مقالات

4.8: المستويات في Rⁿ - الرياضيات


الطائرات في ( mathbb {R} ^ n )

أهداف التعلم

  • أوجد المعادلات المتجهية والقياسية لمستوى.

يمكن استخدام المتجهات لتحديد المستويات في ( mathbb {R} ^ n ) ، مثل المناقشة أعلاه مع الخطوط. بالنظر إلى المتجه ( vec {n} ) في ( mathbb {R} ^ n ) ونقطة (P_0 ) ، من الممكن العثور على فريدة من نوعها المستوى الذي يحتوي على (P_0 ) ويكون عموديًا على المتجه المحدد.

التعريف ( PageIndex {1} ): متجه عادي

لنكن ( vec {n} ) متجهًا غير صفري في ( mathbb {R} ^ n ). ثم يسمى ( vec {n} ) ملف ناقلات الطبيعي إلى مستوى إذا وفقط إذا [ vec {n} bullet vec {v} = 0 ] لكل متجه ( vec {v} ) في الطائرة.

بمعنى آخر ، نقول إن ( vec {n} ) متعامد (عمودي) لكل متجه في المستوى.

ضع في اعتبارك الآن مستوى متجهًا عاديًا معطى بواسطة ( vec {n} ) ، ويحتوي على نقطة (P_0 ). لاحظ أن هذه الطائرة فريدة من نوعها. إذا كانت (P ) نقطة اعتباطية على هذا المستوى ، فحينئذٍ يكون المتجه العادي متعامدًا مع المتجه بين (P_0 ) و (P ). إذا تركنا ( overrightarrow {0P} ) و ( overrightarrow {0P_0} ) متجهي موضع النقطتين (P ) و (P_0 ) على التوالي ، فهذا يعني [ vec {n} bullet ( overrightarrow {0P} - overrightarrow {0P_0}) = 0 ] أو [ vec {n} bullet overrightarrow {P_0P} = 0 ]

أول هذه المعادلات تعطي معادلة ناقلات من الطائرة.

التعريف ( PageIndex {2} ): معادلة متجه لمستوى

لنفترض أن ( vec {n} ) هو المتجه العادي لمستوى يحتوي على نقطة (P_0 ). إذا كانت (P ) نقطة عشوائية على هذا المستوى ، فعندئذٍ معادلة ناقلات للطائرة مُعطاة بواسطة [ vec {n} bullet ( overrightarrow {0P} - overrightarrow {0P_0}) = 0 ]

لاحظ أنه يمكن استخدام هذه المعادلة لتحديد ما إذا كانت النقطة (P ) موجودة في مستوى معين.

مثال ( PageIndex {1} ): نقطة في مستوى

لنفترض أن ( vec {n} = left [ start {array} {r} 1 2 3 end {array} right] ) يكون المتجه العادي للمستوى الذي يحتوي على النقطة ( P_0 = يسار (2 ، 1 ، 4 يمين) ). حدد ما إذا كانت النقطة (P = left (5، 4، 1 right) ) موجودة في هذا المستوى.

المحلول

حسب التعريف [عيب: vecteqnplane]، (P ) هي نقطة في المستوى إذا كانت تحقق المعادلة [ vec {n} bullet ( overrightarrow {0P} - overrightarrow {0P_0}) = 0 ]

بالنظر إلى ما ورد أعلاه ( vec {n} ) و (P_0 ) و (P ) ، تصبح هذه المعادلة [ start {align} left [ begin {array} {r} 1 2 3 end {array} right] bullet left ( left [ start {array} {r} 5 4 1 end {array} right] - left [ begin { صفيف} {r} 2 1 4 end {array} right] right) & = & left [ start {array} {r} 1 2 3 end {array} يمين] bullet left ( left [ start {array} {r} 3 3 -3 end {array} right] right) & = & 3 + 6 - 9 = 0 نهاية {محاذاة} ]

لذلك (P = (5، 4، 1) ) موجود في المستوى.

افترض ( vec {n} = left [ start {array} {c} a b c end {array} right] )، (P = left (x، y، z حق) ) و (P_0 = (x_0 ، y_0 ، z_0) ).

ثم [ start {align} vec {n} bullet ( overrightarrow {0P} - overrightarrow {0P_0}) & = & 0 left [ begin {array} {c} a b c end {array} right] bullet left ( left [ start {array} {c} x y z end {array} right] - left [ begin {array} {c} x_0 y_0 z_0 end {array} right] right) & = & 0 left [ begin {array} {c} a b c end {array} right] bullet left [ start {array} {c} x - x_0 y - y_0 z - z_0 end {array} right] & = & 0 a (x - x_0) + ب (y - y_0) + c (z-z_0) & = & 0 end {align} ]

يمكننا أيضًا كتابة هذه المعادلة على النحو التالي [ax + by + cz = ax_0 + by_0 + cz_0 ]

لاحظ أنه منذ إعطاء (P_0 ) ، يعد (ax_0 + by_0 + cz_0 ) عددًا معروفًا يمكننا تسميته (d ). تصبح هذه المعادلة [ax + by + cz = d ]

التعريف ( PageIndex {3} ): المعادلة العددية للمستوى

لنفترض أن ( vec {n} = left [ start {array} {c} a b c end {array} right] ) يكون المتجه العادي للمستوى الذي يحتوي على النقطة ( P_0 = (x_0، y_0، z_0) ). ثم إذا كانت (P = (x، y، z) ) نقطة عشوائية على المستوى ، معادلة عددية المستوى المعطى بواسطة [ax + by + cz = d ] حيث (a، b، c، d in mathbb {R} ) و (d = ax_0 + by_0 + cz_0 ).

تأمل المعادلة التالية.

مثال ( PageIndex {1} ): إيجاد معادلة مستوى

ابحث عن معادلة المستوى التي تحتوي على (P_0 = (3، -2، 5) ) ومتعامدة مع ( vec {n} = left [ start {array} {r} -2 4 1 نهاية {مجموعة} يمين] ).

المحلول

المتجه أعلاه ( vec {n} ) هو المتجه العادي لهذا المستوى. باستخدام التعريف [عيب: vecteqnplane]، يمكننا تحديد معادلة المتجه لهذا المستوى. [ start {align} vec {n} bullet ( overrightarrow {0P} - overrightarrow {0P_0}) & = & 0 left [ begin {array} {r} -2 4 1 end {array} right] bullet left ( left [ start {array} {c} x y z end {array} right] - left [ begin {array} {r} 3 -2 5 end {array} right] right) & = & 0 left [ start {array} {r} -2 4 1 end { array} right] bullet left [ start {array} {c} x - 3 y + 2 z - 5 end {array} right] & = & 0 end {align} ]

باستخدام التعريف [def: scalareqnplane]، يمكننا تحديد المعادلة العددية للمستوى. [- 2x + 4y + 1z = -2 (3) + 4 (-2) + 1 (5) = -9 ]

ومن ثم ، فإن معادلة المتجه للمستوى هي [ left [ start {array} {r} -2 4 1 end {array} right] bullet left [ start {array} {c } x - 3 y + 2 z - 5 end {array} right] = 0 ] والمعادلة العددية هي [- 2x + 4y + 1z = -9 ]

لنفترض أن النقطة (P ) غير واردة في مستوى معين. ثم نحن مهتمون بأقصر مسافة من تلك النقطة (P ) إلى المستوى المحدد. تأمل المثال التالي.

مثال ( PageIndex {1} ): أقصر مسافة من نقطة إلى مستوى

أوجد أقصر مسافة من النقطة (P = (3،2،3) ) إلى المستوى الذي قدمه
(2x + y + 2z = 2 ) ، وابحث عن النقطة (Q ) على المستوى الأقرب إلى (P ).

المحلول

اختر نقطة عشوائية على المستوى (P_0 ). ثم يتبع ذلك أن [ overrightarrow {QP} = func {proj} _ { vec {n}} overrightarrow {P_0P} ] و ( | overrightarrow {QP} | ) هو الأقصر المسافة من (P ) إلى الطائرة. علاوة على ذلك ، يعطي المتجه ( overrightarrow {0Q} = overrightarrow {0P} - overrightarrow {QP} ) النقطة الضرورية (Q ).

من المعادلة العددية أعلاه ، لدينا هذا ( vec {n} = left [ start {array} {c} 2 1 2 end {array} right] ). الآن ، اختر (P_0 = (1، 0، 0) ) بحيث ( vec {n} bullet overrightarrow {0P} = 2 = d ). ثم ، ( overrightarrow {P_0P} = left [ begin {array} {c} 3 2 3 end {array} right] - left [ begin {array} {c} 1 0 0 end {array} right] = left [ begin {array} {c} 2 2 3 end {array} right] ).

بعد ذلك ، احسب ( overrightarrow {QP} = func {proj} _ { vec {n}} overrightarrow {P_0P} ). [ begin {align} overrightarrow {QP} & = & func {proj} _ { vec {n}} overrightarrow {P_0P} & = & left ( frac { overrightarrow {P_0P} رصاصة vec {n}} { | vec {n} | ^ 2} right) vec {n} & = & frac {12} {9} left [ begin {array} { r} 2 1 2 end {array} right] & = & frac {4} {3} left [ start {array} {r} 2 1 2 end {مجموعة} يمين] نهاية {محاذاة} ]

ثم ، ( | overrightarrow {QP} | = 4 ) لذا فإن أقصر مسافة من (P ) إلى الطائرة هي (4 ).

