل

    استكشف أوراق عمل ما قبل الجبر بالتفصيل

    اكتسب ممارسة هائلة مع هذه المجموعة من أوراق عمل العوملة. تعلم كيفية سرد العوامل ، والعثور على العوامل الأولية ، والعامل المشترك الأكبر (GCF) ، والمضاعف المشترك الأصغر (LCM) ، ورسم شجرة العوامل وغير ذلك الكثير.

    مجموعة من أوراق عمل GCF المصممة خصيصًا والتي تهدف إلى توفير معرفة متعمقة لإيجاد إطار GCF المكون من رقمين وثلاثة أرقام ، والصندوق الأخضر للمناخ للأحادية و GCF متعدد الحدود. يمكن استخدام مخططات فين وأشجار العوامل لفهم المفهوم بشكل أفضل.

    نفِّذ أوراق عمل ما قبل الجبر هذه التي تحتوي على تمارين للعثور على المضاعفات المشتركة ، والعثور على المضاعف المشترك الأصغر لزوج من الأرقام ، والمضاعف المشترك الأصغر من ثلاثة أرقام ، والمضاعف المشترك الأصغر (LCM) للمفردات ومتعددة الحدود لذكر القليل.

    تتميز أوراق عمل الكسور المفيدة بتحديد وتبسيط وإضافة وطرح وضرب وتقسيم وترتيب الكسور الصحيحة وغير الصحيحة والمختلطة. تحويل الكسور العشرية والنسب المئوية إلى كسور والعكس صحيح. تم تضمين مشاكل الكلمات الكسور هنا أيضًا.

    أوراق عمل ذات عدد لا يحصى من عدد صحيح تشمل تمارين لإضافة وطرح وضرب وقسمة الأعداد الصحيحة ومقارنة الأعداد الصحيحة وترتيبها ، والتمييز بين القيم المطلقة والقيم المعاكسة للأعداد الصحيحة وغيرها الكثير.

    التعامل فقط مع مفهوم الكسور العشرية ، المدرجة هنا هي مهام للعثور على القيمة المكانية للكسور العشرية وإجراء عمليات حسابية على الكسور العشرية ، وتحويل الكسور ، والنسب المئوية إلى الكسور العشرية ، والعكس بالعكس. بالإضافة إلى ذلك ، ابحث عن ملفات PDF لتقدير وتقريب الكسور العشرية ومشكلات الكلمات العشرية أيضًا.

    استخدم أوراق عمل هذه الأرقام المهمة التي تحتوي على عدد من التمارين مثل تحديد عدد الأرقام المهمة في الأعداد الصحيحة والكسور العشرية ، والتقريب إلى أرقام ذات دلالة وأكثر من ذلك بكثير!

    قم بالوصول إلى مجموعة كبيرة ومتنوعة من أوراق عمل النسب المئوية التي تركز على إيجاد النسبة المئوية للمنطقة المظللة ، وإيجاد النسبة المئوية للأعداد الصحيحة والكسور العشرية ، وتحويل الكسور العشرية والكسور إلى نسب مئوية والعكس صحيح. يتم تضمين مشاكل الكلمات أيضًا.

    الهدف من أوراق عمل النسبة هنا هو توفير ممارسة مكثفة مع أنشطة جذابة على نسبة جزء إلى جزء ، ونسبة جزء إلى كامل ، ونسبة مخفضة ، ونسب مكافئة ، ومشكلات في الكلمات تتضمن نسبًا لذكر عدد قليل من المجموعة الهائلة.

    تعطي هذه المجموعة الواسعة من أوراق العمل ذات النسب القابلة للطباعة فهماً واضحاً لمفهوم التناسب مع التدريبات لتحديد وتشكيل نسبة ، ورسم الرسم البياني ، والعثور على ثابت التناسب ، ومشاكل الكلمات المتعلقة بالتناسب.

    يتميز هذا التجميع لأوراق عمل التباين المباشر والعكسي بتغيرات مباشرة ومعكوسة ومجمعة ومشتركة. كما تم تضمين تمارين وافرة لتحديد نوع التباين وإيجاد معادلات الترجمة الثابتة ومشاكل الكلمات الواقعية.

    قم بإجراء مجموعة من العمليات الحسابية على 3 أرقام مع عاملين ، 4 أرقام مع 3 عوامل ، مع الأقواس والأقواس المتداخلة لتبسيط الكسور العشرية والكسور باستخدام PEMDAS أو BODMAS أو DMAS.

    استكمل معرفتك بالاختيار من بين مجموعة متنوعة من أوراق عمل الأس. تحديد الأساس والأس ، الأسس المتوسطة ، تمثيل الأرقام في التدوين الأسي باستخدام خصائص الأس وأكثر من ذلك بكثير.

    تنقل عبر العديد من أوراق العمل الجذرية. قم بإجراء عمليات حسابية على الجذور وبسطها. مرفق أيضًا هنا مخططات مساعدة للتدريس وأوراق عمل لترشيد المقام.

    قم بإثراء ممارستك بهذه المجموعة من أوراق عمل تربيع الأرقام مع التركيز على تربيع الأعداد الصحيحة والأعداد الصحيحة والكسور والكسور العشرية والجذور التربيعية على سبيل المثال لا الحصر. بالإضافة إلى ذلك ، تم تضمين المخططات المربعة للتدريس هنا أيضًا.

    احصل على مجموعة من أوراق عمل الجذر التربيعي القابلة للطباعة والتي تتعامل بدقة مع إيجاد الجذر التربيعي للمربعات الكاملة وغير الكاملة ، وتبسيط الجذور الصماء ، وإيجاد الجذر التربيعي للأعداد العشرية والكسور وغيرها الكثير.

    جهز نفسك في كتابة الملاحظات العلمية بهذه الوحدة من أوراق عمل ما قبل الجبر ، والتي تتميز بمهام لإعادة كتابة الرموز العلمية كشكل قياسي والعكس بالعكس مع الأسس الموجبة والسالبة والمختلطة. تبسيط الرموز العلمية أيضًا.

    هل يدرك أطفالك عوامل التحويل المطلوبة للتحويل بين وحدات السرعة؟ اختبر مهاراتهم باستخدام أوراق العمل القابلة للطباعة لدينا لتحويل م / ث إلى كم / س والعكس بالعكس ، م / ث إلى م / س والعكس بالعكس ، م / ث إلى كم / س والعكس بالعكس!

    تجول في أوراق العمل الخاصة بالسرعة والمسافة والوقت للحصول على تمارين حصرية ومشكلات في الكلمات لإيجاد كل من المقاييس الثلاثة مع الأخذ في الاعتبار الاثنين الآخرين ، ولإجراء دراسة مقارنة حول السرعات!

    تجول في هذه المجموعة من أوراق عمل ما قبل الجبر التي تتضمن تمارين لتحويل اللوغاريتمية إلى صيغة أسية ، وتقييم وحل التعبيرات اللوغاريتمية ، والتوسع باستخدام قاعدة القوة ، وقاعدة المنتج وحاصل القسمة لسرد القليل منها.

    تصفح عبر مجموعة واسعة من أوراق عمل القيمة المطلقة التي تتضمن مهامًا للعثور على القيمة المطلقة للأعداد الصحيحة أو الكسور ، وإجراء العمليات الحسابية التي تتضمن القيمة المطلقة للأرقام الحقيقية وأكثر من ذلك بكثير.


