مقالات

11.3: قانون جيب التمام


في القسم 11.2 ، قمنا بتطوير قانون الجيب (Theorem ref {lawofsines}) لتمكيننا من حل المثلثات في "Angle-Angle-Side" (AAS) و "Angle-Side-Angle" (ASA) و حالات غامضة "جانب الزاوية" (ASS). في هذا القسم ، نطور قانون جيب التمام الذي يتعامل مع حل المثلثات في index {Side-Angle-Side triangle} 'Side-Angle-Side' (SAS) و index {Side-Side-Side triangle} 'Side- حالات Side-Side (SSS). حاشية سفلية {هنا ، تعني "Side-Angle-Side" أننا حصلنا على جانبين والزاوية "المضمنة" - أي أن الزاوية المعطاة مجاورة لكلا الجانبين المحددين. } نذكر ونثبت النظرية أدناه.

Theorem ( PageIndex {1} ): قانون جيب التمام

بالنظر إلى مثلث به أزواج متقابلة من جانب الزاوية (( alpha، a) )، (( beta، b) ) و (( gamma، c) ) ، فإن المعادلات التالية تصمد

[a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc cos ( alpha) qquad b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac cos ( beta) qquad c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos ( gamma) label {lawofcosines} ]

أو إيجاد جيب التمام في كل معادلة لدينا

[ cos ( alpha) = dfrac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} qquad cos ( beta) = dfrac {a ^ 2 + c ^ 2 - b ^ 2 } {2ac} qquad cos ( gamma) = dfrac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab} ]

لإثبات النظرية ، نعتبر المثلث العام برأس الزاوية ( ألفا ) في الأصل مع الجانب (ب ) على طول المحور الموجب (س ) -.

من هذا الإعداد ، وجدنا على الفور أن إحداثيات (A ) و (C ) هي (A (0،0) ) و (C (ب ، 0) ). من النظرية المرجع {cosinesinecircle} ، نعلم أنه بما أن النقطة (B (x، y) ) تقع على دائرة نصف قطرها (c ) ، فإن إحداثيات (B ) هي (B (x) ، y) = B (c cos ( alpha)، c sin ( alpha)) ). (سيكون هذا صحيحًا حتى لو كانت ( alpha ) زاوية منفرجة أو قائمة ، لذا على الرغم من أننا رسمنا الحالة عندما يكون ( alpha ) حادًا ، فإن الحسابات التالية تثبت لأي زاوية ( alpha ) مرسومة في الوضع القياسي حيث (0 < alpha <180 ^ { circ} ).) نلاحظ أن المسافة بين النقطتين (B ) و (C ) ليست سوى طول الضلع ( أ). باستخدام صيغة المسافة ، المعادلة المرجع {مسافة} ، نحصل على

[ start {array} {rclr} a & = & sqrt {(c cos ( alpha) - b) ^ {2} + (c sin ( alpha) - 0) ^ 2} & a ^ {2} & = & left ( sqrt {(c cos ( alpha) - b) ^ {2} + c ^ 2 sin ^ 2 ( alpha)} right) ^ 2 & a ^ 2 & = & (c cos ( alpha) - b) ^ {2} + c ^ 2 sin ^ 2 ( alpha) & a ^ 2 & = & c ^ 2 cos ^ 2 ( alpha) - 2bc cos ( alpha) + b ^ 2 + c ^ 2 sin ^ 2 ( alpha) & a ^ 2 & = & c ^ 2 left ( cos ^ 2 ( alpha) + sin ^ 2 ( alpha) right) + b ^ 2 - 2bc cos ( alpha) & a ^ 2 & = & c ^ 2 (1) + b ^ 2 - 2bc cos ( alpha ) & text {منذ ( cos ^ 2 ( alpha) + sin ^ 2 ( alpha) = 1 )} a ^ 2 & = & c ^ 2 + b ^ 2 - 2bc cos ( alpha) & end {array} ]

يمكن إظهار الصيغ المتبقية الواردة في النظرية ( PageIndex {1} ) ببساطة عن طريق إعادة توجيه المثلث لوضع رأس مختلف في الأصل. نترك هذه التفاصيل للقارئ. المهم بخصوص (a ) و ( alpha ) في الدليل أعلاه هو أن (( alpha، a) ) هو زوج مقابل جانب الزاوية و (b ) و (c ) هي الأضلاع المجاورة لـ ( alpha ) - يمكن قول الشيء نفسه عن أي زوج آخر من جوانب الزاوية المقابلة في المثلث. لاحظ أن إثبات قانون جيب التمام يعتمد على صيغة المسافة التي لها جذورها في نظرية فيثاغورس. ومع ذلك ، يمكن اعتبار قانون جيب التمام على أنه تعميم لنظرية فيثاغورس. إذا كان لدينا مثلث فيه ( gamma = 90 ^ { circ} ) ، إذن ( cos ( gamma) = cos left (90 ^ { circ} right) = 0 ) لذا نحصل على العلاقة المألوفة (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). ما يعنيه هذا هو أنه بالمعنى الرياضي الأكبر ، فإن قانون جيب التمام ونظرية فيثاغورس يصلان إلى نفس الشيء إلى حد كبير. حاشية سفلية {لا ينبغي أن يكون هذا بمثابة صدمة كبيرة. يمكن إرجاع جميع النظريات في علم المثلثات في النهاية إلى تعريف الوظائف الدائرية إلى جانب صيغة المسافة ، وبالتالي ، نظرية فيثاغورس.}

مثال ( PageIndex {1} ):

حل المثلثات التالية. أعط إجابات دقيقة وتقريبًا عشريًا (تقريبًا إلى أجزاء من المئات) وارسم المثلث.

  1. ( beta = 50 ^ { circ} label {locsas} ) ، (a = 7 ) وحدة ، (c = 2 ) وحدة
  2. (أ = 4 تسمية {locsss} ) وحدات ، (ب = 7 ) وحدات ، (ج = 5 ) وحدات

