مقالات

11: المتتاليات والمتسلسلات - رياضيات


سلسلة الطاقة (في متغير واحد) هي سلسلة لا نهائية. يمكن التعبير عن أي كثير حدود بسهولة كسلسلة قوى حول أي مركز c ، على الرغم من أن معظم المعاملات ستكون صفراً لأن سلسلة القوى لها عدد لا نهائي من المصطلحات حسب التعريف. يمكن للمرء أن ينظر إلى متسلسلة القوة على أنها مثل "كثيرات الحدود من الدرجة اللانهائية" ، على الرغم من أن متسلسلات القوة ليست متعددة الحدود. يتم استكمال المحتوى الموجود في هذا الفصل من Textmap بواسطة OpenStax's Calculus Textmap.

  • 11.1: مقدمة للتسلسلات والمتسلسلات
    تتمثل مهمتنا الأولى في فحص المبالغ اللانهائية ، والتي تسمى المتسلسلة ، في التحقق من حدود تسلسل الأرقام.
  • 11.2: المتتاليات
    في حين أن فكرة تسلسل الأرقام واضحة ومباشرة ، فمن المفيد التفكير في التسلسل كدالة. لقد تعاملنا حتى الآن مع الدوال التي نطاقاتها هي الأرقام الحقيقية ، أو مجموعة فرعية من الأرقام الحقيقية ، مثل f (x) = sinx. التسلسل هو دالة ذات مجال الأعداد الطبيعية N = {1،2،3 ، ...} أو الأعداد الصحيحة غير السالبة ، Z≥0 = {0،1،2،3 ، ...}. لا يزال يُسمح بأن يكون نطاق الوظيفة هو الأرقام الحقيقية ؛ في الرموز ، نقول أن التسلسل هو وظيفة f: N → R.
  • 11.3: سلسلة
    تذكر أن السلسلة ، بالمعنى التقريبي ، هي مجموع المتتالية. يقترن المتسلسلة بتسلسل ثانٍ يسمى تسلسل المجاميع الجزئية. تتقارب السلسلة إذا تقارب تسلسل المجاميع الجزئية ، وبخلاف ذلك تتباعد السلسلة.
  • 11.4: الاختبار المتكامل
    بشكل عام ، من الصعب للغاية ، وغالبًا ما يكون من المستحيل ، تحديد قيمة سلسلة بالضبط. في كثير من الحالات ، من الممكن على الأقل تحديد ما إذا كانت السلسلة تتقارب أم لا ، ولذا سنقضي معظم وقتنا في حل هذه المشكلة. إذا كانت جميع مصطلحات anan في سلسلة غير سالبة ، فمن الواضح أن تسلسل المجاميع الجزئية snsn غير متناقص. هذا يعني أنه إذا تمكنا من إظهار أن تسلسل المجاميع الجزئية محدود ، فيجب أن تتقارب السلسلة.
  • 11.5: سلسلة متناوبة
    بعد ذلك ، نأخذ في الاعتبار المتسلسلة ذات الحدود الموجبة والسالبة ، ولكن في نمط منتظم: إنها تتناوب.
  • 11.6: اختبار المقارنة
    عندما نبدأ في تجميع قائمة من السلاسل المتقاربة والمتباينة ، يمكن أحيانًا تحليل سلاسل جديدة من خلال مقارنتها بالسلسلة التي نفهمها بالفعل.
  • 11.7: التقارب المطلق
    بشكل تقريبي ، هناك طريقتان لتقارب السلسلة: (1) تصبح المصطلحات الفردية صغيرة جدًا بسرعة كبيرة ، بحيث يظل مجموعها محدودًا ، أو (2) لا تصبح المصطلحات صغيرة بالسرعة الكافية ، بل خليط المصطلحات الموجبة والسالبة توفر إلغاءًا كافيًا لإبقاء المجموع محدودًا. قد تخمن مما رأيناه أنه إذا أصبحت المصطلحات صغيرة بسرعة كافية للقيام بالمهمة ، فعندئذٍ ما إذا كانت بعض المصطلحات سالبة وبعضها موجب تتقارب السلسلة.
  • 11.8: اختبارات النسبة والجذر
    في بعض الأحيان يكون من الممكن ، ولكن غير سار بعض الشيء ، تقييم ما إذا كانت سلسلة تتقارب مع الاختبار المتكامل أو اختبار المقارنة ، ولكن هناك طرقًا أسهل. النسبة واختبارات الجذر هما نهجان من هذا القبيل.
  • 11.9: سلسلة الطاقة
    تحتوي السلسلة الهندسية على ميزة خاصة تجعلها مختلفة عن كثير الحدود النموذجي - معاملات قوى xx هي نفسها ، أي kk. سنحتاج إلى السماح بمزيد من المعاملات العامة إذا أردنا الحصول على أي شيء آخر غير المتسلسلة الهندسية.
  • 11.10: حساب التفاضل والتكامل مع سلسلة القوة
    نحن نعلم الآن أنه يمكن التعبير عن بعض الدوال في صورة متسلسلة قوى ، والتي تبدو مثل كثيرات حدود لانهائية. نظرًا لأن حساب التفاضل والتكامل ، أي حساب المشتقات والمشتقات العكسية ، سهل بالنسبة لكثيرات الحدود ، فإن السؤال الواضح هو ما إذا كان الأمر نفسه ينطبق على المتسلسلات اللانهائية. الجواب أنا
  • 11.11: سلسلة تايلور
    لقد رأينا أنه يمكن تمثيل بعض الوظائف على شكل سلسلة ، مما قد يوفر معلومات قيمة حول الوظيفة. حتى الآن ، رأينا فقط تلك الأمثلة الناتجة عن التلاعب بمثالنا الأساسي الوحيد ، المتسلسلة الهندسية. نود أن نبدأ بدالة معينة وننتج سلسلة لتمثيلها ، إن أمكن.
  • 11.12: نظرية تايلور
    من أهم استخدامات السلاسل اللانهائية إمكانية استخدام جزء أولي من السلسلة لـ f لتقريب ff. لقد رأينا ، على سبيل المثال ، أنه عندما نجمع أول n حد من سلسلة متناوبة بشروط متناقصة ، فإن الفرق بين هذه القيمة والقيمة الحقيقية يكون على الأكثر حجم الحد التالي. نتيجة مماثلة تنطبق على العديد من سلاسل تايلور.
  • 11.13: تمارين إضافية
  • 11.E: المتتاليات والمتسلسلات (تمارين)
    هذه هي تمارين الواجب المنزلي لمرافقة Textmap "التفاضل والتكامل العامة" لديفيد جيتشارد.