    محتويات

    كلمة "الجبر" مشتقة من الكلمة العربية الجبر الجبر، وهذا مأخوذ من الرسالة التي كتبها عام 830 لعالم الرياضيات الفارسي في العصور الوسطى ، محمد بن موسى الخوارزمي ، وعنوانه العربي ، كتاب المططار في نصاب الابر والمقبل، يمكن ترجمتها كـ الكتاب المختصر في الحساب بالكمال والموازنة. قدمت الأطروحة الحل المنهجي للمعادلات الخطية والتربيعية. وفقًا لتاريخ واحد ، "[i] ليس متأكدًا فقط من الشروط الجبر و مقبله يعني ، لكن التفسير المعتاد مشابه لذلك المتضمن في الترجمة السابقة. من المفترض أن كلمة "الجبر" تعني شيئًا مثل "الاستعادة" أو "الإكمال" ويبدو أنها تشير إلى نقل المصطلحات المطروحة إلى الجانب الآخر من المعادلة ، يقال إن كلمة "مقبله" تشير إلى "اختزال" أو "اختزال". الموازنة - أي إلغاء المصطلحات المتشابهة على طرفي المعادلة المتقابلين. تم العثور على التأثير العربي في إسبانيا لفترة طويلة بعد وقت الخوارزمي دون كيشوت، حيث يتم استخدام كلمة "algebrista" لوصف العظام ، أي "المرمم". [1] يستخدم هذا المصطلح من قبل الخوارزمي لوصف العمليات التي أدخلها ، "التخفيض" و "الموازنة" ، بالإشارة إلى تبديل المصطلحات المطروحة إلى الجانب الآخر من المعادلة ، أي إلغاء المصطلحات المتشابهة على طرفي نقيض من المعادلة. [2]

    تحرير التعبير الجبري

    لم يستفد الجبر دائمًا من الرمزية الموجودة في كل مكان في الرياضيات بدلاً من ذلك ، فقد مر بثلاث مراحل متميزة. تكون مراحل تطور الجبر الرمزي تقريبًا كما يلي: [3]

    • الجبر البلاغي، حيث تتم كتابة المعادلات بجمل كاملة. على سبيل المثال ، الشكل الخطابي لـ x + 1 = 2 هو "الشيء زائد واحد يساوي اثنين" أو ربما "الشيء زائد 1 يساوي 2". تم تطوير الجبر البلاغي لأول مرة من قبل البابليين القدماء وظل سائدًا حتى القرن السادس عشر.
    • مجمل الجبر، حيث يتم استخدام بعض الرموز ، ولكنها لا تحتوي على جميع خصائص الجبر الرمزي. على سبيل المثال ، قد يكون هناك قيود على أنه يمكن استخدام الطرح مرة واحدة فقط داخل جانب واحد من المعادلة ، وهذا ليس هو الحال مع الجبر الرمزي. ظهر التعبير الجبري المجمع لأول مرة في Diophantus ' أريثميتيكا (القرن الثالث الميلادي) ، تليها Brahmagupta براهما سبوتا سيدانتا (القرن السابع).
    • الجبر الرمزي، حيث يتم استخدام الرمزية الكاملة. يمكن رؤية الخطوات المبكرة نحو ذلك في أعمال العديد من علماء الرياضيات المسلمين مثل ابن البنا (القرنين الثالث عشر والرابع عشر) والقلسادي (القرن الخامس عشر) ، على الرغم من تطوير الجبر الرمزي بالكامل بواسطة فرانسوا فييت (القرن السادس عشر). في وقت لاحق ، قدم رينيه ديكارت (القرن السابع عشر) التدوين الحديث (على سبيل المثال ، استخدام x- انظر أدناه) وأظهر أن المشاكل التي تحدث في الهندسة يمكن التعبير عنها وحلها من حيث الجبر (الهندسة الديكارتية).

    بنفس القدر من الأهمية مثل استخدام أو عدم وجود رمزية في الجبر كانت درجة المعادلات التي تم تناولها. لعبت المعادلات التربيعية دورًا مهمًا في الجبر المبكر وطوال معظم التاريخ ، حتى أوائل العصر الحديث ، تم تصنيف جميع المعادلات التربيعية على أنها تنتمي إلى واحدة من ثلاث فئات.

    أين ص و ف إيجابية. يأتي هذا الفصل الثلاثي الأبعاد لأن المعادلات التربيعية بالصيغة x 2 + p x + q = 0 < displaystyle x ^ <2> + px + q = 0> ، مع ص و ف إيجابية ، ليس لها جذور إيجابية. [4]

    بين المراحل البلاغية والمختصرة للجبر الرمزي ، أ الجبر الهندسي البناء تم تطويره من قبل علماء الرياضيات اليونانيين والهنديين الكلاسيكيين الفيدية حيث تم حل المعادلات الجبرية من خلال الهندسة. على سبيل المثال ، تم حل معادلة بالصيغة x 2 = A < displaystyle x ^ <2> = A> بإيجاد ضلع مربع مساحة أ.

    تعديل المراحل المفاهيمية

    بالإضافة إلى المراحل الثلاث للتعبير عن الأفكار الجبرية ، أدرك بعض المؤلفين أربع مراحل مفاهيمية في تطوير الجبر التي حدثت جنبًا إلى جنب مع التغييرات في التعبير. كانت هذه المراحل الأربع على النحو التالي: [5] [ مصدر غير أساسي مطلوب ]

    • المرحلة الهندسية، حيث تكون مفاهيم الجبر هندسية إلى حد كبير. يعود هذا إلى البابليين واستمر مع الإغريق ، وأعيد إحياؤه لاحقًا من قبل عمر الخيام.
    • مرحلة حل المعادلات الثابتة، حيث يكون الهدف هو العثور على أرقام ترضي علاقات معينة. يعود الابتعاد عن الجبر الهندسي إلى Diophantus و Brahmagupta ، لكن الجبر لم ينتقل بشكل حاسم إلى مرحلة حل المعادلة الثابتة حتى قدم الخوارزمي العمليات الحسابية المعممة لحل المشكلات الجبرية.
    • مرحلة الوظيفة الديناميكية، حيث تكون الحركة فكرة أساسية. بدأت فكرة الوظيفة في الظهور مع شرف الدين الطوسي ، لكن الجبر لم ينتقل بشكل حاسم إلى مرحلة الوظيفة الديناميكية حتى جوتفريد لايبنيز.
    • مرحلة الملخص، حيث تلعب البنية الرياضية دورًا مركزيًا. الجبر المجرد هو نتاج القرنين التاسع عشر والعشرين.

    يمكن إرجاع أصول الجبر إلى البابليين القدماء ، [ بحاجة لمصدر ] الذين طوروا نظام ترقيم موضعي ساعدهم بشكل كبير في حل معادلاتهم الجبرية البلاغية. لم يكن البابليون مهتمين بالحلول الدقيقة ، لكنهم كانوا مهتمين بالتقريب ، ولذا كانوا يستخدمون عادةً الاستيفاء الخطي لتقريب القيم الوسيطة. [6] أحد أكثر الألواح شهرة هو لوح Plimpton 322 ، الذي تم إنشاؤه حوالي عام 1900-1600 قبل الميلاد ، والذي يعطي جدولًا بثلاثيات فيثاغورس ويمثل بعضًا من أكثر الرياضيات تقدمًا قبل الرياضيات اليونانية. [7]

    كان الجبر البابلي أكثر تقدمًا من الجبر المصري في ذلك الوقت ، بينما كان المصريون مهتمين بشكل أساسي بالمعادلات الخطية ، وكان البابليون أكثر اهتمامًا بالمعادلات التربيعية والتكعيبية. [6] لقد طور البابليون عمليات جبرية مرنة تمكنوا من خلالها من إضافة المتكافئ إلى المتكافئين وضرب طرفي المعادلة بكميات متشابهة وذلك لاستبعاد الكسور والعوامل. [6] كانوا على دراية بالعديد من الأشكال البسيطة للتحليل ، [6] معادلات تربيعية ذات ثلاثة حدود ذات جذور موجبة ، [8] والعديد من المعادلات التكعيبية ، [9] على الرغم من أنه من غير المعروف ما إذا كانوا قادرين على تقليل التكعيب العام معادلة. [9]

    تعامل الجبر المصري القديم بشكل أساسي مع المعادلات الخطية بينما وجد البابليون هذه المعادلات أولية للغاية ، وطوروا الرياضيات إلى مستوى أعلى من المصريين. [6]

