مقالات

5.8: أقواس قابلة للتصحيح. الاستمرارية المطلقة


إذا كانت الدالة (f: E ^ {1} rightarrow E ) ذات تباين محدود (§7) في فاصل زمني (I = [a، b]، ) يمكننا تحديد دالة حقيقية (v_ { f} ) في (I ) بواسطة

[v_ {f} (x) = V_ {f} [a، x] (= text {total variation of} f text {on} [a، x]) text {for} x in I؛ ]

(v_ {f} ) تسمى دالة التباين الكلي ، أو دالة الطول ، التي تم إنشاؤها بواسطة (f ) في (I ). لاحظ أن (v_ {f} uparrow ) في (I. ) (لماذا؟) نحن الآن نعتبر الحالة التي يكون فيها (f ) أيضًا مستمرًا نسبيًا على (I ، ) بحيث تكون المجموعة (A = f [I] ) هو قوس قابل للتصحيح (انظر الفقرة 7 ، الملاحظة 1 والتعريف 2).

التعريف 1

الدالة (f: E ^ {1} rightarrow E ) هي (ضعيفة) متصلة تمامًا على (I = [a، b] ) iff (V_ {f} [I] <+ infty ) و (f ) مستمر نسبيًا على (أنا ).

نظرية ( PageIndex {1} )

ما يلي متكافئ:

(i) (f ) (ضعيف) مستمر تمامًا في (I = [a، b] ) ؛

(ii) (v_ {f} ) محدود ومستمر نسبيًا في (I ؛ ) و

(iii) (( forall varepsilon> 0) text {} ( موجود دلتا> 0) نص {} ( forall x، y in I | 0 leq yx < delta) text { } V_ {f} [x، y] < varepsilon ).

دليل - إثبات

سنبين أن (ii) ( Rightarrow ) (iii) ( Rightarrow ) (i) ( Rightarrow ) (ii).

(2) ( Rightarrow ) (ثالثا). نظرًا لأن (I = [a، b] ) مضغوط ، (ii) يعني أن (v_ {f} ) مستمر بشكل موحد في (I ) (النظرية 4 من الفصل 4 ، §8). هكذا

[( forall varepsilon> 0) text {} ( موجود delta> 0) نص {} ( forall x، y in I | 0 leq yx < delta) quad v_ {f} (y) -v_ {f} (x) < varepsilon. ]

ومع ذلك،

[v_ {f} (y) -v_ {f} (x) = V_ {f} [a، y] -V_ {f} [a، x] = V_ {f} [x، y] ]

عن طريق الجمع (النظرية 1 في §7). وهكذا (ثالثا) يتبع.

(iii) ( Rightarrow ) (i). بواسطة النتيجة الطبيعية 3 من §7 ، (| f (x) -f (y) | leq V_ {f} [x، y]. ) لذلك ، (iii) يعني أن

[( forall varepsilon> 0) text {} ( موجود دلتا> 0) نص {} ( forall x، y in I | | xy | < delta) quad | f (x) -f (ص) | < varepsilon ، ]

وهكذا فإن (f ) مستمر نسبيًا (حتى بشكل موحد) على (I ).

الآن باستخدام ( varepsilon ) و ( delta ) كما في (iii) ، خذ قسمًا (P = left {t_ {0} ، ldots ، t_ {m} right } ) من (أنا ) على ما يرام

[t_ {i} -t_ {i-1} < delta، quad i = 1،2، ldots، text {} m. ]

ثم (( forall i) V_ {f} left [t_ {i-1}، t_ {i} right] < varepsilon. ) جمع هذه المتباينات (m ) واستخدام الجمع (V_ {f} ، ) نحصل عليها

[V_ {f} [I] = sum_ {i = 1} ^ {m} V_ {f} left [t_ {i-1}، t_ {i} right]

وهكذا (1) يتبع بحكم التعريف.

أن (i) ( Rightarrow ) (ii) معطى كنظرية تالية. ( رباعي مربع )

نظرية ( PageIndex {2} )

إذا كان (V_ {f} [I] <+ infty ) وإذا كان (f ) مستمرًا نسبيًا عند بعض (p in I ) (over (I = [a، b])، ) ثم ينطبق الأمر نفسه على دالة الطول (v_ {f} ).