الصورة المصغرة: يوضح الرسم البياني الوظيفة ( displaystyle y = sinx ) ومتعددة حدود Maclaurin ( displaystyle p_1، p_3 ) و ( displaystyle p_5 ). (CC BY-SA 3.0 ؛ OpenStax).


التسلسل والمتسلسلة والاستقراء الرياضي.

نظرًا لسقوط كرة مطاطية من ارتفاع 16 قدمًا وعند كل ارتداد ، فإنها تغطي 3/4 مسافة السقوط السابق. لذا فإن المسافة الأولى = 16 قدمًا. المسافة الثانية = 16 * $ frac <3> <4> $ = 12.

المسافة الثالثة = 12 * $ frac <3> <4> $ = 9.

المسافة الرابعة = 9 * $ frac <3> <4> $ = $ frac <<27>> <4> $. وهكذا.

نظرًا لأن المسافات بعد 1 st التي تغطيها الكرة في الاتجاه الصاعد والهابط ، فإن GS اللانهائي للمسافة هو ،

جانب المربع الأول = 16 سم.

إذن محيط المربع الأول = 64 سم.

جانب المربع الثاني ، = $ sqrt << 8 ^ 2> + <8 ^ 2 >> $ = 8 $ sqrt 2 $.

إذن ، محيط 2 nd square = 32 $ sqrt 2 $.

ضلع 3 rd square = $ sqrt < left (<4 << sqrt 2> ^ 2 >> right) + left (<4 << sqrt 2> ^ 2 >> right)> $ = 8.

إذن ، محيط 3 rd square = 32 وما إلى ذلك.

إذن ، G.S اللانهائي للمحيط هو 64 + 32 $ sqrt 2 $ + 32 + 16 $ sqrt 2 $ + & hellip

= (4 + 1) + (4 + 3) + (4 + 3 2) + (4 + 3 3) + (4 + 3 4) + & hellip.

ثم ، المصطلح n th (tن) = 4 + 3 ن -1.

= 4n + (3 0 + 3 1 + 3 2 + & hellip. + 3 n-1)

نعلم أن مجموع حدود 1 st n (S.ن) = $ mathop sum nolimits ^ << rm> _ < rm>> < rm <: >> $ = $ mathop sum nolimits ^ << rm> ^ 2> يسار (<< rm> + 1> right) $ = $ mathop sum nolimits ^ << rm> ^ 3> $ + $ mathop sum nolimits ^ << rm>^2>$

لذا ، S.ن = $ فارك <<< rm> يسار (<< rm> + 1> right) left (<< rm> + 2> right) left (<3 < rm> + 1> right) >> <<12>> $ [3n 2 + 7n + 2 = (n + 2) (3n + 1)]

دع رنيكون المصطلح n و S.ن يكون مجموع 1 st n حدًا ،


فصل: الحادي عشر
موضوع: الرياضيات
الفصل : الفصل 14 التسلسل والمتسلسلة القسم أ
مجلس ISC
كاتب OP مالهوترا
المنشورات منشورات S.Chand 2020-21

تسلسل OP Malhotra Class-11 وسلسلة S.Chand ISC Maths Solutions

المتتاليات والمتسلسلات

تُعرف الأرقام المختلفة التي تحدث في أي تسلسل معين بالمصطلحات. يتم الإشارة إلى شروط التسلسل بواسطة

إذا كان للتسلسل عدد محدود من المصطلحات ، فإنه يُعرف باسم التسلسل المحدود. يُطلق على التسلسل اللانهائي إذا لم يكن له عدد محدد من المصطلحات. يتم إعطاء المصطلح nth لـ AP بواسطة

بين أي رقمين "أ" و "ب" ، يمكن إدراج عدد ن بحيث يكون التسلسل الناتج عبارة عن تقدم حسابي. أ1 , أ2 , أ3 ,……, أن تكون أعداد n بين a و b بحيث تكون a ، A1 , أ2 , أ3 ,……, أن ، ب في A.P.