    بردية ريند ، المعروفة أيضًا باسم بردية أحمس ، هي بردية مصرية قديمة مكتوبة ج. 1650 قبل الميلاد من قبل Ahmes ، الذي نسخه من عمل سابق مؤرخه بين 2000 و 1800 قبل الميلاد [10] وهي الوثيقة الرياضية المصرية الأكثر شمولاً التي عرفها المؤرخون. [11] تحتوي بردية Rhind على مسائل حيث يتم حل المعادلات الخطية بالصيغة x + ax = b و x + ax + bx = c ، أين أ, ب، و ج معروفة و x، والذي يشار إليه باسم "آها" أو الكومة ، هو المجهول. [12] ربما تم التوصل إلى الحلول ، ولكن ليس من المحتمل ، باستخدام "طريقة الموقف الخاطئ" ، أو Regula falsi، حيث يتم استبدال قيمة محددة أولاً في الجانب الأيسر من المعادلة ، ثم يتم إجراء الحسابات الحسابية المطلوبة ، وثالثًا تتم مقارنة النتيجة بالجانب الأيمن من المعادلة ، وأخيرًا يتم العثور على الإجابة الصحيحة من خلال استخدام النسب. في بعض المشكلات "يتحقق" المؤلف من حله ، وبذلك يكتب أحد أقدم البراهين البسيطة المعروفة. [12]

    يُزعم أحيانًا أن الإغريق لم يكن لديهم جبر ، لكن هذا غير دقيق. [14] بحلول زمن أفلاطون ، خضعت الرياضيات اليونانية لتغيير جذري. أنشأ الإغريق الجبر الهندسي حيث تم تمثيل المصطلحات بجوانب كائنات هندسية ، [15] عادةً ما تكون الخطوط ، التي تحتوي على أحرف مرتبطة بها ، [16] وبهذا الشكل الجديد من الجبر ، تمكنوا من إيجاد حلول للمعادلات باستخدام عملية اخترعوها ، معروفة باسم "تطبيق المناطق". [15] "تطبيق المناطق" ليس سوى جزء من الجبر الهندسي وهو مغطى جيدًا في إقليدس عناصر.

    مثال على الجبر الهندسي هو حل المعادلة الخطية فأس = قبل الميلاد. كان اليونانيون القدماء يحلون هذه المعادلة من خلال النظر إليها على أنها مساواة في المناطق بدلاً من اعتبارها مساواة بين النسب أ:ب و ج:x. كان اليونانيون يبنون مستطيلاً بطول جوانب ب و ج، ثم قم بتمديد أحد جوانب المستطيل حتى الطول أ، وأخيرًا يكملون المستطيل الممتد لإيجاد جانب المستطيل الذي هو الحل. [15]

    بلوم من تحرير Thymaridas

    امبليكوس في مقدمة arithmatica يقول أن Thymaridas (حوالي 400 قبل الميلاد - 350 قبل الميلاد) عملت مع المعادلات الخطية المتزامنة. [17] على وجه الخصوص ، أنشأ القاعدة الشهيرة التي كانت تُعرف باسم "زهرة ثيماريداس" أو باسم "زهرة ثيماريداس" ، والتي تنص على ما يلي:

    إذا كان مجموع ن يتم إعطاء الكميات ، وكذلك مجموع كل زوج يحتوي على كمية معينة ، فإن هذه الكمية المعينة تساوي 1 / (ن - 2) للفرق بين مجموع هذه الأزواج وأول مبلغ معطى. [18]

    أو باستخدام الترميز الحديث ، حل النظام التالي من ن المعادلات الخطية في ن غير معروف ، [17]

    يمضي Iamblichus في وصف كيف يمكن وضع بعض أنظمة المعادلات الخطية غير الموجودة في هذا الشكل في هذا النموذج. [17]

    إقليدس الإسكندرية تحرير

    إقليدس (باليونانية: Εὐκλείδης) كان عالم رياضيات يونانيًا ازدهر في الإسكندرية ، مصر ، بشكل شبه مؤكد في عهد بطليموس الأول (323-283 قبل الميلاد). [19] [20] لم يتم تحديد سنة ولا مكان ولادته [19] ولا ظروف وفاته.

    يعتبر إقليدس "أبو الهندسة". له عناصر هو أنجح كتاب مدرسي في تاريخ الرياضيات. [19] على الرغم من كونه أحد أشهر علماء الرياضيات في التاريخ ، إلا أنه لا توجد اكتشافات جديدة تُنسب إليه ، بل يتم تذكره بمهاراته التوضيحية العظيمة. [21] إن عناصر ليست ، كما يُعتقد أحيانًا ، مجموعة من جميع المعارف الرياضية اليونانية حتى تاريخها ، بل هي مقدمة أولية لها. [22]

    عناصر يحرر

    العمل الهندسي لليونانيين ، والمتمثل في إقليدس عناصر، قدمت إطارًا لتعميم الصيغ إلى ما بعد حل مشاكل معينة في أنظمة أكثر عمومية لتوضيح المعادلات وحلها.

    الكتاب الثاني من عناصر يحتوي على أربعة عشر اقتراحًا ، والتي كانت في زمن إقليدس مهمة للغاية للقيام بالجبر الهندسي. هذه الافتراضات ونتائجها هي المعادلات الهندسية لجبرنا الرمزي الحديث وعلم المثلثات. [14] اليوم ، باستخدام الجبر الرمزي الحديث ، تركنا الرموز تمثل مقادير معروفة وغير معروفة (مثل الأرقام) ثم طبقنا العمليات الجبرية عليها ، بينما في زمن إقليدس ، كانت المقادير تُنظر إليها على أنها مقاطع خطية ثم استخلصنا النتائج باستخدام البديهيات أو النظريات الهندسة. [14]

    تم تضمين أو إثبات العديد من القوانين الأساسية للجمع والضرب هندسيًا في عناصر. على سبيل المثال ، ينص الاقتراح 1 من الكتاب الثاني على ما يلي:

    إذا كان هناك خطان مستقيمان ، أحدهما مقطوع إلى أي عدد من المقاطع مهما كان ، فإن المستطيل الذي يحتويه الخطان المستقيمان يساوي المستطيلات التي يحتويها الخط المستقيم غير المصقول وكل جزء من المقاطع.

    لكن هذا ليس أكثر من النسخة الهندسية لقانون التوزيع (الأيسر) ، a (b + c + d) = ab + ac + ad و في الكتب الخامس والسابع من عناصر يتم عرض القوانين التبادلية والترابطية للضرب. [14]

    تم أيضًا إثبات العديد من المعادلات الأساسية هندسيًا. على سبيل المثال ، يُثبت الاقتراح 5 في الكتاب الثاني أن أ 2 - ب 2 = (أ + ب) (أ - ب) -b ^ <2> = (a + b) (ab)> ، [23] والاقتراح 4 في الكتاب الثاني يثبتان أن (أ + ب) 2 = أ 2 + 2 أب + ب 2 = a ^ <2> + 2ab + b ^ <2>>. [14]

    علاوة على ذلك ، هناك أيضًا حلول هندسية معطاة للعديد من المعادلات. على سبيل المثال ، يقدم الاقتراح 6 من الكتاب الثاني الحل للمعادلة التربيعية فأس + x 2 = ب 2 ، والاقتراح 11 من الكتاب الثاني يعطي حلاً ل فأس + x 2 = أ 2 . [24]

    بيانات يحرر

    بيانات هو عمل كتبه إقليدس لاستخدامه في مدارس الإسكندرية وكان من المفترض استخدامه كمجلد مصاحب للكتب الستة الأولى من عناصر. يحتوي الكتاب على خمسة عشر تعريفاً وخمسة وتسعين بياناً ، منها ما يقرب من عشرين عبارة تستخدم كقواعد أو صيغ جبرية. [25] بعض هذه العبارات معادلات هندسية لحلول المعادلات التربيعية. [25] على سبيل المثال ، بيانات يحتوي على حلول المعادلات dx 2 − adx + ب 2 ج = 0 والمعادلة البابلية المألوفة س ص = أ 2 , x ± ذ = ب . [25]

    المقاطع المخروطية تحرير

    القسم المخروطي هو منحنى ناتج عن تقاطع مخروط مع مستوى. هناك ثلاثة أنواع أساسية من المقاطع المخروطية: القطع الناقص (بما في ذلك الدوائر) والقطوع المكافئة والقطوع الزائدة. تشتهر المقاطع المخروطية بأن ميناشموس اكتشفها [26] (380 قبل الميلاد - 320 قبل الميلاد) وبما أن التعامل مع المقاطع المخروطية يعادل التعامل مع المعادلات الخاصة بكل منها ، فقد لعبت أدوارًا هندسية مكافئة للمعادلات التكعيبية وغيرها. المعادلات ذات الترتيب الأعلى.