المحلول

  1. لدينا أطوال ضلعين ، (a = 7 ) و (c = 2 ) ، وقياس الزاوية المضمنة ، ( beta = 50 ^ { circ} ). مع عدم وجود زوج معاكس لضلع الزاوية لاستخدامه ، نطبق قانون جيب التمام. نحصل على (b ^ 2 = 7 ^ 2 + 2 ^ 2 - 2 (7) (2) cos left (50 ^ { circ} right) ) والذي ينتج (b = sqrt {53- 28 cos left (50 ^ { circ} right)} حوالي 5.92 ) وحدة. من أجل تحديد قياسات الزوايا المتبقية ( alpha ) و ( gamma ) ، نحن مضطرون إلى استخدام القيمة المشتقة لـ (b ). هناك طريقتان للمضي قدما في هذه المرحلة. يمكننا استخدام قانون جيب التمام مرة أخرى ، أو يمكننا استخدام قانون الجيب نظرًا لأن لدينا الضلع المقابل للزاوية (( beta، b) ). ميزة استخدام قانون جيب التمام على قانون الجيب في مثل هذه الحالات هي أنه على عكس دالة الجيب ، فإن دالة جيب التمام تميز بين الزوايا الحادة والمنفرجة. جيب التمام للزاوية الحادة موجب ، بينما جيب التمام للزاوية المنفرجة سالب. نظرًا لأن جيب كل من الزوايا الحادة والمنفرجة موجبة ، فإن جيب الزاوية وحده لا يكفي لتحديد ما إذا كانت الزاوية المعنية حادة أم منفرجة. نظرًا لأن كلا مؤلفي الكتاب المدرسي يفضلان قانون جيب التمام ، فإننا نتابع بهذه الطريقة أولاً. عند استخدام قانون جيب التمام ، من الأفضل دائمًا إيجاد قياس أكبر زاوية مجهولة أولاً ، لأن هذا سيعطينا الزاوية المنفرجة للمثلث إذا كان هناك واحدًا. بما أن الزاوية الأكبر تقابل الضلع الأطول ، فإننا نختار إيجاد ( alpha ) أولاً. لتحقيق هذه الغاية ، نستخدم الصيغة ( cos ( alpha) = frac {b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2} {2bc} ) ونستبدل (a = 7 ) ، (b = sqrt {53-28 cos left (50 ^ { circ} right)} ) و (c = 2 ). حصلنا على حاشية سفلية {بعد تبسيط ldots} [ cos ( alpha) = frac {2-7 cos left (50 ^ { circ} right)} { sqrt {53-28 cos يسار (50 ^ { circ} right)}} ] بما أن ( alpha ) زاوية في مثلث ، نعلم أن قياس الراديان لـ ( alpha ) يجب أن يقع بين (0 ) و ( pi ) راديان. يتطابق هذا مع نطاق دالة arccosine ، لذلك لدينا [ alpha = arccos left ( frac {2-7 cos left (50 ^ { circ} right)} { sqrt {53-28 cos left (50 ^ { circ} right)}} right) ، text {radians} ، almost 114.99 ^ { circ} ] في هذه المرحلة ، يمكننا إيجاد ( gamma ) باستخدام ( gamma = 180 ^ { circ} - alpha - beta almost 180 ^ { circ} - 114.99 ^ { circ} - 50 ^ { circ} = 15.01 ^ { circ} ) ، هذا إذا كنا نثق في تقريبنا لـ ( alpha ). لتقليل انتشار الخطأ ، ومع ذلك ، يمكننا استخدام قانون جيب التمام مرة أخرى ، حاشية سفلية {سيخبرك مدرسك بالإجراء الذي يجب استخدامه. يتلخص الأمر كله في مدى ثقتك في الآلة الحاسبة.} في هذه الحالة باستخدام ( cos ( gamma) = frac {a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2} {2ab} ). بالتوصيل (a = 7 ) ، (b = sqrt {53-28 cos left (50 ^ { circ} right)} ) و (c = 2 ) ، نحصل على ( gamma = arccos left ( frac {7-2 cos left (50 ^ { circ} right)} { sqrt {53-28 cos left (50 ^ { circ} right) }} right) ) راديان ( حوالي 15.01 ^ { circ} ). نرسم المثلث أدناه.

كما ذكرنا سابقًا ، بمجرد أن نحدد (ب ) يمكن استخدام قانون الجيب لإيجاد الزوايا المتبقية. هنا ، ومع ذلك ، يجب أن نتقدم بحذر كما نحن في حالة الغموض (ASS). يُنصح أولاً بالعثور على textit {الأصغر} من الزوايا المجهولة ، حيث إننا نضمن أنها ستكون حادة. حاشية سفلية {يمكن أن يكون هناك زاوية واحدة textit {منفرجة} في المثلث ، وإذا كانت هناك زاوية واحدة ، يجب أن يكون الأكبر.} في هذه الحالة ، سنجد ( gamma ) لأن الضلع المقابل ( gamma ) أصغر من الضلع المقابل للزاوية الأخرى غير المعروفة ، ( alpha ). باستخدام الزوج المقابل للزاوية (( beta، b) ) ، نحصل على ( frac { sin ( gamma)} {2} = frac { sin (50 ^ { circ})} { sqrt {53-28 cos left (50 ^ { circ} right)}} ). تنتج الحسابات المعتادة ( gamma حوالي 15.01 ^ { circ} ) و ( alpha = 180 ^ { circ} - beta - gamma almost 180 ^ { circ} - 50 ^ { circ} } - 15.01 ^ { circ} = 114.99 ^ { circ} ).

  1. نظرًا لعدم إعطاء الأضلاع الثلاثة والزوايا ، فنحن مضطرون إلى استخدام قانون جيب التمام. بعد مناقشتنا في المسألة السابقة ، نجد ( beta ) أولاً ، لأنه عكس الجانب الأطول ، (ب ). نحصل على ( cos ( beta) = frac {a ^ 2 + c ^ 2-b ^ 2} {2ac} = - frac {1} {5} ) ، لذلك نحصل على ( beta = arccos left (- frac {1} {5} right) ) راديان ( حوالي 101.54 ^ { circ} ). كما في المسألة السابقة ، بعد أن حصلنا على زوج معاكس من جانب الزاوية (( beta ، b) ) ، يمكننا المضي قدمًا باستخدام قانون الجيب. ومع ذلك ، فإن قانون جيب التمام يوفر لنا فرصة نادرة للعثور على الزوايا المتبقية باستخدام textit {only} البيانات المعطاة لنا في بيان المشكلة. باستخدام هذا ، نحصل على ( gamma = arccos left ( frac {5} {7} right) ) راديان ( حوالي 44.42 ^ { circ} ) و ( alpha = arccos يسار ( frac {29} {35} right) ) راديان ( حوالي 34.05 ^ { circ} ).

نلاحظ أنه بناءً على عدد المنازل العشرية المنقولة من خلال الحسابات المتتالية ، واعتمادًا على الطريقة المستخدمة لحل المشكلة ، قد تختلف الإجابات التقريبية التي تحصل عليها قليلاً عن تلك التي حصل عليها المؤلفون في الأمثلة والتمارين. مثال رائع على ذلك هو الرقم المرجع {locsss} في المثال المرجع {locex} ، حيث مجموع قيم textit {التقريبي} الذي نسجله لمقاييس الزوايا هو (180.01 ^ { circ} ) ، والتي مستحيل هندسيًا. بعد ذلك ، لدينا تطبيق لقانون جيب التمام.

مثال ( PageIndex {2} ): locapplication

يرغب الباحث في تحديد عرض البركة الربيعية كما هو موضح أدناه. من نقطة (P ) ، وجد المسافة إلى أقصى نقطة من الشرق من البركة لتكون (950 ) قدمًا ، بينما المسافة إلى أقصى نقطة في الغرب من البركة من (P ) هي (1000 ) قدم. إذا كانت الزاوية بين خطي الرؤية (60 ^ { circ} ) ، فأوجد عرض البركة.

المحلول

لدينا طولا ضلعين وقياس زاوية محصورة ، لذا يمكننا تطبيق قانون جيب التمام لإيجاد طول الضلع المفقود المقابل للزاوية المعطاة. عند استدعاء هذا الطول (w ) (لـ textit {width}) ، نحصل على (w ^ 2 = 950 ^ 2 + 1000 ^ 2 - 2 (950) (1000) cos left (60 ^ { circ } right) = 952500 ) ومنه نحصل على (w = sqrt {952500} حوالي 976 ) قدم.

في القسم 11.2 ، استخدمنا إثبات قانون الجيب لتطوير النظرية المرجع {areaformulasine} كصيغة بديلة للمنطقة المحاطة بالمثلث. في هذا القسم ، نستخدم قانون جيب التمام لاشتقاق صيغة أخرى من هذا القبيل - صيغة هيرون.

ملاحظة: صيغة هيرون

افترض أن (أ ) و (ب ) و (ج ) تدل على أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث. لنفترض أن (s ) هو نصف مقياس المثلث ، أي دعونا (s = frac {1} {2} (a + b + c) ). ثم يتم إعطاء المنطقة (A ) المحاطة بالمثلث بواسطة

[A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} label {HeronsFormula} ]

أثبتنا النظرية المرجع {HeronsFormula} باستخدام النظرية المرجع {areaformulasine}. باستخدام اصطلاح أن الزاوية ( gamma ) مقابل الضلع (c ) ، لدينا (A = frac {1} {2} ab sin ( gamma) ) من Theorem ref { صيغة المنطقة}. لتبسيط العمليات الحسابية ، نبدأ بمعالجة تعبير (A ^ 2 ).