هنا ، a هو الحد الأول و b هو (n + 2) الحد th. وبالتالي،

ب = أ + د [(ن + 2) - 1] = أ + د (ن + 1).

ومن ثم ، فإن الفرق المشترك (د) = (ب أ) / (ن + 1)

يتم إعطاء المصطلح التاسع للتقدم الهندسي بواسطة aن = ع ن -1

مجموع المصطلح التاسع:

حيث n = عدد المصطلحات ، a = المصطلح الأول و d = الفرق المشترك

تسلسل
يُطلق على سلسلة الأرقام المرتبة بترتيب محدد وفقًا لقاعدة معينة اسم التسلسل. يكون التسلسل إما محدودًا أو لا نهائيًا اعتمادًا على عدد المصطلحات في التسلسل.

سلسلة
اذا كان1، أ2، أ3،…… أن هو تسلسل ، ثم التعبير أ1 + أ2 + أ3 + أ4 +… + أن يسمى سلسلة.

التقدم
غالبًا ما يسمى التسلسل الذي تتبع شروطه أنماطًا معينة بالتقدم.

التقدم الحسابي (ا ف ب)
يُطلق على التسلسل الذي يكون فيه الفرق بين فترتين متتاليتين ثابتًا ، التقدم الحسابي (AP).

خصائص التقدم الحسابي (AP)

إذا كان التسلسل هو A.P ، فإن حده التاسع عبارة عن تعبير خطي في n ، أي أن الحد النوني مُعطى بواسطة An + B ، حيث A و S ثابتان و A هو الاختلاف المشترك.

مصطلح nth من AP : إذا كان a هو المصطلح الأول ، فإن d هو الفرق الشائع و l هو الحد الأخير من AP ثم

  • يتم إعطاء المصطلح n بواسطة aن = أ + (ن - 1) د.
  • المصطلح nth لـ AP من المصطلح الأخير هو "ن = أن - (ن - 1) د.
  • أن + أن = ثابت
  • الاختلاف المشترك لـ AP ، أي d = aن - أن -1، ∀ n & gt 1.

إذا تمت إضافة ثابت أو طرحه من كل حد من حدود AR ، فإن التسلسل الناتج يكون AP مع نفس الاختلاف المشترك.

إذا تم ضرب كل حد من حدود AP أو قسمة على ثابت غير صفري ، فإن التسلسل الناتج يكون أيضًا AP.

إذا كانت a و b و c ثلاثة شروط متتالية لـ A.P ، فإن 2b = a + c.

يمكن اعتبار أي ثلاثة شروط لـ AP على أنها (أ - د) ، أ ، (أ + د) ويمكن اعتبار أي أربعة شروط لـ AP على أنها (أ - 3d) ، (أ - د) ، (أ + د )، (a + 3d)

تسلسل OP Malhotra Class-11 وسلسلة S.Chand ISC Maths Solutions

السؤال رقم 1:

اكتب أول خمسة حدود للتسلسل باستخدام الموجة المحددة ، في كل حالة ، القيمة الأولية للدليل هي & # 8230

السؤال 2:

السؤال 4:

أوجد الحد العاشر من المتتابعة التي مجموع حدها n هو 6x² + 7

تسلسل OP Malhotra Class-11 وسلسلة S.Chand ISC Maths Solutions

السؤال رقم 1:

اكتب أول ستة حدود من A.P. وفيها

السؤال 2:

السؤال 18:

بالنظر إلى أن (p + 1) شروط A. P. هي ضعف (q + 1) حيث تثبت المصطلحات (3p +1) ضعف & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230

إكس -14 (ج)

تسلسل OP Malhotra Class-11 وسلسلة S.Chand ISC Maths Solutions

السؤال رقم 1:

السؤال 27:

النسبة بين مجموع حد n لـ 2 A. P. هي & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 أوجد نسبة الحد الحادي عشر.


11: المتتاليات والمتسلسلات - رياضيات

التسلسلات والمتسلسلات لها العديد من التطبيقات الهامة في العديد من مجالات الأنشطة البشرية. عندما تتبع التسلسلات بعض الأنماط المحددة ، فإنها عادة ما تسمى التعاقب. التدرجات الحسابية والهندسية هي بعض الأمثلة على التعاقب الشائع الحدوث. دع & # 8217s نرى بعض المشاكل في هذه التعاقب لفهمها بشكل أفضل.