بعد ذلك ، للعثور على النقطة (Q ) على المستوى الأقرب إلى (P ) لدينا [ start {align} overrightarrow {0Q} & = & overrightarrow {0P} - overrightarrow {QP } & = & left [ start {array} {r} 3 2 3 end {array} right] - frac {4} {3} left [ begin {array} { r} 2 1 2 end {array} right] & = & frac {1} {3} left [ start {array} {r} 1 2 1 end {مجموعة} يمين] نهاية {محاذاة} ]

لذلك ، (Q = ( frac {1} {3} ، frac {2} {3} ، frac {1} {3}) ).


AffineSpaces.jl

توفر هذه المكتبة طريقة عامة بسيطة للتعامل مع المساحات الفرعية الفرعية ، ويتم تنفيذها بالكامل في جوليا. المساحات الفرعية هي كائنات مألوفة مثل النقاط والخطوط والمستويات وما إلى ذلك ، بالإضافة إلى الكائنات الأكثر غرابة مثل الطائرات الفائقة وما إلى ذلك. باستخدام هذه المكتبة ، يمكنك تمثيل مثل هذه الأشياء ومعالجتها بسهولة.

ما فائدته؟

غالبًا ما نريد القيام بأشياء مثل حساب تقاطعات الخط المستوي ، أو تقاطعات المستوى المستوي ، أو العثور على المستوى الذي يمر عبر خط ونقطة ، أو العثور على المسافة من نقطة إلى خط ثلاثي الأبعاد ، والكثير من الأشكال الهندسية الأخرى عمليات. هناك عدد لا يحصى من الأسئلة والأجوبة حول تدفق التكديس للتعامل مع كل حالة من هذه الحالات الخاصة. لكن لسوء الحظ ، عادةً ما تكون الشفرة محددة جدًا وغير قابلة للتعميم. كما أنه غير مضمون للعمل مع جميع الحالات الخاصة (إذا كانت الطائرات متوازية ، على سبيل المثال) وقد تكون غير مستقرة عدديًا. على سبيل المثال ، قد يؤدي تقاطع ثلاث مستويات (في صورة ثلاثية الأبعاد) إلى إرجاع نقطة أو خط أو مستوى أو لا شيء على الإطلاق ، ويجب أن يكون رمزنا قادرًا على عكس ذلك.

هذا النوع من التعقيد والارتباك هو المكان الذي تأتي فيه هذه المكتبة: يمكنك القيام بكل هذه العمليات الهندسية الحسابية وأكثر بطريقة مضمونة لتكون صحيحة رياضيًا. ويتم كل ذلك من خلال واجهة موحدة - لا توجد حالات خاصة.

فكيف أستخدمه؟

أولاً ، دعنا نستعرض ماهية الفضاء الفرعي الفرعي. الفضاء الفرعي مبني على فكرة أ ناقلات الفضاء. في الرياضيات ، يمكن تعريف الفراغات المتجهة بالعديد من الطرق المختلفة ، لكننا هنا سنلتزم بطريقة بسيطة جدًا لتحديدها. سنقوم ببساطة بتعريف الفراغات المتجهة على أنها تركيبات خطية من ناقلات الأساس. على سبيل المثال ، إذا كان لديك متجه أساس [1،0،0] ، فمساحة المتجه ولدت من خلال هذا الأساس ، يشمل المتجه جميع المتجهات a * [1،0،0] حيث a هو رقم حقيقي ، لذلك سيكون كل متجهات النموذج [a ، 0،0]. إذا كان لديك متجهان أساسيان ، قل [1،0،0] (كما كان من قبل) و [1 / 2،1،0] ، تتكون مساحة المتجه الآن من جميع المتجهات أ * [1،0،0] + ب * [1 / 2،1،0] ، حيث يمثل كل من a و b أعدادًا حقيقية. لذلك سيبدو مثل: [أ + ب / 2 ، ب ، 0]. في AffineSpaces.jl ، نحدد مساحة المتجه هذه على النحو التالي:

أي بإعطاء الأساس مصفوفة كحجة للمنشئ.

يمكنك أن ترى أنه من خلال معالجة نواقل الأساس ، يمكنك إنشاء خطوط (متجه أساس واحد) ، وطائرات (متجهان أساسيان) ، وما إلى ذلك.

الفراغات الفرعية

الفراغات الفرعية هي ببساطة مسافات متجهة بالإضافة إلى بعض الإزاحة. يجب أن تمر الفراغات المتجهة التي حددناها من خلال الأصل - يجب أن تحتوي جميعها على [0،0،0] في الفراغ. يضع هذا قيودًا على أنواع الخطوط والمستويات التي يمكننا تمثيلها. لا تحتاج الفراغات الفرعية للمرور عبر الأصل. على سبيل المثال ، هذا هو السطر y = 1 في 2d:

يمكنك إظهار أنه باستخدام هذه الشكلية البسيطة ، يمكن تمثيل أي نوع من النقاط ، أو الخط ، أو المستوى ، أو المستوى الفائق ، إلخ.

عمليات

مسافه: بعد

في AffineSpaces.jl ، يمكن إجراء جميع عمليات الفضاء الفرعي الفرعي بين أي مسافتين أفيني. المسافة بين مساحتين أفينيتين ، على سبيل المثال ، يمكن حسابها بسهولة:

وهذا يعمل بغض النظر عن ماهية الفضاءين الفرعيين. يمكنك استخدامه لحساب ، على سبيل المثال ، المسافة بين نقطتين ، أو مستوى ونقطة ، أو مستويين متوازيين. القيد الوحيد هو أن الفراغين الفرعيين يسكنان نفس المساحة ، أي أنهما يسكنان مساحة ثنائية أو ثلاثية الأبعاد. لكن هذا كل شيء. إذا تقاطعت المساحتان الفرعيتان ، فإن المسافة التي يتم إرجاعها ستكون صفرًا.

حقيقة أن هذه الوظيفة عامة جدًا هي أكثر إثارة للاهتمام عندما تنظر إلى تنفيذ الوظيفة:

هذه هي قوة العمل مع بنية فضاء فرعي عام - يمكن إجراء حسابات عامة جدًا بطريقة بسيطة.

مساحات فرعية متولدة

Created_space هي الوظيفة التي تأخذ مساحتين فرعيين وتنتج الامتداد أصغر أفيني أن يشمل على حد سواء. على سبيل المثال ، يمكننا حساب الخط الذي يمر عبر نقطتين:

إذا كانت النقطتان متطابقتين ، فلن يؤدي ذلك إلى حدوث خطأ - بل سيعيد النقطة فقط ، كما ينبغي.

مثال آخر: الطائرة التي تمر بنقطة وخط:

مرة أخرى ، إذا كانت النقطة تقع على الخط ، فإنها ستعيد الخط فقط. إذا لم يكن الخط خطًا ، كما نعتقد ، ولكنه بدلاً من ذلك نقطة (على سبيل المثال ، إذا تم إرجاعه من عملية سابقة) ، فسيعيد السطر الذي يمر عبر النقطتين. بهذه الطريقة ، في AffineSpaces.jl ، لا داعي للقلق بشأن ماهية كائناتك الهندسية ولا داعي للقلق بشأن كتابة رمز حالة خاص لها. كل شيء "يعمل فقط".

التقاطعات

يمكن استخدام الوظيفة التالية لحساب تقاطعات الفضاء الجزئي الفرعي. التقاطع هو أكبر مساحة فرعية متضمنة في كليهما.

الهندسة الصعبة

يحتوي AffineSpaces.jl على مجموعة من الوظائف لأداء الهندسة الصعبة - هندسة الأحجام بما في ذلك الأبعاد المتعددة السطوح. هذه موضحة أدناه.

نصف مسافات

أبسط حجم هو مساحة R n بأكملها. يمكننا تمثيل هذا الفضاء باستخدام متجهات الأساس ، كما ذكرنا. ومع ذلك ، فإن R n في حد ذاته ليست مثيرة للاهتمام. يصبح أكثر إثارة للاهتمام عندما نقدم مفهوم نصف مسافات. يتم إنتاج نصف المسافات عندما نأخذ مساحة ذات أبعاد n ونقسمها إلى أجزاء باستخدام a مستوي مفرط (فضاء فرعي من البعد n-1). على سبيل المثال ، يمكننا تقسيم المستوى ثنائي الأبعاد إلى جزأين بخط ، أو مساحة ثلاثية الأبعاد إلى جزأين بمستوى. رياضيا ، يمكننا تمثيل نصف مساحة من البعد n على النحو التالي. يترك أ يكون متجهًا عاديًا للبعد n ، و ب أن يكون رقمًا حقيقيًا. ثم كل النقاط x في الفضاء الذي يرضي:

أ تي x > ب

أو ، إذا كانت ملف مغلق نصف المساحة:

أ تي x ≥ ب

معًا يشكلان نصف مساحة. لإنشاء نصف مساحة في AffineSpaces.jl ، نقوم ببساطة بإدخال أ و ب، على سبيل المثال هنا نصف مساحة ثلاثية الأبعاد:

المعلمة الأولى هي المتجه العادي ، والمعلمة الثانية هي الإزاحة ، وتحدد المعلمة النهائية ما إذا كانت نصف مساحة مغلقة أم لا.