دليل - إثبات

نعتبر الاستمرارية اليسرى أولاً ، مع (a

دعونا ( varepsilon> 0. ) على افتراض ، هناك ( دلتا> 0 ) بحيث

[| f (x) -f (p) | < frac { varepsilon} {2} text {when} | x-p | < delta text {and} x in [a، p]. ]

أصلح أيًا من (x. ) أيضًا (V_ {f} [a، p] = sup _ {P} S (f، P) ) على ([a، p]. ) وبالتالي

[V_ {f} [a، p] - frac { varepsilon} {2} < sum_ {i = 1} ^ {k} left | Delta_ {i} f right | ]

لبعض التقسيم

[P = left {t_ {0} = a، ldots، t_ {k-1}، t_ {k} = p right } text {of} [a، p]. text {(لماذا؟)} ]

قد نفترض (t_ {k-1} = x، x ) على النحو الوارد أعلاه. (إذا (t_ {k-1} neq x ، ) أضف (x ) إلى (P.) ) ثم

[ left | Delta_ {k} f right | = | f (p) -f (x) | < frac { varepsilon} {2}، ]

وبالتالي

[V_ {f} [a، p] - frac { varepsilon} {2} < sum_ {i = 1} ^ {k-1} left | Delta_ {i} f right | + left | Delta_ {k} f right | < sum_ {i = 1} ^ {k-1} left | Delta_ {i} f right | + frac { varepsilon} {2} leq V_ { f} left [a، t_ {k-1} right] + frac { varepsilon} {2}. ]

ومع ذلك،

[V_ {f} [a، p] = v_ {f} (p) ]

و

[V_ {f} left [a، t_ {k-1} right] = V_ {f} [a، x] = v_ {f} (x). ]

وهكذا (1) ينتج

[ left | v_ {f} (p) -v_ {f} (x) right | = V_ {f} [a، p] -V_ {f} [a، x] < varepsilon text {لـ } x in [a، p] text {with} | xp | < delta. ]

يوضح هذا أن (v_ {f} ) يُترك مستمرًا عند (p ).

ثبت الاستمرارية الصحيحة بالمثل عند ملاحظة ذلك

[v_ {f} (x) -v_ {f} (p) = V_ {f} [p، b] -V_ {f} [x، b] text {for} p leq x

وبالتالي ، فإن (v_ {f} ) هو بالفعل مستمر نسبيًا عند (p. ) لاحظ أن (v_ {f} ) هو أيضًا من الاختلاف المحدود على (I ، ) كونه رتيبًا ومحدودًا (انظر النظرية 3 (2) من §7).

هذا يكمل برهان كل من النظرية 2 والنظرية 1. ( quad square )

لدينا أيضا ما يلي.

نتيجة طبيعية ( PageIndex {1} )

إذا كان (f ) حقيقيًا ومستمرًا تمامًا على (I = [a، b] ) (ضعيف) ، كذلك يتم تعريف الدوال غير المتناقصة (g ) و (h (f = gh) ) في النظرية 3 من الفقرة 7.

في الواقع ، فإن الوظيفة (g ) كما هو محدد هناك ببساطة (v_ {f}. ) وبالتالي فهي مستمرة نسبيًا ومحدودة على (I ) بواسطة النظرية 1. ومن ثم فهي أيضًا (h = fg. ) كلاهما ذو تباين محدود (رتيب!) وبالتالي مستمر تمامًا (ضعيف).

ملاحظة 1. يُظهر إثبات النظرية 1 أن الاستمرارية المطلقة (الضعيفة) تعني استمرارية موحدة. لكن العكس فشل (انظر المشكلة 1 (4) في §7).

نطبق الآن نظريتنا على المشتقات العكسية (التكاملات).

نتيجة طبيعية ( PageIndex {2} )

إذا (F = int f ) في (I = [a، b] ) وإذا كان (f ) مقيدًا ( left (| f | leq K in E ^ {1} يمين) ) على (IQ ) ( (Q ) معدود) ، ثم (F ) ضعيف تمامًا بشكل مستمر على (I. )

(في الواقع ، يتبع ذلك التنوع الأقوى للاستمرارية المطلقة. انظر الفصل 7 ، الفقرة 11 ، المشكلة 17).