أنماط النمو

تصف مثل هذه الأنواع من مشاكل التسلسل الرقمي أولاً كيفية إنشاء سلسلة من الأرقام. بعض مصطلحات المتسلسلة معطاة ، وعلينا معرفة الأنماط الموجودة فيها ثم المصطلحات التالية من المتسلسلة.

  1. ابحث عن نمط بين الأرقام المعطاة.
  2. قرر ما إذا كنت تريد استخدام + أو - أو × أو ÷
  3. استخدم النمط لحل التسلسل.

زيادة النمط

زيادة الأنماط كما يوحي الاسم ستزداد دائمًا في الطبيعة. المصطلح التالي والمصطلح الذي يسبق ذلك سيكون مرتبطين بالمثل بمساعدة العمليات (× ، - ، +).

سؤال: 6 ، 13 ، 27 ، 55 ، & # 8230 .. في التسلسل المعطى ، ما هي قيمة المصطلح التالي؟

عند النظر بعناية في النموذج ، يمكن للمرء أن يرى ذلك

13 = 6 × 2 + 1

27 = 13 × 2 + 1

55 = 27 × 2 + 1

هذا يدل على أن كل حد هو ضعف الحد السابق زائد واحد. لذا ، دع المصطلح التالي يكون & # 8220a & # 8221.

أ = 55 × 2 + 1

= 110 + 1

= 111

ومن ثم ، فإن الحد التالي هو 111.

النمط المتناقص

في الأنماط المتناقصة ، سيكون المصطلح التالي أقل من المصطلح السابق وسيتبع فترتان متتاليتان نمطًا معينًا.

سؤال: ما هو المصطلح التالي في السلسلة: 220،100،40 ، & # 8230.

السلسلة تتبع النمط: 100 = (220 × 0.5) -10

40 = (100×0.5)-10

لذلك ، فإن الحد التالي سيكون (40 × 0.5) -10 = 10

التعاقب الحسابي

في "التعاقب الحسابي" ، سيكون للمصطلحات المتتالية نفس الاختلاف ويُشار إليها بالرمز & # 8216d & # 8217 ، ويُطلق على المصطلح الأول & # 8216a & # 8217 ، ويُرمز إلى عدد المصطلحات بـ & # 8216n & # 8217.

السؤال 1: 2 ، 5 ، 8 ، 11 ، & # 8230. أوجد الحد التالي من التسلسل.

يمكن ملاحظة من خلال دراسة شروط التسلسل بعناية أن الفرق بين كل مصطلح متتالي يظل كما هو. فمثلا:

5 – 2 = 3

8 – 5 = 3

11 – 8 = 3

إذن ، سيكون الفرق التالي هو ثلاثة عن الحد الأخير. بما أن الحد الأخير من المتسلسلة هو 11. فإن الحد التالي سيكون 14.

أو

يمكن أيضًا استخدام صيغة المصطلح n في التقدم الحسابي هنا ، المصطلح الخامس مطلوب هنا:


السؤال 2:15 ، 12 ، 9 ، # 8230 __. ابحث عن المصطلح التالي.

في هذه المسألة أيضًا ، يوجد فرق ثلاثة بين كل المصطلحات. الفرق هو أن التسلسل يتناقص في الطبيعة. بما أن الحد الأخير هو 9 ، فإن الحد التالي سيكون 3 أقل من الحد الأخير. إذن ، الحد الأخير سيكون 6.

متتالية فيبوناتشي

في بعض الأحيان توجد متواليات لا يكون النمط مرئيًا لها ، تسلسل فيبوناتشي هو مثال على مثل هذا التسلسل. إنه تسلسل شائع الحدوث في مجال الرياضيات وعلوم الكمبيوتر.

الرقم مرتب على النحو التالي 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، # 8230. هنا النمط غير مرئي ، هذا التسلسل يسير بطريقة تعتمد على تاريخها.

دع أن يكون الحد النوني للتسلسل. في هذا التسلسل أن = أن -1 + أن -2.

سؤال: ما هو المصطلح التالي في سلسلة فيبوناتشي: 1،1،2،3،5،8،13 ، & # 8230 & # 8230

في سلسلة فيبوناتشي ، المصطلح التالي هو مجموع المصطلحين الأخيرين.

لذلك ، فإن الحد التالي سيكون (8 + 13) = 21


سلسلة هندسية

قبل البدء بالمشكلات المتعلقة بالتقدم الهندسي. لنأخذ & # 8217s ملخصًا سريعًا للصيغ الخاصة بالمجموع والمدة n من GP.

الشكل العام للتقدم الهندسي هو a، ar، ar 2، ar 3 & # 8230 & # 8230 حيث a = الحد الأول ، r = النسبة المشتركة و a n هو الحد n.