متعدد الوجوه محدب

الآن بعد أن أصبح لدينا فكرة عن أنصاف المسافات ، يمكننا دمجها معًا عبر التقاطعات، باستخدام الوظيفة inter (). نصف المسافات هي مسافات محدبة. إن تقاطع أي مسافتين محدبتين هو أيضًا مساحة محدبة ، وبالتالي فإن تقاطع أي عدد من المساحات النصفية هو أيضًا مساحة محدبة. في الواقع ، يمكنك إظهار ذلك أي يمكن تشكيل الفضاء المحدب / متعدد السطوح عبر تقاطع نصف مسافات. تشكل هذه الفكرة أساس نظرية Nef متعدد السطوح ، وتعطينا شكليات رياضية بسيطة للتعامل مع متعددات الوجوه المحدبة.


M4TH 22

∴ يمكن أن تحصل على كل soln إلى Ax = b من أي يوم صول إلى Ax = b (على سبيل المثال ، p) وإضافتها إلى q ، مجموعة soln من Ax = 0.

حالة سهلة - مصفوفة مثلثة
(أ₁₁ -------
0 أ₂₂ ______
0 0 أ₃₃ ___)

التوسع في الصف الأول:
det (A) = a₁₁det (A₁₁) - 0det (A₁₂) + 0det (A₁₃)
a₁₁det (n-1) = a₁₁a₂₂det (n-2) = a₁₁a₂₂a₃₃ .. = منتج المحاور

ب = أساس Rⁿ =
r = (c₁. cn col) wrt B بواسطة (1)
Ar = (λ₁c₁. λncn col) wrt B بواسطة (2)

اختر b₀ في العمود (A) الأقرب إلى b وحل Ax = b₀ بدلاً من ذلك.

أو w₂ هو الأفضل تقريبًا لـ x في W⊥ و w₁ هو الخطأ

بالنظر إلى أي A ، هناك X واحد فقط يفي بالمعادلة.

تحقق من البيانات الصحيحة أدناه:

A. إذا كانت det (A) تساوي صفرًا ، فإن صفين أو عمودين متماثلين ، أو صفًا أو عمودًا يساوي صفرًا.

ب. إذا تم إجراء تقاطع صفين في حالة نجاح ، فإن محدد المصفوفة الجديدة يساوي محدد المصفوفة الأصلية.


وجهة نظر عالم الرياضيات للتطور

عندما كان الدكتور بيهي في جامعة تكساس إل باسو في مايو 1997 لإلقاء محاضرة مدعوة ، أخبرته أنني أعتقد أنه سيجد المزيد من الدعم لأفكاره في أقسام الرياضيات والفيزياء وعلوم الكمبيوتر أكثر من مجاله. أعرف عددًا جيدًا من علماء الرياضيات والفيزياء وعلماء الكمبيوتر الذين ، مثلي ، مرعوبون من أن تفسير داروين لتطور الحياة مقبول على نطاق واسع في علوم الحياة. قلة منهم تحدثوا أو يكتبوا عن هذه القضية ، ربما لأنهم شعروا أن السؤال ببساطة خارج مجالهم. ومع ذلك ، أعتقد أن هناك حجتين مركزيتين ضد الداروينية ، ويبدو أن كليهما يحظى بتقدير أكبر من قبل أولئك الذين يعملون في العلوم الرياضية.

    إن حجر الزاوية في الداروينية هو فكرة أن التحسينات الرئيسية (المعقدة) يمكن أن تُبنى من خلال العديد من التحسينات الطفيفة التي تطورت بها الأعضاء الجديدة والأنظمة الجديدة للأعضاء والتي أدت إلى ظهور أوامر وفئات وشعب جديدة بشكل تدريجي ، من خلال العديد من التحسينات الطفيفة جدًا. يجب أن نلاحظ أولاً أن سجل الحفريات لا يدعم هذه الفكرة ، على سبيل المثال ، كتب عالم الحفريات في جامعة هارفارد جورج جايلورد سيمبسون ["تاريخ الحياة" ، في المجلد الأول من "التطور بعد داروين" ، مطبعة جامعة شيكاغو ، 1960]:

إذا قام مليار مهندس بالكتابة بمعدل حرف عشوائي واحد في الثانية ، فلن يكون هناك أي فرصة تقريبًا أن يقوم أي منهم ، نظرًا لعمر الأرض البالغ 4.5 مليار سنة للعمل عليه ، بتكرار حرف معين مكون من 20 حرفًا تحسين. وبالتالي لا يمكن لمهندسنا الاعتماد على إجراء أي تحسينات كبيرة من خلال الصدفة وحدها. لكن ربما لا يستطيع إحراز تقدم من خلال تراكم التحسينات الصغيرة جدًا؟ من المفترض أن يقول الدارويني ، نعم ، لكن بالنسبة لأي شخص لديه الحد الأدنى من الخبرة في البرمجة ، فإن هذه الفكرة غير قابلة للتصديق أيضًا. غالبًا ما تتطلب التحسينات الرئيسية لبرنامج الكمبيوتر إضافة أو تعديل مئات الخطوط المترابطة ، والتي لا معنى لأي منها ، أو ينتج عنها أي تحسين ، عند إضافتها بمفردها. حتى أصغر التحسينات تتطلب عادةً إضافة عدة أسطر جديدة. من المتصور أن يتمكن المبرمج غير القادر على التطلع إلى ما يزيد عن 5 أو 6 أحرف في المرة الواحدة من إجراء بعض التحسينات الطفيفة جدًا على برنامج كمبيوتر ، ولكن من غير المتصور أن يتمكن من تصميم أي شيء معقد دون القدرة على التخطيط للمستقبل. ولتوجيه تغييراته نحو تلك الخطة.

إذا كان علماء الآثار في بعض المجتمعات المستقبلية قد اكتشفوا النسخ العديدة من محلل PDE الخاص بي ، PDE2D ، الذي أنتجته على مدار العشرين عامًا الماضية ، فسوف يلاحظون بالتأكيد زيادة مطردة في التعقيد بمرور الوقت ، وسوف يرون العديد من أوجه التشابه الواضحة بين كل منها الإصدار الجديد والسابق. في البداية ، كان قادرًا فقط على حل معادلة خطية واحدة ثابتة ثنائية الأبعاد في منطقة متعددة الأضلاع. منذ ذلك الحين ، طور PDE2D العديد من القدرات الجديدة: فهو الآن يحل المشكلات غير الخطية ، والمشكلات المعتمدة على الوقت والقيم الذاتية ، وأنظمة المعادلات المتزامنة ، وهو الآن يتعامل مع المناطق العامة المنحنية ثنائية الأبعاد. على مر السنين ، تطورت العديد من الأنواع الجديدة من قدرات الإخراج الرسومية ، وفي عام 1991 طورت معالجًا تفاعليًا أوليًا ، ومؤخرًا تكيف PDE2D مع المشكلات ثلاثية الأبعاد وأحادية الأبعاد. قد يشعر عالم الآثار الذي يحاول شرح تطور برنامج الكمبيوتر هذا من حيث العديد من التحسينات الصغيرة بالحيرة عندما يكتشف أن كل من هذه التطورات الرئيسية (الفئات الجديدة أو الشعب ؟؟) ظهرت فجأة في الإصدارات الجديدة على سبيل المثال ، القدرة على حل مشاكل ثلاثية الأبعاد ظهر لأول مرة في الإصدار 4.0. ظهرت تحسينات أقل أهمية (عائلات أو أوامر جديدة ؟؟) فجأة في عمليات تخريب جديدة ، على سبيل المثال ، ظهرت القدرة على حل المشكلات ثلاثية الأبعاد بشروط الحدود الدورية لأول مرة في الإصدار 5.6. في الواقع ، سيكون سجل تطوير PDE2D مشابهًا لسجل الحفريات ، مع وجود فجوات كبيرة حيث ظهرت ميزات جديدة رئيسية ، وثغرات أصغر حيث ظهرت ميزات ثانوية. وذلك لأن العديد من البرامج الوسيطة بين الإصدارات أو التخريب التي قد يتوقع عالم الآثار العثور عليها لم تكن موجودة أبدًا ، لأنه - على سبيل المثال - لم يكن لأي من التغييرات التي أجريتها على الإصدار 4.0 أي معنى ، أو قدمت PDE2D أي ميزة مهما كانت في الحل. مشاكل ثلاثية الأبعاد (أو أي شيء آخر) حتى تمت إضافة مئات الأسطر.