دليل - إثبات

حسب التعريف ، (F = int f ) محدود ومستمر نسبيًا في (I ، ) لذلك علينا فقط إظهار أن (V_ {F} [I] <+ infty. ) هذا ، مع ذلك ، يتبعها بسهولة المشكلة 3 من §7 عند ملاحظة أن (F ^ { prime} = f ) على (IS ) ( (S ) معدود). يتم ترك التفاصيل للقارئ. ( رباعي مربع )

تعبر النظرية التالية عن طول القوس في صورة تكامل.

نظرية ( PageIndex {3} )

إذا كان (f: E ^ {1} rightarrow E ) قابلاً للتفاضل باستمرار على (I = [a، b] ) (§6) ، إذن (v_ {f} = int left | f ^ { prime} right | ) في (أنا ) و

[V_ {f} [a، b] = int_ {a} ^ {b} left | f ^ { prime} right |. ]

دليل - إثبات

دع (a

[ Delta v_ {f} = v_ {f} (x) -v_ {f} (p) = V_ {f} [p، x]. رباعي نص {(لماذا؟)} ]

كخطوة أولى ، سوف نظهر ذلك

[ frac { Delta v_ {f}} { Delta x} leq sup _ {[p، x]} left | f ^ { prime} right |. ]

لأي قسم (P = left {p = t_ {0}، ldots، t_ {m} = x right } ) من ([p، x]، ) لدينا

[S (f، P) = sum_ {i = 1} ^ {m} left | Delta_ {i} f right | leq sum_ {i = 1} ^ {m} sup _ { left [t_ {i-1}، t_ {i} right]} left | f ^ { prime} right | left ( t_ {i} -t_ {i-1} right) leq sup _ {[p، x]} left | f ^ { prime} right | دلتا س. ]

نظرًا لأن هذا ينطبق على أي قسم لدينا

[V_ {f} [p، x] leq sup _ {[p، x]} left | f ^ { prime} right | دلتا س ، ]

مما يعني (2).

على الجانب الآخر،

[ Delta v_ {f} = V_ {f} [p، x] geq | f (x) -f (p) | = | Delta f |. ]

الجمع ، نحصل

[ left | frac { Delta f} { Delta x} right | leq frac { Delta v_ {f}} { Delta x} leq sup _ {[p، x]} left | f ^ { prime} right | <+ infty ]

بما أن (f ^ { prime} ) مستمر نسبيًا على ([أ ، ب] ، ) وبالتالي فهو أيضًا مستمر ومحدود بشكل منتظم. (هنا افترضنا (a

الآن

[| | و ^ { رئيس الوزراء} (ع) | - | و ^ { رئيس} (س) | | leq left | f ^ { prime} (p) -f ^ { prime} (x) right | rightarrow 0 quad text {as} x rightarrow p، ]

لذلك ، مع الأخذ في الاعتبار (x rightarrow p ، ) نحصل عليها

[ lim _ {x rightarrow p} frac { Delta v_ {f}} { Delta x} = left | f ^ { prime} (p) right |. ]

وبالتالي فإن (v_ {f} ) قابل للتفاضل عند كل (p ) في ((أ ، ب) ، ) مع (v_ {f} ^ { prime} (p) = left | f ^ { prime} (p) right |. ) أيضًا ، (v_ {f} ) مستمر نسبيًا ومحدود في ([a، b] ) (بواسطة النظرية 1). ومن هنا (v_ {f} = int left | f ^ { prime} right | ) في ([a، b]، ) ونحصل على

[ int_ {a} ^ {b} left | f ^ { prime} right | = v_ {f} (b) -v_ {f} (a) = V_ {f} [a، b]، نص {كما تم التأكيد.} رباعي مربع ]

ملاحظة 2. إذا كانت مساحة النطاق (E ) هي (E ^ {n} ) (* أو (C ^ {n} )) ، فإن (f ) به (n ) مكونات

[f_ {1} ، f_ {2} ، ldots ، f_ {n}. ]

حسب النظرية 5 في §1، (f ^ { prime} = left (f_ {1} ^ { prime}، f_ {2} ^ { prime}، ldots، f_ {n} ^ { prime } حق) ، ) لذلك