    عرف ميناشموس أن المعادلة y 2 = في القطع المكافئ لx يحمل ، أين ل هو ثابت يسمى طول المستقيم ، على الرغم من أنه لم يكن على دراية بحقيقة أن أي معادلة في مجهولين تحدد منحنى. [27] ومن الواضح أنه اشتق خصائص المقاطع المخروطية وغيرها أيضًا. باستخدام هذه المعلومات ، أصبح من الممكن الآن إيجاد حل لمشكلة تكرار المكعب عن طريق حل النقاط التي يتقاطع عندها قطعتان مكافئتان ، وهو حل مكافئ لحل معادلة تكعيبية. [27]

    أخبرنا Eutocius أن الطريقة التي استخدمها لحل المعادلة التكعيبية كانت بسبب Dionysodorus (250 قبل الميلاد - 190 قبل الميلاد). حل Dionysodorus المكعب عن طريق تقاطع القطع الزائد المستطيل والقطع المكافئ. كان هذا مرتبطًا بمشكلة في أرخميدس. على الكرة والأسطوانة. تمت دراسة المقاطع المخروطية واستخدامها لآلاف السنين من قبل علماء الرياضيات اليونانيين والإسلاميين والأوروبيين. ولا سيما Apollonius of Perga الشهير المخاريط يتعامل مع الأقسام المخروطية ، من بين مواضيع أخرى.

    يعود تاريخ الرياضيات الصينية إلى 300 قبل الميلاد على الأقل مع Zhoubi Suanjing، تعتبر بشكل عام واحدة من أقدم الوثائق الرياضية الصينية. [28]

    تسعة فصول في الفن الرياضي يحرر

    تشيو تشانغ سوان شو أو تسعة فصول في الفن الرياضيكتب حوالي 250 قبل الميلاد ، وهو واحد من أكثر كتب الرياضيات الصينية تأثيرًا ويتألف من حوالي 246 مشكلة. يتناول الفصل الثامن حل المعادلات الخطية المحددة وغير المحددة في وقت واحد باستخدام الأعداد الموجبة والسالبة ، وتتناول مشكلة واحدة حل أربع معادلات في خمسة مجاهيل. [28]

    المرآة البحرية لقياسات الدائرة يحرر

    تسى يوان هاي تشينغ، أو المرآة البحرية لقياسات الدائرة، عبارة عن مجموعة من حوالي 170 مسألة كتبها Li Zhi (أو Li Ye) (1192 - 1279 م). اعتاد مروحة كرة القدم، أو طريقة هورنر ، لحل المعادلات ذات الدرجة العالية مثل ستة ، على الرغم من أنه لم يصف طريقته في حل المعادلات. [29]

    رسالة رياضية في تسعة أقسام يحرر

    شو شو تشيو تشانغ، أو رسالة رياضية في تسعة أقسام، كتبه الحاكم والوزير الثري تشين تشيو شاو (ج .1202 - 1261) ومع اختراع طريقة لحل التطابقات المتزامنة ، التي تسمى الآن نظرية الباقي الصينية ، فإنها تمثل نقطة عالية في اللغة الصينية غير محددة التحليلات. [29]

    تحرير المربعات السحرية

    ظهرت أقدم الساحات السحرية المعروفة في الصين. [30] في تسعة فصول يحل المؤلف نظامًا من المعادلات الخطية المتزامنة عن طريق وضع معاملات وشروط ثابتة للمعادلات الخطية في مربع سحري (أي مصفوفة) وإجراء عمليات تقليل العمود على المربع السحري. [30] تُنسب المربعات السحرية الأولى المعروفة ذات الترتيب الأكبر من ثلاثة إلى يانغ هوي (من 1261 إلى 1275) ، الذي عمل بمربعات سحرية ذات ترتيب يصل ارتفاعها إلى عشرة. [31]

    مرآة ثمينة للعناصر الأربعة يحرر

    Ssy-yüan yü-chien《四 元 玉 鑒》 أو مرآة ثمينة للعناصر الأربعةكتبه Chu Shih-chieh في عام 1303 وهو يمثل ذروة تطور الجبر الصيني. تمثل العناصر الأربعة ، المسماة السماء والأرض والإنسان والمادة ، الكميات الأربعة المجهولة في معادلاته الجبرية. ال Ssy-yüan yü-chien يتعامل مع المعادلات الآنية ومعادلات الدرجات التي يصل ارتفاعها إلى أربعة عشر. يستخدم المؤلف طريقة مروحة كرة القدم، تسمى اليوم طريقة هورنر ، لحل هذه المعادلات. [32]

    ال مرآة ثمينة يفتح برسم تخطيطي للمثلث الحسابي (مثلث باسكال) باستخدام رمز دائري صفري ، لكن Chu Shih-chieh ينفي الفضل في ذلك. يظهر مثلث مشابه في عمل Yang Hui ، لكن بدون رمز الصفر. [33]

    هناك العديد من معادلات الجمع معطاة بدون دليل في مرآة ثمينة. بعض الملخصات هي: [33]

    كان ديوفانتوس عالم رياضيات هلنستي عاش ج. 250 م ، لكن عدم اليقين في هذا التاريخ كبير جدًا لدرجة أنه قد يتلاشى بأكثر من قرن. هو معروف بأنه كتب أريثميتيكا، أطروحة كانت في الأصل ثلاثة عشر كتابًا ولكن لم يبق منها سوى الستة الأولى. [34] أريثميتيكا لديها القليل جدًا من القواسم المشتركة مع الرياضيات اليونانية التقليدية نظرًا لأنها منفصلة عن الأساليب الهندسية ، وهي تختلف عن الرياضيات البابلية في أن ديوفانتوس يهتم بشكل أساسي بالحلول الدقيقة ، سواء المحددة أو غير المحددة ، بدلاً من التقريبات البسيطة. [35]

    عادة ما يكون من الصعب تحديد ما إذا كانت معادلة ديوفانتين معينة قابلة للحل. لا يوجد دليل يشير إلى أن Diophantus أدرك أنه يمكن أن يكون هناك حلان لمعادلة تربيعية. كما اعتبر المعادلات التربيعية المتزامنة. [36] أيضًا ، لا يمكن استخلاص طريقة عامة من جميع حلول ديوفانتوس. [37]

    في أريثميتيكا، Diophantus هو أول من استخدم رموزًا لأرقام غير معروفة بالإضافة إلى اختصارات لقوى الأرقام والعلاقات والعمليات [35] وهكذا استخدم ما يعرف الآن باسم متزامن الجبر. يتمثل الاختلاف الرئيسي بين الجبر المُجمّع للديوفانتين والترميز الجبر الحديث في أن الأول يفتقر إلى رموز خاصة للعمليات والعلاقات والأسي. [38] لذا ، على سبيل المثال ، ما نكتبه

    كتب Diophantus كـ

    Υ α̅ς ι̅ ⫛ Δ Υ β̅ Μ α̅ ἴσ Μ ε̅

    حيث تمثل الرموز ما يلي: [39] [40]