  • المصطلح nth للتقدم: a n = ar n-1.
  • مجموع شروط n من GP:
  • مجموع GP اللانهائي:

مشاكل GP المحدودة

تتضمن هذه الأنواع من المسائل المتسلسلة الهندسية حيث يوجد عدد محدود من المصطلحات.

السؤال 1: عدد البكتيريا في مزرعة معينة يتضاعف كل ساعة. إذا كان هناك 30 نوعًا من البكتيريا في المستنبت في الأصل ، فكم عدد البكتيريا التي ستكون موجودة في نهاية الساعة الثانية والرابعة والساعة التاسعة؟

نمو البكتيريا يجعل GP ، 30 ، 60 ، 120 ، & # 8230 .. وهكذا.

في هذا GP ، a = 30 ، r = 2. اجعل عدد البكتيريا في الساعة n هو aن.

عند n = 2 ، a 2 = ar 2-1

= (30)(2) 2-1 = 30 × 2 = 60

عند ن = 4 ، أ 4 = أر 4-1



= (30)(2) 4-1 = 30 × 2 3 = 240

في الخطوة n = ar (n-1) = 30 × 2 n-1

السؤال 2: الشخص لديه والدان و 4 أجداد و 8 أجداد أجداد وهكذا. أوجد عدد أسلافه خلال الأجيال العشرة السابقة له.

هذه مشكلة GP المحدود. يمكن التفكير في التسلسل على هذا النحو ،

2, 4, 8, 16, …..

لذلك ، العدد الإجمالي لأسلافه في 10 أجيال من عائلته.

2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، & # 8230..10 شروط.

هنا ، a = 2 ، r = 2 و n = 10

S10 = أ


مشاكل GP اللانهائية

السلسلة الهندسية اللانهائية هي مجموع تسلسل هندسي لانهائي. هذه السلسلة لن يكون لها مصطلح أخير

السؤال 1: قرد يتأرجح من شجرة. في الأرجوحة الأولى ، مرت عبر قوس طوله 24 مترًا. مع كل تأرجح ، تمر عبر قوس طوله 24 مترًا. مع كل تأرجح ، تمر عبر قوس بطول نصف طول التأرجح السابق. ما المسافة الإجمالية التي قطعها القرد عندما أكمل أرجوحته رقم 100000؟

تمثل هذه الحركة الآن GP مع = 24 و r = 1/2. الآن ، نظرًا لأن GP يتناقص ويطلب السؤال المجموع حتى الحد 100000. لحفظ الحساب ، يمكننا اعتباره GP غير محدود وجولة من الإجابة التي نحصل عليها.

مجموع GP لانهائي =

هنا ، a = 24 و r = 1/2. دع المبلغ يكون S.

لذلك يسافر القرد حوالي 24 مترًا في هذه التقلبات العديدة.

السؤال 2: تم إسقاط كرة من طاولة ارتفاعها 24 بوصة. ترتد الكرة وتصل دائمًا إلى ثلاثة أرباع المسافة الساقطة. ما المسافة التقريبية التي تقطعها الكرة قبل أن تستقر أخيرًا على الأرض.

يجب ملاحظة أن هذه المشكلة تتضمن في الواقع سلسلتين هندسيتين غير متناهيتين. تتضمن السلسلة الأولى سقوط الكرة بينما تتضمن السلسلة الأخرى ارتفاع الكرة بعد ارتدادها من الأرض.

السقوط: أ1 = 24 ، ص = 3/4

ارتفاع: أ2 = 24 (3/4) = 18 ، ص = 3/4

باستخدام صيغة المتسلسلة الهندسية اللانهائية ،

S =

لنفترض أن S هي المسافة الإجمالية المقطوعة:

S = S.ارتفاع + S.هبوط

سارتفاع =

سهبوط =

الآن ، S = S.ارتفاع + S.هبوط = 72 + 96 = 168


1 إجابة 1

المنطق صحيح ، فقط أن $ epsilon $ الذي لديك مأخوذ من تعريف الحد (الذي تعرف أنه موجود بالفعل وصحيح لأي قيمة $ epsilon $) ، وليس من تقارب السلسلة التي تريدها لكي تكون متقارب (والذي يجب أن يجتمع لكل $ epsilon $) ، كما ذكروا في تعليق ، فقط خذ القيمة التي تناسبك بشكل أفضل ، في هذه الحالة تحتاج $ epsilon $ لتكون قيمة ما بين صفر وواحد ، لذلك أن السلسلة التي يتم تشكيلها على اليمين متقاربة. إذا كان لا يزال غير واضح ، أخبرني وسأحاول أن أقدم لك شرحًا أكثر تفصيلاً.