سواء على المستوى المجهري أو المجهري ، فإن التطورات التطورية الرئيسية والمعقدة ، والتي تنطوي على ميزات جديدة (على عكس التغييرات الطفيفة والكمية مثل زيادة طول رقبة الزرافة ، أو تعتيم أجنحة العثة ، والتي من الواضح أنها يمكن أن تحدث تدريجيًا) تتضمن أيضًا إضافة العديد من القطع المترابطة والمترابطة. هذه التطورات المعقدة ، مثل تلك التي تم إجراؤها على برامج الكمبيوتر ، ليست دائمًا "معقدة بشكل غير قابل للاختزال" - في بعض الأحيان هناك مراحل وسيطة مفيدة. ولكن مثلما لا يمكن إجراء تحسينات رئيسية على برنامج الكمبيوتر من 5 أو 6 أحرف في وقت واحد ، فمن المؤكد أنه لا يمكن اختزال أي تقدم تطوري كبير إلى سلسلة من التحسينات الصغيرة ، كل منها صغير بما يكفي ليتم جسره بواسطة طفرة عشوائية واحدة.

يدرس عالم الأحياء تفاصيل التاريخ الطبيعي ، وعندما ينظر إلى أوجه التشابه بين نوعين من الفراشات ، فإنه يتردد بشكل مفهوم في عزو الاختلافات الصغيرة إلى ما هو خارق للطبيعة. لكن من المرجح أن يأخذ عالم الرياضيات أو الفيزيائي وجهة نظر أوسع. أتخيل زيارة الأرض عندما كنت صغيرًا وأعود الآن لأجد طرقًا سريعة عليها سيارات ، ومطارات بها طائرات نفاثة ، ومباني شاهقة مليئة بالمعدات المعقدة ، مثل أجهزة التلفزيون والهواتف وأجهزة الكمبيوتر. ثم أتخيل بناء نموذج حاسوبي عملاق يبدأ بالظروف الأولية على الأرض منذ 4 مليارات سنة ويحاول محاكاة التأثيرات التي ستحدثها القوى الأربعة المعروفة للفيزياء (قوى الجاذبية والكهرومغناطيسية والقوى النووية القوية والضعيفة). كل ذرة وكل جسيم دون ذري على كوكبنا (ربما باستخدام مولدات أعداد عشوائية لنمذجة عدم اليقين الكمومي!). إذا أجرينا مثل هذه المحاكاة حتى يومنا هذا ، فهل ستتنبأ بأن القوى الأساسية للطبيعة ستعيد تنظيم الجسيمات الأساسية للطبيعة في مكتبات مليئة بالموسوعات والنصوص العلمية والروايات ومحطات الطاقة النووية وحاملات الطائرات ذات الطائرات الأسرع من الصوت المركونة عليها سطح السفينة ، وأجهزة الكمبيوتر المتصلة بطابعات الليزر ، وأنبوب أشعة الكاثود ولوحات المفاتيح؟ إذا عرضنا بيانيا مواقع الذرات في نهاية المحاكاة ، فهل وجدنا أن السيارات والشاحنات قد تشكلت ، أو أن الحواسيب العملاقة قد نشأت؟ بالتأكيد لن نفعل ذلك ، ولا أعتقد أن إضافة ضوء الشمس إلى النموذج سيساعد كثيرًا. من الواضح أن شيئًا بعيد الاحتمال قد حدث هنا على كوكبنا ، مع نشأة الحياة وتطورها ، وخاصة مع تطور الوعي البشري والإبداع.

1 اختيار مؤسف للكلمات. كان يجب أن أقول ، المبدأ الأساسي وراء القانون الثاني هو أن القوى الطبيعية لا تفعل ذلك عياني يمكن وصف الأشياء غير المحتملة للغاية من مجهري وجهة نظر. انظر بلدي 2017 مقالات الفيزياء مقالة ، "حول" تعويض "انخفاض الانتروبيا" أو الفيديو أعلاه ، للحصول على معالجة أكثر اكتمالاً لهذه النقطة.