[ start {array} {rclr} A ^ 2 & = & left ( dfrac {1} {2} ab sin ( gamma) right) ^ 2 & & = & dfrac {1} {4} a ^ 2 b ^ 2 sin ^ {2} ( gamma) & & = & dfrac {a ^ 2b ^ 2} {4} left (1 - cos ^ {2} ( جاما) right) & text {منذ ( sin ^ 2 ( gamma) = 1 - cos ^ {2} ( gamma) ).} end {array} ]

يخبرنا قانون جيب التمام ( cos ( gamma) = frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab} ) ، لذلك نستبدل هذا في معادلتنا لـ (A ^ 2 ) يعطي

[ start {array} {rclr} A ^ 2 & = & dfrac {a ^ 2b ^ 2} {4} left (1 - cos ^ {2} ( gamma) right) & text { hphantom {ثلاثيات مربعة مثالية.}} & = & dfrac {a ^ 2b ^ 2} {4} left [1 - left ( dfrac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} { 2ab} right) ^ 2 right] & & = & dfrac {a ^ 2b ^ 2} {4} left [1 - dfrac { left (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 right) ^ 2} {4a ^ 2b ^ 2} right] & & = & dfrac {a ^ 2b ^ 2} {4} left [ dfrac {4a ^ 2 b ^ 2 - left ( a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 right) ^ 2} {4a ^ 2b ^ 2} right] & & = & dfrac {4a ^ 2 b ^ 2 - left (a ^ 2 + ب ^ 2 - c ^ 2 right) ^ 2} {16} & & = & dfrac {(2ab) ^ 2 - left (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 right) ^ 2 } {16} & & = & dfrac { left (2ab - left [a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 right] right) left (2ab + left [a ^ 2 + ب ^ 2 - c ^ 2 right] right)} {16} & text {فرق المربعات.} & = & dfrac { left (c ^ 2 - a ^ 2 + 2ab - b ^ 2 right) left (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2- c ^ 2 right)} {16} & end {array} ]

[ start {array} {rclr} A ^ 2 & = & dfrac { left (c ^ 2 - left [a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 right] right) left ( left [ a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 right] - c ^ 2 right)} {16} & & = & dfrac { left (c ^ 2 - (ab) ^ 2 right) left ( (a + b) ^ 2- c ^ 2 right)} {16} & text {ثلاثي الحدود التربيعية.} & = & dfrac {(c- (ab)) (c + (ab)) (( a + b) -c) ((a + b) + c)} {16} & text {اختلاف المربعات.} & = & dfrac {(b + ca) (a + cb) (a + bc) (a + b + c)} {16} & & = & dfrac {(b + ca)} {2} cdot dfrac {(a + cb)} {2} cdot dfrac { (a + bc)} {2} cdot dfrac {(a + b + c)} {2} & end {array} ]

في هذه المرحلة ، ندرك أن العامل الأخير هو نصف متر، (s = frac {1} {2} (a + b + c) = frac {a + b + c} {2} ). لإكمال الإثبات ، نلاحظ ذلك

[(s - a) = dfrac {a + b + c} {2} - a = dfrac {a + b + c-2a} {2} = dfrac {b + c-a} {2} ]

وبالمثل ، نجد ((s-b) = frac {a + c-b} {2} ) و ((s-c) = frac {a + b-c} {2} ). ومن ثم نحصل

[ start {array} {rclr} A ^ 2 & = & dfrac {(b + ca)} {2} cdot dfrac {(a + cb)} {2} cdot dfrac {(a + bc)} {2} cdot dfrac {(a + b + c)} {2} & & = & (sa) (sb) (sc) s & end {array} ]

بحيث (A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} ) كما هو مطلوب.

نختتم بمثال على صيغة هيرون.

مثال ( PageIndex {3} ): heronex

أوجد المنطقة المحاطة بالمثلث في مثال ref {locex} number ref {locsss}.

المحلول

لدينا (أ = 4 ) ، (ب = 7 ) و (ج = 5 ). باستخدام هذه القيم ، نجد (s = frac {1} {2} (4 + 7 + 5) = 8 ) ، ((s - a) = 8-4 = 4 ) ، ((sb ) = 8-7 = 1 ) و ((sc) = 8-5 = 3 ). باستخدام صيغة هيرون ، نحصل على (A = sqrt {s (sa) (sb) (sc)} = sqrt {(8) (4) (1) (3)} = sqrt {96} = 4 sqrt {6} حوالي 9.80 ) وحدة مربعة. qed


5 11 12 مثلث

زاوية & الزاوية A = α = 24.6 2 199773287 ° = 24 ° 37'12 & Prime = 0.4 3 296996662 rad
زاوية & الزاوية ب = β = 66.42 2 18215218 ° = 66 ° 25'19 & Prime = 1.15 9 ​​92794807 راد
زاوية & الزاوية C = γ = 88.95 8 82011495 ° = 88 ° 57'30 & Prime = 1.55 3 26135067 راد

ارتفاع: حأ = 10.99 8 81816679
ارتفاع: حب = 4.99 9 91734854
ارتفاع: حج = 4.58 3 2575695

الوسيط: مأ = 11.23 6 61025271
الوسيط: مب = 7.36 5 54599313
الوسيط: مج = 6.08 3 27625303

إنراديوس: ص = 1.96 4 39610121
محيط الدائرة: ر = 6.00 1 09919815

إحداثيات Vertex: أ [12 0] ب [0 0] ج [2 4.58 3 2575695]
سنترويد: CG [4.66 7 66666667 1.52 8 75252317]
إحداثيات الدائرة المقيدة: U [6 0.10 9 91089451]
إحداثيات الدائرة المنقوشة: I [3 1.96 4 39610121]

الزوايا الخارجية (أو الخارجية ، الخارجية) للمثلث:
& الزاوية A '= α' = 155.3 8 80022671 ° = 155 ° 22'48 & Prime = 0.4 3 296996662 rad
& الزاوية B '= β' = 113.57 8 8178478 ° = 113 ° 34'41 & Prime = 1.15 9 ​​92794807 راد
& الزاوية C '= γ' = 91.04 2 17988505 ° = 91 ° 2'30 & Prime = 1.55 3 26135067 راد


ساس& # 8221 عندما نعرف ضلعين والزاوية بينهما. استخدم ال قانون جيب التمام لحساب الجانب المجهول ، ثم استخدم قانون من الجيب لإيجاد أصغر الزاويتين الأخريين ، ثم استخدم جمع الزوايا الثلاث مع 180 درجة لإيجاد الزاوية الأخيرة.

ال جيب التمام القاعدة علبة يمكن استخدامها في أي مثلث حيث تحاول أن تتصل الكل ثلاثة جوانب لزاوية واحدة. إذا أردت إيجاد طول ضلع ، فأنت بحاجة إلى معرفة الضلعين الآخرين والزاوية المقابلة. & # 8217t لا يهم الطريقة التي تضع بها الجانبين "ب" و "ج" - سيكون الأمر كذلك الشغل كلا الطريقين.


ظاهرة السطح والواجهة

4.1.7 معدل النمو مقابل المسافة بين حامل الركيزة والفتيل الساخن

ما يصل إلى نطاق درجة حرارة حرجة معينة ∼750 كلفن معدل النمو الخامسجي يعتمد بشكل حصري على كثافة وفعالية تنشيط تدفق الحادث. حتى في مثل هذه الظروف درجات الحرارة المنخفضة نسبيا الاعتماد الخامسجي(إل) لا يتبع مربع منخفض. يتم التركيز على النمط الاتجاهي للتدفق أقوى مما قد يتوقعه المرء من "قانون جيب التمام" للمبخر البسيط. هذا يرجع إلى طبيعة انبعاث البخار الأولي من السيراميك الصغير الذي يسهل اختراقه. بالإضافة إلى ذلك ، يعمل المجال الكهربائي على تكثيف نمط اتجاه التدفق.