[ left | f ^ { prime} right | = sqrt { sum_ {k = 1} ^ {n} left | f_ {k} ^ { prime} right | ^ {2}} ، ]

ونحصل

[V_ {f} [a، b] = int_ {a} ^ {b} sqrt { sum_ {k = 1} ^ {n} left | f_ {k} ^ { prime} right | ^ {2}} = int_ {a} ^ {b} sqrt { sum_ {k = 1} ^ {n} left | f_ {k} ^ { prime} (t) right | ^ {2 }} dt quad text {(تدوين كلاسيكي).} ]

على وجه الخصوص ، بالنسبة للوظائف المعقدة ، لدينا (انظر الفصل 4 ، §3 ، الملاحظة 5)

[V_ {f} [a، b] = int_ {a} ^ {b} sqrt {f _ { mathrm {re}} ^ { prime} (t) ^ {2} + f _ { mathrm { im}} ^ { prime} (t) ^ {2}} د t. ]

في الممارسة العملية ، يتم استخدام الصيغة (5) عندما يتم إعطاء منحنى حدوديًا بواسطة

[x_ {k} = f_ {k} (t)، quad k = 1، 2، ldots، text {} n، ]

مع (f_ {k} ) القابلة للتفاضل في ([a، b]. ) غالبًا ما يتم إعطاء المنحنيات في (E ^ {2} ) في شكل غير معلمي مثل

[y = F (x)، quad F: E ^ {1} rightarrow E ^ {1}. ]

هنا (F [I] ) هو (ليس ) المنحنى المطلوب ولكنه مجرد مجموعة في (E ^ {1}. ) لتطبيق (5) هنا ، نستبدل أولاً " (y = F ( خ) ) "بواسطة المعادلات البارامترية المناسبة ،

[x = f_ {1} (t) text {and} y = f_ {2} (t)؛ ]

على سبيل المثال ، نقدم دالة (f: E ^ {1} rightarrow E، ) مع (f = left (f_ {1}، f_ {2} right). ) واضح (ولكن ليس فقط) طريقة تحقيقه هي التعيين

[x = f_ {1} (t) = t text {and} y = f_ {2} (t) = F (t) ]

بحيث (f_ {1} ^ { prime} = 1 ) و (f_ {2} ^ { prime} = F ^ { prime}. ) ثم يمكن كتابة الصيغة (5) كـ

[V_ {f} [a، b] = int_ {a} ^ {b} sqrt {1 + F ^ { prime} (x) ^ {2}} dx، quad f (x) = ( س ، و (خ)). ]

مثال

أوجد طول الدائرة

[x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}. ]

من المناسب هنا استخدام المعادلات البارامترية

[x = r cos t text {and} y = r sin t، ]

على سبيل المثال ، لتعريف (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {2} ) بواسطة

[f (t) = (r cos t، r sin t)، ]

أو ، في التدوين المركب ،

[f (t) = r e ^ {t i}. ]

ثم يتم الحصول على الدائرة عن طريق السماح (t ) بالتنوع من خلال ([0،2 pi]. ) وبالتالي (5) ينتج

[V_ {f} [0،2 pi] = int_ {a} ^ {b} r sqrt { cos ^ {2} t + sin ^ {2} t} dt = r int_ {a} ^ {b} 1 dt = r left.t right | _ {0} ^ {2 pi} = 2 r pi. ]

لاحظ أن (f ) يصف نفس الدائرة (A = f [I] ) over (I = [0،4 pi]. ) بشكل عام ، يمكننا السماح (t ) بالتنوع من خلال أي الفاصل ([a، b] ) مع (ba geq 2 pi. ) ومع ذلك ، فإن الطول ، (V_ {f} [a ، b] ، ) سيتغير (اعتمادًا على (ba) ). هذا لأن الدائرة (A = f [I] ) ليست قوسًا بسيطًا (انظر §7 ، الملاحظة 1) ، لذا فإن ( ell A ) تعتمد على (f ) و (I، ) ويجب على المرء توخي الحذر في اختيار كليهما بشكل مناسب.


شاهد الفيديو: أصول18 المطلق والمقيد- عامر بهجت - التأهيل الفقهي (كانون الثاني 2022).