[1] أتكينسون ، ك. مسح للطرق العددية لحل معادلات فريدهولم التكاملية من النوع الثاني ، سيام ، فيلادلفيا ، 1976
[2] أتكينسون ، ك. الحل العددي لمعادلة فريدهولم التكاملية من النوع الثاني ، سيام ، عدد. الشرج 4 (1967) ، ص 337-348.
[3] آدامز ، ر. مساحات سوبوليف، مطبعة أكاديمية ، نيويورك ، 1975.
[4] أكيوز ، ف. أنظمة الإحداثيات الطبيعية & # 8211 مخطط توليد بيانات الإدخال التلقائي لـ FEM ، الهندسة النووية والتصميم ، 11 ، (1970).
[5] أرانتس إي أوليفيرا ، إ. تقارب حلول العناصر المحدودة في مشاكل التدفق اللزج ، IJNME *، 9 (1975)، pp.739-763.
[6] آريس ، ر. المتجهات والموترات والمعادلات الأساسية لميكانيكا الموائع ، برنتيس هول ، نيو جيرسي ، 1962 ، كاب. X.
[7] أوبين ، ج. سلوك الخطأ في الحلول التقريبية لمشاكل القيمة الحدية لمشغلي القطع الناقص الخطي بواسطة Bakerkin & # 8217s وطرق الفروق المحدودة ، آن. سكولا نورم ، سوب. بيزا ، 21 (1967) ، ص.599-637
[8] Aral، M.M.، Gulcat، U.، تقنية حل تحويل لابلاس ذات العنصر المحدود لمعادلة فاف ، IJNME *، 11 (1977)، pp.1719-1732
[9] Argyris، J.H.، Mareczek، G.، Scharpf، D.W.، يستخدم تحليل التدفق ثنائي وثلاثي الأبعاد عناصر محدودة ، الهندسة النووية والتصميم ، 11 (1970).
[10] أبراموفيتز ، إم ، ستيجون ، آي إيه ، كتيب الوظائف الرياضية ، دوفر ، نيويورك ، 1965.
[11] بابوسكا ، إ. خطأ مرتبط بطريقة العناصر المحدودة ، رقم. رياضيات. 16 (1971 ، ص 322-333.
[12] بابوسكا ، إ. طريقة العناصر المحدودة مع مضاعفات لاغرانج ، رقم. رياضيات. 20 (1973) ، ص 179 - 192.
[13] بريزي ، ف. على وجود ، وتفرد وتقريب مشاكل نقطة السرج الناشئة عن lagrangian mujltipliers. RAIRO، أغسطس 1974 م 2 ص 129-171.
[14] بيكر ، أ. محلول العنصر المحدود Alorithm لديناميكا الموائع اللزجة غير القابلة للضغط ، IJNME * ، 8 (1970) ، ص 61 - 71.
[15] بيكر, A.J. ، نظرية حسابية ذات عنصر محدود للميكانيكا والديناميكا الحرارية لسائل لزج متعدد الأنواع قابل للضغط، تقرير أبحاث بيل ايروسبيس 9500-920200(1971).
[16] Begis، D.، Perronnet، I.، MODULEF & # 8211 مكتبة إجراءات الكمبيوتر لتحليل العناصر المحدودة ، INRIA ** & # 8211 فرنسا ، أبريل 1982.
[17] براديانو ، د. وصف طريقة العناصر المحدودة مع وظائف المحور في مسألة ثنائية البؤرة بسيطة. ما قبل الطباعة رقم 1 ، 1982 ، ندوة طرق التقريب العددي في الديناميكا المائية ونقل الحرارة ، جامعة. كلوج نابوكا.
[18] براديانو ، د. طريقة تنويعية ذات إمكانات محلية لمشكلة ميزس ، ما قبل الطباعة رقم 1 ، 1982 ، جامعة. كلوج نابوكا.
[19] براديانو ، د. الاعتبارات الرياضية للمبدأ الهيدروديناميكي للورد كلفن ، ما قبل الطباعة ، رقم 1 ، 1982 ، جامعة. كلوج نابوكا.
[20] Bristeau، M.O.، Pironneau، O.، Glowinski، R.، Periaux، J.، Perrier، P.، في الحل العددي للمشاكل غير الخطية في ديناميكيات الموائع بواسطة الصيغ المربعة الصغرى و FEM (I) والحل المتقارن للمشكلات المستمرة ، CMAME *** ، 17/18 (1979) ، ص 619-657.
[21] براتيانو ، ك. Metode cu elemente محدود في سائل ديناميكا. يحرر،. Academiei ، RSR. ، București 1983.
[22] براودر ، F.E. ، حول خصائص الانتظام في حلول المعادلات التفاضلية الإهليلجية ، بالاتصالات نقي. الرياضيات ، التاسع (1956) ، ص 351-361.
[23] بويل ، دبليو آر ، بوش ، بكالوريوس ، مسح إنشاء شبكة ، عبر. من ASME ، Ser. ب ، 95 (1973) ، 1.
[24] Bramble، J.H.، Hilbert، S.R.، تقديرات الوظيفة الخطية على مساحات سوبوليف مع التطبيق على تحويلات فورييه واستيفاء الشريحة ، سيام ج. نومر. شرجي. 7 (1970) ، ص 113 - 124.
[25] Bramble، J.H.، Hilbert، S.R.، حدود لفئة من الوظائف الخطية مع تطبيقات على الاستيفاء Hermite، رقم. رياضيات ، 16 (1971) ، ص 362-369.
[26] Bramble، J.H.، Zlamal، M.، العناصر الثلاثية في FEM ، رياضيات. شركات ، 24 (1970) ، ص 809-820.
[27] Barrett، G.، Demunski، G.، المشاكل غير المرتبطة بالذات وشروط الحدود الأساسية ، IJNME *، 14 (1979)، PP. 507-513.
[28] Barret ، D. ، Demunski ، G. ، حلول العناصر المحدودة لمشكلات انتشار الحمل الحراري ، IJNME، 14 (1979) ، ص. 1511-1524.
[29] بابوسكا ، إ. معدل التقارب لـ FEM، SIAM J. Numer. الشرج. ، 8 (1971) ، 2.
[30] Bramble، J.H.، Nitsche، J.A. ، طريقة Ritz-Least-Square المعممة لمشاكل Dirichlet ، سيام ج. نومر. الشرج. ، 10 (1973) ، 1
[31] بريببيا ، كاليفورنيا ، طريقة العنصر الحدودي للمهندسين ، مطبعة بينتيك ، لندن ، مطبعة هالستيد ، نيويورك ، 1978.
[32] Berbbia، C.A.، Walker، S.، تقنيات عنصر الحدود في الهندسة ، بتروورثس ، لندن ، 1980.
[33] بريببيا ، سي إيه ، تيليس ، جي سي إف ، وروبل ، إل سي ، تقنيات عنصر الحدود ، Springer Verlag ، برلين ، هايدلبرغ ، نيويورك ، طوكيو ، 1984.
[34] سي ، أ. تباين التقريب في مشاكل حدود المساعدة ، آن. إنست. فورييه ، غرونوبل ، 14 (1964) ، ص 345-444.
[35] تشينج ، آر تي إس ، الحل العددي لمعادلات Navier-Stokes بواسطة FEM ، فيزياء الموائع ، 15 (1972) ، ص 2098-2105.
[36] تشينج ، آر تي إس ، حول دقة بعض تمثيلات العناصر المحدودة المستمرة في C ، IJNME، 8 (1974)، pp.649-657.
[37] Cheng، Y.K.، Yeo. أنا.، مقدمة عملية لتحليل العناصر المحدودة ,
[38] Chifu، E.، Gheorghiu، C.I.، Stan، I.، التنقل السطحي لحلول الفاعل بالسطح XI. التحليل العددي لتدفق المارانجوني والجراويتي في طبقة سائلة رفيعة من
القسم الثلاثي ،
القس رومان شيم ، 29 (1984) ، 1
[39] تشونج ، تي جيه ، تحليل العناصر المحدودة في ديناميكيات الموائع ، ماك جراو هيل ، نيويورك ، 1978.
[40] Ciarlet ، P.G. ، التحليل العددي لطريقة العناصر المحدودة ، Seminaire de Mathematiques Superieures، Department de Mathematiques & # 8211 Univ. de M ontreal ، 1976.
[41] Ciarlet ، P.G. ، طريقة العناصر المحدودة لمشاكل الاهليلج ، شركة شمال هولندا للنشر ، 1978.
[42] Ciarlet ، P.G. ، Glowinski ، R. ، تقنيات تكرارية مزدوجة لحل تقريب العناصر المحدودة للمعادلة الحيوية ، CMAME *** ، 5 (1975) ، ص 277-295.
[43] Ciarlet، P.G.، Raviart، P.A.، FEM مختلطة للمعادلة الحيوية ، في الجوانب الرياضية للعناصر المحدودة في المعادلات التفاضلية الجزئية ، سي دي بور ، أد. المطبعة الأكاديمية ، نيويورك ، 1974 ، ص 125-145.
[44] Ciarlet، P.G.، Raviart، P.A.، استيفاء عام لاغرانج وهيرمايت في Rⁿ مع تطبيقات لـ FEM ، قوس. رشيد ميكانيكي. الشرج. ، 46 (1972) ، ص 177-199.
[45] Ciarlet، P.G.، Wagschal، C.، صيغ متعددة النقاط تايلور وتطبيقاتها إلى FEM ، رقم. رياضيات ، 17 (1971) ، ص 84-100.
[46] كونور ، ج.ج. ، بريببيا ، سي. تقنيات العناصر المحدودة لتدفق السوائل ، Newnes & # 8211 Buttersworths ، 1977.
[47] Ciarlet، P.G.، Raviart، P.A.، نظرية الاستيفاء على العناصر المنحنية ، مع تطبيقات على FEM ، CMAME ***، 1 (1972)، pp.217-249.
[48] ​​Ciarlet، P.G.، Raviart، P.A.، التأثير المشترك للحدود المنحنية والتكامل العددي في FEM isoparametric في الأسس الرياضية لطريقة العناصر المحدودة مع تطبيقات على المعادلات التفاضلية الجزئية ، أ. عزيز ، أد. المطبعة الأكاديمية ، نيويورك ، 1974 ، ص 409-474.
[49] كريستيسكو ، ر. التحليلات الوظيفية ، يحرر. Didactică Pedi Pedagogică ، 1979.
[50] سي ، ج. Sur un test de التقارب ، عناصر الرحلات Finis، Univ. دي رين ، ماي 1976.
[51] Cruse، T.A.، Rizzo، F.J.، صياغة مباشرة وحل رقمي لمشكلة الجيل الديناميكي العابر ، اي جاي. رياضيات. شرجي. تطبيق ، 22 (1968 (ص 244-259.
[52] كولمان ، سي جيه ، س: جى. ميكانيكي. تطبيق رياضيات ، 34 ، 4 (1981) ، ص 433.
[53] Curran، D.A.S.، Cross، M.، Lewis، B.A.، حل المعادلات التفاضلية المكافئة بواسطة BEM باستخدام aiscretization في الوقت المناسب ، تطبيق رياضيات. النمذجة 4 (1980 (ص 398-400.
[54] Dincă، G.، Metode variaționale și aplicații ، Editura Tehnică ، Bucureti ، 1980.
[55] دوجلاس ، جيه آر ، دوبونت ، ت. طرق Galerkin لمعادلات Parablic ، سيام ، ج. نومر. الشرج. ، 7 (1970) ، ص 575-626.
[56] دوبونت ، ت. ، Fairweather ، G. ، Johnson ، P.J. ، ثلاثة & # 8211 طرق Galerkin مستوى لمعادلات Parabolic ، سيام ج. نومر. الشرج. ، 11 (1974) ، ص 392-410.
[57] Dragoș، L.، يستمر Principiile mecanicii mediilor ، Editura Tehnică ، Bucureti ، 1982.
[58] ديودون ، ج. أسس التحليل الحديث المطبعة الأكاديمية ، 1960.
[59] دانفورد ، إن ، شوارتز ، جيه تي ، العوامل الخطية ، جزء. I، General Theory، Interscience Publishers، Inc. نيويورك ، 1958.
[60] ديكلوكس ، ج. ميثود دي العناصر Finis ، قسم الرياضيات ، لوزان ، سويسرا ، 1973.
[61] دوجلاس ، جيه آر ، دوبونت ، ت. طريقة تجميع العناصر المحدودة لمعادلات القطع المكافئ شبه الخطية ، رياضيات الحساب ، 27 (1973) ، 121
[62] دوبونت ، ت. L²- تقديرات طرق Galerkin للمعادلات الزائدية من الدرجة الثانية ، سيام ج. نومر. الشرج. ، 10 (1973) ، 5
[63] دوبونت ، ت. طرق Galerkin للقطع الزائدية من الدرجة الأولى ، مثال، SIAM J Numer. شرجي. 10 (1973) ، 10.
[64] إيكارت ، سي ، المبادئ المتغيرة للديناميكا المائية ، فيز. سوائل ، 3 (1960) ، ص 421-427.
[65] إيكيلاند ، إ. ، تيمام ، ر. تحليل Convexe et مشاكل Variationnels ، دونود غوتييه فيلارس ، باريس 1974.
[66] فيشيرا ، ج. Sul problema della derivata obliqua e sul problema misto per l & # 8217equazione di Laplace ، بولل. UMI، III، VII (1962)، pp.367-377.
[67] فينلايسون ، ب. طريقة المخلفات المجمعة والمبادئ المتغيرة ، المطبعة الأكاديمية ، 1972.
[68] فينلايسون ، بكالوريوس ، وجود مبادئ متغيرة لـ Navier-Stokes Equaiton ، فيزياء السوائل ، 15 ، 1972 ، ص 963-967.
[69] فينلايسون ، بكالوريوس ، سكريفن ، إل ، طريقة حساب المخلفات & # 8211 مراجعة ، تطبيق ميكانيكي. القس ، 19 (1966) ، ص 735.
[70] فينلايسون ، بكالوريوس ، سكريفن ، إل إي ، في البحث عن مبادئ التنويع ، International Journal Heat and Mass Transfer, 10 (1967), pp. 799-821.
[71] Fletcher, C.A.J., Computational Galerkin Methods, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1984.
[72] Fortin, M., Peyret, R., Temam, R., Resolution numerique des equations de Navier-Stokes pour un fluia incompressible, Journal de Mecanique, 10 (1971), 3.
[73] Fortin, M., Thomasset, F., Mixed FEM for Incompressible Flow Problems, J. Computational Physics, 31 (1979), pp. 113-145.