يوضح الشكل 20 مؤامرة الخامسجي(إل) لنفس الغرفة وفتح plasmatron. في نطاق إل & gt 4 سم ، يكون الاعتماد المرصود قريبًا من V G L - 1 1 2. الاعتماد الخامسجي ∼ 1/إل يمكن تحقيقه باستخدام بلازماترون نصف مغلقة محاطة بشاشة أسطوانية. بناءً على هندسة هذا المفاعل ، تم تحقيق معدل نمو قدره 40 مم / ساعة خلال ترسيب لمدة 3 ساعات. على الرغم من أن الغربلة تزيد من محصول الترسيب في زاوية صلبة معينة ، فقد ينخفض ​​الناتج الكلي للعملية بسبب الظواهر الفيزيائية والكيميائية الجانبية على الشاشة.

الشكل 20. معدل النمو مقابل المسافة بين الركيزة والخيوط الساخنة.

تكثيف عملية الترسيب باستخدام هندسة المسافات القصيرة يمتلك بعض القيود الواضحة بسبب الزيادة الحتمية في درجة حرارة الركيزة. لا تؤدي زيادة درجة الحرارة فقط إلى تغيير آلية النمو وهيكل الفيلم ، كما تمت مناقشته أعلاه ، ولكن عند درجة الحرارة & gt∼ 800 كلفن ينخفض ​​معدل النمو بسبب الامتصاص المكثف للجذور الأولية من جبهة النمو.

قد يكون المشتت الحراري المبرد بالماء مفيدًا للتطبيقات الخاصة على الرغم من أنه لا يمكن اعتباره حلاً شاملاً. يجب أن يكون التصميم الأكثر احتمالًا هو تصميم plasmatron الأمثل الذي يقلل من درجة حرارة الكاثود والإشعاع المباشر للركائز.


المثلثات غير اليمنى: قانون جيب التمام

لنفترض أن قاربًا غادر الميناء ، وسافر 10 أميال ، ودور 20 درجة ، وسافر 8 أميال أخرى كما هو موضح في (الشكل). كم يبعد القارب عن الميناء؟

شكل 1.

لسوء الحظ ، بينما يمكّننا قانون الجيب من معالجة العديد من حالات المثلث غير الأيمن ، فإنه لا يساعدنا في المثلثات حيث تكون الزاوية المعروفة بين ضلعين معروفين ، أو مثلث SAS (جانب - زاوية - جانب) ، أو عندما تكون الثلاثة الأضلاع معروفة ، لكن لا توجد زوايا معروفة ، مثلث SSS (جانب جانبي - جانب). في هذا القسم ، سنبحث في أداة أخرى لحل المثلثات المائلة الموصوفة في هاتين الحالتين الأخيرتين.

استخدام قانون جيب التمام لحل المثلثات المائلة

الأداة التي نحتاجها لحل مشكلة مسافة القارب من الميناء هي قانون جيب التمام، والتي تحدد العلاقة بين قياسات الزوايا وأطوال الأضلاع في المثلثات المائلة. ثلاث صيغ تشكل قانون جيب التمام. للوهلة الأولى ، قد تبدو الصيغ معقدة لأنها تتضمن العديد من المتغيرات. ومع ذلك ، بمجرد فهم النمط ، يصبح التعامل مع قانون جيب التمام أسهل من التعامل مع معظم الصيغ في هذا المستوى الرياضي.

سيكون فهم كيفية اشتقاق قانون جيب التمام مفيدًا في استخدام الصيغ. يبدأ الاشتقاق بنظرية فيثاغورس المعممة ، وهي امتداد لنظرية فيثاغورس للمثلثات غير القائمة. وإليك كيف يعمل: مثلث غير يميني تعسفييتم وضعها في مستوى الإحداثيات مع قمة الرأسفي الأصل ، الجانبمرسومة على طول x- المحور والرأستقع في مرحلة مافي المستوي ، كما هو موضح في (الشكل). بشكل عام ، توجد المثلثات في أي مكان في المستوى ، ولكن لهذا التفسير سنضع المثلث كما هو مذكور.

الشكل 2.

يمكننا إسقاط عمودي منالى س-المحور (هذا هو الارتفاع أو الارتفاع). بتذكر الهويات المثلثية الأساسية ، نعرف ذلك

من ناحيةوالنقطة تقع فيإحداثياتباستخدام الجانبكساق واحدة من مثلث قائم الزاوية وكالضلع الثاني ، يمكننا إيجاد طول الوترباستخدام نظرية فيثاغورس. هكذا،

الصيغة المشتقة هي إحدى المعادلات الثلاث لقانون جيب التمام. تم العثور على المعادلات الأخرى بطريقة مماثلة.

ضع في اعتبارك أنه من المفيد دائمًا رسم المثلث عند إيجاد الزوايا أو الأضلاع. في سيناريو العالم الحقيقي ، حاول رسم مخطط للموقف. مع ظهور المزيد من المعلومات ، قد يلزم تغيير الرسم التخطيطي. قم بإجراء تلك التعديلات على الرسم التخطيطي ، وفي النهاية ، سيكون حل المشكلة أسهل.

قانون جيب التمام

ينص قانون جيب التمام على أن مربع أي ضلع في المثلث يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب الضلعين الآخرين وجيب الزاوية المحصورة. للمثلثات المسماة كما في (الشكل) ، مع الزوايا و والجوانب المقابلة المتقابلة وعلى التوالي ، يتم إعطاء قانون جيب التمام في شكل ثلاث معادلات.

الشكل 3.

لإيجاد قياس ضلع مفقود ، يلزم قياس الزاوية المقابلة.

عند إيجاد زاوية ، يلزم قياس الجانب المقابل المقابل. يمكننا استخدام نسخة أخرى من قانون جيب التمام لإيجاد زاوية.

بالنظر إلى ضلعين والزاوية بينهما (SAS) ، أوجد قياسات الضلع المتبقي وزوايا المثلث.

  1. ارسم المثلث. التعرف على قياسات الأضلاع والزوايا المعروفة. استخدم المتغيرات لتمثيل قياسات الأضلاع والزوايا المجهولة.
  2. طبق قانون جيب التمام لإيجاد طول الضلع أو الزاوية المجهولة.
  3. طبق قانون الجيب أو جيب التمام لإيجاد قياس الزاوية الثانية.
  4. احسب قياس الزاوية المتبقية.

إيجاد الضلع المجهول والزوايا لمثلث SAS

أوجد الجانب المجهول وزوايا المثلث في (الشكل).

الشكل 4.

أولاً ، قم بتدوين ما يرد: الضلعان والزاوية بينهما. يتم تصنيف هذا الترتيب على أنه SAS ويوفر البيانات اللازمة لتطبيق قانون جيب التمام.

يبدأ كل قانون من قوانين جيب التمام الثلاثة بمربع ضلع مجهول مقابل زاوية معروفة. في هذا المثال ، الضلع الأول المطلوب الحل هو الضلعكما نعرف قياس الزاوية المعاكسة

نظرًا لأننا نحل طولًا ، فإننا نستخدم الجذر التربيعي الموجب فقط. الآن بعد أن عرفنا الطوليمكننا استخدام قانون الجيب لملء الزوايا المتبقية للمثلث. حل للزاويةلدينا

الاحتمال الآخر لسيكونفي الرسم التخطيطي الأصلي ،بجوار الضلع الأطول ، إذنهي زاوية حادة ، وبالتاليلا معني له. لاحظ أنه إذا اخترنا تطبيق قانون جيب التمام ، فإننا نصل إلى إجابة فريدة. لا يتعين علينا النظر في الاحتمالات الأخرى ، لأن جيب التمام فريد من نوعه للزوايا الواقعة بينهماوالمتابعة معيمكننا بعد ذلك إيجاد الزاوية الثالثة للمثلث.