    رمز التمثيل
    α̅ يمثل 1
    β̅ يمثل 2
    ε̅ يمثل 5
    ι̅ يمثل 10
    ς يمثل الكمية غير المعروفة (أي المتغير)
    ἴσ (اختصار لـ ἴσος) يمثل "يساوي"
    يمثل طرح كل ما يليه حتى ἴσ
    Μ يمثل القوة الصفرية للمتغير (أي مصطلح ثابت)
    Δ Υ يمثل القوة الثانية للمتغير ، من اليونانية δύναμις ، وهذا يعني القوة أو القوة
    Κ Υ يمثل القوة الثالثة للمتغير ، من اليونانية κύβος ، مما يعني المكعب
    Δ Υ Δ يمثل القوة الرابعة للمتغير
    ΔΚ Υ يمثل القوة الخامسة للمتغير
    Κ Υ Κ يمثل القوة السادسة للمتغير

    تأتي المعاملات بعد المتغيرات ويتم تمثيل الإضافة من خلال تجاور المصطلحات. ستكون الترجمة الحرفية للرمز لمعادلة ديوفانتوس المجمعة في معادلة رمزية حديثة على النحو التالي: [39]

    وللتوضيح ، إذا تم استخدام الأقواس الحديثة وعلامة الجمع ، فيمكن إعادة كتابة المعادلة أعلاه على النحو التالي: [39]

    أريثميتيكا عبارة عن مجموعة من حوالي 150 مشكلة تم حلها بأرقام محددة ولا يوجد تطور تفعلين ولا توجد طريقة عامة موضحة صراحة ، على الرغم من أن عمومية الطريقة قد تكون مقصودة ولا توجد محاولة للعثور على جميع حلول المعادلات. [35] أريثميتيكا يحتوي على مسائل محلولة تتضمن عدة كميات غير معروفة يتم حلها إن أمكن بالتعبير عن الكميات المجهولة في صيغة واحدة منها فقط. [35] أريثميتيكا يستخدم أيضًا الهويات: [41]

    كان علماء الرياضيات الهنود نشطين في دراسة أنظمة الأرقام. يرجع تاريخ أقدم الوثائق الرياضية الهندية المعروفة إلى حوالي منتصف الألفية الأولى قبل الميلاد (حوالي القرن السادس قبل الميلاد). [42]

    الموضوعات المتكررة في الرياضيات الهندية هي ، من بين أمور أخرى ، المعادلات الخطية والتربيعية المحددة وغير المحددة ، والإحصاء البسيط ، وثلاثيات فيثاغورس. [43]

    أرياباتا يحرر

    كان أرياباتا (476-550) عالم رياضيات هنديًا قام بالتأليف أرياباتيا. في ذلك أعطى القواعد ، [44]

    براهما سبوتا سيدانتا يحرر

    براهماغوبتا (fl.628) عالم رياضيات هندي قام بتأليف براهما سبوتا سيدانتا. يحل Brahmagupta في عمله المعادلة التربيعية العامة لكل من الجذور الموجبة والسالبة. [45] في التحليل غير المحدد ، يعطي Brahmagupta ثلاثية فيثاغورس m 1 2 (m 2 n - n) ( over n> -n)>، 1 2 (m 2 n + n) ( over n> + n)> ، لكن هذا شكل معدّل لحكم بابلي قديم ربما يكون براهماجوبتا مألوفًا به. [46] كان أول من قدم حلًا عامًا لمعادلة ديوفانتين الخطية فأس + بواسطة = ج، أين أ, ب، و ج هي أعداد صحيحة. على عكس ديوفانتوس الذي قدم حلاً واحدًا فقط لمعادلة غير محددة ، قدم براهماجوبتا الكل الحلول الصحيحة لكن استخدام براهماجوبتا لبعض الأمثلة نفسها مثل ديوفانتوس قاد بعض المؤرخين إلى النظر في إمكانية التأثير اليوناني على عمل براهماغوبتا ، أو على الأقل مصدر بابلي مشترك. [47]

    مثل الجبر Diophantus ، تم تجميع الجبر من Brahmagupta. تمت الإشارة إلى الجمع بوضع الأرقام جنبًا إلى جنب ، والطرح بوضع نقطة فوق المطروح ، والقسمة بوضع المقسوم عليه أسفل المقسوم ، على غرار تدويننا الحديث ولكن بدون الشريط. تم تمثيل الضرب والتطور والكميات غير المعروفة باختصارات للمصطلحات المناسبة. [47] إن مدى التأثير اليوناني على هذا الإغناء ، إن وجد ، غير معروف ومن الممكن أن يكون كل من الإغناء اليوناني والهندي مستمدًا من مصدر بابلي مشترك. [47]

    Bhāskara II Edit

    كان Bhāskara II (1114 - 1185) عالم الرياضيات الرائد في القرن الثاني عشر. في الجبر ، قدم الحل العام لمعادلة بيل. [47] وهو مؤلف كتاب ليلافاتي و فيجا جانيتا، والتي تحتوي على مشاكل تتعلق بالمعادلات الخطية والتربيعية المحددة وغير المحددة ، وثلاثيات فيثاغورس [43] ، وهو يفشل في التمييز بين العبارات الدقيقة والتقريبية. [48] ​​العديد من المشاكل في ليلافاتي و فيجا جانيتا مستمدة من مصادر هندوسية أخرى ، ولذا فإن باسكارا في أفضل حالاته في التعامل مع التحليل غير المحدد. [48]

    يستخدم Bhaskara الرموز الأولية لأسماء الألوان كرموز لمتغيرات غير معروفة. لذا ، على سبيل المثال ، ما نكتبه اليوم على هيئة

    كان Bhaskara قد كتب كـ

    . _ . نعم 1 ru 1 . نعم 2 ru 8. مجموع نعم 1 رو 9

    أين نعم يشير إلى المقطع الأول من الكلمة ل أسود، و ru مأخوذ من الكلمة محيط. النقاط فوق الأرقام تشير إلى الطرح.

    لم يشهد القرن الأول للإمبراطورية العربية الإسلامية أي إنجازات علمية أو رياضية تقريبًا لأن العرب ، مع إمبراطوريتهم التي تم غزوها حديثًا ، لم يكتسبوا بعد أي دافع فكري وتلاشى البحث في أجزاء أخرى من العالم. في النصف الثاني من القرن الثامن ، شهد الإسلام صحوة ثقافية ، وازداد البحث في الرياضيات والعلوم. [49] يُقال أن الخليفة العباسي المسلم المأمون (809-833) كان يحلم حيث ظهر له أرسطو ، ونتيجة لذلك أمر المأمون بترجمة أكبر عدد ممكن من الأعمال اليونانية ، بما في ذلك لبطليموس المجسطى وإقليدس عناصر. ستمنح الإمبراطورية البيزنطية الأعمال اليونانية للمسلمين في مقابل المعاهدات ، حيث عقدت الإمبراطوريتان سلامًا غير مستقر. [49] ترجم ثابت بن قرة (826-901) العديد من هذه الأعمال اليونانية ، الذي ترجم كتبًا كتبها إقليدس ، وأرخميدس ، وأبولونيوس ، وبطليموس ، وإوتوسيوس. [50]

    أسس علماء الرياضيات العرب علم الجبر كنظام مستقل ، وأطلقوا عليه اسم "الجبر" (الجبر). كانوا أول من علم الجبر في شكل ابتدائي ولأجله. [51] هناك ثلاث نظريات حول أصول الجبر العربي. الأول يؤكد التأثير الهندوسي ، والثاني يؤكد على التأثير بلاد ما بين النهرين أو الفارسي السرياني والثالث يؤكد التأثير اليوناني. يعتقد العديد من العلماء أنه نتيجة مزيج من جميع المصادر الثلاثة. [52]

    طوال فترة وجودهم في السلطة ، استخدم العرب جبرًا بلاغيًا بالكامل ، حيث غالبًا ما كانت الأرقام مكتوبة بالكلمات. في نهاية المطاف ، استبدل العرب الأرقام المكتوبة (على سبيل المثال ، اثنان وعشرون) بالأرقام العربية (على سبيل المثال ، 22) ، لكن العرب لم يتبنوا أو يطوروا الجبر الشامل أو الرمزي [50] حتى عمل ابن البنا ، الذي طور الجبر الرمزي في القرن الثالث عشر ، تلاه أبو الحسن بن علي القلسادي في القرن الخامس عشر.