[74] Fichera, G., Existence theorems in elasticity – Boundary value problems of elasticity with unilateral constraints, in Mechanics of Solids II, Ed. C. Truesdell, Springer Verlag, Berlin, 1972, pp. 347-414.
[75] Fried, I., Finite Element Analysis of Time-Dependent Phenomena, AIAA j., 7(1979), 6.
[76] Fredholm, I., Sur une classe d’equations fonctionelles, Acta Math. ,27 (1903), pp. 365-390.
[77] Gelfand, I.M., Șilov, G.E., Funcții generalizate, Editura științifică și enciclopedică, București, 1983.
[78] Gallagher, R.H., Oden, J.T., Taylor, C., Zeinkiewicz, O.C., Finite Elements in Fluids, John Wiley & Sons, New York/London/Sydnay/Toronto, 1975.
[79] Gheorghiu, C.I., FEM for General Quasi Harmonic Equation, Preprint no.1, 1982, Univ. Cluj-Napoca.
[80] Gheorghiu, C.I., MEF în probleme ale mișcării fluidelor vîscoase, Teză doctorat Univ. București, decembrie 1984.
[81] Girault, V., Raviart, P.A., Finite Element Approximations of the Navier-Stokes Equations, Lecture Notes in Mathematics 749, Springer Verlag, 1979.
[82] Girault, V, Raviart, P.A., An Analysis of Upwind Schemes for the Navier-Stokes Equations, I SIAM J. Numer. Anal., 19 (1982), 2.
[83] Glowinski, R., Approximation Externes, par Elements Finis de Lagrange d’Orde Un et Deux, du Probleme de Dirichlet pour l’Operateur Biharmonique. Metode Iterative de Resolution des Problemes Approaches, in Topics in Numerical Analysis, J.J. Miler, Academic Press, London, 1973, pp. 123-171.
[84] Glowinski, R., Pironneau, O., Numerical Methods for First Biharmonic Equation and for two Dimensional Stokes Problem, SIAM Review, 21 (1979), pp. 167-212.
[85] Glowinski, R., Lions, J.L., Tremolieres, R., analyse Numerique des Inequations Variationnelles, Tome 1 et 2, Bordas, Paris, 1976.
[86] Galbură, Gh., Rado, F., Geometrie, Edit. Didactică și Pedagogică, București, 1979.
[87] Greene, B.E., Jones, R.E., McLay, R.W., sgtrome, D.R., Generalized Variational Principles in the FEM, AIAA J., 7(1969), 7.
[88] Gheorghiu, C.I., Stan, I., Unele aspecte ale curgerii lichidelor pe un plan înclinat în prezența gradienților de tensiune superficială. Colocviul național de Mecanica Fluidelor și aplicațiile ei tehnice, Constanța, 1980.
[89] Gheorghiu, C.I., Calculul mișcărilor fluide vîscoase peste praguri folosind MEF. Colocviul național de Mecanica Fluidelor și aplicațiile ei tehnice, Galați, 1982.
[90] Gagliardo, E., Caracterizzatione delle tracce sulla frontiera relative ad alcune classi di funzioni in n variabili. Rend. Sem. Mat. Padova, 27 (1957), pp. 284-305.
[91] Hildebrandt, St., Wienholts, E., Constructive proofs of representations theorem in separable Hilbert space, Comm. Pure Appl. Math., 17 (1964), pp. 369-373.
[92] Haber, S., Numerical evaluation of multiple integrals, SIAM Rev., 12 (1970), pp. 481-526.
[93] Huebner, K.H., The FEM for Engineers, John Wiley & Sons, 1975.
[94] Hartmann, F., Computing the C-matrix in nonsmooth boundary points, in New Developments in Boundary Element Methods (C.A. Brebbia, Ed.), pp. 367-379, Butterworths, London, 1980.
[95] Helmholtz, H., Theorie der Luft schwingungen in Rohren mit offenen Enden, Crelle’s J., 57 (1960), pp. 1-72.
[96] Hsiao, G.C., Wendland, W.L., Super approximation for boundary integral methods, بروك. of the Fourth IMACS Conf. , 1981.
[97] Iacob, C., Introduction Mathematique a la Mechanique des Fluides, Edit. Academiei R.P.R. si Gauthier-Villars, Paris, 1959.
[98] Iacob, C., Determination de la seconde approximation de l’ecoulement compressible subsonique autour d’un profil donne, Archivum Mechaniki Stosowanej 16 (1964), 2.
[99] Irons, B.M., A Frontal Solution Program for Finite Element Analysis, IJNME*, 12 (1970), pp. 5-32.
[100] Irons, B.M., Razzaque, A., Experience with patch – test for convergence of finite elements in The Mathematical Foundation of the FEM with Applications to PDE, A. K. AZIZ ed., Academic Press, New York, 1972.
[101] Ingham, D.B., Kelmanson, M.A., Boundary Integral Equation. Analyses of Singular Potential and Biharmonic Problems, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1984.
[102] Jaswon, M.A. and Symm, G.T., Integral Equation Methods in Potential Theory and Elastostatics, Academic Press, London, 1977.
[103] Kalik, C., Ecuații cu derivate parțiale, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1980.
[104] Kalik, C., Ecuații cu derivate parțiale II – Metoda elementului finit, Lito. Univ. Cluj-Napoca.
[105] Kawahara, M., Yoshimura, N., Nakagawam K., Ohsaka, H., Steady and Unsteady Finite Element, Analysis of Incompressib le Viscous Fluid, IJNME*, 10 (1976)
[106] Kolmogorov, A., Fomine, S., Elements de la Theorie des Fonctions et de lțAnalyse Fonctionnelles, Ed. Mir., Moscou, 1974.
[107] Kirillov, A., Gvichiani, A., Theoremes et problemes dțanalyse fonctionnelle, Ed. Mir., Moscou, 1982.
[108] Krahula, J.L., Polhemus, J.F., Use of Fourier Series in the FEM, AIAA J., 6(1968), 4
[109] Kikuchi, F., A FEM for Non-Self-Adjoint Problems, IJNME*, 6 (1973), pp.39-54.
[110] Kellogg, O.D., Foundation of Potential Theory, Springer Verlag, Berlin, 1929.
[111] Kirchoff, G., Zur Theorie der Lichstrahlen, Berl. Ber., (1882), pp. 641.
[112] Kupradze, O.D., Potential methods in the theory of elasticity, Daniel Davey & Co., New York, 1965.
[113] Kutt, H.R., The numerical evaluation of principal value integrals by finite part integration, Numer. Math., 24 (1975), pp. 205-210.
[114] Kufner, A, John, O., Fucik, S., Function spaces, Ed. أكاد. Publ. H, Prague, 1977.
[115] Ladyzenskaja, O.A., Linejnie i kvazilinejnye uravnenija elipticekogo typa. Nauka, Moskva, 1964.
[116] Ladyzsenskaja, O.A., Linejnie i kvazilinejnye uravnenija paraboliceskogo typa. Nauka, Moskva, 1967.
[117] Lions, J.L., Pr oblemes dux limites dans les equations aux derivees partielles, Les Presses de l’Universite de Montreal, Sept. 1965.
[118] Lions, J.L., Quelques Methodes de Resolution des Problemes aux Limites Non Lineatres, Dunod, Paris, 1969.
[119] Lions, J.L., Magenes, E., Non-Homogeneous Boundary Value Problemes and Applications, Springer-Verlag, 1972.
[120] Lynn, P.P., Least Squares Finite Element Analysis of Laminar Bolundary Layer Flow, IJNME, 8 (1974), pp. 865-876.
[121] Lynn, P.P., Arya, S.K., Use of the Least Squares, Criterion in the Finite Element Formulation, IJNME*, 6 (1973), pp. 75-88.
[122] Lions, J.L., stampacchia, G., Variational Inequalities, Comm. Pure Appl. Math. 20 (1967), pp. 493-519.
[123] Landau, L., Lifchitz, E., Theorie de l’Elasticite, Mir. Moscou, 1967.|
[124] Love, A.E.H., A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, Dover, New York, 1944.
[125] Ladyzhenskaya, O.A., The mathematical theory of viscous incompressible flow, Gordon and Breach, New York, 1963.
[126] Lighthill, M.L., Introduction Boundary layer theory, في Laminar Boundary Layer (L. Rosenhend, Ed.), Oxford University Press London, 1963.
[127] Magenes, E., Recente Sviluppi nella teoria dei problem misti per le equazioni lineari ellittiche, Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano XXVII, (1956).
[128] Marciuk, G.I., Metode de analiză numerică, traducere din limba rusă, Edit. Academiei R.S.R., 1983.
[129] Marcov, N., Metoda elementelor finite, in Matematici Clasice și Moderne, vol. IV, (coord. acad. C. Iacob_ Edit. Tehnică, București, 1984.
[130] Merreifeild, B.C., Fortran, Subroutines for Finite Element Analysis, RAE Technical Report 71156 – Arc 33734.
[131] Mihlin, S.G., Smolitskiy, K.L., Approximate Methods for Solutions of Differential and Integral Equations, American Elsevier Publishing Company Inc., New York, 1967.
[132] Mihlin, S.G., Ecuații liniare cu derivate parțiale, Editura Științifică și enciclopedică, București, 1983.
[133] Miranda, C., Sul problema misto per le equazioni lineari ellittiche, Annali di Matematica Pura ed Aplicata, Ser. IV, XXXIX (1955)
[134] Marinescu, G., Tratat de analiză funcțională, Editura Academiei R.S.R., București, vol. I, 1970, vol. II. 1972.
[135] Marinescu, G., Analiză numerică, Editura Academiei R.S.R., București, 1974.
[136] Micula, G., Funcții spline, Editura Tehnică, București, 1978
[137] Mayer, H.D., The Numerical Solution of Nonlinear Parabolic Problems by Variational Methods, SIAM J. Numer. Anal. 10 (1973).
[138] Mindlin, R.D., Force at a point in the interior of a emiinfinite solid, Physica, 7 (1936), pp. 195-202
[139] Mihăilescu, M., Gheorghiu, C.I., Mariș, I., Theoretical and experimental comparative analysis of perforated beams, International Conference on Computer – Aided Analysis and Design of Concrete Structures, Split, Yugoslavia, 1984.
[140] Martin, H.C., Finite element analysis of fluid flows, Proceedings 2 nd Conference on Matrix Methods in Structural Mechanics, AFFDL-TR-68-150 (1969)
[141] Muskhelishvili, N.I., Some basic problems of the mathematical theory of elasticity, Nordhoff, Gromingen, 1953.
[142] Mihlin, S.G., Integral equations, Pergamon, New York, 1957.
[143] Morse, P.M., Feshbach, H., Methods of Theoretical Pgysics, Mc. Graw-Hill, New York, 1953.