المجموعة الكاملة من الزوايا والجوانب هي

[/ إجابة مخفية]

11.3: قانون جيب التمام

المحاضرة 5.4 قانون جيب التمام

ملاحظات وتمارين للمحاضرة 5.4

ملاحظات المحاضرة 5.4 Law of Cosines.pdf (ملاحظات محاضرة كين حول معادلات الجمع والفرق ، بتنسيق pdf)

WS_5_4_LawOfCosines.pdf (ورقة عمل ممارسة هذه المادة ، بتنسيق pdf)

S & ampZ 11.2-11.3.pdf (القسم ذي الصلة من الكتاب المدرسي المجاني بواسطة Stitz & amp Zeager ، بتنسيق pdf)

بث الفيديو على المحاضرة 5.4

5.4a قانون Cosines.mov (بودكاست قصير حول قانون جيب التمام.)

5.4b Herons Formula & amp Five Guys.mov (ملفات بودكاست قصيرة حول بعض النتائج التي تتضمن قانون جيب التمام.)

ملاحظات بودكاست مختصرة عن المحاضرة 5.4

العروض التقديمية (الشرائح بدون صوت) في المحاضرة 5.4

الروابط الخارجية الموصى بها للمحاضرة 5.4

ملاحظات الدكتور بول دوكين حول الرياضيات عبر الإنترنت.

يسمح لنا قانون جيب التمام ، وهو تعميم لنظرية فيثاغورس ، بحل المثلثات تمامًا عندما يكون لدينا ثلاثة أجزاء من المثلث ، وليس كل الزوايا. هنا نطور قانون جيب التمام ثم نطبقه.

ملاحظات المحاضرة (للدكتور كين دبليو سميث) متوفرة بثلاثة أشكال:

1. مكتوبة ، كقسم كتاب مدرسي (بتنسيق pdf)

2. كملف بودكاست (في جزأين) ، مصحوبًا بملاحظات مختصرة من 4 إلى 1.

3. كعرض تقديمي قصير (شرائح بدون صوت ، في جزأين)

هناك أيضًا تمارين في الفصل (ورقة العمل 5.1) وقسم ذي صلة من الكتاب المدرسي بواسطة Stitz & amp Zeager.


ينطبق قانون جيب التمام على أي مثلث له أطوال أضلاعه أ ، ب ، ج وزوايا أ ، ب ، ج. لاحظ أنه إذا كانت C زاوية قائمة ، فإن cos (C) = 0 وقانون جيب التمام يختزل إلى نظرية فيثاغورس: a 2 + b 2 = c 2. هنا ، c سيكون طول وتر المثلث القائم الزاوية.

لاحظ أن طول الضلع المجهول c يعاد حسابه باستمرار باستخدام قانون جيب التمام. قانون جيب التمام هو أداة لحل المثلثات. من ذلك ، يمكنك استخدام قانون جيب التمام لإيجاد الضلع الثالث. إنه يعمل على أي مثلث ، وليس فقط المثلثات القائمة.


محتويات

على الرغم من أن مفهوم جيب التمام لم يتم تطويره بعد في عصره ، إقليدس عناصر، التي يعود تاريخها إلى القرن الثالث قبل الميلاد ، تحتوي على نظرية هندسية مبكرة تكاد تكون مكافئة لقانون جيب التمام. يتم التعامل مع حالات المثلثات المنفرجة والمثلثات الحادة (المقابلة لحالتين من جيب التمام السالب أو الموجب) بشكل منفصل ، في الاقتراحين 12 و 13 من الكتاب 2. الدوال المثلثية والجبر (خاصة الأرقام السالبة) غائبة في زمن إقليدس ، البيان له نكهة هندسية أكثر:

الاقتراح 12
في المثلثات ذات الزاوية المنفرجة ، يكون المربع الموجود على الجانب المقابل للزاوية المنفرجة أكبر من المربعات الموجودة على الجانبين التي تحتوي على الزاوية المنفرجة بمقدار ضعف المستطيل الذي يحتويه أحد الأضلاع حول الزاوية المنفرجة ، أي الذي يقع عليه العمود العمودي ، و يقطع الخط المستقيم للخارج بشكل عمودي باتجاه الزاوية المنفرجة.

باستخدام الترميز كما في الشكل 2 ، يمكن تمثيل بيان إقليدس بالصيغة

يمكن تحويل هذه الصيغة إلى قانون جيب التمام من خلال ملاحظة ذلك CH = (سي بي) كوس (π - γ) = −(سي بي) كوس γ . يحتوي الاقتراح 13 على بيان مماثل تمامًا للمثلثات الحادة.

إقليدس عناصر مهد الطريق لاكتشاف قانون جيب التمام. في القرن الخامس عشر ، قدم عالم الرياضيات والفلك الفارسي جمشيد الكاشي أول بيان صريح لقانون جيب التمام في شكل مناسب للتثليث. قدم جداول مثلثية دقيقة وعبّر عن النظرية في شكل مناسب للاستخدام الحديث. اعتبارًا من التسعينيات ، في فرنسا ، لا يزال يُشار إلى قانون جيب التمام باسم تيوريم دال الكاشي. [1] [3] [4]

تم نشر النظرية في العالم الغربي من قبل فرانسوا فييت في القرن السادس عشر. في بداية القرن التاسع عشر ، سمح التدوين الجبري الحديث لكتابة قانون جيب التمام في شكله الرمزي الحالي.

تستخدم النظرية في التثليث ، لحل مثلث أو دائرة ، أي للعثور (انظر الشكل 3):

  • الضلع الثالث في المثلث إذا كان المرء يعرف ضلعين والزاوية بينهما:
  • زوايا المثلث إذا عرفنا الأضلاع الثلاثة:
  • الضلع الثالث من المثلث إذا كان المرء يعرف ضلعين وزاوية معاكسة لأحدهما (يمكن أيضًا استخدام نظرية فيثاغورس لفعل ذلك إذا كان مثلث قائم الزاوية):

تنتج هذه الصيغ أخطاء تقريب عالية في حسابات الفاصلة العائمة إذا كان المثلث حادًا جدًا ، أي إذا ج صغير نسبيًا أ و ب أو γ صغير مقارنة بـ 1. بل إنه من الممكن الحصول على نتيجة أكبر بقليل من واحدة لجيب تمام الزاوية.

الصيغة الثالثة الموضحة هي نتيجة حل ل أ في المعادلة التربيعية أ 2 − 2أب كوس γ + ب 2 − ج 2 = 0. يمكن أن تحتوي هذه المعادلة على 2 أو 1 أو 0 حل موجب يتوافق مع عدد المثلثات الممكنة في ضوء البيانات. سيكون لها حلان إيجابيان إذا ب الخطيئة γ & lt ج & lt ب ، حل إيجابي واحد فقط إذا ج = ب الخطيئة γ ، ولا يوجد حل إذا ج & lt ب الخطيئة γ . يتم تفسير هذه الحالات المختلفة أيضًا من خلال غموض تطابق الزاوية الجانبية.

باستخدام صيغة المسافة تحرير

ضع في اعتبارك مثلثًا له جوانب طولها أ , ب , ج ، أين θ هي قياس الزاوية المقابلة لضلع الطول ج . يمكن وضع هذا المثلث على نظام الإحداثيات الديكارتية المحاذاة مع الحافة أ مع الأصل عند C ، من خلال رسم مكونات النقاط الثلاث للمثلث كما هو موضح في الشكل 4:

تربيع الجانبين والتبسيط

من مزايا هذا الدليل أنه لا يتطلب النظر في الحالات المختلفة عندما يكون المثلث حادًا أو يمينًا أو منفرجًا.