    الجبر والمقابلة يحرر

    كان عالم الرياضيات الفارسي المسلم [53] محمد بن موسى الخوارزمي عضو هيئة تدريس في "بيت الحكمة" (بيت الحكمة) في بغداد التي أسسها المأمون. كتب الخوارزمي ، الذي توفي حوالي 850 م ، أكثر من نصف دزينة من الأعمال الرياضية والفلكية ، بعضها كان على أساس الهندي. Sindhind. [49] أحد أشهر كتب الخوارزمي بعنوان الجبر والمقابلة أو الكتاب المختصر في الحساب بالكمال والموازنة، ويعطي حسابًا شاملاً لحل كثيرات الحدود حتى الدرجة الثانية. [54] قدم الكتاب أيضًا المفهوم الأساسي لـ "الاختزال" و "الموازنة" ، مشيرًا إلى نقل المصطلحات المطروحة إلى الجانب الآخر من المعادلة ، أي إلغاء المصطلحات المتشابهة على طرفي نقيض من المعادلة. هذه هي العملية التي وصفها الخوارزمي في الأصل الجبر. [55] اسم "الجبر" يأتي من "الجبر"في عنوان كتابه.

    راشد وأنجيلا أرمسترونج يكتبان:

    "يمكن رؤية نص الخوارزمي على أنه مختلف ليس فقط عن الألواح البابلية ، ولكن أيضًا عن ديوفانتوس" أريثميتيكا. لم يعد الأمر يتعلق بسلسلة من المشاكل التي يتعين حلها ، ولكن العرض الذي يبدأ بمصطلحات بدائية حيث يجب أن تعطي التوليفات جميع النماذج الأولية الممكنة للمعادلات ، والتي تشكل صراحة الهدف الحقيقي للدراسة من الآن فصاعدًا. من ناحية أخرى ، تظهر فكرة المعادلة في حد ذاتها من البداية ، ويمكن للمرء أن يقول ، بطريقة عامة ، بقدر ما لا تظهر ببساطة في سياق حل مشكلة ما ، ولكن يتم استدعاؤها على وجه التحديد تحديد فئة لانهائية من المشاكل. "[56]

    الجبر ينقسم إلى ستة فصول ، يتعامل كل منها مع نوع مختلف من المعادلات. الفصل الأول من الجبر يتعامل مع المعادلات التي تساوي مربعاتها جذورها (فأس 2 = bx) ، الفصل الثاني يتعامل مع المربعات التي تساوي الرقم (فأس 2 = ج) ، يتعامل الفصل الثالث مع الجذور التي تساوي عددًا (bx = ج) ، الفصل الرابع يتعامل مع المربعات والجذور تساوي عددًا (فأس 2 + bx = ج) ، الفصل الخامس يتعامل مع المربعات وعدد الجذور المتساوية (فأس 2 + ج = bx) ، ويتناول الفصل السادس والأخير الجذور وعدد يساوي المربعات (bx + ج = فأس 2 ). [57]

    في الجبريستخدم الخوارزمي البراهين الهندسية [16] لا يتعرف على الجذر x = 0، [57] وهو يتعامل فقط مع الجذور الإيجابية. [58] كما أنه يدرك أن المميز يجب أن يكون موجبًا ووصف طريقة إكمال المربع ، على الرغم من أنه لا يبرر الإجراء. [59] يظهر التأثير اليوناني بواسطة الجبرأسس هندسية [52] [60] ومشكلة واحدة مأخوذة من مالك الحزين. [61] لقد استخدم المخططات ذات الحروف ولكن جميع المعاملات في جميع معادلاته هي أرقام محددة لأنه لم يكن لديه طريقة للتعبير عن المعلمات عما يمكن أن يعبر عنه هندسيًا على الرغم من أن عمومية الطريقة مقصودة. [16]

    على الأرجح لم يكن الخوارزمي على علم بمرض ديوفانتوس أريثميتيكا، [62] والتي أصبحت معروفة للعرب في وقت ما قبل القرن العاشر. [63] وعلى الرغم من أن الخوارزمي على الأرجح كان على علم بعمل براهماغوبتا ، الجبر بلاغية بالكامل مع كتابة الأرقام بالكلمات. [62] إذن ، على سبيل المثال ، ما نكتبه

    كان ديوفانتوس قد كتب كـ [64]

    ̅ α̅ ςι̅ 'ίσ Μ λ̅θ̅

    وكتب الخوارزمي على هذا النحو [64].

    تربيع واحد وعشرة جذور من نفس المقدار يساوي تسعة وثلاثين دراهم وهذا يعني ، ما يجب أن يكون المربع الذي ، عند زيادته بمقدار عشرة من جذوره ، يصل إلى تسعة وثلاثين؟

    الضرورات المنطقية في المعادلات المختلطة يحرر

    ألف عبد الحميد بن ترك مخطوطة بعنوان الضرورات المنطقية في المعادلات المختلطةالذي يشبه إلى حد بعيد الخوارزمي الجبر وتم نشره في نفس الوقت تقريبًا أو ربما قبل ذلك ، الجبر. [63] تقدم المخطوطة نفس العرض الهندسي تمامًا كما هو موجود في الجبر، وفي حالة واحدة نفس المثال الموجود في الجبربل ويتعدى ذلك الجبر بإعطاء دليل هندسي على أنه إذا كان المميز سالبًا ، فلن يكون للمعادلة التربيعية حل. [63] أدى التشابه بين هذين العملين إلى استنتاج بعض المؤرخين أن الجبر العربي ربما يكون قد تطور جيدًا في زمن الخوارزمي وعبد الحميد. [63]

    تحرير أبو كميل والكرخي

    تعامل علماء الرياضيات العرب مع الأعداد غير المنطقية ككائنات جبرية. [65] كان عالم الرياضيات المصري أبو كامل شجاع بن أسلم (850-930) أول من تقبل الأعداد غير النسبية (غالبًا في شكل جذر تربيعي أو جذر تكعيبي أو جذر رابع) كحلول للمعادلات التربيعية أو كمعامِلات في معادلة. [66] كان أيضًا أول من حل ثلاث معادلات متزامنة غير خطية بثلاثة متغيرات غير معروفة. [67]

    الكرخي (953-1029) ، المعروف أيضًا باسم الكرجي ، كان خليفة أبي الوفا البوزجاني (940-998) واكتشف أول حل رقمي لمعادلات الشكل. فأس 2ن + bx ن = ج. [68] الكرخي اعتبر الجذور الإيجابية فقط. [68] يعتبر الكرخي أيضًا أول شخص حرر الجبر من العمليات الهندسية واستبدلها بنوع العمليات الحسابية التي تشكل جوهر علم الجبر اليوم. أعطى عمله في الجبر ومتعدد الحدود قواعد العمليات الحسابية لمعالجة كثيرات الحدود. مؤرخ الرياضيات F. Woepcke ، في Extrait du Fakhri، traité d'Algèbre par أبو بكر محمد بن الحكان الكرخي (باريس ، 1853) ، أشاد بالكراجي لكونه "أول من قدم نظرية التفاضل والتكامل الجبري". وانطلاقاً من ذلك ، بحث الكرجي في المعاملات ذات الحدين ومثلث باسكال. [69]