الصف 11 الرياضيات حلول NCERT الفصل 9 المتتاليات والمتسلسلات

يتضمن الفصل 9 من الفصل 9 الرياضيات مواضيع مختلفة مثل المتتاليات ، المتسلسلات ، التقدم الحسابي ، التقدم الهندسي ، العلاقة بين A.P و G.P ، مجموع مصطلحات السلسلة الخاصة. حلول NCERT للفصل 11 الرياضيات الفصل 9 سيساعد الطلاب على تحسين أدائهم في متواليات وسلسلة الفصل. يمكنك مراجعة المنهج الكامل بطريقة ذكية من خلال تغطية ملف PDF الخاص بحلول الرياضيات للصف الحادي عشر NCERT Solutions.

حقق أقصى استفادة من الفئة 11 رياضيات حلول NCERT لمتواليات وسلسلة الفصل 9 ، مثال 9.1 ، مثال 9.2 ، خروج 9.3 ، خروج 9.4, و تمرينات متنوعة ليسجل جيدًا في الامتحان.

فصل 11
كتاب الرياضيات
موضوع رياضيات
رقم الفصل 9
اسم الفصل المتتاليات والمتسلسلات

NCERT Class 11 Math Solutions of Chapter 9 Sequences and Series & # 8211 Solved Exercise. حلول الرياضيات للفصل 11 من NCERT من متواليات وسلسلة من الفصل 9 وتمارين محلولة

يمكن لطلاب مجالس UP و MP و Uttarakhand و Bihar و Gujarat الرجوع إلى فئة 11 الرياضيات حلول NCERT من الفصل 9. راجع حلول NCERT للفصل 11 الرياضيات الفصل 9 المتوفرة باللغتين الهندية والإنجليزية. تبادل الأفكار والخريطة الذهنية للصيغ والملاحظات والأسئلة المهمة السائدة هنا من أجل تسجيل الحد الأقصى من الدرجات. يمكنك أيضًا استخدامها أثناء التحضير في اللحظة الأخيرة والحصول على درجة عالية في الاختبار.

11th Class Maths توفر NCERT Solutions التمرين الحكيم يساعدك في الحصول على فهم جيد لجميع المفاهيم حيث يتم توفيرها جميعًا بالتفصيل. الوصول إلى الرياضيات NCERT Solutions من الفئة 11 للتسلسلات وسلسلة PDF من خلال الروابط السريعة والاستعداد في أي مكان وفي كل مكان. من خلال الممارسة المنتظمة ، يمكنك تجربة الأسئلة المتعلقة بالتسلسلات والمتسلسلات في الامتحان بثقة. في المقابل ، يمكنك تسجيل درجات جيدة في الامتحان.

الكلمات الأخيرة

نأمل أن تكون المعلومات السائدة على صفحتنا مفيدة في توضيح استفساراتك على أكمل وجه ممكن. لمزيد من الاستفسارات ، يمكنك دائمًا ترك تعليق لنا وسنوجهك في أقرب وقت ممكن. ابق على اتصال بموقعنا للاستفادة من أحدث المعلومات المتعلقة بحلول NCERT للصف 11 من الرياضيات ، والكتب ، والمواد الدراسية ، والأوراق السابقة ، إلخ.


السلسلة الخاصة 2: S.أم مربعات من الأعداد الطبيعية الأولى n

نتيجة هذه السلسلة مذكورة أدناه:

1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6

دعونان = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + ن 2 & # 8212eq 1

نعلم أن ك 3 - (ك - 1) 3 = 3 ك 2 - 3 ك + 1 & # 8212 مكافئ 2

نعلم أن (أ & # 8211 ب) 3 = أ 3 & # 8211 ب 3 & # 8211 3 أ 2 ب + 3 أب 2

لذا ، k 3 & # 8211 (k & # 8211 1) 3

= k 3 & # 8211 k 3 +1 + 3k 2 & # 8211 3k

= 3k 2 & # 8211 3k +1

وضع k = 1 ، 2 ... ، n على التوالي مكافئ 2 ، نحصل

1 3 – 0 3 = 3(1) 2 – 3(1) + 1



2 3 – 1 3 = 3(2) 2 – 3(2) + 1

3 3 – 2 3 = 3(3) 2 – 3(3) + 1

…………………………………

…………………………………

………………………………..

ن 3 - (ن - 1) 3 = 3 (ن) 2 - 3 (ن) + 1

بجمع طرفي جميع المعادلات أعلاه ، نحصل عليها

ن 3 - 0 3 = 3 (1 2 + 2 2 + 3 2 + & # 8230 + ن 2) - 3 (1 + 2 + 3 + & # 8230 + ن) + ن

يمكننا كتابة هذا مثل:

ن 3 = 3 ∑ (ك 2) & # 8211 3∑ (ك) + ن ، حيث 1 ≤ ل ≤ ن & # 8212 مكافئ (3)

نحن نعرف ذلك،

∑ (ك) (حيث 1كن) = 1 + 2 + 3 + 4 & # 8212 ن = ن (ن + 1) / 2 & # 8212eq (4)

و مكافئ 1 يمكن أيضًا أن تكتب بهذا الشكل

سن = ∑ (ك 2) ، حيث 1 ك ≤ ن & # 8212 مكافئ (1)