باستخدام تحرير حساب المثلثات

إسقاط العمود العمودي على الجانب ج من خلال النقطة ج يظهر ارتفاع المثلث (انظر الشكل 5)

(لا يزال هذا صحيحًا إذا α أو β منفرجة ، وفي هذه الحالة يقع العمود العمودي خارج المثلث) ج عائدات

بالنظر إلى الارتفاعين الآخرين للمثلث

إضافة المعادلتين الأخيرتين يعطي

ينتج عن طرح المعادلة الأولى من الأخيرة

يستخدم هذا الدليل علم المثلثات من حيث أنه يتعامل مع جيب التمام من الزوايا المختلفة على أنها كميات في حد ذاتها. إنها تستخدم حقيقة أن جيب التمام لزاوية يعبر عن العلاقة بين الضلعين اللذين يحيطان بهذه الزاوية أي مثلث قائم. البراهين الأخرى (أدناه) أكثر هندسية من حيث أنها تتعامل مع تعبير مثل أ كوس γ مجرد تسمية لطول قطعة مستقيمة معينة.

تتعامل العديد من البراهين مع حالات الزوايا المنفرجة والحادة γ بشكل منفصل.

باستخدام تحرير نظرية فيثاغورس

تعديل حالة زاوية منفرجة

أثبت إقليدس هذه النظرية من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس على كل من المثلثين الأيمن في الشكل الموضح ( AHB و CHB ). استخدام د للدلالة على القطعة المستقيمة CH و ح عن الارتفاع BH مثلث AHB يعطينا

والمثلث CHB يعطي

باستبدال المعادلة الثانية بهذا ، يمكن الحصول على ما يلي:

هذا هو اقتراح إقليدس 12 من الكتاب 2 من عناصر. [5] لتحويله إلى الشكل الحديث لقانون جيب التمام ، لاحظ ذلك

د = أ كوس ⁡ (π - γ) = - أ كوس ⁡ γ.

تعديل حالة الزاوية الحادة

يتقدم دليل إقليدس على اقتراحه 13 على نفس المنوال مع دليله على الاقتراح 12: إنه يطبق نظرية فيثاغورس على كلا المثلثين القائمين اللذين تم تشكيلهما بإسقاط العمود العمودي على أحد الجانبين الذي يحيط بالزاوية γ ويستخدم نظرية ذات الحدين للتبسيط.

دليل آخر في الحالة الحادة تحرير

باستخدام المزيد من علم المثلثات ، يمكن استنتاج قانون جيب التمام باستخدام نظرية فيثاغورس مرة واحدة فقط. في الواقع ، باستخدام المثلث الأيمن على الجانب الأيسر من الشكل 6 ، يمكن إثبات أن: c 2 = (b - a cos ⁡ γ) 2 + (a sin ⁡ γ) 2 = b 2 - 2 ab cos ⁡ γ + a 2 cos 2 ⁡ γ + a 2 sin 2 ⁡ γ = b 2 + a 2 - 2 ab cos ⁡ γ، quad c ^ <2> & amp = (ba cos gamma) ^ <2> + (a sin gamma) ^ <2> & amp = b ^ <2> -2ab cos gamma + a ^ <2> cos ^ <2> gamma + a ^ <2> sin ^ <2> gamma & amp = b ^ <2> + a ^ <2> -2ab cos gamma، end>>

هذا الدليل يحتاج إلى تعديل طفيف إذا ب & lt أ كوس (γ). في هذه الحالة ، يتحرك المثلث الأيمن الذي يتم تطبيق نظرية فيثاغورس عليه في الخارج المثلث ABC . التأثير الوحيد لهذا على الحساب هو أن الكمية بأ كوس (γ) لقد بدل بواسطة أ كوس (γ) − ب. نظرًا لأن هذه الكمية تدخل الحساب فقط من خلال مربعها ، فلن يتأثر باقي الدليل. ومع ذلك ، تحدث هذه المشكلة فقط عندما β منفرجة ، ويمكن تجنبه من خلال عكس المثلث حول منصف γ .

وبالرجوع إلى الشكل 6 الجدير بالذكر أنه إذا كانت الزاوية المقابلة للضلع أ يكون α من ثم:

يفيد هذا في الحساب المباشر لزاوية ثانية عند إعطاء جانبين وزاوية مضمنة.

باستخدام تحرير نظرية بطليموس

بالإشارة إلى الرسم التخطيطي ، المثلث ABC بجوانب AB = ج , قبل الميلاد = أ و تيار متردد = ب يتم رسمه داخل دائرته كما هو موضح. مثلث ABD متطابقة مع المثلث ABC مع ميلادي = قبل الميلاد و BD = تيار متردد . العمودية من د و ج يجتمع القاعدة AB في ه و F على التوالى. ثم:

الآن يتم تقديم قانون جيب التمام من خلال التطبيق المباشر لنظرية بطليموس على الحلقة الرباعية الدورية ا ب ت ث :

إذا كان واضحا الزاوية ب على حق ، إذن ا ب ت ث هو مستطيل وتطبيق نظرية بطليموس ينتج عنه نظرية فيثاغورس:

من خلال مقارنة المناطق تحرير

يمكن للمرء أيضًا إثبات قانون جيب التمام عن طريق حساب المساحات. تغيير العلامة كزاوية γ يصبح التمييز بين الحالات غير منطقي.

  • أ 2 , ب 2 و ج 2 هي مناطق المربعات ذات الجوانب أ , ب ، و ج ، على التوالى
  • لو γ حاد ، إذن أب كوس γ هي مساحة متوازي الأضلاع مع الأضلاع أ و ب تشكيل زاوية γ ′ =
  • π / 2 - γ
  • لو γ منفرجة ، وجيب التمام كذلك γ سلبي ، إذن -أب كوس γ هي مساحة متوازي الأضلاع مع الأضلاع أ و ب تشكيل زاوية γ ′ = γ
  • π / 2.

الحالة الحادة. يوضح الشكل 7 أ مقطعًا سباعيًا إلى قطع أصغر (بطريقتين مختلفتين) لإثبات قانون جيب التمام. القطع المختلفة

  • باللون الوردي ، المناطق أ 2 , ب 2 على اليسار والمناطق 2أب كوس γ و ج 2 على اليمين
  • باللون الأزرق ، المثلث ABC ، على اليسار وعلى اليمين
  • باللون الرمادي ، مثلثات مساعدة ، وكلها متطابقة مع ABC ، عدد متساوٍ (أي 2) على اليسار واليمين.

تعطي المساواة بين المناطق على اليسار واليمين

حالة منفرجة. Figure 7b cuts a hexagon in two different ways into smaller pieces, yielding a proof of the law of cosines in the case that the angle γ is obtuse. لدينا

  • in pink, the areas أ 2 , ب 2 , and −2ab cos γ on the left and ج 2 on the right
  • in blue, the triangle ABC twice, on the left, as well as on the right.

The equality of areas on the left and on the right gives

The rigorous proof will have to include proofs that various shapes are congruent and therefore have equal area. This will use the theory of congruent triangles.

Using geometry of the circle Edit

Using the geometry of the circle, it is possible to give a more geometric proof than using the Pythagorean theorem alone. Algebraic manipulations (in particular the binomial theorem) are avoided.