    عمر الخيام وشرف الدين وتحرير الكاشي

    كتب عمر الخيام (حوالي 1050 - 1123) كتابًا عن الجبر ذهب إلى أبعد من ذلك الجبر لتشمل معادلات من الدرجة الثالثة. [70] قدم عمر الخيام كلاً من الحلول الحسابية والهندسية للمعادلات التربيعية ، لكنه لم يقدم سوى الحلول الهندسية للمعادلات التكعيبية العامة لأنه كان يعتقد خطأً أن الحلول الحسابية مستحيلة. [70] طريقته في حل المعادلات التكعيبية باستخدام الأشكال المخروطية المتقاطعة استخدمها مناحموس وأرخميدس وابن الهيثم (الهيثم) ، لكن عمر الخيام عمم الطريقة لتغطية جميع المعادلات التكعيبية ذات الجذور الموجبة. [70] اعتبر الجذور الإيجابية فقط ولم يتجاوز الدرجة الثالثة. [70] كما رأى علاقة قوية بين الهندسة والجبر. [70]

    في القرن الثاني عشر ، كتب شرف الدين الطوسي (1135-1213) المعدلات (رسالة في المعادلات) الذي تناول ثمانية أنواع من المعادلات التكعيبية ذات الحلول الموجبة وخمسة أنواع من المعادلات التكعيبية التي قد لا يكون لها حلول موجبة. استخدم ما عُرف لاحقًا باسم "طريقة Ruffini-Horner" لتقريب جذر المعادلة التكعيبية عدديًا. كما طور مفاهيم الحدود القصوى والدنيا للمنحنيات من أجل حل المعادلات التكعيبية التي قد لا يكون لها حلول موجبة. [71] لقد فهم أهمية تمييز المعادلة التكعيبية واستخدم نسخة مبكرة من صيغة كاردانو [72] لإيجاد حلول جبرية لأنواع معينة من المعادلات التكعيبية. يجادل بعض العلماء ، مثل رشدي راشد ، بأن شرف الدين اكتشف مشتق متعدد الحدود المكعب وأدرك أهميته ، بينما ربط علماء آخرون حله بأفكار إقليدس وأرخميدس. [73]

    في أوائل القرن الخامس عشر ، طور جمشيد الكاشي شكلًا مبكرًا من طريقة نيوتن لحل المعادلة رقميًا x P - N = 0 < displaystyle x ^

    -N = 0> لإيجاد جذور N < displaystyle N>. [75] كما طور الكاشي الكسور العشرية وادعى أنه اكتشفها بنفسه. ومع ذلك ، يشير J.Lennart Berggrenn إلى أنه كان مخطئًا ، حيث تم استخدام الكسور العشرية لأول مرة قبله بخمسة قرون من قبل عالم الرياضيات البغدادي أبو الحسن العقليديسي في وقت مبكر من القرن العاشر. [67]

    تحرير الحصر وابن البنا والقلسادي

    الحصر ، عالم رياضيات مغربي متخصص في فقه الميراث الإسلامي خلال القرن الثاني عشر ، طور التدوين الرياضي الرمزي الحديث للكسور ، حيث يفصل البسط والمقام بشريط أفقي. ظهر هذا الرمز الكسري نفسه بعد فترة وجيزة في أعمال فيبوناتشي في القرن الثالث عشر. [ بحاجة لمصدر ]

    كان أبو الحسن بن علي القلسادي (1412-1486) آخر جبر عربي رئيسي في العصور الوسطى ، حيث قام بأول محاولة لإنشاء تدوين جبري منذ ابن البنا قبل قرنين من الزمان ، والذي كان هو نفسه أول من صنع مثل هذا محاولة منذ ديوفانتوس وبراهماغوبتا في العصور القديمة. [76] ومع ذلك ، افتقرت الرموز المجمعة لأسلافه إلى رموز للعمليات الحسابية. [38] وقد اتخذ القلعادي "الخطوات الأولى نحو إدخال الرمزية الجبرية باستخدام الأحرف بدلاً من الأرقام" [76] وباستخدام "الكلمات العربية القصيرة ، أو الأحرف الأولى منها فقط ، كرموز رياضية". [76]

    مثلما يشير موت هيباتيا إلى إغلاق مكتبة الإسكندرية كمركز رياضي ، كذلك يشير موت بوثيوس إلى نهاية الرياضيات في الإمبراطورية الرومانية الغربية. على الرغم من وجود بعض الأعمال التي يتم القيام بها في أثينا ، إلا أنه انتهى عندما أغلق الإمبراطور البيزنطي جستنيان عام 529 المدارس الفلسفية الوثنية. يعتبر عام 529 الآن بداية فترة العصور الوسطى. هرب العلماء من الغرب نحو الشرق الأكثر كرمًا ، ولا سيما نحو بلاد فارس ، حيث وجدوا ملاذًا في عهد الملك خسرو وأسسوا ما يمكن تسميته "الأكاديمية الأثينية في المنفى". [77] بموجب معاهدة مع جستنيان ، أعاد كسرى العلماء في النهاية إلى الإمبراطورية الشرقية. خلال العصور المظلمة ، كانت الرياضيات الأوروبية في ذروتها مع البحث الرياضي الذي يتكون أساسًا من التعليقات على الأطروحات القديمة ومعظم هذا البحث كان مركزًا في الإمبراطورية البيزنطية. تم تحديد نهاية فترة العصور الوسطى بسقوط القسطنطينية في يد الأتراك عام 1453.

    أواخر العصور الوسطى تحرير

    شهد القرن الثاني عشر سيلًا من الترجمات من العربية إلى اللاتينية وبحلول القرن الثالث عشر ، بدأت الرياضيات الأوروبية تنافس رياضيات البلدان الأخرى. في القرن الثالث عشر ، كان حل المعادلة التكعيبية بواسطة فيبوناتشي يمثل بداية إحياء الجبر الأوروبي.

    مع تراجع العالم الإسلامي بعد القرن الخامس عشر ، كان العالم الأوروبي في صعود. وهنا تم تطوير الجبر بشكل أكبر.

    تم تقديم الترميز الحديث للعمليات الحسابية بين نهاية القرن الخامس عشر وبداية القرن السادس عشر بواسطة يوهانس ويدمان ومايكل ستيفل. في نهاية القرن السادس عشر ، قدم فرانسوا فييت رموزًا ، تسمى الآن المتغيرات ، لتمثيل أرقام غير محددة أو غير معروفة. أدى هذا إلى إنشاء جبر جديد يتكون من الحوسبة بتعبيرات رمزية كما لو كانت أرقامًا.

    حدث رئيسي آخر في زيادة تطوير علم الجبر كان الحل الجبري العام للمعادلات التكعيبية والرباعية ، التي تم تطويرها في منتصف القرن السادس عشر. تم تطوير فكرة المحدد بواسطة عالم الرياضيات الياباني Kowa Seki في القرن السابع عشر ، تلاه Gottfried Leibniz بعد عشر سنوات ، لغرض حل أنظمة المعادلات الخطية المتزامنة باستخدام المصفوفات. قام غابرييل كرامر أيضًا ببعض الأعمال على المصفوفات والمحددات في القرن الثامن عشر.