[144] Mihlin, S.G., Variationsmethoden der Mathematischen Physik, Akademic-Verlag, Berlin, 1962.
[145] Norrie, D.H., de Vries, G., The Finite Element Method (Fundamental and Applications), Academic Press, New York, 1973.
[146] Norrie, D.H., de Vries, G., An Introduction to Finite Element Analysis, Academic Press, New York, 1978.
[147] Necas, J., Les Methodes Directes en Theorie des Equations Elliptiques, Masson, Paris, 1967.
[148] Nicolaides, R.A., On the Class of Finite Elements Generated by Lagrange Interpolation, SIAM J. Numer. Anal., 9 (1972), pp. 435-445.
[149] Nitsche, J., Ein kriterium fur die quasi-optimalitat des Ritschen Verfahrens, Numer. Math., 11 (1968), pp. 346-348.
[150] Neumann, C., Untersunchungen uber das logarithmische und Newtonsche potential, Teubner, Leipzig, 1877.
[151] Oden, J.T., Finite Elements of Nonlinear Continuu, Mc Graw Hill Book Company, 1972.
[152] Oden, J.T., Reddy, J.N., On dual complementary variational principles in mathematical physics, Int. J. Engn. علوم. 12 (1974), pp. 1-29.
[153] Oden, J.T., Reddy, J.N., An Introduction to the Mathematical Theory of Finite Elements, John Wiley & Sons, 1976.
[154] Oroveanu, T., Mecanica fluidelor vîscoase, Editura Academiei R.S.R., București, 1967.
[155] Olson, M.D., Variational – FEM for Two-Dimensional and Axisymmetric Navier Stokes Equations, في Finite Elements in Fluides, المجلد. I, Ed. by Gallagher, Oden, Tayls, Zienkiewicz, John & Sons, 1975.
[156] Periaux, J., Three Dimensional Analysis of Compressible Potential Flows with the FEM, IJNME, 19 (1975), pp. 775-831.
[157] Petrila, T., Modele matematice în hidrodinamica plană, Editura Academiei R.S.R., București, 1981.
[158] Peyret, R., Taylor, T.D., Computational Methods for Fluid Flow, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1984.
[159] Pin Tong, Simplex Elements of C⁰ Continuity with Varging Polinomial Degrees, IJNME*, 11, (1977), pp. 27-38.
[160] Popescu, I.P., Geometrie afină și euclidiană, Editura Facla, Timișoara, 1984.
[161] Prenter, P.M., Splines and Variational Methods, John Wiley & Sons, 1975.
[162] Petrila, T., Mouvement general d’un profil dans un fluid ideal en presence d’une paroi permeable illimitee. Cadre variationnel et approximation par une methode d’elements finis, Mathematica-Revue d’Analyse numerique et la theorie de l’approximation, 8, 1, (1979), pp. 67-77.
[163] Petrila, T., Gheorghiu, C.I., Metoda elementelor finite pe frontieră în unele probleme ale matematicii fluidelor vîscoase, Colocviul național de Mecanica Fluidelor și aplicațiile ei tehnice, Mediaș, 1985.
[164] Petrila, T., Gheorghiu, C.I., Considerations on the internal MEF for Stokes model, Proceedings of the Conference on Differential equations, Cluj-Napoca, 21-23 noiembrie, 1985.
[165] Pavel, P., Rus, A.I., Ecuații diferențiale și integrale, Editura didactică și pedagogică, București, 1975.
[166] Petrila, T., An improved CVBEM for plane hydrodynamics, Proceedings of the Seminar on Complex Analysis, Cluj-Napoca, 20-22, noiembrie, 1986.
[167] Roache, P.J., Computational Fluid Dynamics, Hermosa Publishers, Albuquerque, N.M., 1972.
[168] Risso, F.J., Shippu, D.J., An advanced boundary integral equation method for three dimensional thermoelasticity, IJNME*, 11, pp. 1753-1768 (1977).
[169] Rayleigh, Lord, Theory of Sound, Dover, NYC, New York, 1887.
[170] Risso, F.J., Shippy, D.J., A method of solution for certain problems of transient, heat conduction, AIAA J. 8 (1970), pp. 2004-2009.
[171] Richardson, S., Proc. Camb. Phil. Soc., 67 (1970), pp. 47
[171] Schechter, E., Metoda elementului finit, Curs la Facultatea de Matematică, Univ. Cluj-Napoca, 1981-1982.
[172] Schechter, M., Mixed Boundary Problems for General Elliptic Equations, Comm. Pure. Appl. Math. XIII(1960), pp. 183-201.
[173] Schechtger, M., Mixed Boundary Problems for General Elliptic Equations, Comm. Pure. Appl. Math. XIII (1960), pp. 183-201.
[174] Segerlind, L.J., Applied Finite Element Analysis, John & Sons, 1976.
[175] Seliger, R.L., Whitman, G.B., Variational Principles in Cotinuum Mechanics, بروك. Roy. Soc., A305 (1968), pp. 1-25.
[176] Stampacchia, G., Problemi al contorno misti per equazioni del calcolo delle variazioni, Anali di Matematica Pura ed Applicata, Ser. IV, XI, Bologna, 1955.
[177] Syres, J., Rae, J., An Introduction to the Use of the FEM in Flow Modelling, Theoretical Physics Division AERE, Harwell, Oxfordshire, June, 1976.
[178] Strang, G., Variational crimes in the FEM, in The Mathematical Foundations of the FEM with Applications to PDE, A.K. AZIZ, ed. Academic Press, New York, 1972, pp.689-710
[179] Strang, F., Fix, G.J., An Analysis of the FEM, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1973.
[180] Somigliana, C., Sopra l’equilibrio di un corpo elastico isotropo, Il Nuovo Ciemento 17-19 )1886)
[181] Schapery, R.A., Approximate methods of transform inversion for visco-elastic stress analysis, Proc. Fourth U.S. National Congress on Applied Mechanics, Vol. 2, 1962.
[182] Szerget, P., Alujevic, A., The solutions of Navier-Stokes equations in terms of vorticity-velocity variable by the BEM, ZAMM, 65 (4) (1985), pp., 245-248.
[183] Temam, R., Metode numerice de rezolvare a ecuațiilor funcționale, Editura Tehnică, București, 1973.
[184] Thomasset, F., Equations de Navier-Stokes Bidimensionnelles – Modules NSNCEV – NSNCST, TRSD INRIA** – Laboria, Nov. 1979.
[185] Thomasset, F., Implementation of FEM for Navier-Stokes Equations,
Springer-Verlag, 1981.
[186] Tottenham, H., A Direct Numerical Method for the Solution of Field Problems, IJNME, 2 (1970), pp. 117-131.
[187] Tay, O.A., Vahl Davis, G., de., Application of the FEM to Convection Heal Transfer Between Parallel Planes, Int. Heat Mass Transfer, 14 (1971), pp. 1057-1069.
[188] Treves, F., Introduction to Pseudodifferential and Fourier Integral Operators, I. Plenum Press, New Yorks, London, 1980.
[189] Vainberg, M.M., Variational Methods for the Study of Nonlinear Operators, Holden Day, San Francisco, California, 1964.
[190] Vries, G., de, Norrie, D.H., The Application of the Finite Element Techniques to Potential Flow Problems, Transactions of the ASME, Dec. (1971).
[191] Villadsen, J.V., Stewart, W.E., Solution of boundary value problems by ortogonal collocation. Chemical Engineering Sciences, 22 (1967), pp. 1483-1501.
[192] Villadsen, J.V., Sorensen, J.P., Solution of parabolic PDE by a double collocation method, Chemical Engineering Science, 24 (1969), pp. 1337-1349.
[193] Veubeke, B.M., Fraijs, de., Hogge, M.A., Dual Analysis for Heat Conduction Problems by Finit Elements, IJNMET, 5 (1971), pp. 65-82.
[194] Vainikko, G., On the question of convergence of GALERKIN’S method, Tartu Rukl. Ul. Tom. 177 (1965), pp. 148-152.
[195] Vladimirov, V., Distributions en phusique mathematique, Ed. Mir., Moscou, 1979.
[196] Zienkiewicz, O.C., Cheung, Y.K., The FEM in Structural and Continuum Mechanics, Mc. Graw Hill, New York, 1967.
[197] Zienkiewicz, O.C., Parech, C.J., Transient Fielt Problems: Two-Dimensional and Three-Dimensional Analysis by Isoparametric Finite-Elements, IJNME*, 2 (1970), pp. 61-71.
[198] Zienkiewicz, O.C., Phillips, D.V., ان Automatic Mesh Eneration Scheme for Plane and Curved Surfaces by Isoparametric Coordinates, IJNME, 3 (1971), pp. 519-528.
[199] Zlamal, M., FEM for Parabolic Equation, Mathematics of Computation, 28 (1974), pp. 393-404.
[200] Zlamal, M., Curved Elements in the FEM I, SIAM J. Numer. Anal, 10 (1973), pp. 229-240 Part. II, 11 (1974), pp. 347-362.
[201] Zlamal, M., The FEM in domains with curved boundaries, IJMME*, 5 (1973), pp. 367-373.
[202] Zlamal, M., On the FEM, Numer. Math. 12 (1968), pp. 394-409.
[203] Zlamal, M., A finite element procedure of the second order of accuracy, Numer. Math., 16 (1970), pp. 394-402.
[204] Zienkiewicz, O.C., Kelly, D.W., Bettes, P., The coupling of the finite element method and boundary solution procedures, Int. J. Numerical Meth. Engng., 11 (1977), pp. 355-375.
[205] Wallace, H.A., An Introduction to Algebraic Topology, Pergamon Press, 1967.
[206] Windder, V.D., The Laplace transform, Princeton University Press, Princeton, 1956.
[207] WU, J.C., Thompson, J.F., Numerical solutions of time-dependent incompressible Navier-Stokes equations using an integrodifferential formulation, Comput. Fluids 1(1973), pp. 197-215.
[208] Wendland, W.L., I Asumptotic convergence of BEM, II. Integral equation methods for mixed boundary value problems, T.H. Darmstadt, Preprint 611, 1981.
[209] Wendland, W.L., Boundary element methods and their asymptotic convergence, T.H. Darmstadt, Preprint 690, 1982.
[210] Wenland, W.L., On some mathematical aspect of BEM for elliptic problems, T.H. Darmstadt, Preprint 857, 1984.
[211] Yosida, K., Functional Analysis, Grundlehren B., 123, Springer-Verlag, 1965.
[212] Youngren, G.K., Acrivos, A., Stokes flow post a partide of arbitrary shape. A numerical method of solution, J. Fluid. Mech. 69, part.2 )1975_, pp. 377-403.