Case of acute angle γ ، أين أ > 2ب cos γ . Drop the perpendicular from أ onto أ = BC , creating a line segment of length ب cos γ . Duplicate the right triangle to form the isosceles triangle ACP . Construct the circle with center أ and radius ب , and its tangent ح = BH through ب . The tangent ح forms a right angle with the radius ب (Euclid's Elements: Book 3, Proposition 18 or see here), so the yellow triangle in Figure 8 is right. Apply the Pythagorean theorem to obtain

Then use the tangent secant theorem (Euclid's Elements: Book 3, Proposition 36), which says that the square on the tangent through a point ب outside the circle is equal to the product of the two lines segments (from ب ) created by any secant of the circle through ب . In the present case: BH 2 = BC·BP ، أو

Substituting into the previous equation gives the law of cosines:

لاحظ أن ح 2 is the power of the point ب with respect to the circle. The use of the Pythagorean theorem and the tangent secant theorem can be replaced by a single application of the power of a point theorem.

Case of acute angle γ ، أين أ & lt 2ب cos γ . Drop the perpendicular from أ onto أ = BC , creating a line segment of length ب cos γ . Duplicate the right triangle to form the isosceles triangle ACP . Construct the circle with center أ and radius ب , and a chord through ب perpendicular to ج = AB, half of which is ح = BH. Apply the Pythagorean theorem to obtain

Now use the chord theorem (Euclid's Elements: Book 3, Proposition 35), which says that if two chords intersect, the product of the two line segments obtained on one chord is equal to the product of the two line segments obtained on the other chord. In the present case: BH 2 = BC·BP، أو

Substituting into the previous equation gives the law of cosines:

Note that the power of the point ب with respect to the circle has the negative value −ح 2 .

Case of obtuse angle γ . This proof uses the power of a point theorem directly, without the auxiliary triangles obtained by constructing a tangent or a chord. Construct a circle with center ب and radius أ (see Figure 9), which intersects the secant through أ و ج في ج و K . The power of the point أ with respect to the circle is equal to both AB 2 − BC 2 and AC·AK . وبالتالي،

which is the law of cosines.

Using algebraic measures for line segments (allowing negative numbers as lengths of segments) the case of obtuse angle ( CK > 0 ) and acute angle ( CK < 0 ) can be treated simultaneously.

Using the law of sines Edit

By using the law of sines and knowing that the angles of a triangle must sum to 180 degrees, we have the following system of equations (the three unknowns are the angles):

Then, by using the third equation of the system, we obtain a system of two equations in two variables:

where we have used the trigonometric property that the sine of a supplementary angle is equal to the sine of the angle.

sin ⁡ ( α + γ ) = sin ⁡ α cos ⁡ γ + sin ⁡ γ cos ⁡ α

By dividing the whole system by cos γ , we have:

Hence, from the first equation of the system, we can obtain

By substituting this expression into the second equation and by using

we can obtain one equation with one variable:

By multiplying by (بج cos α) 2 , we can obtain the following equation:

Recalling the Pythagorean identity, we obtain the law of cosines:

Using vectors Edit

Taking the dot product of each side with itself:

متي أ = ب , i.e., when the triangle is isosceles with the two sides incident to the angle γ equal, the law of cosines simplifies significantly. Namely, because أ 2 + ب 2 = 2أ 2 = 2ab , the law of cosines becomes

An analogous statement begins by taking α , β , γ , δ to be the areas of the four faces of a tetrahedron. Denote the dihedral angles by β γ ^ >> etc. Then [6]

When the angle, γ , is small and the adjacent sides, أ و ب , are of similar length, the right hand side of the standard form of the law of cosines can lose a lot of accuracy to numerical loss of significance. In situations where this is an important concern, a mathematically equivalent version of the law of cosines, similar to the haversine formula, can prove useful:

c 2 = ( a − b ) 2 + 4 a b sin 2 ⁡ ( γ 2 ) = ( a − b ) 2 + 4 a b haversin ⁡ ( γ ) . c^<2>&=(a-b)^<2>+4absin ^<2>left(<2>> ight)&=(a-b)^<2>+4aboperatorname (gamma ).end>>

In the limit of an infinitesimal angle, the law of cosines degenerates into the circular arc length formula, ج = أ γ .

Versions similar to the law of cosines for the Euclidean plane also hold on a unit sphere and in a hyperbolic plane. In spherical geometry, a triangle is defined by three points ش , الخامس ، و ث on the unit sphere, and the arcs of great circles connecting those points. If these great circles make angles أ , ب ، و ج with opposite sides أ , ب , ج then the spherical law of cosines asserts that both of the following relationships hold:

In hyperbolic geometry, a pair of equations are collectively known as the hyperbolic law of cosines. The first is

cosh ⁡ a = cosh ⁡ b cosh ⁡ c − sinh ⁡ b sinh ⁡ c cos ⁡ A

where sinh and cosh are the hyperbolic sine and cosine, and the second is

cos ⁡ A = − cos ⁡ B cos ⁡ C + sin ⁡ B sin ⁡ C cosh ⁡ a .

As in Euclidean geometry, one can use the law of cosines to determine the angles أ , ب , ج from the knowledge of the sides أ , ب , ج . In contrast to Euclidean geometry, the reverse is also possible in both non-Euclidean models: the angles أ , ب , ج determine the sides أ , ب , ج .

allows to unify the formulae for plane, sphere and pseudosphere into:

Verifying the formula for non-Euclidean geometry

Hence, for a sphere of radius 1

Likewise, for a pseudosphere of radius i

Verifying the formula in the limit of Euclidean geometry

In the Euclidean plane the appropriate limits for the above equation must be calculated:

Applying this to the general formula for a finite R yields:


By the Pythagorean Theorem

One way to think of the law of cosines is as an extension of the Pythagorean theorem for a right triangle:

By Pythagorean theorem, we know

ولكن is just some portion of side length which is less than the length of . Substituting the difference gives us,

By Pythagorean theorem, we also know that

Substituting the appropriate values gives us,

Expanding the squared term gives us

And by the definition of cosine, we know that

Substituting this value in give us

Using the Distance Formula

The law of cosines solves for a particular side length using the other side lengths and an angle. We can write this length using the distance formula as the distance from one vertex of the triangle to another.

يترك be oriented so that is at the origin, and is at the point.

We use the formula for the distance between two points

is the distance from ل .

منذ و , substituting the appropriate points into the distance formula gives us

Squaring the inner terms, we have

منذ ,


المثلثات غير اليمنى: قانون جيب التمام

Suppose a boat leaves port, travels 10 miles, turns 20 degrees, and travels another 8 miles as shown in [link]. How far from port is the boat?

Unfortunately, while the Law of Sines enables us to address many non-right triangle cases, it does not help us with triangles where the known angle is between two known sides, a SAS (side-angle-side) triangle, or when all three sides are known, but no angles are known, a SSS (side-side-side) triangle. In this section, we will investigate another tool for solving oblique triangles described by these last two cases.

Using the Law of Cosines to Solve Oblique Triangles

The tool we need to solve the problem of the boat’s distance from the port is the Law of Cosines, which defines the relationship among angle measurements and side lengths in oblique triangles. Three formulas make up the Law of Cosines. At first glance, the formulas may appear complicated because they include many variables. However, once the pattern is understood, the Law of Cosines is easier to work with than most formulas at this mathematical level.

Understanding how the Law of Cosines is derived will be helpful in using the formulas. The derivation begins with the Generalized Pythagorean Theorem, which is an extension of the Pythagorean Theorem to non-right triangles. Here is how it works: An arbitrary non-right triangle A B C

is placed in the coordinate plane with vertex A

drawn along the x-axis, and vertex C

located at some point ( x , y )

in the plane, as illustrated in [link]. Generally, triangles exist anywhere in the plane, but for this explanation we will place the triangle as noted.