الآن ، ضع هذه القيم في مكافئ 3

ن 3 = 3Sن & # 8211 3 (ن) (ن + 1) / 2 + ن

ن 3 + 3 (ن) (ن + 1) / 2 & # 8211 ن = 3 سن

(2n 3 + 3n 2 + 3n & # 8211 2n) / 2 = 3Sن

(2 ن 3 + 3 ن 2 + ن) / 6 = سن

ن (2 ن 2 + 3 ن + 1) / 6 = سن



ن (2 ن 2 + ن + 2 ن + 1) / 6 = سن

ن (ن (2 ن + 1) + 1 (2 ن + 1)) / 6 = سن

ن (ن + 1) (2 ن + 1) / 6 = سن

سن = n (n + 1) (2n + 1) / 6

ومن ثم ثبت.

أمثلة

السؤال الأول: أوجد مجموع n حدًا من المتسلسلة التي يكون حدها n n 2 + n + 1؟

بشرط ،

أن = ن 2 + ن + 1

وبالتالي ، يتم إعطاء مجموع حدود n بواسطة

سن = ∑ak (حيث 1 ≤ ك ≤ ن) = ∑ ك 2 + ∑ ك + 1 (حيث 1 ≤ ك ≤ ن)

= n (n + 1) (2n + 1) / 6 + n (n + 1) / 2 + n

= (n (n + 1) (2n + 1) + 3n (n + 1) + 6n) / 6

= ((ن 2 + ن) (2 ن + 1) + 3 ن 2 + 3 ن + 6 ن) / 6

= (2n 3 + 2n 2 + n 2 + n + 3n 2 + 9n) / 6

= (2 ن 3 + 6 ن 2 + 10 ن) / 6

السؤال 2. أوجد مجموع المتسلسلة التالية حتى عدد n من الحدود 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 4 + & # 8212 & # 8212؟

إذا لاحظنا السلسلة بعناية يمكننا كتابتها على هذا النحو

سن =(1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + ——

يمكننا القول أنه يتعين علينا ذلك أوجد مجموع أول n عدد طبيعي.

حتى نتمكن من كتابة S.ن= Σ ((i (i + 1)) / 2) ، حيث 1 ≤ i ≤ n

= (1/2) Σ (أنا (أنا + 1))

= (1/2) Σ (أنا 2 + أنا)

= (1/2) (Σ أنا 2 + ط)

نحن نعلم Σ i 2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6 و

Σ أنا = ن (ن + 1) / 2.

استبدال القيمة ، نحصل عليها ،

المجموع = (1/2) ((n (n + 1) (2n + 1) / 6) + (n (n + 1) / 2))

= n (n + 1) / 2 [(2n + 1) / 6 + 1/2]



قم بتنزيل ملاحظات المراجعة الحادية عشرة للصف الحادي عشر من CBSE لتسلسلات الفصل التاسع وسلسلة الفصل 11 ملاحظات الرياضيات بتنسيق PDF مجانًا. قم بتنزيل ملاحظات مراجعة التسلسل والمتسلسلات للصف 11 ملاحظات الرياضيات وسجل درجات عالية في الامتحانات. هذه هي مذكرات الرياضيات للمتواليات والمتسلسلات للصف 11 والتي أعدها فريق من المعلمين الخبراء. تساعدك ملاحظات المراجعة على مراجعة الفصل بأكمله في دقائق. تعد مراجعة الملاحظات في أيام الامتحان من أفضل النصائح التي يوصي بها المعلمون خلال أيام الامتحان.

CBSE Class 11 الرياضيات
ملاحظات المراجعة
الفصل 9
المتتاليات والمتسلسلات الصف 11 ملاحظات الرياضيات

1. المتواليات والمسلسلات
2. التقدم الحسابي (A.P.)
3. التقدم الهندسي (GP) ، العلاقة في A.M. و ج.
4. مجموع إلى ن شروط من المتسلسلة الخاصة

  • تسلسل: بالتسلسل ، نعني ترتيب الأعداد بترتيب محدد وفقًا لبعض القواعد. أيضًا ، نحدد التسلسل كدالة مجالها هو مجموعة الأرقام الطبيعية أو بعض المجموعات الفرعية من النوع <1 ، 2 ، 3 ، & # 8230.k>. يُطلق على التسلسل الذي يحتوي على عدد محدود من المصطلحات تسلسل محدود. يسمى التسلسل اللانهائي إذا لم يكن تسلسلًا محدودًا.
  • لنفترض أن & # 8230 هو التسلسل ، ثم المجموع المعبر عنه كما يسمى المتسلسلة. تسمى السلسلة سلسلة منتهية إذا كان لديها عدد محدود من المصطلحات.