* IJNME – International Journal for N umerical Methods in Engineering
**INRIA – Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (France)
***CMAME – Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering


On a coordinate plane, a line goes through (negative 8, 4) and (8, 4). A point is at (negative 4, negative 6). What is the equation of the line that is parallel to the given line and passes through the point (−4,−6 )?

Since the y- coordinates are equal, this indicates the line is horizontal and parallel to the x- axis.

The equation of a horizontal line is

where c is the value of the y- coordinates the line passes through.

A parallel line will therefore be a horizontal line.

The line passes through (- 4, - 6 ) with y- coordinate - 6, thus

Equation of parallel line is y = - 6

a line named D goes through (-8, 4) and (8, 4) is parallel to the x-axis

then any other line parallel to line D must be parallel to the the x-axis too

then it has an equation of the form : y = a

and since it goes through (−4,−6 ) then its equation is : y= -6

The equation of parallel line passes through the point (−4,−6 ) is:

Please also check the attached graph.

The slope-intercept form of the line equation

m is the slopeb is the y-intercept

Given that on a coordinate plane passes through (-8, 4) and (8, 4).

As the value of y remains the same for any value of x.

i.e. y = 4 for any value of x.

Thus, the given line is a horizontal line.

We know that the slope of a horizontal line is zero.

Also it is clear that at x = 0, the value of y = 4. In other words, we can observe that the y-intercept b = 4.

so substitutig m = 0 and b = 4 in the slope-intercept form

Therefore, the equation of line passing through the point (-8, 4) and (8, 4) is:

Now, we also know that the slope of parallel lines is equal.

Thus, the slope of the line parallel to the line y = 4 is also 0.

As the parallel line passes through (−4,−6 ).

so substituting m = 0 and (-4, -6) in the slope-intercept form of line equation to determine the y-intercept b

Thus, the slope-intercept b = -6

now substituting m = 0 and b = -6 in the slope-intercept form of line equation

Therefore, the equation of parallel line passes through the point (−4,−6 ) is:


Unit 2 — Multivariable

1 4
2 3
. Show that
the image of the curve C under T is the circle x² + y² = 10.

The curve C is an ellipse in R2 (this follows from part (b), but you may assume this without proof). Find the area enclosed by C.

Let H : R2 → R2 be defined by H(x, y) = G(G(G(x, y))).

Use linear approximation to estimate H(0.95, 0.03).

At (0, 0), the direction of fastest increase of f + g is a positive scalar multiple of [1 -1]

Maybe! The direction of fastest increase is the sum of the gradients of f, g which is of the
form [ a −b] for a, b both positive. This could be
1
−1
but might not be.

Maybe. If the gradient of f + g is [ a −b], its directional derivative in [ 1 1] direction is a − b. Could be positive, could be negative

determinant of that matrix is equal to
0.1 * det of the lower bottom right square. Answer is 0.675.

A spider starts walking from the point (x, y) = (2, 3) with a velocity in the direction
1
−1

(centimeters per
second), so that its (x, y) position after t seconds is (2 + t, 3 − t). At what rate is its current temperature
changing as it leaves the starting point? (Related issue to be careful about here: when you are finding a
directional derivative, what difference does it make if you use a unit direction vector as opposed to one of
arbitrary length?)

, has a direct influence on its
heating/cooling rate that we do not want to ignore by dividing v by its magnitude.


محتويات

Therefore, any totally regular summation method gives a sum of infinity, including the Cesàro sum and Abel sum. [1] On the other hand, there is at least one generally useful method that sums 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ to the finite value of −1. The associated power series

An almost identical approach (the one taken by Euler himself) is to consider the power series whose coefficients are all 1, that is,

The above manipulation might be called on to produce −1 outside the context of a sufficiently powerful summation procedure. For the most well-known and straightforward sum concepts, including the fundamental convergent one, it is absurd that a series of positive terms could have a negative value. A similar phenomenon occurs with the divergent geometric series 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandi's series), where a series of integers appears to have the non-integer sum 1 2 . <2>>.> These examples illustrate the potential danger in applying similar arguments to the series implied by such recurring decimals as 0.111 … and most notably 0.999 … . The arguments are ultimately justified for these convergent series, implying that 0.111 … = 1 9 <9>>> and 0.999 … = 1 , but the underlying proofs demand careful thinking about the interpretation of endless sums. [4]

It is also possible to view this series as convergent in a number system different from the real numbers, namely, the 2-adic numbers. As a series of 2-adic numbers this series converges to the same sum, −1, as was derived above by analytic continuation. [5]


Teaching With Atlantean Dodgeball Animation

What is the difference between part-to-part and part-to-whole relationships? How do ratios compare with fractions? Explore ratios, part-to-part, and part-to-whole relationships through the eyes of sportscasters in ancient Atlantis as two teams play a momentous game of dodgeball.

Addresses: Relating and comparing different forms of representation for a relationship. Analyzing patterns with tables, graphs, and words.

Watch the animation in English or Spanish.


What is the sum of the geometric sequence 1, −6, 36, … if there are 6 terms?

By looking at the geometric sequence, we can note that each term is multiplied by -6.

So, the fourth term is going to be: -216

The fifth term is going to be: 1296

The sixth term is going to be: -7776

The sum of the geometric sequence is: 1 - 6 + 36 - 216 + 1296 - 7776 = -6665

We require the sum of 7 terms of the G.S. -1, 6, -36

The common ratio r = 6/-1 = -6 and the first term = -1.

Sum of n terms = a1 . (r^n - 1) / (r - 1)

Sum of 7 terms = -1 * (-6)^7 - 1) / (-6 - 1)

The required sum is 39991.

Step-by-step explanation: We are given to find the sum of the following 7-term geometric sequence:

Here, the first term , a = 1

common ratio, 'r' is given by

Thus, the required sum is 39991.

The correct answer option is A) -39,991.

We know that the sum of the geometric sequence is given by the formula:

أين is the first term, is the common ratio and is the number of terms.

Substituting these values in the above formula to get:

The sum of a geometric series is given by:

Sn is the sum of the first n terms, r is the rate and n is the number of terms.

r the quotient between any two consecutive numbers.

Sum of the first six terms=6665

Sum of geometric sequence formula is


شاهد الفيديو: حل اختبار للسنة الرابعة ابتدائي في مادة الرياضيات 2020 كنموذج للمراجعة رقم 1 (كانون الثاني 2022).