We can drop a perpendicular from C

الى x-axis (this is the altitude or height). Recalling the basic trigonometric identities, we know that

In terms of θ , x = b cos θ

has coordinates ( b cos θ , b sin θ ) .

as one leg of a right triangle and y

as the second leg, we can find the length of hypotenuse a

using the Pythagorean Theorem. Thus,

The formula derived is one of the three equations of the Law of Cosines. The other equations are found in a similar fashion.

Keep in mind that it is always helpful to sketch the triangle when solving for angles or sides. In a real-world scenario, try to draw a diagram of the situation. As more information emerges, the diagram may have to be altered. Make those alterations to the diagram and, in the end, the problem will be easier to solve.

ال Law of Cosines states that the square of any side of a triangle is equal to the sum of the squares of the other two sides minus twice the product of the other two sides and the cosine of the included angle. For triangles labeled as in [link], with angles α , β ,

and opposite corresponding sides a , b ,

respectively, the Law of Cosines is given as three equations.

To solve for a missing side measurement, the corresponding opposite angle measure is needed.

When solving for an angle, the corresponding opposite side measure is needed. We can use another version of the Law of Cosines to solve for an angle.

Given two sides and the angle between them (SAS), find the measures of the remaining side and angles of a triangle.

  1. Sketch the triangle. Identify the measures of the known sides and angles. Use variables to represent the measures of the unknown sides and angles.
  2. Apply the Law of Cosines to find the length of the unknown side or angle.
  3. Apply the Law of Sines or Cosines to find the measure of a second angle.
  4. Compute the measure of the remaining angle.

Find the unknown side and angles of the triangle in [link].

First, make note of what is given: two sides and the angle between them. This arrangement is classified as SAS and supplies the data needed to apply the Law of Cosines.

Each one of the three laws of cosines begins with the square of an unknown side opposite a known angle. For this example, the first side to solve for is side b ,

as we know the measurement of the opposite angle β .

Because we are solving for a length, we use only the positive square root. Now that we know the length b ,

we can use the Law of Sines to fill in the remaining angles of the triangle. Solving for angle α ,

The other possibility for α

would be α = 180° – 56.3° ≈ 123.7°.

In the original diagram, α

is adjacent to the longest side, so α

is an acute angle and, therefore, 123.7°

does not make sense. Notice that if we choose to apply the Law of Cosines, we arrive at a unique answer. We do not have to consider the other possibilities, as cosine is unique for angles between 0°

we can then find the third angle of the triangle.

The complete set of angles and sides is

Find the missing side and angles of the given triangle: α = 30° , b = 12 , c = 24.

for the given triangle if side a = 20 ,

For this example, we have no angles. We can solve for any angle using the Law of Cosines. To solve for angle α ,

Because the inverse cosine can return any angle between 0 and 180 degrees, there will not be any ambiguous cases using this method.

Solving Applied Problems Using the Law of Cosines

Just as the Law of Sines provided the appropriate equations to solve a number of applications, the Law of Cosines is applicable to situations in which the given data fits the cosine models. We may see these in the fields of navigation, surveying, astronomy, and geometry, just to name a few.

On many cell phones with GPS, an approximate location can be given before the GPS signal is received. This is accomplished through a process called triangulation, which works by using the distances from two known points. Suppose there are two cell phone towers within range of a cell phone. The two towers are located 6000 feet apart along a straight highway, running east to west, and the cell phone is north of the highway. Based on the signal delay, it can be determined that the signal is 5050 feet from the first tower and 2420 feet from the second tower. Determine the position of the cell phone north and east of the first tower, and determine how far it is from the highway.

For simplicity, we start by drawing a diagram similar to [link] and labeling our given information.

Using the Law of Cosines, we can solve for the angle θ .

Remember that the Law of Cosines uses the square of one side to find the cosine of the opposite angle. For this example, let a = 2420 , b = 5050 ,

corresponds to the opposite side a = 2420.

To answer the questions about the phone’s position north and east of the tower, and the distance to the highway, drop a perpendicular from the position of the cell phone, as in [link]. This forms two right triangles, although we only need the right triangle that includes the first tower for this problem.

and the basic trigonometric identities, we can find the solutions. هكذا

The cell phone is approximately 4638 feet east and 1998 feet north of the first tower, and 1998 feet from the highway.

Returning to our problem at the beginning of this section, suppose a boat leaves port, travels 10 miles, turns 20 degrees, and travels another 8 miles. How far from port is the boat? The diagram is repeated here in [link].

The boat turned 20 degrees, so the obtuse angle of the non-right triangle is the supplemental angle, 180° − 20° = 160° .

With this, we can utilize the Law of Cosines to find the missing side of the obtuse triangle—the distance of the boat to the port.

The boat is about 17.7 miles from port.

Using Heron’s Formula to Find the Area of a Triangle

We already learned how to find the area of an oblique triangle when we know two sides and an angle. We also know the formula to find the area of a triangle using the base and the height. When we know the three sides, however, we can use Heron’s formula instead of finding the height. Heron of Alexandria was a geometer who lived during the first century A.D. He discovered a formula for finding the area of oblique triangles when three sides are known.

Heron’s formula finds the area of oblique triangles in which sides a , b ,

is one half of the perimeter of the triangle, sometimes called the semi-perimeter.

Find the area of the triangle in [link] using Heron’s formula.

Then we apply the formula.

The area is approximately 29.4 square units.

Use Heron’s formula to find the area of a triangle with sides of lengths a = 29.7 ft , b = 42.3 ft ,

A Chicago city developer wants to construct a building consisting of artist’s lofts on a triangular lot bordered by Rush Street, Wabash Avenue, and Pearson Street. The frontage along Rush Street is approximately 62.4 meters, along Wabash Avenue it is approximately 43.5 meters, and along Pearson Street it is approximately 34.1 meters. How many square meters are available to the developer? See [link] for a view of the city property.

Find the measurement for s ,

which is one-half of the perimeter.

The developer has about 711.4 square meters.

Find the area of a triangle given a = 4.38 ft , b = 3.79 ft,

Access these online resources for additional instruction and practice with the Law of Cosines.

المعادلات الرئيسية

Law of Cosines a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b c o s γ
Heron’s formula Area = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) where s = ( a + b + c ) 2

Key Concepts

  • The Law of Cosines defines the relationship among angle measurements and lengths of sides in oblique triangles.
  • The Generalized Pythagorean Theorem is the Law of Cosines for two cases of oblique triangles: SAS and SSS. Dropping an imaginary perpendicular splits the oblique triangle into two right triangles or forms one right triangle, which allows sides to be related and measurements to be calculated. See [link] and [link].
  • The Law of Cosines is useful for many types of applied problems. The first step in solving such problems is generally to draw a sketch of the problem presented. If the information given fits one of the three models (the three equations), then apply the Law of Cosines to find a solution. See [link] and [link].
  • Heron’s formula allows the calculation of area in oblique triangles. All three sides must be known to apply Heron’s formula. See [link] and See [link].

تمارين القسم

شفهي

If you are looking for a missing side of a triangle, what do you need to know when using the Law of Cosines?

two sides and the angle opposite the missing side.

If you are looking for a missing angle of a triangle, what do you need to know when using the Law of Cosines?

represents in Heron’s formula.

is the semi-perimeter, which is half the perimeter of the triangle.

Explain the relationship between the Pythagorean Theorem and the Law of Cosines.

When must you use the Law of Cosines instead of the Pythagorean Theorem?

The Law of Cosines must be used for any oblique (non-right) triangle.

جبري

For the following exercises, assume α

If possible, solve each triangle for the unknown side. Round to the nearest tenth.


شاهد الفيديو: إثبات قانون جيب التمام. الرياضيات. المثلث قائم الزاوية وعلم المثلثات (كانون الثاني 2022).