المتوالية العددية

  • التقدم الحسابي (A.P.) هو تسلسل تزداد فيه الشروط أو تنقص بانتظام بنفس الثابت. يسمى هذا الثابت بالفرق المشترك لـ A.P. عادة ، نشير إلى المصطلح الأول من A.P. بواسطة a ، الفرق المشترك بمقدار d والحد الأخير بواسطة. يتم إعطاء المصطلح العام أو المصطلح n من AP بواسطة
  • متوسط ​​حسابي فردي بين أي رقمين معطيين أ وب: صباحًا. =
  • متوسط ​​حسابي بين رقمين معطى أ و ب: شكل A.P.
  • إذا تمت إضافة ثابت إلى كل حد من A.P ، فإن التسلسل الناتج يكون أيضًا A.P.
  • إذا تم طرح ثابت لكل حد من A.P. ، فإن التسلسل الناتج يكون أيضًا A.P.
  • إذا تم ضرب كل حد من حدود A.P في ثابت ، فإن تسلسل الاستعادة يكون أيضًا A.P.
  • إذا كان كل مصطلح من A.P مقسومًا على ثابت ، فإن تسلسل إعادة التشغيل يكون أيضًا A.P.
  • مجموع المصطلحات الأولى لـ A.P .: وأين المصطلح الأخير ، أي.

المتوالية الهندسية

  • يُقال أن تسلسل الأرقام غير الصفرية هو تسلسل هندسي ، إذا كانت نسبة كل حد ، باستثناء الأول ، من خلال الحد السابق هي نفسها دائمًا. ، أين هو المصطلح الأول وهي النسبة المشتركة.
  • مصطلح GP:
  • مجموع شروط GP: إذا.
  • مجموع إلى ما لا نهاية لـ GP:
  • الوسط الهندسي بين أ و ب:
  • يعني هندسي بين أ و ب:
  • إذا كانت جميع شروط G.P. يتم ضربها أو تقسيمها بنفس الكمية ، فإن التسلسل الناتج هو أيضًا GP.
  • المعاملة بالمثل لشروط GP معينة. شكل G.P.
  • إذا كان كل مصطلح من G.P. يتم رفعه إلى نفس القوة ، فإن التسلسل الناتج هو أيضًا G.P.

سلسلة هندسية و # 8211

  • يُقال إن سلسلة من الأرقام غير الصفرية هي سلسلة حسابية هندسية ، إذا تم الحصول على شروطها بضرب شروط A.P في الشروط المقابلة لـ G.P. فمثلا:
  • الشكل العام لسلسلة حسابية هندسية:
  • الحد n من سلسلة حسابية هندسية: من A.P. x من G.P.
  • مجموع مصطلحات n لبعض السلاسل الخاصة:
  • مجموع مربعات العدد الأول n من الأعداد الطبيعية =
  • مجموع مكعبات القبضة n العدد الطبيعي =

CBSE Class 11 Mathematics NCERT Solutions: الفصل 9 ، المتتاليات والمتسلسلات

إذا كنت ترغب في الحصول على فهم شامل للموضوعات التي تم تعلمها في فصل الرياضيات للصف الحادي عشر من CBSE - التسلسلات والمتسلسلات ، فانتقل إلى أسئلة NCERT الواردة هنا. ستساعدك هذه الحلول في العثور على النهج الصحيح لحل أسئلة NCERT.

بالنسبة لجميع الأسئلة الواردة في كتاب CBSE Class 11 Maths NCERT ، قمنا بتجميع إجابات مفصلة ودقيقة من شأنها أن تساعد الطلاب بسهولة على تعلم المفاهيم والتقنيات المطبقة في الحلول. كما سيساعدك الحل المقدم هنا في كتابة الإجابات المثالية في الاختبارات السنوية للحصول على أفضل الدرجات.

في هذه المقالة نقدم حلول NCERT للفصل 9 من الرياضيات للصف 11 ، المتتاليات والمتسلسلات. راجع خبراؤنا المتخصصون حلول NCERT هذه لتزويدك بالمحتوى الخالي من الأخطاء مما يسهل عليك التحضير الفعال للامتحانات السنوية.

الموضوعات الرئيسية التي تمت مناقشتها في الفصل 11 من فصل الرياضيات - المتتاليات والمتسلسلات هي:

  • المتتاليات والمتسلسلات لمؤشرات التكامل الموجب
  • مثلث باسكال
  • المتتاليات والمتسلسلات لأي عدد صحيح موجب n
  • المتتاليات والمتسلسلات لبعض الحالات الخاصة
  • الشروط العامة والمتوسطة للتوسع ذي الحدين.

يمكن للطلاب تنزيل جميع حلول NCERT لفصل الرياضيات CBSE Class 11 - التسلسلات والمتسلسلات ، بتنسيق PDF.

بعض الأسئلة وحلولها من NCERT Solutions للفئة 11: المتتاليات والمتسلسلات ، هي كما يلي:


للحصول على جميع حلول NCERT ، انقر فوق الرابط التالي:


شاهد الفيديو: صف 11, الرياضيات التطبيقية, الفصل2, عنوان الدرس السادس: المتتاليات و المتسلسلات (كانون الثاني 2022).