    الرمز x يحرر

    يتفق المؤرخون الرياضيون [78] عمومًا على أن استخدام x في الجبر قدمه رينيه ديكارت ونُشر لأول مرة في أطروحته La Géométrie (1637). [79] [80] في هذا العمل ، استخدم الحروف من بداية الأبجدية (أ, ب, ج. ) للكميات المعروفة ، والأحرف من نهاية الأبجدية (ض, ذ, x. ) للمجهول. [81] وقد اقترح أنه استقر في وقت لاحق x (في مكان ض) للمجهول الأول نظرًا لوفرة أكبر نسبيًا في خطوط الطباعة الفرنسية واللاتينية في ذلك الوقت. [82]

    ثلاث نظريات بديلة لأصل الجبر x تم اقتراحه في القرن التاسع عشر: (1) رمز يستخدمه علماء الجبر الألمان ويعتقد أنه مشتق من حرف متصل ص، مخطئ ل x [83] (2) الرقم 1 يتوسطه خط مائل [84] و (3) مصدر عربي / إسباني (انظر أدناه). لكن المؤرخ السويسري الأمريكي للرياضيات فلوريان كاجوري فحصها ووجد أن الثلاثة يفتقرون إلى دليل ملموس نسب كاجوري الفضل إلى ديكارت باعتباره المنشئ ، ووصفه x, ذ، و ض على أنها "خالية من التقاليد [،] واختيارهم تعسفي بحت". [85]

    ومع ذلك ، لا تزال الفرضية الإسبانية-العربية حاضرة في الثقافة الشعبية اليوم. [86] ومن الادعاء أنه جبري x هي اختصار للكلمة المستعارة المفترضة من اللغة العربية في اللغة الإسبانية القديمة. نشأت النظرية في عام 1884 مع المستشرق الألماني بول دي لاغارد ، بعد فترة وجيزة من نشر طبعته من 1505 معجم ثنائي اللغة إسباني / عربي [87] والذي فيه الإسبانية كوزا تم إقران ("شيء") مع نظيره العربي ، شىء (شاي ʔ ) ، مكتوبة باسم شى. (تم تهجئة صوت "sh" في اللغة الإسبانية القديمة بشكل روتيني x.) من الواضح أن لاغارد كانت تدرك أن علماء الرياضيات العرب ، في المرحلة "البلاغية" من تطور الجبر ، غالبًا ما يستخدمون هذه الكلمة لتمثيل الكمية غير المعروفة. لقد ظن أنه "لا شيء يمكن أن يكون أكثر طبيعية" ("حرب Nichts أيضًا natürlicher.") من الحرف الأول للكلمة العربية - المكتوبة بالحروف اللاتينية مثل الإسبانية القديمة x- يتم اعتمادها للاستخدام في الجبر. [88] أعاد قارئ لاحق تفسير حدسية لاغارد على أنها "أثبتت" هذه النقطة. [89] لم تكن لاغارد على علم بأن علماء الرياضيات الأسبان الأوائل استخدموا ، وليس النسخ من الكلمة العربية بل هي ترجمة بلغتهم الخاصة ، "cosa". [90] لا يوجد مثيل لـ شى أو أشكال مماثلة في العديد من المفردات التاريخية المترجمة للغة الإسبانية. [91] [92]

    تحرير جوتفريد ليبنيز

    على الرغم من أن المفهوم الرياضي للوظيفة كان ضمنيًا في الجداول المثلثية واللوغاريتمية ، التي كانت موجودة في عصره ، كان جوتفريد لايبنيز أول من استخدمها بشكل صريح ، في عامي 1692 و 1694 ، للدلالة على أي من العديد من المفاهيم الهندسية المشتقة من منحنى ، مثل الاحداثي ، الاحداثي ، الظل ، الوتر ، والعمودي. [93] في القرن الثامن عشر ، فقدت "الوظيفة" هذه الارتباطات الهندسية.

    أدرك لايبنيز أن معاملات نظام المعادلات الخطية يمكن ترتيبها في مصفوفة ، تسمى الآن المصفوفة ، والتي يمكن معالجتها لإيجاد حل النظام ، إن وجد. سميت هذه الطريقة فيما بعد بالقضاء على الغاوس اكتشف لايبنيز أيضًا الجبر البولي والمنطق الرمزي ، وهو أيضًا ذو صلة بالجبر.

    تحرير الجبر المجرد

    القدرة على الجبر هي مهارة تزرع في تعليم الرياضيات. كما أوضح أندرو وارويك ، مارس طلاب جامعة كامبريدج في أوائل القرن التاسع عشر "الرياضيات المختلطة" ، [94] وهم يمارسون التمارين على أساس متغيرات فيزيائية مثل المكان والزمان والوزن. بمرور الوقت تلاشى ارتباط المتغيرات بالكميات الفيزيائية مع نمو التقنية الرياضية. في نهاية المطاف ، كانت الرياضيات مهتمة تمامًا بكثيرات الحدود المجردة ، والأرقام المركبة ، والأرقام المعقدة والمفاهيم الأخرى. ثم سُمي التطبيق على المواقف الفيزيائية بالرياضيات التطبيقية أو الفيزياء الرياضية ، وتوسع مجال الرياضيات ليشمل الجبر المجرد. على سبيل المثال ، أظهرت قضية الأرقام القابلة للبناء بعض القيود الرياضية ، وتم تطوير مجال نظرية جالوا.

    كثيرًا ما يُنسب لقب "أبو الجبر" إلى عالم الرياضيات الفارسي الخوارزمي ، [95] [96] [97] يدعمه مؤرخو الرياضيات ، مثل كارل بنجامين بوير ، [95] سليمان غاندز وبارتيل ليندرت فان دير فيردن. [98] ومع ذلك ، فإن هذه النقطة قابلة للنقاش ، ويُنسب العنوان أحيانًا إلى عالم الرياضيات الهلنستي ديوفانتوس. [95] [99] أولئك الذين يدعمون ديوفانتوس يشيرون إلى الجبر الموجود فيها الجبر كونها أكثر بدائية من الجبر الموجود فيها أريثميتيكا، و أريثميتيكا يجري syncopated حين الجبر بلاغية بالكامل. [95] ومع ذلك ، يجادل مؤرخ الرياضيات كورت فوجل ضد حمل ديوفانتوس لهذا العنوان ، [100] لأن رياضياته لم تكن أكثر جبرية من تلك الخاصة بالبابليين القدماء. [101]

    يشير مؤيدو الخوارزمي إلى حقيقة أنه قدم شرحًا شاملاً للحل الجبري للمعادلات التربيعية ذات الجذور الإيجابية ، [102] وكان أول من قام بتدريس الجبر في شكل ابتدائي ولأجله ، بينما كان ديوفانتوس تهتم في المقام الأول بنظرية الأعداد. [51] قدم الخوارزمي أيضًا المفهوم الأساسي لـ "الاختزال" و "الموازنة" (الذي استخدمه في الأصل مصطلح الجبر للإشارة إلى) ، بالإشارة إلى نقل المصطلحات المطروحة إلى الجانب الآخر من المعادلة ، أي إلغاء المصطلحات المتشابهة على طرفي نقيض من المعادلة. [55] يشير مؤيدو الخوارزمي الآخرون إلى أن الجبر لم يعد مهتمًا "بسلسلة من المشكلات التي يتعين حلها ، ولكن العرض الذي يبدأ بمصطلحات بدائية حيث يجب أن تعطي المجموعات جميع النماذج الأولية الممكنة للمعادلات ، والتي من الآن فصاعدًا صراحة تشكل الهدف الحقيقي للدراسة ". ويشيرون أيضًا إلى معالجته للمعادلة في حد ذاتها و "بطريقة عامة ، بقدر ما لا تظهر ببساطة في سياق حل مشكلة ما ، ولكنها مدعوة تحديدًا لتحديد فئة لا نهائية من المشكلات". [56] تحياتي فيكتور كاتز الجبر كأول نص جبر حقيقي لا يزال موجودًا. [103]


    حول المساهمين

    مؤلف

    جون ريدن حصل على شهادته في جامعة ولاية كاليفورنيا و ndashNorthridge وكلية مجتمع Glendale. وهو الآن أستاذ الرياضيات في كلية سيكوياس ، الواقعة في فيساليا ، كاليفورنيا. مع أكثر من عقد من الخبرة في العمل مع الطلاب لتطوير مهاراتهم في الجبر ، فهو يعرف فقط أين يكافحون وكيف يقدمون تقنيات معقدة بطرق أكثر قابلية للفهم. ينتقل منهجه الملائم للطلاب والمعقول إلى كتابته عن الجبر الابتدائي ومختلف مصادر التعلم الأخرى مفتوحة المصدر.


    شاهد الفيديو: ضرب المصفوفات 1 - شرح مبسط وسهل - matrix production (كانون الثاني 2022).